Apostila CDI I - com limites

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CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Grupo de Estudos do Ensino de Matema´tica - UDESC/Ibirama
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Elaborac¸a˜o: Dr. Jarbas Cleber Ferrari
Colaboradores: Edson Elias Citadin
Me. Paolo Moser
Me. Rodrigo Luiz de Souza
Me. Roge´rio Simo˜es
Ma. Thiane Pereira Poncetta Coliboro
Instituic¸a˜o: UDESC - Universidade do Estado de Santa Catarina
CEAVI - Centro de Educac¸a˜o Superior do Alto Vale do Itaja´ı
O Grupo de Estudos do Ensino de Matema´tica tem como objetivo produzir
material dida´tico para servir de instrumento de apoio ao processo de ensino-
aprendizagem buscando qualificar e uniformizar a pra´ticas das disciplinas
da grande a´rea Matema´tica na UDESC/Ibirama, atrave´s de um embasa-
mento teo´rico claro, aprofundando os temas mais relevantes e organizando
os conteu´dos em to´picos.
Ibirama, 25 de marc¸o de 2015.
Suma´rio
1 Nu´meros Reais 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conjuntos Nume´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Valor Absoluto ou Mo´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Func¸o˜es 4
2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Operac¸o˜es com Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Func¸o˜es Crescente e Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Func¸o˜es Usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5.1 Func¸a˜o Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5.2 Func¸a˜o do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5.3 Func¸a˜o Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.4 Func¸a˜o do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.5 Func¸a˜o Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.6 Func¸a˜o Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.7 Func¸a˜o Poteˆncia de Expoente Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.8 Func¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.9 Func¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Func¸o˜es Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Composic¸a˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9 Func¸o˜es Perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10 Outras Func¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10.1 Func¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10.2 Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.11 Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Inequac¸o˜es 30
3.1 Inequac¸a˜o do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Inequac¸a˜o do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Inequac¸a˜o Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Inequac¸a˜o Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Inequac¸a˜o Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Inequac¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7 Inequac¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.8 Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
iv SUMA´RIO
4 Limites 37
4.1 Noc¸a˜o Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Limite de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Ca´lculo de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.7 Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Refereˆncias Bibliogra´ficas 53
Cap´ıtulo 1
Nu´meros Reais
1.1 Introduc¸a˜o
Todos os conceitos visto em um curso ba´sico de Ca´lculo refere-se a` nu´meros reais. Vamos estudar
func¸o˜es que sa˜o definidas e que assumem valores nesse conjunto. As noc¸o˜es de limites, derivadas e
integrais dessas func¸o˜es necessitam da correta manipulac¸a˜o desses nu´meros.
1.2 Conjuntos Nume´ricos
Nu´meros Naturais: Sa˜o os nu´meros utilizados para contagem.
N = {0, 1, 2, 3 . . . }
Nu´meros Inteiros: E´ o conjunto dos nu´meros naturais unido com os opostos de cada nu´mero natural.
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . }
Nu´meros Racionais: E´ o conjunto dos nu´meros que podem ser expressos na forma de frac¸a˜o.
Q =
{
p
q
; p, q ∈ Z e q 6= 0
}
Sa˜o exemplos de nu´meros racionais os nu´meros inteiros (q = 1),
1
2
,
3
5
,
7
3
, etc.
Nu´meros Irracionais: E´ o conjunto dos nu´meros que na˜o podem ser expressos na forma de frac¸a˜o,
denotado por Q
′
.
Sa˜o exemplos de nu´meros irracionais os nu´meros
√
2 ≈ 1, 41421..., π ≈ 3, 14159... e e ≈ 2, 71828....
Nu´meros Reais: E´ o conjunto resultante da unia˜o dos nu´meros racionais e irracionais, denotado por
R = Q ∪Q′ .
Quando desejamos escrever os conjuntos acima excluindo o nu´mero zero, colocamos um aster´ısco
no s´ımbolo do conjunto. Por exemplo, N∗ = {1, 2, 3, . . . }.
No conjunto dos nu´meros reais podemos definir duas operac¸o˜es ba´sicas, chamadas adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o. Para estas operac¸o˜es, dados a, b, c ∈ R, valem as seguintes propriedades:
(P1) a+ b = b+ a
a · b = b · a
(P2) a+ (b+ c) = (a+ b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
(P3) a · (b+ c) = a · b+ a · c
(P4) a+ 0 = a e a · 1 = a
(P5) a+ (−a) = 0
(P6) a
1
a
= 1 para a 6= 0
1
2 Cap´ıtulo 1. Nu´meros Reais
(P7) a− b = a+ (−b) (subtrac¸a˜o) (P8) a
b
= a
1
b
(divisa˜o)
1.3 Desigualdades
Os nu´meros reais podem ser ordenados em um reta, chamada de reta real. Posicionando o nu´mero
zero, definimos que os nu´meros que esta˜o a` direita do zero sa˜o positivos e os nu´meros que esta˜o a`
esquerda de zero sa˜o negativos.
R− R+
0
Desta forma, podemos comparar os elementos do conjunto R e verificar se um nu´mero real a e´
maior, menor ou igual a outro nu´mero b. Neste caso escrevemos:
a > b⇒ a e´ maior que o nu´mero b
a < b⇒ a e´ menor que o nu´merob
a = b⇒ a e´ igual ao nu´mero b
Os s´ımbolos sa˜o definidos como:
a > b⇔ a− b e´ positivo
a < b⇔ b− a e´ positivo
a ≥ b⇔ a > b ou a = b
a ≤ b⇔ a < b ou a = b
Expresso˜es que envolvem os s´ımbolos >, <, ≥ e ≤ sa˜o chamadasde desigualdades. Para estas
desigualdades e a, b, c, d ∈ R valem as seguintes propriedades:
(P1) Se a > b e b > c enta˜o a > c.
(P2) Se a > b e c > 0 enta˜o ac > bc.
(P3) Se a > b e c < 0 enta˜o ac < bc.
(P4) Se a > b enta˜o a+ c > b+ c para todo c real.
(P5) Se a > b e c > d enta˜o a+ c > b+ d.
(P6) Se a > b > 0 e c > d > 0 enta˜o ac > bd > 0.
1.4 Valor Absoluto ou Mo´dulo
O valor absoluto de um nu´mero x, tambe´m denominado mo´dulo, e´ definido como a distaˆncia entre
o nu´mero e o zero. Denotado por |x|, por ser uma distaˆncia, o mo´dulo de um nu´mero e´ sempre na˜o
negativo.
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Para o valor absoluto e a, b ∈ R temos as seguintes propriedades:
(P1) |x| < a⇔ −a < x < a, para a > 0
(P2) |x| > a⇔ x > a ou x > −a, para a > 0
(P3) |a · b| = |a| · |b|
(P4)
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , para b 6= 0
(P5) |a+ b| ≤ |a|+ |b|
1.5. Intervalos 3
(P6) |a− b| ≤ |a|+ |b| (P7) |a| − |b| ≤ |a− b|
1.5 Intervalos
Intervalos sa˜o conjuntos infinitos de nu´meros reais. O pro´prio conjunto R pode ser representado
da forma (−∞,+∞) = {x ∈ R;−∞ < x < +∞}. A seguir, outros intervalos:
a b
(a, b) = {x ∈ R; a < x < b}
a b
(a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}
ba
[a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}
ba
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}
a
(a,+∞) = {x ∈ R; a < x}
a
[a,+∞) = {x ∈ R; a ≤ x}
b
(−∞, b) = {x ∈ R; x < b}
b
(−∞, b] = {x ∈ R; x ≤ b}
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. Usando a notac¸a˜o de conjuntos, escrever os seguintes intervalos que esta˜o representados a seguir:
(a) (1,4]
(b) [−1,
√
2]
(c) (−∞, 0]
(d) (−1, 0) ∪ [2, 4)
2. Se A = {x ∈ R/2 < x < 5} e B = {x ∈ R/3 6 x < 8}, determine:
(a) A ∪B
(b) A ∩B
(c) A−B
(d) B −A
3. Dados os conjuntos: A = {x ∈ N/2 6 x 6 5}, B = {x ∈ N/x e´ ı´mpar e 1 6 x < 7} e
C = {x ∈ N/0 < x 6 3}. Determine o conjunto soluc¸a˜o de (A−B) ∪ (B −C).
4. Determine A ∩B quando:
(a) A = {x ∈ R/− 1 ≤ x < 2} e B = {x ∈ R/0 ≤ x ≤ 5}.
(b) A = [−2, 3[ e B =]0,+∞[
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es
O conceito de func¸a˜o refere-se essencialmente a` correspondeˆncia entre conjuntos. Uma func¸a˜o
associa elementos de um conjunto a` elementos de outro conjunto.
Em nosso estudo, os conjuntos em questa˜o sera˜o subconjuntos dos nu´meros reais e as func¸a˜o sobre
eles definidas sa˜o chamadas de func¸o˜es reais de um varia´vel real.
Func¸o˜es esta˜o presentes em nosso cotidiano, seja na hora de pagar a conta de luz que depende da
quantidade de energia consumida, ou no momento em que nos alimentamos, onde a quantidade de
energia armazenada depende da porc¸a˜o de alimento ingerido.
2.1 Definic¸a˜o
Sejam A e B dois conjuntos na˜o vazios de nu´meros reais. Uma func¸a˜o f de A em B e´ uma relac¸a˜o
que a cada elemento de A associa um u´nico elemento de B. Escreve-se:
f : A 7→ B
x → y = f(x)
em que x e´ chamada de varia´vel independente e y de varia´vel dependente.
Exemplo 01: Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. Seja f : A→ B dada pelo diagrama abaixo.
A relac¸a˜o acima e´ uma func¸a˜o pois cada um dos quatro elementos de A esta´ relacionado com um u´nico
elemento de B. A saber, f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 4 e f(4) = 5.
Note que, de acordo com a definic¸a˜o de func¸a˜o na˜o e´ necessa´rio que todo elemento de B esteja
relacionado com um elemento de A. Tambe´m, podem existir elementos distintos de A associados a
um mesmo elemento de B.
Exemplo 02: Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. Seja f : A→ B dada pelo diagrama abaixo.
4
2.1. Definic¸a˜o 5
A relac¸a˜o f na˜o e´ func¸a˜o pois o elemento x = 4 de A esta´ relacionado a dois elementos distintos de B.
Exemplo 03: Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2} e g : A 7→ B
x → x− 3
O elemento x = 3 de A na˜o tem correspondente em B. Logo, a relac¸a˜o g na˜o e´ func¸a˜o.
Quando definimos uma func¸a˜o, precisamos dos seguintes conceitos:
• Domı´nio: O conjunto A e´ chamado de domı´nio da func¸a˜o, isto e´, e´ o “conjunto de partida” da
func¸a˜o f . Denotamos o domı´nio por D(f) ou Dom(f).
• Contradomı´nio: O conjunto B e´ chamado de contradomı´nio ou campo de valores da func¸a˜o. O
contradomı´nio e´ “o conjunto de chegada”.
• Imagem: Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B e´ chamado de valor da func¸a˜o f no ponto x ou
imagem de x por f . O conjunto de todos os valores assumidos pela func¸a˜o e´ chamado de conjunto
imagem de f e e´ denotado por Im(f). Assim, a imagem de uma func¸a˜o e´ um subconjunto do
contradomı´nio.
Im(f) = {y ∈ B; ∃x ∈ A, f(x) = y}
Exemplo 04: Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = Z e f : A→ B a func¸a˜o que a cada elemento de A associa
o seu dobro. Enta˜o:
• f(x) = 2x
• Dom(f) = {1, 2, 3, 4, 5}
• A imagem do elemento 1 ∈ A e´ 2 ∈ B
• Contradomı´nio(f) = Z
• A imagem da func¸a˜o e´ Im(f) = {2, 4, 6, 8, 10}
Sobre o ca´lculo do domı´nio: No momento de determinar o domı´nio de uma func¸a˜o, precisa-se atentar
que um nu´mero real x esta´ no domı´nio de uma func¸a˜o f se ao calcularmos f(x) o resultado obtido e´,
de fato, um nu´mero real. Em geral, ha´ dois casos a analisar, de forma a garantir que f(x) exista:
(i) Se na func¸a˜o houver uma frac¸a˜o, o denominador na˜o podera´ ser zero porque a divisa˜o por
zero na˜o existe ou e´ uma indeterminac¸a˜o.
(ii) Se na func¸a˜o houver um radical de ı´ndice par, o radicando na˜o pode ser negativo porque o
resultado na˜o e´ um nu´mero real.
Quando o domı´nio de uma func¸a˜o f na˜o for explicitado, consideramos o maior subconjunto de
nu´meros reais tais que f(x) e´ um nu´mero real.
Exemplo 05: Para e´ f(x) =
3
1− x enta˜o 1− x 6= 0⇒ x 6= 1. Logo, Dom(f) = {x ∈ R; x 6= 1}.
Exemplo 06: Para f(x) =
√
x+ 5 enta˜o x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ −5. Logo, Dom(f) = {x ∈ R; x ≥ −5}.
Note que a imagem da func¸a˜o f e´ [0,+∞) pois a raiz quadrade de uma nu´mero e´ sempre positiva.
6 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Estabelec¸a o domı´nio das func¸o˜es a seguir:
(a) f(x) =
−1
2x+ 4
(b) f(x) =
√
3x− 5
(c) f(x) =
x+ 1√
x2 − 5x+ 6
(d) f(x) =
√
x+ 2
3
√
x2 − 1
Classificac¸a˜o de Func¸o˜es Temos treˆs tipos de func¸o˜es quanto a` sua relac¸a˜o entre domı´nio, contrado-
mı´nio e imagem.
• Func¸a˜o injetora: quando a cada elemento distinto do domı´nio associamos uma imagem distinta
no contradomı´nio. A func¸a˜o do exemplo 05 e´ injetora.
• Func¸a˜o sobrejetora: quando todos os elementos do contradomı´nio sa˜o imagem de algum elemento
do domı´nio, isto e´, Im(f) = Contradomı´nio(f).
• Func¸a˜o bijetora: quando a func¸a˜o e´, simultaneamente, injetora e bijetora. A func¸a˜o do exemplo
02 e´ bijetora.
2.2 Gra´fico
Para uma func¸a˜o f definimos o gra´fico de f como o conjunto de pontos da forma (x, f(x)), com
x ∈Dom(f). Isto e´,
Gr(f) = {(x, f(x)); x ∈ Dom(f)}
O gra´fico e´ a representac¸a˜o sobre o plano cartesiano, sendo o eixo X para o domı´nio e o eixo Y
para o contradomı´nio. Para determinar o gra´fico de uma func¸a˜o, assinalamos uma se´rie de pontos,
fazendo uma tabela que nos fornece as coordenadas de alguns pontos que fazem parte do gra´fico da
func¸a˜o. Mais adinte veremos outras formas de obter o gra´fico de uma func¸a˜o.
Exemplo 07: Considere a func¸a˜o f(x) = x2 + 1. O domı´nio e´ Dom(f) = R, Contradomı´nio(f) = R e
Im(f) = [0,+∞). O gra´fico da func¸a˜o consiste dos ponto da forma (x, x2 + 1) ∈ R2.
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Esboce o gra´fico das func¸o˜es a seguir:
2.3. Operac¸o˜es com Func¸o˜es 7
a) f(x) = 2x− 3
b) f(x) = 4− x
c) f(x) =
1
x
d) f(x) =


