Medida de dispersão - dados brutos

Medida de dispersão - dados brutos


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12/03/2015 
1 
Estatística 
Medidas de Dispersão \u2013 DB / Rol ou Lista 
Estatística Descritiva 
\uf097 As três principais características de 
um conjunto de dados são: 
 
\u25e6 Um valor representativo do conjunto de 
dados: uma média (Medida de Tendência 
Central); 
\u25e6 Uma medida de dispersão ou variação; 
\u25e6 A natureza ou forma da distribuição dos 
dados: sino, uniforme, assimétrica ... 
(Tabelas de frequência e histograma). 
Medias de Variação 
 
\uf097 Determina a característica de variação 
de um conjunto de dados: 
 
\u25e6 Amplitude; 
\u25e6 Desvio médio ou desvio absoluto; 
\u25e6 Variância; 
\u25e6 Desvio padrão. 
 
Amplitude 
 
\uf097 Diferença entre o maior valor e o 
menor valor: 
\u25e6 A = M \u2013 m, onde 
\uf096 M = maior valor; e 
\uf096 m = menor valor. 
Amplitude (Exemplo) 
 
\uf097 A amplitude para 
o exemplo ao 
lado é: 
 
\u25e6 A = M \u2013 m 
\u25e6 A = 1,88 \u2013 1,60 
\u25e6 A = 0,28 m 
Análise Estatística da Turma 
de Probab. e Estatística 
Eventos Altura 
Aluno 1 1,72 
Aluno 2 1,60 
Aluno 3 1,74 
Aluno 4 1,88 
Aluno 5 1,82 
Aluno 6 1,75 
Aluno 7 1,82 
Aluno 8 1,75 
Aluno 9 1,73 
Aluno 10 1,75 
Aluno 11 1,80 
Aluno 12 1,75 
Aluno 13 1,73 
Aluno 14 1,84 
Aluno 15 1,76 
Aluno 16 1,78 
Aluno 17 1,75 
Aluno 18 1,69 
Soma 31,66 
Média 1,759 
Amplitude 0,28 
Desvio Médio ou Desvio 
Absoluto 
\uf097 Desvio médio ou desvio absoluto é a 
média dos desvios em termos 
absolutos: 
 
\uf097 \ud835\udc37\ud835\udc40 = 
 \ud835\udc65\u2212\ud835\udc4b 
\ud835\udc5b
, onde: 
 
\u25e6 x: valores da variável X; 
\u25e6 \ud835\udc4b : média da variável X; 
\u25e6 n: número de observações. 
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Desvio Médio ou Desvio 
Absoluto (Exemplo) 
 
\uf097 \ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc4b = 0,776 
\uf097 n = 18 
 
\uf097 Portanto, 
\u25e6 DM = 0,776/18 
\u25e6 DM = 0,0431 
\u25e6 DM = 0,043m 
Eventos Altura |x - Xmed| 
Aluno 1 1,72 0,039 
Aluno 2 1,60 0,159 
Aluno 3 1,74 0,019 
Aluno 4 1,88 0,121 
Aluno 5 1,82 0,061 
Aluno 6 1,75 0,009 
Aluno 7 1,82 0,061 
Aluno 8 1,75 0,009 
Aluno 9 1,73 0,029 
Aluno 10 1,75 0,009 
Aluno 11 1,80 0,041 
Aluno 12 1,75 0,009 
Aluno 13 1,73 0,029 
Aluno 14 1,84 0,081 
Aluno 15 1,76 0,001 
Aluno 16 1,78 0,021 
Aluno 17 1,75 0,009 
Aluno 18 1,69 0,069 
Soma 31,66 0,776 
Média 1,759 
Desvio Padrão 
\uf097 Desvio padrão: medida da variação dos 
valores em relação à média. 
 
\uf097 O desvio padrão de uma amostra é dado 
por: 
 
\u25e6 \ud835\udc60 =
 \ud835\udc65\u2212\ud835\udc4b 2
\ud835\udc5b\u22121
, onde: 
 
\uf096 x: valores da variável X; 
\uf096 \ud835\udc4b : média da variável X; 
\uf096 n: número de observações (da amostra). 
Desvio Padrão 
 
\uf097 O desvio padrão de uma população é 
dado por: 
 
\u25e6 \ud835\udf0e =
 \ud835\udc65\u2212\ud835\udc4b 2
\ud835\udc41
, onde: 
 
\uf096 x: valores da variável X; 
\uf096 \ud835\udc4b : média da variável X; 
\uf096 N: número de observações (da população). 
Desvio Padrão 
 
 
\uf097 Obs: A unidade do desvio padrão é a 
mesma da unidade dos valores 
originais ou conjunto de dados. 
Desvio Padrão (Fórmula 
Abreviada) 
\uf097 A fórmula abreviada para o desvio 
padrão de uma amostra é dado por: 
 
\u25e6 \ud835\udc60 =
\ud835\udc5b. \ud835\udc65 2 \u2212 \ud835\udc65 2
\ud835\udc5b. \ud835\udc5b\u22121
, onde: 
 
