Medida de dispersão - dados brutos

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12/03/2015 
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Estatística 
Medidas de Dispersão – DB / Rol ou Lista 
Estatística Descritiva 
 As três principais características de 
um conjunto de dados são: 
 
◦ Um valor representativo do conjunto de 
dados: uma média (Medida de Tendência 
Central); 
◦ Uma medida de dispersão ou variação; 
◦ A natureza ou forma da distribuição dos 
dados: sino, uniforme, assimétrica ... 
(Tabelas de frequência e histograma). 
Medias de Variação 
 
 Determina a característica de variação 
de um conjunto de dados: 
 
◦ Amplitude; 
◦ Desvio médio ou desvio absoluto; 
◦ Variância; 
◦ Desvio padrão. 
 
Amplitude 
 
 Diferença entre o maior valor e o 
menor valor: 
◦ A = M – m, onde 
 M = maior valor; e 
 m = menor valor. 
Amplitude (Exemplo) 
 
 A amplitude para 
o exemplo ao 
lado é: 
 
◦ A = M – m 
◦ A = 1,88 – 1,60 
◦ A = 0,28 m 
Análise Estatística da Turma 
de Probab. e Estatística 
Eventos Altura 
Aluno 1 1,72 
Aluno 2 1,60 
Aluno 3 1,74 
Aluno 4 1,88 
Aluno 5 1,82 
Aluno 6 1,75 
Aluno 7 1,82 
Aluno 8 1,75 
Aluno 9 1,73 
Aluno 10 1,75 
Aluno 11 1,80 
Aluno 12 1,75 
Aluno 13 1,73 
Aluno 14 1,84 
Aluno 15 1,76 
Aluno 16 1,78 
Aluno 17 1,75 
Aluno 18 1,69 
Soma 31,66 
Média 1,759 
Amplitude 0,28 
Desvio Médio ou Desvio 
Absoluto 
 Desvio médio ou desvio absoluto é a 
média dos desvios em termos 
absolutos: 
 
 𝐷𝑀 = 
 𝑥−𝑋 
𝑛
, onde: 
 
◦ x: valores da variável X; 
◦ 𝑋 : média da variável X; 
◦ n: número de observações. 
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Desvio Médio ou Desvio 
Absoluto (Exemplo) 
 
 𝑥 − 𝑋 = 0,776 
 n = 18 
 
 Portanto, 
◦ DM = 0,776/18 
◦ DM = 0,0431 
◦ DM = 0,043m 
Eventos Altura |x - Xmed| 
Aluno 1 1,72 0,039 
Aluno 2 1,60 0,159 
Aluno 3 1,74 0,019 
Aluno 4 1,88 0,121 
Aluno 5 1,82 0,061 
Aluno 6 1,75 0,009 
Aluno 7 1,82 0,061 
Aluno 8 1,75 0,009 
Aluno 9 1,73 0,029 
Aluno 10 1,75 0,009 
Aluno 11 1,80 0,041 
Aluno 12 1,75 0,009 
Aluno 13 1,73 0,029 
Aluno 14 1,84 0,081 
Aluno 15 1,76 0,001 
Aluno 16 1,78 0,021 
Aluno 17 1,75 0,009 
Aluno 18 1,69 0,069 
Soma 31,66 0,776 
Média 1,759 
Desvio Padrão 
 Desvio padrão: medida da variação dos 
valores em relação à média. 
 
 O desvio padrão de uma amostra é dado 
por: 
 
◦ 𝑠 =
 𝑥−𝑋 2
𝑛−1
, onde: 
 
 x: valores da variável X; 
 𝑋 : média da variável X; 
 n: número de observações (da amostra). 
Desvio Padrão 
 
 O desvio padrão de uma população é 
dado por: 
 
◦ 𝜎 =
 𝑥−𝑋 2
𝑁
, onde: 
 
 x: valores da variável X; 
 𝑋 : média da variável X; 
 N: número de observações (da população). 
Desvio Padrão 
 
 
 Obs: A unidade do desvio padrão é a 
mesma da unidade dos valores 
originais ou conjunto de dados. 
Desvio Padrão (Fórmula 
Abreviada) 
 A fórmula abreviada para o desvio 
padrão de uma amostra é dado por: 
 