−x+ 2 se x < 0
1 se 0 ≤ x ≤ 2
3x se x > 2
e) f(x) = |x|
Teste de Reta Vertical: O gra´fico de uma func¸a˜o e´ uma curva no plano cartesiano. Mas nem todos as
curvas sa˜o gra´fico de alguma func¸a˜o. Para verificar quando isso ocorre usa-se seguinte teste::
Uma curva no plano cartesiano e´ o gra´fico de um func¸a˜o de x se e somente se
nenhuma reta vertical corta a curva em mais de uma ponto.
Quando a reta vertical cortaa curva mais de uma vez, isso indica que um mesmo valor de x possui
duas imagens distintas, o que ja´ vimos que na˜o e´ func¸a˜o.
2.3 Operac¸o˜es com Func¸o˜es
Da mesma forma que definimos operac¸o˜es com os nu´mero reais, podemos definir algumas operac¸o˜es
com func¸o˜es. Para f e g func¸o˜es definimos as seguintes operac¸o˜es:
(i) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(ii) (f − g)(x) = f(x)− g(x)
(iii) (kf)(x) = kf(x)
(iv) (f · g)(x) = f(x) · g(x)
(v)
(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
, para g(x) 6= 0
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Dadas as func¸o˜es f(x) = x2 e g(x) = x + 1, ambas definidas em R, calcule as func¸o˜es abaixo,
determinando tambe´m o domı´nio.
a) (f + g)(x)
b) (f · g)(x)
c)
(
f
g
)
(x)
d) (3f)(x)
2.4 Func¸o˜es Crescente e Decrescentes
Seja f(x) uma func¸a˜o e x1, x2 ∈ Dom(f) tais que x1 < x2.
• A func¸a˜o f e´ crescente se f(x1) < f(x2), isto e´, se o valor da imagem f(x) aumenta a medida
que o valor de x aumenta.
• A func¸a˜o f e´ decrescente se f(x1) > f(x2), isto e´, se o valor da imagem f(x) diminui a medida
que o valor de x aumenta.
Gra´fico de func¸a˜o crescente (esquerda) e func¸a˜o decrescente (direita).
8 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
2.5 Func¸o˜es Usuais
A seguir estudaremos alguns tipos especiais de func¸o˜es, discutindo pontos como domı´nio imagem
e gra´fico para cada uma delas.
2.5.1 Func¸a˜o Constante
E´ toda func¸a˜o do tipo f(x) = k, que associa a qualquer nu´mero real x um mesmo nu´mero real k.
O domı´nio de uma func¸a˜o constante e´ Dom(f) = R, a imagem e´ Im(f) = {k} e o gra´fico e´ uma
reta paralela ao eixo X, passando por y = k.
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Represente graficamente a func¸a˜o f(x) = 2.
2.5.2 Func¸a˜o do 1o grau
E´ toda func¸a˜o do tipo f(x) = ax+ b, com a, b ∈ R, a 6= 0. O nu´mero a e´ chamado de coeficiente
angular e b de coeficiente linear.
O domı´nio desta func¸a˜o e´ Dom(f) = R, a imagem e´ Im(f) = R e o gra´fico e´ uma reta na˜o paralela
aos eixos coordenados. A func¸a˜o do 1o grau tambe´m e´ chamada de func¸a˜o afim. Se b = 0 a func¸a˜o
f(x) = ax e´ chamada de func¸a˜o linear.
O coeficiente linear b e´ o altura em que o reta “corta” o eixo Y . O valor em que a reta “corta” o
eixo X e´ chamado de raiz da func¸a˜o e pode ser obtido fazendo f(x) = 0, o que fornece − b
a
. Estes sa˜o
pontos importantes a serem marcados para o esboc¸o do gra´fico de f(x) = ax+ b.
Quando a > 0 a func¸a˜o f(x) = ax+ b e´ crescente (a reta tem inclinac¸a˜o positiva) e quando a < 0
a func¸a˜o f(x) = ax+ b e´ decrescente.
X
Y
a>0
X
Y
a<0
Gra´fico de func¸a˜o do 1o grau.
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. Construa o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x− 1 para x ∈ [−2, 2].
2. Quando a = 1 e b = 0 temos f(x) = x, chamada func¸a˜o identidade. Esboce o seu gra´fico.
3. Esboce o gra´fico das func¸o˜es:
(a) f(x) = −2x+ 1
(b) f(x) =
x
3
+
1
2
(c) f(x) = 5x+ 6
2.5. Func¸o˜es Usuais 9
2.5.3 Func¸a˜o Modular
E´ a func¸a˜o definida como f(x) = |x|. O domı´nio desta func¸a˜o e´ Dom(f) = R, a imagem e´
Im(f) = [0,+∞) e o gra´fico esta´ ilustrado na figura a seguir.
Gra´fico da func¸a˜o f(x) = |x|.
Em geral, para construir o gra´fico de uma func¸a˜o da forma f(x) = |g(x)|, mantemos o gra´fico de
g(x) no(s) intervalo(s) em que g(x) ≥ 0 e consideramos o sime´trico do gra´fico de g(x) em relac¸a˜o ao
eixo X no(s) intervalo(s) em que g(x) < 0.
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Construa o gra´fico das func¸o˜es:
(a) f(x) = |x− 1|.
(b) |2x+ 5|
(c) |x+ 2| − 3
2.5.4 Func¸a˜o do 2o grau
Tambe´m denominada func¸a˜o quadra´tica, e´ uma func¸a˜o da forma f(x) = ax2+bx+c, com a, b, c ∈ R
e a 6= 0. O domı´nio e´ R e o gra´fico de uma func¸a˜o quadra´tica e´ uma para´bola com eixo de simetria
paralelo ao eixo Y .
Se o coeficiente de x2 for positivo (a > 0), a para´bola tem concavidade voltada para cima e se
a < 0, enta˜o a concavidade e´ voltada para baixo.
A intersecc¸a˜o do eixo de simetria com a para´bola e´ um ponto chamado ve´rtice da para´bola. A
intersecc¸a˜o da para´bola com o eixo X define os pontos x tais que f(x) = 0, chamados de ra´ızes ou
zeros da func¸a˜o.
Para determinar as ra´ızes usamos a muito conhecida Fo´rmula de Bha´skara dada por
x =
−b±√∆
2a
, com ∆ = b2 − 4ac
enquanto as coordenadas (xv, yv) do ve´rtice sa˜o dadas por xv =
−b
2a
e yv =
−∆
4a
.
As possibilidades para o gra´fico de f(x) = ax2 + bx+ c sa˜o dadas na figura a seguir.
10 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x2 − 5x+ 4
(b) h(x) = −x2 − x+ 2
(c) g(t) = t2 − 3
(d) f(x) = x2 + 4x+ 5
(e) f(x) = −x2 + 6x− 9
2.5.5 Func¸a˜o Polinomial
E´ uma func¸a˜o da forma
f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · · + a2x2 + a1x+ a0,
em que an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ R e an 6= 0 sa˜o chamados de coeficientes e n e´ o grau da func¸a˜o.
O domı´nio e´ sempre o conjunto R.
O gra´fico de uma func¸a˜o polinomial e´ uma curva suave (sem bicos ou saltos) que pode apresentar
va´rios pontos de ma´ximo e mı´nimo e se n e´ o grau da func¸a˜o enta˜o seu gra´fico cruza o eixo X em, no
ma´ximo, n pontos distintos.
As func¸o˜es constante, do 1o e do 2o grau sa˜o func¸o˜es polinomias de grau 0, 1 e 2, respectivamente.
Exemplo 8: A func¸a˜o f(x) = x3 e´ uma func¸a˜o polinomial chamada de func¸a˜o cu´bica.
2.5.6 Func¸a˜o Racional
E´ uma func¸a˜o definida como o quociente de duas func¸o˜es polinomiais, isto e´, f(x) =
p(x)
q(x)
, em que
p e q sa˜o polinoˆmios. O domı´nio desta func¸a˜o sa˜o os valores de x ∈ R tais que q(x) 6= 0.
2.5. Func¸o˜es Usuais 11
Exemplo 9: A func¸a˜o f(x) =
x− 1
x+ 1
e´ func¸a˜o racional e Dom(f) = {x ∈ R; x 6= −1}. Seu gra´fico e´
dado abaixo.
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Usando uma ferramenta gra´fica, esboce o gra´fico de f(x) =
x
x2 − 1.
2.5.7 Func¸a˜o Poteˆncia de Expoente Racional
E´ uma func¸a˜o da forma f(x) = xm/n, em que m,n ∈ Z e n > 0. O domı´nio vai depender dos
valores m e n. Lembre-se que xm/n = n
√
xm.
O gra´fico dessas func¸o˜es sa˜o, em geral, mais complexos que os vistos anteoriormente e sera˜o estu-
dados mais adiante. O exemplo a seguir traz um dos principais casos desse tipo de func¸a˜o.
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x1/2 =
√
x.
2.5.8 Func¸a˜o Exponencial
Dado um nu´mero real a e um nu´mero natural n, escrevemos an para representar abreviadamente
o produto de n fatores iguais a a, isto e´
an = a · a . . . a · a︸ ︷︷ ︸
n vezes
A partir dessa definic¸a˜o, decorrem algumas propriedades: sendo a um nu´mero positivo e m e n
nu´meros racionais, valem
• a0 = 1
• am · an = am+n
•
(
1
an
)
= a−n
•
(
am
an
)
= am−n
• (am)n = amn
• (ab)n = anbn
•
(a
b
)n
=
an
bn
• amn = n√am, para n > 0 e n 6= 1
Uma func¸a˜o exponencial e´ definida como f(x) = ax, em que a > 0, a 6= 1. O nu´mero a e´ chamado
de base da func¸a˜o, o domı´nio e´ R, a imagem e´ (0,+∞) = R∗+.
Com relac¸a˜o ao gra´fico de f(x) = ax podemos afirmar:
• a curva que o representa esta´ toda acima do eixo X;
• corta o eixo Y no ponto (0, 1) pois f(x) = a0 = 1;
12 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
• f(x) = ax e´ crescente de a > 1 e descrescente de 0 < a < 1.
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Uma das func¸o˜es exponencial mais importantes e´ a func¸a˜o f(x) = ex, em que e e´ o nu´mero
irracional conhecido como “nu´mero de Euler” e que vale, aproximadamente, 2, 71848. Esboce o
gra´fico dessa func¸a˜o.
2.5.9 Func¸a˜o Logar´ıtmica
Dados nu´meros reais a e b, ambos positivos com a 6= 1 e um nu´mero natural n, escrevemos an
para representar abreviadamente o produto de n fatores iguais a, existe sempre um u´nico nu´mero real
x tal que ax = b. Este expoente x que deve ser colocado na base a para que o resultado seja b recebe
o nome de logaritmo de b na base a, denotadopor loga b, ou seja,
ax = b⇔ loga b
A partir dessa definic¸a˜o, decorrem algumas propriedades u´teis para manipulac¸o˜es alge´bricas: sendo
b > e 0 < a 6= 1, valem
• loga 1 = 0
• loga a = 1
• loga an = n
• loga(b · c) = loga b+ loga c
• loga
(
b
c
)
= loga b− loga c
• loga bn = n loga b
• loga n
√
b =
1
n
loga b
• loga b =
logc b
logc a
, 0 < c 6= 1
(mudanc¸a de base)
• loga b =
1
logb a
Algumas logaritmos especiais:
• log1 0b = log b (logaritmo decimal de b)
• loge b = ln b (logaritmo neperiano ou natural de b)
Uma func¸a˜o logaritmica e´ definida da seguinte forma
f : (0,+∞) → R
x → y = loga(x)
em que a > 0, a 6= 1 e´ chamado de base do logaritmo.
Com relac¸a˜o ao gra´fico de f(x) = loga(x) podemos afirmar:
2.6. Func¸o˜es Pares e I´mpares 13
• a curva que o representa esta´ todo a` direita do eixo Y ;
• corta o eixo X no ponto (1, 0) pois f(x) = loga(1) = 0;
• f(x) = loga(x) e´ crescente de a > 1 e descrescente de 0 < a < 1.