\uf096 x: valores da variável X; 
\uf096 n: número de observações (da amostra). 
Desvio Padrão (Fórmula 
Abreviada) 
\uf097 Vantagens e desvantagens da fórmula 
abreviada para o desvio padrão de uma 
amostra é dado por: 
\u25e6 É mais conveniente para com números extensos 
e com grandes conjuntos de valores; 
\u25e6 Maior facilidade de uso com calculadoras e 
computadores (apenas três registros: n, 
somatório de x e somatório de x ao quadrado); 
\u25e6 Elimina erros de arredondamento; 
\u25e6 Não evidencia o conceito de desvio médio da 
fórmula tradicional. 
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Variância 
\uf097 Variância é o desvio padrão ao 
quadrado: 
\u25e6 \ud835\udc602\uf0e8 variância amostral; 
\u25e6 \ud835\udf0e2\uf0e8 variância populacional. 
\ud835\udc602 =
 \ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc4b 2
\ud835\udc5b \u2212 1
 \ud835\udf0e2 =
 \ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc4b 2
\ud835\udc41
 
Variância 
 
 
\uf097 Obs: A unidade da variância é a 
mesma da unidade dos valores 
originais ou conjunto de dados, só que 
elevada ao quadrado. 
Desvio Padrão (Exemplo) 
 
\uf097 \ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc4b 2 = 0,0647777... 
\uf097 n = 18 
 
\uf097 Portanto, 
 
\u25e6 \ud835\udc60 =
0,064777\u2026
18\u22121
= 0,061729\u2026 
 
\u25e6 s = 0,062 m 
Eventos Altura (x-Xmed)^2 
Aluno 1 1,72 0,001512345679012 
Aluno 2 1,60 0,025245679012346 
Aluno 3 1,74 0,000356790123457 
Aluno 4 1,88 0,014667901234568 
Aluno 5 1,82 0,003734567901235 
Aluno 6 1,75 0,000079012345679 
Aluno 7 1,82 0,003734567901235 
Aluno 8 1,75 0,000079012345679 
Aluno 9 1,73 0,000834567901235 
Aluno 10 1,75 0,000079012345679 
Aluno 11 1,80 0,001690123456790 
Aluno 12 1,75 0,000079012345679 
Aluno 13 1,73 0,000834567901235 
Aluno 14 1,84 0,006579012345679 
Aluno 15 1,76 0,000001234567901 
Aluno 16 1,78 0,000445679012346 
Aluno 17 1,75 0,000079012345679 
Aluno 18 1,69 0,004745679012346 
Soma 31,66 0,064777778 
Média 1,759 
Considerações finais 
\uf097 Arredondamento: 
\u25e6 Tomar uma casa decimal a mais em relação às que 
constam dos dados originais; 
\u25e6 Arredondar apenas o resultado final e não os 
resultados intermediários; 
\u25e6 Se necessitarmos arredondar os resultados 
intermediários, acrescente pelo menos duas casas 
decimais a mais em relação às que constam dos 
dados originais. No entanto, o melhor é não utilizar 
esta última consideração final e fazer os cálculos 
com o máximo de dados disponíveis. 
Para que serve o desvio 
padrão? 
\uf097 Indica a dispersão dos dados, ou seja, 
como os dados estão espalhados em 
relação à média. 
 
\uf097 Assim, quanto mais dispersos (mais 
espalhados), maior o desvio padrão. 
 
\uf097 Da mesma forma, quanto menos 
dispersos (menos espalhados), menor 
o desvio padrão. 
Coeficiente de Variação 
\uf097 O Coeficiente de Variação indica a magnitude 
relativa do desvio padrão comparado com a 
média do conjunto de valores: 
 
 
 
 
\uf097 O Coeficiente de Variação é útil para 
compararmos a variabilidade (dispersão) de 
dois conjuntos de dados de ordem de 
grandezas diferentes. 
\ud835\udc36\ud835\udc49 =
\ud835\udc60
\ud835\udc4b 
 \ud835\udc4e\ud835\udc5a\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udc61\ud835\udc5f\ud835\udc4e \ud835\udc36\ud835\udc49 =
\ud835\udf0e
\ud835\udf07 
 \ud835\udc5d\ud835\udc5c\ud835\udc5d\ud835\udc62\ud835\udc59\ud835\udc4eçã\ud835\udc5c 
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Coeficiente de Variação 
\uf097 Suponha o seguinte conjunto de dados de 
preços de geladeiras em 7 lojas distintas: 
\u25e6 750,00; 800,00; 790,00; 810,00; 820,00; 760,00; 
780,00 
\uf096 Xmed = 787,14 e s = 25,63. 
\uf097 Suponha o seguinte conjunto de preços de 
liquidificadores nas mesmas lojas acima: 
\u25e6 50,00; 45,00; 55,00; 43,00; 52,00; 45,00; 54,00 
\uf096 Xmed = 49,14 e s \u2013 4,81 
\uf097 QUAL DOS PRODUTOS TÊM UMA MAIOR 
VARIABILIDADE DE PREÇOS? 
Coeficiente de Variação 
\uf097 Uma vez que, em geral, uma 
geladeira custa bem mais que um 
liquidificador, a tendência é que o 
desvio padrão da geladeira seja 
também maior. 
 
\uf097 O coeficiente de variação é uma 
medida adimensional que normaliza o 
desvio padrão em relação à média. 
\u25e6 CVgelad = 25,63/787,14 = 0,033 (3,3%) 
\u25e6 CVliquid = 4,81 / 49,14 = 0,098 (9,8%) 
Coeficiente de Variação 
 
 
\uf097 Com o CV pode-se concluir que os 
preços da geladeira têm uma menor 
variabilidade que os do liquidificador 
(CVgelad < CVliquid)..