◦ 𝑠 =
𝑛. 𝑥 2 − 𝑥 2
𝑛. 𝑛−1
, onde: 
 
 x: valores da variável X; 
 n: número de observações (da amostra). 
Desvio Padrão (Fórmula 
Abreviada) 
 Vantagens e desvantagens da fórmula 
abreviada para o desvio padrão de uma 
amostra é dado por: 
◦ É mais conveniente para com números extensos 
e com grandes conjuntos de valores; 
◦ Maior facilidade de uso com calculadoras e 
computadores (apenas três registros: n, 
somatório de x e somatório de x ao quadrado); 
◦ Elimina erros de arredondamento; 
◦ Não evidencia o conceito de desvio médio da 
fórmula tradicional. 
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Variância 
 Variância é o desvio padrão ao 
quadrado: 
◦ 𝑠2 variância amostral; 
◦ 𝜎2 variância populacional. 
𝑠2 =
 𝑥 − 𝑋 2
𝑛 − 1
 𝜎2 =
 𝑥 − 𝑋 2
𝑁
 
Variância 
 
 
 Obs: A unidade da variância é a 
mesma da unidade dos valores 
originais ou conjunto de dados, só que 
elevada ao quadrado. 
Desvio Padrão (Exemplo) 
 
 𝑥 − 𝑋 2 = 0,0647777... 
 n = 18 
 
 Portanto, 
 
◦ 𝑠 =
0,064777…
18−1
= 0,061729… 
 
◦ s = 0,062 m 
Eventos Altura (x-Xmed)^2 
Aluno 1 1,72 0,001512345679012 
Aluno 2 1,60 0,025245679012346 
Aluno 3 1,74 0,000356790123457 
Aluno 4 1,88 0,014667901234568 
Aluno 5 1,82 0,003734567901235 
Aluno 6 1,75 0,000079012345679 
Aluno 7 1,82 0,003734567901235 
Aluno 8 1,75 0,000079012345679 
Aluno 9 1,73 0,000834567901235 
Aluno 10 1,75 0,000079012345679 
Aluno 11 1,80 0,001690123456790 
Aluno 12 1,75 0,000079012345679 
Aluno 13 1,73 0,000834567901235 
Aluno 14 1,84 0,006579012345679 
Aluno 15 1,76 0,000001234567901 
Aluno 16 1,78 0,000445679012346 
Aluno 17 1,75 0,000079012345679 
Aluno 18 1,69 0,004745679012346 
Soma 31,66 0,064777778 
Média 1,759 
Considerações finais 
 Arredondamento: 
◦ Tomar uma casa decimal a mais em relação às que 
constam dos dados originais; 
◦ Arredondar apenas o resultado final e não os 
resultados intermediários; 
◦ Se necessitarmos arredondar os resultados 
intermediários, acrescente pelo menos duas casas 
decimais a mais em relação às que constam dos 
dados originais. No entanto, o melhor é não utilizar 
esta última consideração final e fazer os cálculos 
com o máximo de dados disponíveis. 
Para que serve o desvio 
padrão? 
 Indica a dispersão dos dados, ou seja, 
como os dados estão espalhados em 
relação à média. 
 
 Assim, quanto mais dispersos (mais 
espalhados), maior o desvio padrão. 
 
 Da mesma forma, quanto menos 
dispersos (menos espalhados), menor 
o desvio padrão. 
Coeficiente de Variação 
 O Coeficiente de Variação indica a magnitude 
relativa do desvio padrão comparado com a 
média do conjunto de valores: 
 
 
 
 
 O Coeficiente de Variação é útil para 
compararmos a variabilidade (dispersão) de 
dois conjuntos de dados de ordem de 
grandezas diferentes. 
𝐶𝑉 =
𝑠
𝑋 
 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝐶𝑉 =
𝜎
𝜇 
 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 
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Coeficiente de Variação 
 Suponha o seguinte conjunto de dados de 
preços de geladeiras em 7 lojas distintas: 
◦ 750,00; 800,00; 790,00; 810,00; 820,00; 760,00; 
780,00 
 Xmed = 787,14 e s = 25,63. 
 Suponha o seguinte conjunto de preços de 
liquidificadores nas mesmas lojas acima: 
◦ 50,00; 45,00; 55,00; 43,00; 52,00; 45,00; 54,00 
 Xmed = 49,14 e s – 4,81 
 QUAL DOS PRODUTOS TÊM UMA MAIOR 
VARIABILIDADE DE PREÇOS? 
Coeficiente de Variação 
 Uma vez que, em geral, uma 
geladeira custa bem mais que um 
liquidificador, a tendência é que o 
desvio padrão da geladeira seja 
também maior. 
 
 O coeficiente de variação é uma 
medida adimensional que normaliza o 
desvio padrão em relação à média. 
◦ CVgelad = 25,63/787,14 = 0,033 (3,3%) 
◦ CVliquid = 4,81 / 49,14 = 0,098 (9,8%) 
Coeficiente de Variação 
 
 
 Com o CV pode-se concluir que os 
preços da geladeira têm uma menor 
variabilidade que os do liquidificador 
(CVgelad < CVliquid)..