Exemplo 10:Quando a base do logaritmo e´ o nu´mero de Euler e, costuma-se escrever loge(x) = ln(x),
conhecido como logaritmo natural.
2.6 Func¸o˜es Pares e I´mpares
Uma func¸a˜o f(x) e´ dita par se f(x) = f(−x) para todo x ∈ Dom(f) e e´ ı´mpar se f(−x) = −f(x)
para todo x ∈ Dom(f). O gra´fico de uma func¸a˜o par e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo Y e o gra´fico de
uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem.
Essa classificac¸a˜o e´ u´til no esboc¸o do gra´fico de uma func¸a˜o, no entanto, nem toda func¸a˜o pode
ser classificada como par ou ı´mpar.
Exemplo 11:
a) A func¸a˜o f(x) = x2 e´ par.
b) A func¸a˜o f(x) = x5 + 2x3 e´ ı´mpar.
c) A func¸a˜o f(x) = x2 − 2x+ 1 na˜o e´ par nem ı´mpar.
2.7 Composic¸a˜o de Func¸o˜es
Considere a situac¸a˜o do exemplo a seguir:
Exemplo 12: Uma indu´stria de ceraˆmica, a cada hora h, produz telhas de acordo com a seguinte
func¸a˜o T (h) = 500h − 30, sendo T (h) o nu´mero de telhas sem defeito. Como cada telha sem defeito
e´ vendida a R$ 1, 50 temos uma receita de R(T ) = 1, 5T . Supondo que todas as telhas produzidas
sejam vendidas, qual a receita, em reais, da fa´brica apo´s 8 horas de produc¸a˜o?
Resoluc¸a˜o: Se h = 8 enta˜o temos T (8) = 3970 telhas sem defeito. Logo, a receita obtida com a venda
dessas telhas e´ de R(3970) = 5955 reais.
No exemplo acima desejamos saber quanto reais sa˜o obtidos em func¸a˜o do tempo de produc¸a˜o, o
que nos leva ao esquema:
produc¸a˜o em horas (h) −→ nu´mero de telhas em unidades (T ) −→ receita em reais (R)
Em situac¸o˜es como esta usamos a chamada composic¸a˜o de func¸o˜es: Dadas duas func¸o˜es f e g, a
func¸a˜o composta de g com f , denotada por g ◦ f e´ definida como (g ◦ f)(x) = g (f(x)).
A composic¸a˜o de func¸o˜es esta´ bem definida se a imagem de f e´ um subconjunto do domı´nio de g.
14 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
No exemplo anterior temos
R(h) = R ◦ T = R (T (h)) = R(500h − 12) = 1, 5(500h − 30) = 750h − 45
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. Calcular a composic¸a˜o gof e fog das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x2 + 1 e g(x) = 2x− 5
(b) f(x) =
√
x e g(x) = x− 1
2. Sejam as func¸o˜es reais f(x) = 3x− 5 e f(g(x)) = x2 − 3. Determine a lei da func¸a˜o g(x).
2.8 Func¸a˜o Inversa
Seja f(x) um func¸a˜o de A em B. Se f for uma func¸a˜o bijetora (para cada y ∈ B existir um u´nico
x ∈ A tal que f(x) = y) enta˜o podemos definir uma func¸a˜o
g : B 7→ A
y → g(y) = x
A func¸a˜o g assim definida e´ chamada de func¸a˜o inversa de f e e´ denotada por f−1. Desta forma
• Dom(f) = Im(f−1), Im(f) = Dom(f−1) e (f−1)−1 = f .
• Os gra´ficos de f(x) e f−1(x) sa˜o sime´tricos com relac¸a˜o a` reta y = x.
• O ca´lculo de func¸a˜o inversa e´ feito isolando-se x na equac¸a˜o y = f(x).
Exemplo 13:
a) A func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = 2x − 5 e´ bijetora pois seu gra´fico e´ uma reta na˜o
horizontal e, assim, tem inversa f−1 : R→ R dada por f−1(y) = 1
2
y +
5
2
pois
y = 2x− 5⇒ y + 5 = 2x⇒ x = 1
2
y +
5
2
c) A func¸a˜o f : R−{3} → R−{−1} definida por f(x) = x− 1
3− x tem inversa f
−1 : R−{−1} → R−{3}
dada por f−1(y) =
1 + 3y
y + 1
(verifique!)
a) A func¸a˜o f(x) = x2 com x ∈ R na˜o possui inversa pois f(−x) = f(x) para todo x (na˜o
injetora). Para que seja bijetora precisa-se restringir o domı´nio da func¸a˜o para [0,+∞]. Assim,
f−1 : [0,+∞] 7→ [0,+∞] e´ f−1(x) = √x.
2.9. Func¸o˜es Perio´dicas 15
Func¸a˜o f(x) = x2 e sua inversa f−1(x) =
√
x
Observac¸a˜o: Duas func¸o˜es f : A→ B e g : B → A sa˜o inversas uma da outra se, e somente se, valem
as composic¸o˜es:
(g ◦ f)(x) = x para todo x ∈ A
(f ◦ g)(y) = y para todo y ∈ B
Exemplo 14: A func¸o˜es f(x) = loga(x) e g(x) = a
x sa˜o inversas uma da outra pois
(f ◦ g)(y) = loga(ay) = y e (g ◦ f)(x) = aloga(x) = x.
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. Se f−1(x) e´ a func¸a˜o inversa de f(x), com R em R, definida por f(x) = 3x − 2, enta˜o qual o
valor de f−1(−1)?
2. Mostre que a inversa da func¸a˜o f(x) =
4x
2x− 3 e´ definida por f
−1(x) =
3x
2x− 4.
3. Qual deve ser o domı´nio da inversa da func¸a˜o g(x) = 2−√x+ 3?
2.9 Func¸o˜es Perio´dicas
Dizemos que uma func¸a˜o e´ perio´dica se existe um nu´mero real T 6= 0 tal que f(x+T ) = f(x) para
todo x ∈ Dom(f). O nu´mero T e´ chamado de per´ıodo da func¸a˜o e o gra´fico de uma func¸a˜o perio´dica
se repete a cada intervalo de comprimento |T |.
Exemplo 15: As func¸o˜es abaixo sa˜o func¸o˜es perio´dicas.
X
Y
X
Y
a<0
X
Y
X
Y
a<0
Func¸o˜es perio´dicas com perio´do T = 2 (esquerda) e T = 4 (direita).
16 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
A seguir conheceremos func¸o˜es per´ıodicas com aplicac¸o˜es nas mais diversar a´rea: as func¸o˜es trigo-
nome´tricas
2.10 Outras Func¸o˜es Elementares
2.10.1 Func¸o˜es Trigonome´tricas
Seja x um nu´mero real. Marcamos um aˆngulo com medida x radianos na circunfereˆncia unita´ria,
conforme a figura abaixo. Seja P o ponto de intersecc¸a˜o do lado terminal do aˆngulo x com essa
circunfereˆncia.
Denominamos cosseno de x a abscissa do ponto P , dada P2, e seno de x a ordenada do ponto P ,
dada por P1.
Para cada valor de x temos seus respectivos valores de seno e cosseno. A partir disso, podemos
definir as func¸o˜es trigonome´tricas.
Func¸a˜o Seno
Definimos a func¸a˜o seno como a func¸a˜o de R em R dada por f(x) = senx. O domı´nio e´ R e a
imagem e´ o intervalo [−1, 1].
A func¸a˜o y = senx e´ perio´dica e seu per´ıodo e´ 2π. Seu gra´fico e´ denominado seno´ide e e´ ilustrado
na figura a seguir.
Func¸a˜o Cosseno
Definimos a func¸a˜o cosseno como a func¸a˜o de R em R dada por f(x) = cos x. O domı´nio e´ R e a
imagem e´ o intervalo [−1, 1].
A func¸a˜o y = cos x e´ perio´dica e seu per´ıodo e´ 2π. Seu gra´fico e´ denominado cosseno´ide e e´
ilustrado na figura a seguir.
2.10. Outras Func¸o˜es Elementares 17
A partir destas duas func¸o˜es, definimos as demais func¸o˜es trigonome´tricas, denominadas tangente,
cotangente, secante e cossecante.
Func¸a˜o Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante
A func¸a˜o tangente, denotada por tan, e´ definida como tanx =
senx
cos x
. Seu domı´nio inclui todos os
nu´meros reais x tais que cosx 6= 0, isto e´, Dom(tan) = {x in R | x 6= π/2 + nπ, n ∈ Z}. A imagem
da func¸a˜o e´ R.
A func¸a˜o cotangente, denotada por cot, e´ definida como cot x =
cos x
senx
. Seu domı´nio inclui todos
os nu´meros reais x tais que senx 6= 0, isto e´, Dom(cot) = {x in R | x 6= nπ, n ∈ Z}. A imagem da
func¸a˜o e´ R.
A func¸a˜o secante, denotada por sec, e´ definida como secx =
1
cos x
. Da mesma forma que a func¸a˜o
tangente, Dom(sec) = {x in R | x 6= π/2 + nπ, n ∈ Z} e a imagem da func¸a˜o e´ R− {0}.
A func¸a˜o cossecante, denotada por csc, e´ definida como csc x =
1
senx
. Da mesma forma que a
func¸a˜o cotangente, Dom(csc) = {x ∈ R | x 6= nπ, n ∈ Z} e a imagem da func¸a˜o e´ R− {0}.A seguir, os gra´ficos dessa func¸o˜es trigonome´tricas.
18 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
2.10.2 Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Por ser uma func¸a˜o perio´dica, sabemos que e´ imposs´ıvel definir uma func¸a˜o inversa para as func¸o˜es
trigonome´tricas pois, por exemplo, para a func¸a˜o y = senx temos uma infinidade de valores de x que
possuem a mesma imagem.
Sendo assim, para definir a inversa das func¸o˜es trigonome´trias necessitamos restringir o domı´nio
dessas func¸o˜es.
Func¸a˜o Arco Seno
Considerando o intervalo [−π/2, π/2] como domı´nio de f(x) = senx, podemos definir a func¸a˜o
inversa do seno, chamada de arco seno como
arcsen : [−1, 1] → [−π/2, π/2]
x → arcsenx em que y = arcsen x ⇔ sen y = x
Observamos que na definic¸a˜o da func¸a˜o arco seno poder´ıamos ter restringido o domı´nio a outros
intervalos como [π/2, 3π/2], [3π/2, 5π/2], etc.
Func¸a˜o Arco Cosseno
De forma ana´loga, escolhendo o intervalo [0, π] como domı´nio de f(x) = cos x, podemos definir a
func¸a˜o inversa do cosseno, chamada de arco cosseno como
arcsen : [−1, 1] → [0, π]
x → arccos x em que y = arccosx ⇔ cos y = x
A func¸a˜o arco cosseno pode ser tambe´m definida pela equac¸a˜o arccos x =
π
2
− arcsenx.
Gra´fico da func¸a˜o arco seno (esquerda) e arco cosseno (direita).
Func¸a˜o Arco Tangente
A inversa da func¸a˜o tangente, chamada de arco tangente, e´ definida por
arctan : R → (−π/2, π/2)
x → arctan x em que y = arctanx ⇔ tan y = x
A func¸a˜o arco tangente e´ crescente e seu gra´fico
na figura ao lado mostra que, quando x se torna
muito grande, arctan x aproxima-se de
π
2
. Quando
x se torna muito pequeno, arctan x se aproxima de
−π
2
.
2.11. Lista de Exerc´ıcios 19
2.11 Lista de Exerc´ıcios
Domı´nio
1. Determine o domı´nio das func¸o˜es:
a) f(x) =
1
x− 1 +
1
x− 2
b) f(x) =
√
x− 2
x− 5
c) f(x) =
√
4− x2
d) f(x) =
x2 + 5
x2 − 2x− 3
e) f(x) =
√
x2 − 1
f) f(x) =
1
x− 1 +
x− 6
3x2 − 12x
g) f(x) =
x
x− 1 +
√
x
x− 2
h) f(x) =
√
1− x+√x+ 6
i) f(x) =
√
x
x+ 1
j) f(x) =
√
1
4
− x2
k) f(x) =
1
3
√
x2 − 1
l) f(x) =
1
1 +
√
x
m) f(x) =
x− 1√
x2 − 5x
n) f(x) =
x− 2
x2 − 9
o) f(x) =
√
x+ 2
x
p) f(x) =
√
1
x2 − 5x+ 4
Func¸a˜o do 1o grau
2. Considere a func¸a˜o f(x) = ax+ b com f(1) = 4 e f(−2) = 10. Calcule f(2).
3. Dada a func¸a˜o f(x) = −3
2
x + 6, determine o ponto em que a func¸a˜o intercepta o eixo das
abscissas.
4. Seja a func¸a˜o f(x) definida por
f(x) =


x+ 2, se x ≥ 3
x2 − 3, se − 4 < x < 3
|x|, se x ≤ −4
Calcule o valor de a = f(4)− f(−5) + f(−2).
5. Determine o intervalo em que a func¸a˜o f(x) = 2x− 5 e´ crescente.
6. Determine o valor de m para que a func¸a˜o f(x) = (4m− 2)x+ 2 seja crescente.
7. Sabendo que a func¸a˜o f(x) = mx+ n admite 5 como raiz e f(−2) = −63. determine o valor de
f(16).
Func¸a˜o do 2o grau
8. Encontre as ra´ızes das func¸o˜es:
a) f(x) = x2 − 8
b) f(x) = x2 − 2x− 3
9. Determine m a fim de que a func¸a˜o definida por f(x) = (2m− 3)x2 − 5x+ 4 seja do 2o grau.
20 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
10. Determine o valor de k, sabendo que x = −2 e´ raiz da func¸a˜o f(x) = kx2 − 5x+ 2.
11. Determine o ve´rtice de cada uma das para´bolas representativas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x2 − 3
(b) f(x) = 2x2 − 5x+ 2
(c) f(x) = −x2 + x− 2
3
12. Estabelecer o conjunto imagem da func¸a˜o f(x) = 2x2 + 5x+ 3.
13. Dada a func¸a˜o f(x) = −x2 + 4x+ 5, determine o conjunto imagem da func¸a˜o.
14. Determine o valor de k, para que a func¸a˜o f(x) = x2 − kx+4 tenha −9
4
como valor de mı´nimo.
15. Determine o valor de k, para que f(x) = x2 − 6x+ (k − 5) tenha duas ra´ızes reais e iguais.
16. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento das func¸o˜es:
a) f(x) = 2x2 + 10x
b) f(x) = −x2 + 6x− 5
17. Determine a lei de formac¸a˜o da func¸a˜o quadra´tica f , sabendo que 3 e´ raiz da func¸a˜o e que esta
tem ve´rtice no ponto V (1, 4).
18. A para´bola de equac¸a˜o y = −2x2 + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e seu ve´rtice e´ o ponto de
coordenadas (3, y). Determine y.
19. Qual e´ a func¸a˜o real cujo gra´fico esta´ representado abaixo?
Func¸a˜o Exponencial e Logar´ıtmica
20. Determine o domı´nio da func¸a˜o definida por f(x) = log(2x2 − 5x+ 2).
21. Determine os valores de a ∈ R que tornam a func¸a˜o exponencial f(x) = (a− 3)x decrescente.
22. Determine o domı´nio da func¸a˜o f(x) =
log(x− 3)
6− x .
23. Sabe-se que f(x) =
(
4
5
)4x2−x
e g(x) = (0, 8)3x+3, calcule o valor de x para que f(x) = g(x).
24. Encontre o domı´nio das func¸o˜es logar´ıtmicas.
2.11. Lista de Exerc´ıcios 21
a) f(x) = log3
(
6− 1
2
x
)
b) f(x) = log(2−x)
(
x2 − 9)
c) f(x) = logx (−2x+ 5)
d) f(x) = log(2x−3)
(−x2 + 2x+ 3)
Gra´ficos
25. Esboce o gra´fico e determine o domı´nio e a imagem de cada uma das func¸o˜es a seguir.
a) f(x) = 3x− 1
b) f(x) = x2 − 1
c) f(x) =
√
4− 2x
d) f(x) = 4− |x|
e) f(x) =
√
9− x2
f) f(x) =
{
−2, se x ≤ 3
2, se x > 3
g) f(x) =
{
2x− 1 se x 6= 2
0, se x = 2
h) f(x) =
{
x2 − 4, se x < 3
2x− 1, se x ≥ 3
i) f(x) =


x− 2, se x < 0
0, se x = 0
x2 + 1, se x > 0
j) f(x) =
2
(x− 1)2
k) f(x) = |x+ 1| − 5
26. Construa o gra´fico das func¸o˜es a seguir:
a) f(x) = 2x + 1
b) f(x) = 21−x
c) f(x) =
(
1
3
)x
+ 3
d) f(x) = 3
x+1
3
27. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es logar´ıtmicas:
a) f(x) = 2 + log2 x b) f(x) = log 1
3
x c) f(x) = log2(x− 1)
28. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es trigonome´tricas:
a) y = sen(2x) b) f(x) = cos(x/2) c) f(x) = 2 cos(x)
29. Construa o gra´fico da func¸a˜o f(x) =


|x− 3|, se x < 1
1
x+ 2
, se x ≥ 1
30. Construa o gra´fico das func¸o˜es a seguir:
a) f(x) =


x2 + 6x+ 5, se x ≤ −1
1
x− 2 , se x > −1
b) g(x) =


2x, se x ≤ −2
x2 − 1
x− 1 , se x > −2
c) h(x) =


1, se x < −4
|x+ 1| − 3, se − 4 ≤ x < 3
x2 − x, se x ≥ 3
22 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
Func¸a˜o Composta
31. Seja f(x) = x2 − 4 e g(x) = 2x+ 1, calcule f (g(x)) e g (f(−2))
32. Abaixo esta˜o definidas as func¸o˜es f(x) e g(x). Determine f ◦ g e g ◦ f .
a) f(x) = x− 2 e g(x) = x+ 7
b) f(x) = x− 5 e g(x) = x2 − 1
c) f(x) =
√
x e g(x) = x2 + 1
d) f(x) = x2 − 1 e g(x) = 1
x
33. Sejam f(x) = x2−2x−3 e g(x) = 4x+m. Determine o valor de m sabendo que f (g(−1)) = 12.
34. Dadas as func¸o˜es f(x) = x2 − 5x+ 6 e g(x) = x+ 4, calcule x de modo que f (g(x)) = 0.
35. Sabendo que f(x) = 4x2 + 3, encontre g(x) de modo que f (g(x)) = x2 + 10x+ 28.
36. Dada a func¸a˜o f(x) = x2, determine g(x) sabendo que g(x)
f(x+ h)− f(x)
h
, para algum h > 0.
Func¸a˜o Inversa
37. Mostre que as func¸o˜es f(x) e g(x) sa˜o inversas.
a) f(x) = 2x− 3 e g(x) = x+ 3
2
b) f(x) =
1
x+ 1
e g(x) =
1− x
x
c) f(x) = x2 − 1 e g(x) = √x+ 1
d) f(x) =
2√
x− 3 e g(x) =
3x2 + 4
x2
38. Mostre que se f(x) =
√
x− 1
x
, enta˜o sua inversa sera´ dada por f−1(x) =
−1
x2 − 1.
39. Sabendo que f(x) = x2 + 1 e g(x) = f(x+ 1)− f(x), determine g−1(x).
40. Dadas as func¸o˜es f(x) = 2x− 1 e g(x) = x+ 3
x
, calcule g−1(2) e g (f(−1)).
41. Seja a func¸a˜o f(x) =
−x2 + 8x− 16
3
, mostre que sua inversa e´ f−1(x) = 4 +
√−3x. Determine
tambe´m o domı´nio de f−1(x).
42. Dada a func¸a˜o f(x) = x+
1
x
, calcule f(a)− f
(
1
a
)
.
Aplicac¸o˜es
43. A func¸a˜o custo de certa empresa e´ C(x) =
x
2
+ 40 e a func¸a˜o receita e´ R(x) =
3x
4
, nas quais x
e´ o nu´mero de unidades produzidas e vendidas. A partir de que quantidades x a empresa passa
a ter lucro? Interprete graficamente a questa˜o.
44. O custo semanal para produzir x unidades de certo produto e´ dado pela func¸a˜o C(x) = 70x+375.
O nu´mero deunidades produzidas em t horas e´ dado por x(t) = 40t. Determine C(x(t)) e
interprete essa func¸a˜o.
45. A populac¸a˜o de uma cidade daqui a t anos e´ estimada em P (t) = 30 − 4
t
milhares de pessoas.
Qual o crescimento da populac¸a˜o durante o 5◦ ano?
2.11. Lista de Exerc´ıcios 23
46. A func¸a˜o demanda de um produto e´ dada por p(x) =
14, 75
1 + 0, 001x
, com x > 0, em que p e´ o
prec¸o unita´rio e x o nu´mero de unidades vendidas. Determine o nu´mero de unidades vendidas
se o prec¸o for R$ 10, 00.
47. Daqui a t anos, o valor de um automo´vel sera´ V = 2000(0, 75)t do´lares. A partir de hoje, daqui
a quantos anos ele valera´ a metade do vale hoje. Obs: Use log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48.
48. Uma caixa aberta deve ser feita de uma pec¸a quadrada de cartolina, de 18cm por 18cm, remo-
vendo um pequeno quadrado de cada canto e dobrando para cima as abas para formar os lados.
Expresse o volume da caixa.
49. Os bio´logos determinam que, sob condic¸o˜es ideais, um nu´mero de bacte´rias em uma cultura cresce
exponencialmente. Suponha que 2000 bacte´rias estejam incicialmente presentes em uma certa
cultura, e que 6000 estejam presentes 20 minutos depois. Quantas bacte´rias estara˜o presentes
ao fim de 1 hora? Use o modelo Q(t) = Qoe
kt.
50. A populac¸a˜o mundial cresce a uma taxa de aproximadamente 2 % por ano. Se supormos que
a populac¸a˜o cresce de forma exponencial, enta˜o a populac¸a˜o, daqui a t anos, sera´ dada por
uma func¸a˜o da forma P (t) = Poe
0,02t, onde Po e´ a populac¸a˜o atual. Supondo que este modelo
de crescimento populacional esta´ correto, quanto tempo levara´ para que a populac¸a˜o mundial
dobre?
51. Um acidente de tra´fego foi testemunhado por 1/10 dos residentes de uma pequena cidade. O
nu´mero de residentes que ouviram acerca do acidente, t horas apo´s, e´ dado por uma func¸a˜o da
forma f(t) =
B
1 +Ce−kt
, onde B e´ a populac¸a˜o da cidade. Se 1/4 dos residentes ja´ tinham
ouvido acerca do acidente apo´s 2 horas, quanto tempo levara´ para que 1/2 dos residentes ouc¸a
as not´ıcias?
52. A lei que representa o crescimento de bacte´rias e´ dado por N(t) = a.2bt, onde N(t) representa
o nu´mero de bacte´rias no instante t e a e b sa˜o constantes reais. Sabendo que no in´ıcio da
observac¸a˜o havia 3.000 bacte´rias e que, apo´s duas horas de observac¸a˜o, havia 48.000, determine:
(a) Os valores de a e b.
(b) O nu´mero de bacte´rias existentes apo´s meia hora de observac¸a˜o.
53. Segundo dados de uma pesquisa, a populac¸a˜o de certa regia˜o do pa´ıs vem crescendo em relac¸a˜o
ao tempo, contado em anos, aproximadamente, segundo a relac¸a˜o: P (t) = P (0).2−0,25t. Sendo
P (0) uma constante que representa a populac¸a˜o inicial dessa regia˜o e P (t) a populac¸a˜o t anos
apo´s, determine quantos anos se passara˜o para que essa populac¸a˜o fique reduzida a` quarta parte
da inicial.
Gabarito
1. a) D = {x ∈ R / x 6= 1 e x 6= 2} = R− {1, 2}
b) D = {x ∈ R / x ≥ 2 e x 6= 5}
c) D = {x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 2}
d) D = {x ∈ R / x 6= −1 e x 6= 3}
e) D = {x ∈ R / x ≤ −1 ou x ≥ 1}
f) D = {x ∈ R / x 6= 0, x 6= 1 e x 6= 4}
g) D = {x ∈ R / x ≥ 0, x 6= 1 e x 6= 2}
h) D = {x ∈ R / − 6 ≤ x ≤ 1}
i) D = {x ∈ R / x < −1 ou x ≥ 0}
j) D = {x ∈ R / − 1
2
≤ x ≤ 1
2
}
k) D = {x ∈ R / x 6= −1 e x 6= 1}
l) D = {x ∈ R / x ≥ 0}
m) D = {x ∈ R / x < 0 ou x > 5}
n) D = {x ∈ R / x 6= −3 e x 6= 3}
o) D = {x ∈ R / x ≤ −2 ou x > 0}
p) D = {x ∈ R / x < 1 ou x > 4}
24 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
2. f(2) = 2
3. x = 4
4. a = 2
5. I = R
6. m >
1
2
7. f(16) = 99
8. a) x = ±
√
8
b) x = −1 e x = 3
9. m 6= 3
2
10. k = −3
11. (a) xv = 0 e yv = −3
(b) xv =
5
4
e yv = −9
8
(c) xv =
1
2
e yv = − 5
12
12. Im = {y ∈ R / y ≥ −1
8
}
13. Im = {y ∈ R / y ≤ 9}
14. k = ±5
15. k = 14
16. a) Crescente em
[
−5
2
,+∞
)
e decrescente em
(
−∞,−5
2
]
b) Crescente em (−∞, 3] e decrescente em [3,+∞)
17. f(x) = −x2 + 2x+ 3
18. y = 8
19. f(x) = x2 − 2x− 3
20. D =
{
x ∈ R / x < 1
2
ou x > 2
}
21. {a ∈ R / 3 < a < 4}
22. D = {x ∈ R / x > 3 e x 6= 6}
23. x =
3
2
e x = −1
2
24. a) D = {x ∈ R / x < 12}
b) D = {x ∈ R / x < −3}
c) D = {x ∈ R / 0 < x < 5
2
e x 6= 1}
d) D = {x ∈ R / 3
2
< x < 3 e x 6= 2}
25. (a) D = R
Im = R
(b) D = R
Im = {y ∈ R / y ≥ −1}
(c) D = {x ∈ R / x < 2}
Im = {y ∈ R / y > 0}
2.11. Lista de Exerc´ıcios 25
(d) D = R
Im = {y ∈ R / y ≤ 4}
(e) D = {x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 3}
Im = {y ∈ R / 0 ≤ y ≤ 3}
(f) D = R
Im = {y ∈ R / y = ±2}
(g) D = R
Im = {y ∈ R / y 6= 3}
(h) D = R
Im = {y ∈ R / y ≥ −4}
(i) D = R
Im = {y ∈ R / y < −2, y = 0 e y > 1}
(j) D = {x ∈ R / x 6= 1}
Im = {y ∈ R / y > 0}
(k) D = R
Im = {y ∈ R / y ≥ −5}
26 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
26. (a) f(x) = 2x + 1
(b) f(x) = 21−x
(c) f(x) =
(
1
3
)x
+ 3
(d) f(x) = 3
x+1
3
27. a) f(x) = 2 + log2 x
b) f(x) = log 1
3
x c) f(x) = log2(x− 1)
2.11. Lista de Exerc´ıcios 27
28. a) y = sen(2x)
b) f(x) = cos(x/2)
c) f(x) = 2 cos(x)
29. f(x) =


|x− 3|, se x < 1
1
x+ 2
, se x ≥ 1
30. a) f(x) =


x2 + 6x+ 5, se x ≤ −1
1
x− 2 , se x > −1
28 Cap´ıtulo 2. Func¸o˜es
b) g(x) =


2x, se x ≤ −2
x2 − 1
x− 1 , se x > −2
c) h(x) =


1, se x < −4
|x+ 1| − 3, se − 4 ≤ x < 3
x2 − x, se x ≥ 3
31. f (g(x)) = 4x2 + 4x− 3 e g (f(−2)) = 1
32. a) (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x) = x+ 5
b) (f ◦ g)(x) = x2 − 6 e (g ◦ f)(x) = x2 − 10x+ 24
c) (f ◦ g)(x) =
√
x2 + 1 e (g ◦ f)(x) = x+ 1
d) (f ◦ g)(x) = 1− x
2
x2
e (g ◦ f)(x) = 1
x2 − 1
33. m = 1 e m = 9
34. x = −1 e x = −2
35. g(x) =
x+ 5
2
36. g(x) = 2x+ h
37. verificac¸a˜o
2.11. Lista de Exerc´ıcios 29
38. verificac¸a˜o
39. g−1(x) =
x− 1
2
40. g−1(2) = 3 e g (f(−1)) = 0
41. D(f−1) = (−∞, 0]
42. 0
43. x > 160
44. C(x(t)) = 2800t+ 375 e fornece o custo para t horas de produc¸a˜o.
45. 200 pessoas
46. 475 unidades
47. 2,5 anos
48. x: lado do quadrado retirado de cada canto; V (x) = 4x3 − 72x2 + 324x
49. 53.998 bacte´rias
50. 34 anos e 8 meses
51. 4 horas
52. (a) a = 3.000 e b = 2
(b) N(0, 5) = 6.000 bacte´rias.
53. t = 8 anos.
Cap´ıtulo 3
Inequac¸o˜es
Inequac¸a˜o e´ uma sentec¸a matema´tica envolvendo desigualdades. Formalmente, uma inequac¸a˜o na
varia´vel x e´ qualquer uma das desigualdades
f(x) > g(x), f(x) ≥ g(x), f(x) < g(x) ou f(x) ≤ g(x),
em que f(x) e g(x) sa˜o func¸o˜es com domı´nio em R.
Resolver uma inequac¸a˜o consiste em determinar o conjunto de nu´meros reais que satisfazem a
desigualdade e que pertencem ao domı´nio de f(x) e g(x). Tal conjunto e´ chamado de conjunto
soluc¸a˜o. Se na˜o houver x real que satisfac¸a essas condic¸o˜es, dizemos que o conjunto soluc¸a˜o e´ vazio.
Exemplo 01: Considere a desigualdade 3− x < 5 + 3x.
Usando x = 1
3− x < 5 + 3x
3− 1 < 5 + 3
2 < 8
verdadeiro
Agora, para x = −1
3− x < 5 + 3x
3− (−1) < 5− 3
4 < 2
falso
Conclusa˜o, x = 1 esta´ no conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o enquanto x = −1 na˜o faz parte deste
conjunto. O conjunto soluc¸a˜o dessa inequac¸a˜o e´ dado por {x ∈ R;x > −1
2
}
Para encontrar o conjunto soluc¸a˜o de uma inequac¸a˜o, utilizamos as propriedades de desigualdade
e, quando houver, de mo´dulo. Nesse caso, as propriedades mais importantes da desigualdades sa˜o:
(P2) Se a > b e c > 0 enta˜o ac > bc.
(P3) Se a > b e c < 0 enta˜o ac < bc.
(P4) Se a > b enta˜o a+ c > b+ c para todo c real.
A seguir vamos conhecer alguns tipos especiais de inequac¸o˜es e como determinar o conjunto soluc¸a˜o.
3.1 Inequac¸a˜o do 1o grau
Sa˜o inequac¸o˜es em que f(x) e´ func¸a˜o do 1o grau e g(x) = 0, ou seja,
ax+ b ≥ 0, ax+ b > 0, ax+ b ≤ 0 ou ax+ b < 0
Sua resoluc¸a˜o e´ baseada na ana´lise dos sinais de uma func¸a˜o do 1o grau, como ilustradoa seguir.
30
3.2. Inequac¸a˜o do 2o grau 31
x
y=ax+b
a>0
-b/a
+++------
x
y=ax+b
a<0
-b/a
++++-----
Se a > 0 enta˜o ax+ b > 0 para os valores de x >
−b
a
e ax+ b < 0 para os valores de x <
−b
a
.
Se a < 0 enta˜o ax+ b > 0 para os valores de x <
−b
a
e ax+ b < 0 para os valores de x >
−b
a
.
A igualdade ax+ b = 0 ocorre quando x =
−b
a
.
Exerc´ıciosde Fixac¸a˜o
1. Verifique que o conjunto soluc¸a˜o de 3− x < 5 + 3x e´ S =
{
x ∈ R;x > −1
2
}
.
2. Determine o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es:
a) 3x− 6 ≤ 0
b) 5x− 3 ≤ x+ 15
c) −7 ≤ −3x− 3 < 2
d) 5 ≤ 3x− 1 ≤ 14
3.2 Inequac¸a˜o do 2o grau
Sa˜o inequac¸o˜es em que f(x) e´ func¸a˜o do 2o grau e g(x) = 0, ou seja,
ax2 + bx+ c ≥ 0, ax2 + bx+ c > 0, ax2 + bx+ c ≤ 0 ou ax2 + bx+ c < 0
Sua resoluc¸a˜o e´ baseada na ana´lise dos sinais de uma func¸a˜o do 2o grau, como ilustrado a seguir.
a > 0 e D < 0
++++++++++
a < 0 e D < 0
------------
a < 0 e D = 0
----- -----
x =x1 2
a > 0 e D = 0
++++ ++++
x =x1 2
a < 0 e D > 0
+++---- -----
x1 x2
a > 0 e D > 0
+++ +++----
x1 x2
32 Cap´ıtulo 3. Inequac¸o˜es
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. Verifique que o conjunto soluc¸a˜o de x2 + 3x− 10 ≤ 0 e´ S = {x ∈ R; −5 ≤ x ≤ 2}.
2. Determine o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es de 2o grau:
(a) x2 − 1 < 0
(b) −x2 + 2x− 3 ≥ 0
(c) x2 + 4x+ 4 6 0
3.3 Inequac¸a˜o Produto
Sa˜o inequac¸a˜o da forma
f(x) · g(x) > 0, f(x) · g(x) ≥ 0, f(x) · g(x) < 0 ou f(x) · g(x) ≤ 0,
em que f(x) e g(x) sa˜o func¸o˜es com domı´nio em R.
Exemplo 02:
a) (x+ 7) · (3x) > 0 em que f(x) = x+ 7 e g(x) = 3x.
b) (x2 + 7x) · (3− x) < 0 em que f(x) = x2 + 7x e g(x) = 3− x.
Para resolver uma inequac¸a˜o produto deve-se fazer um estudo dos sinais das func¸o˜es f(x) e g(x),
selecionando os valores reais de x que fazem com que o produto satisfac¸a a desigualdade. Devemos
lembrar que:
f(x) · g(x) > 0 ⇔ f(x) > 0 e g(x) > 0
f(x) · g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) ≥ 0 e g(x) ≥ 0
f(x) · g(x) < 0 ⇔ (f(x) > 0 e g(x) < 0) ou (f(x) < 0 e g(x) > 0)
f(x) · g(x) ≤ 0 ⇔ (f(x) ≥ 0 e g(x) ≤ 0) ou (f(x) ≤ 0 e g(x) ≥ 0)
Exemplo 03: Verifique que S = (−∞,−1] ∪ [1, 3] e´ o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o produto
(x2 − 1)(−x+ 3) ≥ 0.
Resoluc¸a˜o: Neste exemplo f(x) = x2 − 1 e g(x) = −x+ 3.
f(x) = x2 − 1−1 1
+ + − − − − + + + + + + +
g(x) = −x+ 3
3
+ + + + + + + + + + + + − −
f(x) · g(x) ≥ 0−1 1 3
+ + − − − − + + + + − −
Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ S = (−∞,−1] ∪ [1, 3].
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o produto (x+ 7)(3x) > 0
3.4. Inequac¸a˜o Quociente 33
3.4 Inequac¸a˜o Quociente
Sa˜o inequac¸a˜o da forma
f(x)
g(x)
> 0,
f(x)
g(x)
≥ 0, f(x)
g(x)
< 0 ou
f(x)
g(x)
≤ 0,
em que f(x) e g(x) sa˜o func¸o˜es com domı´nio em R e g(x) 6= 0.
Exemplo 4:
x2 − 3x+ 2
x− 2 > 0 em que f(x) = x
2 − 3x+ 2 e g(x) = x− 2.
Para resolver uma inequac¸a˜o quociente deve-se fazer um estudo dos sinais das func¸o˜es f(x) e g(x),
selecionando os valores reais de x que fazem com que o produto satisfac¸a a desigualdade e g(x) 6= 0.
Devemos lembrar que:
f(x)
g(x)
> 0 ⇔ f(x) > 0 e g(x) > 0
f(x)
g(x)
≥ 0 ⇔ f(x) ≥ 0 e g(x) > 0
f(x)
g(x)
< 0 ⇔ (f(x) > 0 e g(x) < 0) ou (f(x) < 0 e g(x) > 0)
f(x)
g(x)
≤ 0 ⇔ (f(x) ≥ 0 e g(x) < 0) ou (f(x) ≤ 0 e g(x) > 0)
Exemplo 5: Determine o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o
x+ 2
3x− 6 ≤ 0
Resoluc¸a˜o: Neste exemplo f(x) = x+ 2 e g(x) = 3x− 6.
f(x) = x+ 2−2
− − + + + + + + + + + + + +
g(x) = 3x− 6
2
− − − − − − − − − − − − + +
f(x)
g(x)
≤ 0−2 2
+ + − − − − − − − − − + +
Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ S = [−2, 2].
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Verifique que o conjunto S = {x ∈ R; x > 1 e x 6= 0} e´ soluc¸a˜o da inequac¸a˜o quociente
x2 − 3x+ 2
x− 2 > 0.
3.5 Inequac¸a˜o Modular
Sa˜o inequac¸o˜es que envolvem o mo´dulo | |.
Exemplo 6:
a) |5− x| ≥ 0
34 Cap´ıtulo 3. Inequac¸o˜es
b) 1 < |x+ 2| < 4
c)
∣∣∣∣ x+ 22x− 1
∣∣∣∣ ≥ 1
Para resolver uma inequac¸a˜o modular usar a definic¸a˜o de mo´dulo
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
e usar as propriedades, percebendo que:
|x| < a⇔ −a < x < a−a +a
|x| ≤ a⇔ −a ≤ x ≤ a−a +a
|x| > a⇔ x > a ou x < −a−a +a
|x| ≥ a⇔ x ≥ a ou x ≤ −a−a +a
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Revolva as inequac¸o˜es modulares:
(a) |5− x| ≥ 0
(b) |3x+ 2| < 1
(c) |x2 − x− 4| > 2
3.6 Inequac¸a˜o Exponencial
Propriedades:
(P1) Se a > 1, enta˜o se ax1 < ax2 ⇒ x1 < x2 e o sentido da desigualdade se conserva.
(P2) Se 0 < a < 1, enta˜o se ax1 < ax2 ⇒ x1 > x2 e o sentido da desigualdade se inverte.
3.7 Inequac¸a˜o Logar´ıtmica
Inequac¸o˜es redut´ıveis a uma desigualdade entre logaritmos de mesma base:
(P1) Se a > 1, enta˜o se logaf(x) < logag(x)⇒ 0 < f(x) < g(x).
(P2) Se 0 < a < 1, enta˜o se logaf(x) < logag(x)⇒ f(x) > g(x) > 0.
Inequac¸o˜es redut´ıveis a uma desigualdade entre um logaritmo e um nu´mero real:
logaf(x) > r ou logaf(x) < r
Para resolver uma inquac¸a˜o desse tipo, basta substituir r por logaa
r. Assim, reca´ımos em um dos
casos anteriores.
3.8 Lista de Exerc´ıcios
Resolva as inequac¸o˜es abaixo, fornecendo o conjunto soluc¸a˜o.
3.8. Lista de Exerc´ıcios 35
Inequac¸a˜o do 1o grau
1. 2x+ 7 > 3
2.
1
5
− x
2
≥ 7
10
3.
x+ 2
3
+
1 + 2x
2
<
13
6
+ x
4. 3− 2x ≤ 3x− 1 ≤ 5
5. −7 ≤ −3x− 3 < 2
Inequac¸a˜o do 2o grau
6. x2 − 7x+ 10 ≤ 0
7. −5x2 − 14x+ 3 ≥ 0
8. x2 − 6x+ 9 ≤ 0
9.
2x
3
+ 3 <
x2 + 2x
3
10. 2 < x2 − 2 ≤ x
11. x2 − 1 < 0
Inequac¸a˜o Produto
12. (x− 5)(x+ 1) ≥ 0
13. (x2 + 7x)(3− x) ≤ 0
14. (x− 3)(x2 − 6x+ 5) < 0
15. (x+ 7)(3 − x2) ≤ 0
16. (x2 − 2x− 8)(1 − x) ≤ 0
Inequac¸a˜o Quociente
17.
1 + x
x− 4 ≥ 0
18.
2x− 3
x− 1 > 5
19.
4x− 14
x− 3 +
1
x
<
4x+ 1
x
20.
x+ 2
3x− 6 ≥ 0
Inequac¸a˜o Modular
21. |7− 4x| < 9
22. |2x− 5| ≤ 3
23. |x2 + x− 1| < 1
24. |x2 − 4| ≤ 3x
25.
∣∣∣∣ x+ 22x− 3
∣∣∣∣ < 4
26. |x− 2| ≤ 7
Inequac¸a˜o Exponencial
27. (
√
2)x
2−x > (
√
2)6
28. (
1
3
)3x−1 ≥ 1
29. (
1
9
)x < (
1
3
)x−1 ≤
√
3x
Inequac¸a˜o Logar´ıtmica
30. log0.3(x
2 − 1) < log0,38
31. log2(x+ 5) + log2(x− 4) < 1
Gabarito
1. S = {x ∈ R/x > −2}
2. S = {x ∈ R/x ≤ −1}
3. S = {x ∈ R/x < 3}
4. S =
{
x ∈ R/4
5
≤ x ≤ 2
}
5. S =
{
x ∈ R/− 5
3
< x ≤ 4
3
}
6. S = {x ∈ R/2 ≤ x ≤ 5}
7. S =
{
x ∈ R/− 3 ≤ x ≤ 1
5
}
8. S = {x ∈ R/x = 3}
9. S = {x ∈ R/x < −3 ou x > 3}
10. S = {∅}
11. S = {x ∈ R/− 1 < x < 1}
12. S = {x ∈ R/x ≥ 5 ou x ≤ −1}
13. S = {x ∈ R/x ≥ 3 ou − 7 ≤ x ≤ 0}
36 Cap´ıtulo 3. Inequac¸o˜es
14. S = {x ∈ R/x < 1 ou 3 < x < 5}
15. S =
{
x ∈ R/x ≥
√
3 ou − 7 ≤ x ≤ −
√
3
}
16. S = {x ∈ R/x ≥ 4 ou − 2 ≤ x ≤ 1}
17. S = {x ∈ R/x > 4 ou x ≤ −1}
18. S =
{
x ∈ R/2
3
< x < 1
}
19. S = {x ∈ R/x > 3}
20. S = {x ∈ R/x ≤ −2 ou x ≥ 2}
21. S =
{
x ∈ R/− 1
2
< x < 4
}
22. S = {x ∈ R/1 ≤ x ≤ 4}
23. S = {x ∈ R/− 2 < x < −1 ou 0 < x < 1}
24. S =
{
x ∈ R/1 ≤ x ≤ 3 + 4
√
2
2
}
25. S =
{
x ∈ R/x > 2 ou x < 10
9
}
26. S = {x ∈ R/− 5 ≤ x ≤ 9}
27. S = {x ∈ R/x < −2 e x > 3}
28. S =
{
x ∈ R/x ≤ 1
3
}
29. S =
{
x ∈ R/x ≥ 2
3
}
30. S = {x ∈ R/x < −3 e x > 3}
31. S = {x ∈ R/3 < x < 6}
Cap´ıtulo 4
Limites
4.1 Noc¸a˜o Intuitiva
Usualmente nos referimos ao limite como um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que
jamais pode ser ultrapassado.
Do ponto de vista da matema´tica, o limite pode ser considerado um ponto que nunca e´ atingido,
mas do qual se pode aproximar tanto quanto se desejar.
Consideremos os seguintes estudos de caso:
1. Um rato esta´ a 1m de um grande pedac¸o de queijo. Por precauc¸a˜o, ele se aproximade forma
lenta, percorrendo metado do trecho a cada minuto. Nesse caso, quanto tempo ele vai levar para
alcanc¸ar o quejio?
2. Para calcular a a´rea de um c´ırculo, podemos utilizar aproximac¸o˜es com pol´ıgonos de n lados.
Quais conclso˜es podemos ter destas aproximac¸o˜es?
Na medida em que se assume um valor maior para n, aproxima-se a a´rea do pol´ıgono da a´rea
do c´ırculo, ou seja: lim
n→∞
a´rea do pol´ıgono = a´rea do c´ırculo.
Exemplo 01: Analise o comportamento da func¸a˜o f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 pro´ximo do ponto x = 1.
Resoluc¸a˜o:
Quando x se aproxima de 1 pela direita (1+), a func¸a˜o tende a 3:
x f(x)
2 4
1,5 3,5
1,1 3,1
1,01 3,01
1,001 3,001
⁞ ⁞
1
+
3
Quando x se aproxima de 1 pela esquerda (1−), a func¸a˜o tende a 3:
x f(x)
0 2
0,5 2,5
0,9 2,9
0,99 2,99
0,999 2,999
⁞ ⁞
1
-
3
Como veremos a seguir, se lim
x→1+
f(x) = 3 e lim
x→1−
f(x) = 3, enta˜o lim
x→1
f(x) = 3.
37
38 Cap´ıtulo 4. Limites
Exemplo 02: Analise o comportamento da func¸a˜o f(x) =
2x+ 1
x− 2 pro´ximo ao ponto x = 2.
Resoluc¸a˜o:
Quando x se aproxima de 2 pela direita (2+), a func¸a˜o tende ao infinito positivo:
x f(x)
3
2, 12
2,1
2,01
2,001
⁞ ⁞
2
+
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda (2−), a func¸a˜o tende ao infinito negativo:
x f(x)
1 -3
1, -
1,9 -
1,99 -
1,999 -
⁞ ⁞
2
-
-
4.2 Limite de Func¸o˜es
Seja f(x) =
1
x− 1, como esta func¸a˜o tem como domı´nio o conjunto de todos os reais exceto o
nu´mero 1. Tente observar o que acontece com esta func¸a˜o quando x se aproxima de 1 pela direita
(quer dizer, por valores maiores que 1), tambe´m pela esquerda (isto e´, por valores menores que 1),
e ainda fac¸a alguns ca´lculos observando o que acontece quando voceˆ da´ a x valores muito grandes
positivamente e negativamente.
Definic¸a˜o formal de limites:
Seja f(x) uma func¸a˜o definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente em a. Dizemos
que o limite de f(x) quando x se aproxima de a e´ L e escrevemos
lim
x→a
f(x) = L (4.1)
se ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0 tal que |f(x)− L| < ǫ sempre que 0 < |x− a| < δ.
Exemplo 03: Pela definic¸a˜o, provar que lim
x→1
(3x− 1) = 2.
Resoluc¸a˜o:
se ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0 tal que |3x− 1− 2| < ǫ sempre que 0 < |x− 1| < δ.
Ao examinar-se a desigualdade contendo ǫ tem-se |3x− 3| < ǫ⇒ 3|x− 1| < ǫ⇒ |x− 1| < ǫ/3 = δ.
ou seja, a u´ltima desigualdade nos sugere a escolha de δ.
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. Dada a func¸a˜o f(x) = 2x− 4, tal que lim
x→3
f(x) = 2. Determine um nu´mero γ para ε = 0, 01, tal
que |f(x)− L| < ε sempre que 0 < |x− 3| < γ.
2. Mostre que lim
x→2
3x2 + 2x− 1 = 5.
4.2. Limite de Func¸o˜es 39
Proposic¸a˜o(Unicidade do Limite):
Se lim
x→a
f(x) = L1 e lim
x→a
f(x) = L2 enta˜o L1 = L2.
Propriedades dos Limites:
1. Se a, m,n ∈ R enta˜o lim
x→a
mx+ n = ma+ n.
Se lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x) existem e c ∈ R enta˜o:
2. lim
x→a
[f(x)± g(x)] = lim
x→a
f(x)± lim
x→a
g(x);
3. lim
x→a
c.f(x) = c. lim
x→a
f(x);
4. lim
x→a
f(x).g(x) = lim
x→a
f(x). lim
x→a
g(x);
5. lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
, desde que lim
x→a
g(x) 6= 0;
6. lim
x→a
[f(x)]n = [lim
x→a
f(x)]n ∀ n ∈ Z+;
7. lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x) desde que lim
x→a
f(x) > 0 para n par ;
8. lim
x→a
ln f(x) = ln lim
x→a
f(x) desde que lim
x→a
f(x) > 0;
9. lim
x→a
cos f(x) = cos lim
x→a
f(x);
10. lim
x→a
sin f(x) = sin lim
x→a
f(x);
11. lim
x→a
ef(x) = e
lim
x→a
f(x)
;
12. Teorema do Sandu´ıche:
Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ∀ x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a
e se
lim
x→a
f(x) = L = lim
x→a
g(x)
enta˜o
lim
x→a
h(x) = L;
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. lim
x→2
x2 + 3x+ 5
2. lim
x→3
x− 5
x3 − 7
3. lim
x→−2
√
x4 − 4x+ 1
4. lim
x→1
x2 − 1
x− 1 (tente fazer algum tipo de simplificac¸a˜o)
5. lim
x→0
x2
∣∣∣∣sin 1x
∣∣∣∣ = (use o teorema do sandu´ıche)
40 Cap´ıtulo 4. Limites
4.3 Limites Laterais
Definic¸a˜o 1:
Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um nu´mero L e´ o limite a` direita
da func¸a˜o f quando x tende para a, e escrevemos lim
x→a+
f(x) = L. Se ∀ ǫ > 0 ∃ δ > 0 tal que |f(x)−L| <
ǫ sempre que a < x < a+ δ.
x→ a+ significa que os valores de x sa˜o sempre maiores do que a.
Definic¸a˜o 2:
Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um nu´mero L e´ o limite
a` esquerda da func¸a˜o f quando x tende para a, e escrevemos lim
x→a−
f(x) = L. Se ∀ ǫ > 0 ∃ δ >
0 tal que |f(x)− L| < ǫ sempre que a− δ < x < a.
x→ a− significa que os valores de x sa˜o sempre menores do que a.
Teorema da Unicidade:
Se f e´ definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em a, enta˜o
lim
x→a
f(x) = L se e somente se lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x)
Exemplo 04: Considere a func¸a˜o f(x) =
{ |x− 3|+ 1, se x 6= 3
3, se x = 3
. Analise o comportamento atra-
ve´s de sua representac¸a˜o gra´fica e determine, se existir, lim
x→3
f(x).
Resoluc¸a˜o:
Pelo Teorema da Unicidade temos:
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
|x− 3|+ 1 = |3+ − 3|+ 1 = 1
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
|x− 3|+ 1 = |3− − 3|+ 1 = 1
Logo, lim
x→3
f(x) = 1.
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. f(x) = 1 +
√
x− 3; Determinar, se poss´ıvel lim
x→3−
f(x) e lim
x→3+
f(x).
2. f(x) =

 −
|x|
x
, x 6= 0,
1, x = 0.
Determinar, se poss´ıvel lim
x→0−
f(x) e lim
x→0+
f(x).
Esboc¸ar o gra´fico.
3. f(x) =


x2 + 1, x < 2,
1, x = 2
9− x2, x > 2.
Determinar lim
x→2−
f(x), lim
x→2+
f(x) e lim
x→2
f(x).
Esboc¸ar o gra´fico.
4.4. Ca´lculo de Limites 41
4. Considere a func¸a˜o f(x) =
{
x2 − 9, se x > 2
x+ 2, se x < 2
. Analise o comportamento atrave´s de sua re-
presentac¸a˜o gra´fica e determine, se existir, lim
x→2
f(x).
5. Considerando o gra´fico da func¸a˜o f(x) =
1
x− 1.
Determine, se existir, limx→ 1f(x).
6. Seja f(x) definida por f(x) =
{
2, se x = 0
|x|, se x 6= 0 , encontre o limite de f(x) quando x tender a
zero, se existir.
4.4 Ca´lculo de Limites
Expresso˜es indeterminadas: Existem algumas expresso˜es que, a priori, nada pode ser afirmado sobre
elas. Dentre elas, podemos citar:
0
0
,
∞
∞ , ∞−∞, 0×∞, 0
0, ∞0, 1∞
Para resolvermos estas indeterminac¸o˜es, usamos artif´ıcios como fatorac¸a˜o, racionalizac¸a˜o, substi-
tuic¸a˜o e simplificac¸a˜o.
A. Fatorac¸a˜o: fazer divisa˜o de polinoˆmios
Exemplo 05: lim
x→0
x3
x2
= lim
x→0
x = 0;
Exemplo 06: lim
x→−2
x3 − 3x+ 2
x2 − 4 = limx→−2
(x2 − 2x+ 1)(x+ 2)
(x− 2)(x+ 2) = limx→−1
x2 − 2x+ 1
x− 2 = −
9
4
;
B. Racionalizac¸a˜o: reescrever a func¸a˜o multiplicando pelo conjugado
Exemplo 07: lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
= lim
x→0
(
√
x+ 2−√2)(√x+ 2 +√2)
x(
√
x+ 2 +
√
2)
= lim
x→0
x+ 2− 2
x(
√
x+ 2 +
√
2)
=
lim
x→0
x
x(
√
x+ 2 +
√
2)
= lim
x→0
1√
x+ 2 +
√
2
=
1
2
√
2
=
√
2
4
;
C. Desenvolvimento do Denominador:
Exemplo 08: lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
= lim
h→0
x2 + 2xh+ h2 − x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
= 2x;
D. Troca de Varia´veis:
Exemplo 09: lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1 = limt→1
3
√
t6 − 1√
t6 − 1 = limt→1
t2 − 1
t3 − 1 = limt→1
(t− 1)(t+ 1)
(t− 1)(t2 + t+ 1)) =
2
3
;
onde x = t6, x→ 1⇒ t6 → 1⇒ t→ 1;
42 Cap´ıtulo 4. Limites
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. lim
x→0
x2 + 5x
x
2. lim
x→−1
x2 − 3x− 4
x2 − 1
3. lim
x→0
√
x+ 4− 2
x
4. lim
x→9
x− 9√
x− 3
E. Limites no Infinito:
Definic¸a˜o: Seja f uma func¸a˜o definida em todo nu´merode um intervalo aberto (a,+∞), o limite
de f(x), quando x cresce ilimitadamente, e´ L, que pode ser transcrito por:
lim
x→+∞
f(x) = L
Se para qualquer ε > 0, existe um nu´mero β > 0 tal que |f(x)− L| < ε sempre que x > β, e o
mesmo para o limite quando x→ −∞ com β < 0 sempre que x < β.
Teorema: n ∈ Z+

lim
x→+∞
1
xn
= 0,
lim
x→−∞
1
xn
= 0.
Sugesta˜o: Dividir o numerador e o denominador pela varia´vel elevada na maior poteˆncia.
Exemplo 10: lim
x→+∞
2x− 5
x+ 8
= lim
x→+∞
2x−5
x
x+8
x
= ... = 2.
Exemplo 11: lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 + 2
= lim
x→−∞
2x3−3x+5
x5
4x5+2
x5
= ... = 0.
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. lim
x→∞
x3 − 8x
x2 + 6x− 1
2. lim
x→−∞
x− 7
x3 − 12x
F. Limites Infinitos:
Definic¸a˜o: Seja f(x) uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivel-
mente em x = a. Dizemos que:
lim
x→a
f(x) = +∞
Se para qualquer A > 0 existe um γ > 0, tal que f(x) > A, sempre que 0 < |x− a| < γ.
Teorema: n ∈ Z+

lim
x→0+
1
xn
= +∞,
lim
x→0−
1
xn
=
{
+∞, se n e´ par
−∞, se n e´ impar
Exemplo 12: lim
x→0
(
x3 +
√
x+
1
x2
)
= ... = +∞
4.5. Limites Fundamentais 43
Exemplo 13: lim
x→+∞
(3x5 − 4x3 + 1) = lim
x→+∞
x5
(
3− 4
x2
+
1
x5
)
= ... = +∞
Exemplo 14: lim
x→+∞
x2 + 3
x+ 2
= lim
x→+∞
x2+3
x2
x+2
x2
=
1
0+
= +∞
Exemplo 15: lim
x→+∞
2x4 + 3x2 + 2x+ 1
4− x4 = limx→+∞
2x4+3x2+2x+1
x4
4−x4
x4
=
2
−1 = −2
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. lim
x→8−
x
x− 8
2. lim
x→4+
−5
x2 − 16
4.5 Limites Fundamentais
Proposic¸a˜o 1:
lim
x→0
sinx
x
= 1 (4.2)
Demonstrac¸a˜o: Considerando uma circunfereˆncia de raio 1 (livro Ca´lculo A, pag 99) percebe-se que
sinx < x < tanx
Dividindo a desigualdade acima por sinx (sinx > 0, x ∈ (0, π/2)) tem-se:
1 <
x
sinx
<
1
cos x
1 >
sinx
x
> cos x
Como lim
x→0
cos x = 1 e lim
x→0
1 = 1 Pelo Teorema do Sanduiche segue que lim
x→0
sinx
x
= 1
Corola´rio 1:
lim
x→0
1− cos x
x
= 0 (4.3)
Demonstrac¸a˜o:
lim
x→0
1− cos x
x
= lim
x→0
(1− cos x)(1 + cosx)
x(1 + cos x)
= lim
x→0
12 − cos2 x
x(1 + cos x)
= lim
x→0
sin2
x(1 + cos x)
=
lim
x→0
sinx
x
. lim
x→0
sinx
1 + cosx
= 1.0 = 0
Proposic¸a˜o 2:
lim
x→±∞
(
1 +
1
x
)x
= e (4.4)
A demonstrac¸a˜o envolve se´ries e fica para um futuro pro´ximo.
Corola´rio 2:
lim
x→0
(1 + x)1/x = e (4.5)
Demonstrac¸a˜o:
Primeiro fazemos x→ 0+:
Fazendo x =
1
t
, x→ 0+ ⇒ t→ +∞
44 Cap´ıtulo 4. Limites
lim
x→0+
(1 + x)1/x = lim
t→=∞
(
1 +
1
t
)t
= e
Ana´logo para x→ 0−
Corola´rio 3:
lim
t→0
ln(1 + t)1/t = 1 (4.6)
pois ln lim
t→0
(1 + t)1/t = ln e = 1
Proposic¸a˜o 3:
lim
x→0
ax − 1
x
= ln a (4.7)
Demonstrac¸a˜o: Faz-se t = ax − 1→ ax = t+ 1
Assim: ln ax = ln(t+ 1)→ x. ln a = ln(t+ 1)→ x = ln(t+ 1)
ln a
Qaundo x→ 0⇒ t→ 0
Portanto
lim
x→0
ax − 1
x
= lim
t→0
t
ln(t+1)
ln a
= lim
t→0
ln a.t
ln(t+ 1)
= (ln a).1/
(
lim
t→0
ln(t+ 1)
t
)
= (ln a).1/
(
lim
t→0
ln(t+ 1)1/t
)
=
ln a
Corola´rio 4:
lim
x→0
ax − bx
x
= ln a/b (4.8)
Para provar basta colocar bx em evideˆncia.
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. lim
x→0
x
sen(3x)
2. lim
x→∞
(
1− 3
x
)x
3. lim
x→−3
8x+3 − 1
x+ 3
4.6 Continuidade
Definic¸a˜o: Dizemos que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um ponto a, se somente se, as seguintes condic¸o˜es
forem satisfeitas:
1. f esta´ definida em a
2. lim
x→a
f(x) existe.
3. lim
x→a
f(x) = f(a)
Exerc´ıcio de Fixac¸a˜o
1. Determine se a func¸a˜o e´ cont´ınua no ponto indicado:
(a) f : R− {5} → R, tal que f(x) =


x2 − 9
x− 3 , se x > 3
2x, se x 6 3
, em x = 3.
(b) f : R→ R, tal que f(x) =


x3 − x2
x− 1 , se x 6= 1
1, se x = 1
, em x = 1.
4.7. Lista de Exerc´ıcios 45
4.7 Lista de Exerc´ıcios
1. Sejam f(x) as func¸o˜es definidas pelos gra´ficos, encontre intuitivamente, se existir
a)
i. lim
x→3−
f(x)
ii. lim
x→3+
f(x)
iii. lim
x→3
f(x)
iv. lim
x→−∞
f(x)
v. lim
x→+∞
f(x)
vi. lim
x→4
f(x)
b)
i. lim
x→−2+
f(x)
ii. lim
x→−2−
f(x)
iii. lim
x→−2
f(x)
iv. lim
x→+∞
f(x)
c)
i. lim
x→2+
f(x)
ii. lim
x→−∞
f(x)
iii. lim
x→1
f(x)
d)
i. lim
x→1+
f(x)
ii. lim
x→1−
f(x)
iii. lim
x→1
f(x)
iv. lim
x→+∞
f(x)
v. lim
x→−∞
f(x)
e)
i. lim
x→2+
f(x)
ii. lim
x→2−
f(x)
iii. lim
x→2
f(x)
iv. lim
x→+∞
f(x)
v. lim
x→−∞
f(x)
f)
i. lim
x→4+
f(x)
ii. lim
x→4−
f(x)
iii. lim
x→4
f(x)
iv. lim
x→+∞
f(x)
v. lim
x→−∞
f(x)
2. Calcule os seguintes limites:
46 Cap´ıtulo 4. Limites
a) lim
x→0
(3− 7x− 5x2)
b) lim
t→3
(3t2 − 7t+ 2)
c) lim
x→0
[(x− 2)10(x+ 4)]
d) lim
t→2
t2 + 5t+ 6
t+ 2
3. Verifique se lim
x→1
1
x− 1 existe.
4. Calcule os limites indeterminados:
(a) lim
x→−1
x3 + 1
x2 − 1
(b) lim
t→−2
t3 + 4t2 + 4t
(t+ 2)(t − 3)
(c) lim
x→5/2
2x2 − 3x− 5
2x− 5
(d) lim
x→−1
x2 + 6x+ 5
x2 − 3x− 4
(e) lim
x→2
x2 − 5x+ 6
x2 − 12x+ 20
(f) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
(g) lim
h→0
√
25 + 3h− 5
h
(h) lim
x→1
√
x− 1
3
√
x− 1
(i) lim
t→0
3
√
27 + t− 3
t
(j) lim
x→2
√
x−√2
x− 2
(k) lim
x→a
3
√
x− 3√a
x− a
(l) lim
t→1
t4 + t3 + t− 3
t2 − 1
(m) lim
h→2
√
h− 1− 1
h− 2
(n) lim
h→1
√
h− 1
h− 1
(o) lim
x→2
x3 − 5x2 + 8x− 4
x4 − 5x− 6
(p) lim
t→−1
√
t+ 5− 2
t+ 1
(q) lim
t→−1
t2 + 5t+ 4
t2 + 3t+ 2
(r) lim
x→2
x2 + 3x− 10
x2 − 4
(s) lim
x→0
x3 + x
x(x+ 1)
(t) lim
x→4
3x2 − 17x+ 20
x2 − 2x− 8
(u) lim
h→8
3
√
h− 2
8− h
(v) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1
(w) lim
t→0
√
9− 2t− 3
t
(x) lim
x→2
√
x−√2
x− 2
(y) lim
x→0
√
1 + x−√1− x
x
(z) lim
x→2
x2 − 4
x− 2
(aa) lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
(ab) lim
x→−1
x2 + 6x+ 5
x2 − 3x− 4
(ac) lim
x→1
x2 − 1
x− 1
(ad) lim
t→2
t2 − 5t+ 6
t− 2
(ae) lim
x→a
x2 + (1− a)x− a
x− a
(af) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x
(ag) lim
h→0
3
√
8 + h− 2
h
(ah) lim
x→6
x2 − 6x
x− 6
(ai) lim
x→9
x− 9√
x− 3
(aj) lim
x→7
2−√x− 3
x2 − 49
(ak) lim
x→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36
(al) lim
x→1
3
√
x2 − 2 3√x+ 1
(x− 1)2
(am) lim
x→9
x− 9√
x− 3
(an) lim
x→4
4− x
2−√x
5. Calcular os limites no infinito:
4.7. Lista de Exerc´ıcios 47
(a) lim
x→+∞
(3x2 + 4x2 − 1)
(b) lim
x→+∞
x+ 1
x2 + 1
(c) lim
t→−∞
−5t3 + 2
7t3 + 3
(d) lim
x→+∞
x2 − 1
x− 4
(e) lim
t→∞
t2 − 2t+ 3
2t2 + 5t− 3
(f) lim
x→−∞
x2 − 1
x3 − 4
(g) lim
x→−∞
5x4 − 2x+ 1
4x4 + 3x+ 2
(h) lim
x→−∞
x2 − 1
x3 − 4
(i) lim
t→∞
t5 + t3
t2 − t6
(j) lim
x→−∞
2x3 + 3x− 1
3x3 − 2
(k) lim
x→+∞
1
x− 12
(l) lim
x→+∞
(3x3 + 4x2 − 1)
(m) lim
x→+∞
(
2− 1
x
+
4
x2
)
(n) lim
t→+∞
t+ 1
t2 + 1
(o) lim
x→−∞
x− 2
x2 + 2x+ 1
(p) lim
t→+∞
t2 − 2t+ 3
2t2 + 5t− 3
(q) lim
x→+∞
2x5 − 3x3 + 2
−x2 + 7
(r) lim
x→−∞
3x5 − x2 + 7
2− x2
(s) lim
x→+∞
x2 + 3x+ 1
x
(t) lim
x→−∞
√
5x2 − 2
x+ 3
(u) lim
x→+∞
√
x2 + 1
x+ 1
(v) lim
x→−∞
x3 − 2x+ 1
x2 − 1
(w) lim
s→+∞
8− s√
s2 + 7
(x) lim
x→+∞
10x2 − 3x+ 4
3x2 − 1
(y) lim
x→+∞
√
2x2 − 7
x+ 3
6. Calcular os limites infinitos
(a) lim
x→3+
x
x− 3
(b) lim
x→6−
x+ 6
x2 − 36
(c) lim
x→4+
3− x
x2 − 2x− 8
(d) limx→2−
x
x2 − 4
(e) lim
x→5+
x+ 5
25− x2
(f) lim
x→3−
x
9− x2
(g) lim
y→6+
y + 6
y2 − 36
(h) lim
x→2−
x
x2 − 4
(i) lim
x→4+
3− x
x2 − 2x− 8
(j) lim
x→3−
1
|x− 3|
(k) lim
x→3+
1
|x− 3|
7. Seja f(x) =


x2, x < 0,
3, x = 0,
1
x
, x > 0.
Esboce o gra´fico, e calcule se existirem:
a) lim
x→+∞
f(x)
b) lim
x→−∞
f(x)
c) lim
x→0+
f(x)
d) lim
x→0−
f(x)
e) lim
x→0
f(x)
8. Calcule os seguintes limites aplicando os limites fundamentais
48 Cap´ıtulo 4. Limites
(a) lim
x→0
sin 9x
x
(b) lim
x→0
sin 4x
3x
(c) lim
x→0
sin 5x
sin 2x
(d) lim
x→0
sin 4x
5x
(e) lim
x→0
x
sinx
(f) lim
x→0
tan ax
x
(g) lim
x→0
1− cos x
x2
(h) lim
x→0
x− sinx
sinx
(i) lim
n→∞
(
1 +
1
n
)3n
(j) lim
x→∞
(
1 +
2
x
)x
(k) lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x+5
(l) lim
x→∞
(
x
1 + x
)x
(m) lim
x→∞
(
1− 6
x
)x
(n) lim
x→2
5x−2 − 1
x− 2
(o) lim
x→−3
4
x+3
5 − 1
x+ 3
(p) lim
x→2
5x − 25
x− 2
9. Investigue a continuidade nos pontos indicados:
(a) f(x) =
{
2x− 3 se x ≤ 2
x2 se x > 2.
em x = 2
(b) f(x) =
{
3x2 + 5 se x 6= 1
6 se x = 1.
em x = 1
(c) f(x) =
{
x2 se x ≥ 1
1− |x| se x < 1. em x = 1
(d) f(x) =


x2 − 4
x− 2 se x 6= 2
0 se x = 2.
em x = 2
(e) f(x) =


1− x2 se x < 1
1− |x| se x > 1
1 se x = 1.
em x = 1
(f) f(x) =
{ sinx
x
se x 6= 0
0 se x = 0.
em x = 0
(g) f(x) =


x3 − 8
x2 − 4 se x 6= 2
3 se x = 2.
em x = 2
(h) f(x) =
x2 − 3x+ 7
x2 + 1
, em x = 2
(i) f(x) =
2
3x2 + x3 − x− 3 , em x = −3
10. Determinar, se existirem, os valores de x ∈ D(f), nos quais a func¸a˜o f(x) na˜o e´ cont´ınua:
(a) f(x) =
{ x
x2 − 1 , x
2 6= 1
0 , x = −1.
(b) f(x) =
{ √
x2 + 5x+ 6 , x < −3ex > −2
−1 ,−3 ≤ x ≤ −2.
(c) f(x) =


3
x− 1 , x 6= 1
3 , x = −1.
4.7. Lista de Exerc´ıcios 49
(d) f(x) =
{
1− cos x , x < 0
x2 + 1 , x ≥ 0.
(e) f(x) =


x2 − 3x+ 4
x− 1 , x 6= 1
1 , x = 1.
(f) f(x) =
x
x2 − 1
(g) f(x) =
x
(x− 3)(x + 7)
(h) f(x) =
√
(3− x)(6− x)
(i) f(x) =
x2 + 3x− 1
x2 − 6x+ 10
11. Calcule p de modo que as func¸o˜es abaixo sejam cont´ınuas.
(a) f(x) =
{
x2 + px+ 2 , x 6= 3
3 , x = 3.
(b) f(x) =
{
x+ 2p , x ≤ −1
p2 , x > −1.
12. Seja f(x) = 2 + |5x− 1|, calcule se existir os limites indicados e esboce o gra´fico de f(x):
(a) lim
x→1/5+
f(x) (b) lim
x→1/5−
f(x) (c) lim
x→1/5
f(x)
13. Seja f(x) =
{
x2 , x ≤ 0
x− 2; , x < 0.
Ache:
(a) lim
x→0−
f(x) (b) lim
x→0+
f(x) (c) lim
x→0
f(x)
14. Seja f(x) =
x3 − 1
x− 1
(a) Ache lim
x→1
f(x)
(b) Esboce o gra´fico de y = f(x).
15. Seja f(x) =
{
x− 1 , x ≤ 3
3x− 7 , x > 3.
Esboc¸ar o gra´fico de f(x) e calcular:
(a) lim
x→3−
f(x)
(b) lim
x→3+
f(x)
(c) lim
x→3
f(x)
(d) lim
x→5−
f(x)
(e) lim
x→5+
f(x)
(f) lim
x→5
f(x)
16. Seja h(x) =
{
x2 − 2x+ 1 , x 6= 3
7 , x = 3.
Calcule lim
x→3
h(x).
17. Seja f(x) = |x− 4|. Esboc¸ar o gra´fico de f(x) e calcular os limites indicados se existirem:
50 Cap´ıtulo 4. Limites
(a) lim
x→4+
f(x) (b) lim
x→4−
f(x) (c) lim
x→4
f(x)
18. Seja f(x) =
(x2 − 25)
x− 5 . Calcule se existir limx→5 f(x).
Gabarito
1. (a) (i) -1
(ii) 3
(iii) Na˜o existe.
(iv) -1
(v) 3
(vi) 3
(b) (i) 0
(ii) 0
(iii) 0
(iv) +∞
(c) (i) 0
(ii) −∞
(iii) 1
(d) (i) +∞
(ii)
1
2
(iii) Na˜o existe.
(iv)
1
2
(v) −∞
(e) (i) 0
(ii) 2
(iii) Na˜o existe.
(iv) 2
(v) 0
(f) (i) 1
(ii) 1
(iii) 1
(iv) +∞
(v) −∞
2. (a) 3
(b) 8
(c) 4096
(d)
30
4
3. O limite na˜o existe.
4. (a) −3
2
(b) 0
(c)
7
2
(d) −4
5
(e)
1
8
(f) 8
(g)
3
10
(h)
3
2
(i)
1
27
(j)
√
2
4
(k)
1
3
3
√
a2
(l) 4
(m)
1
2
(n) 1
(o) 0
(p)
1
4
(q) 3
(r)
7
4
(s) 1
(t)
7
6
(u) − 1
12
(v)
4
3
(w) −1
3
(x)
√
2
4
(y) 1
(z) 4
(aa) −2
(ab) −4
5
4.7. Lista de Exerc´ıcios 51
(ac) 2
(ad) −1
(ae) a+ 1
(af) −1
3
(ag)
1
12
(ah) 6
(ai) 6
(aj) − 1
56
(ak) 1
(al)
1
9
(am) 6
(an) 4
5. (a) +∞
(b) 0
(c) −5
7
(d) +∞
(e)
1
2
(f) 0
(g)
1
4
(h) 0
(i) 0
(j)
2
3
(k) 0
(l) +∞
(m) 2
(n) 0
(o) 0
(p)
1
2
(q) −∞
(r) +∞
(s) +∞
(t)
√
5
(u) 1
(v) −∞
(w) −1
(x)
10
3
(y)
√
2
6. (a) +∞
(b) −∞
(c) −∞
(d) −∞
(e) −∞
(f) +∞
(g) +∞
(h) −∞
(i) −∞
(j) +∞
(k) +∞
7. (a) 0
(b) +∞
(c) +∞
(d) 0
(e) Na˜o existe.
8. (a) 9
(b)
4
3
(c)
5
2
(d)
4
5
(e) 1
(f) a
(g)
1
2
(h) 0
(i) e3
(j) e2
(k) e
(l) 1/e
(m) 1/e6
(n) ln 5
(o)
2
5
ln 2
(p) 25 ln 5
9.
52 Cap´ıtulo 4. Limites
Na˜o cont´ınuo.
(a)(b) Na˜o cont´ınuo.
(c) Na˜o cont´ınuo.
(d) Na˜o cont´ınuo.
(e) Na˜o cont´ınuo.
(f) Na˜o cont´ınuo.
(g) Cont´ınuo.
(h) Cont´ınuo.
(i) Na˜o cont´ınuo.
10. (a) −1
(b) −3 e 2
(c) 1
(d) 0
(e) 1
(f) −1 e 1
(g) −7 e 3
(h) 3 e 6
(i) Na˜o existe.
11. (a)
−8
3
(b) 1
12. (a) 2
(b) 2
(c) 2
13. (a) −2
(b) 0
(c) Na˜o existe.
14. (a) 3
15. (a) 2
(b) 2
(c) 2
(d) 8
(e) 8
(f) 8
16. 4
17. (a) 0
(b) 0
(c) 0
18. 10
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] ANTON, Howard, Ca´lculo. Vol. II. Porto Alegre: Bookman, 8. ed. 2007.
[2] GIOVANNI, Jose´ Ruy; BONJORNO, Jose´ Roberto. Matema´tica: 2o grau. Vol. 1 e 2. Sa˜o Paulo:
FTD, 1992.
[3] GUIDORIZZI. Hamilton Luiz, Um curso de Ca´lculo. Volume 2, Rio de Janeiro, 3 ed. 1998.
[4] GONCALVES, Miriam B.; FLEMMING Diva M., Ca´lculo B. Sa˜o Paulo: Makron Books, 1999.
[5] LEITHOLD, Louis, O ca´lculo com geometria anal´ıtica. Vol. 2, Sa˜o Paulo: Harbra, 1989
[6] LARSON, Ron, Ca´lculo Aplicado, curso ra´pido. Cengage Learning, 2010.
[7] STEWART, James, Ca´lculo, Volume 2, Sa˜o Paulo: Cengage Learning, 2008.
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