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INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA Departamento de Matemática PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA FORMULÁRIO PROBABILIDADES Probabilidade condicional ou condicionada de A dado B: )B(P )BA(P)B|A(P ∩= , se P(B)>0 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Média, valor esperado ou esperança matemática: − ∑=µ≡ i iXiX )x(fx)X(E , e ( ) ∑φ=µ≡φ φ i iXi)X( )x(f)x()X(E , se X é discreta com função de probabilidade fX e tomando valores em {x1, x2, ...}; − dx )x(f x)X(E XX ∫ +∞ ∞− =µ≡ , e ( ) dx )x(f )x()X(E X)X( ∫ +∞ ∞− φ φ=µ≡φ , se X é (absolutamente) contínua com função densidade de probabilidade fX. Variância: − 2 X)X(Var σ≡ ∑ µ−= i iX 2 Xi )x(f)x( ( )( )2XXE µ−= , se X é discreta com função de probabilidade fX e tomando valores em {x1, x2, ...}; − 2 X)X(Var σ≡ dx )x(f)x( X2X∫ +∞ ∞− µ−= ( )( )2XXE µ−= , se X é (absolutamente) contínua com função densidade de probabilidade fX. [ ]22 )X(E)X(E)X(Var −= Desvio padrão: )X(VarX =σ DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Se X tem distribuição de Bernoulli de parâmetro p: =∨=− = − contráriocaso0 1x0xse)p1(p)x(f x1x X , E(X) = p e Var(X) = p(1-p) Se X tem distribuição de Binomial de parâmetros n e p: =− = − contráriocaso0 ,2,1,0xse)p1(p x n )x(f xnx X L , E(X) = np e Var(X) = np(1-p) Se X tem distribuição de Poisson de parâmetro µµµµ: = µ = µ− contráriocaso0 ,2,1,0xse !x e )x(f x X L , E(X) = µ e Var(X) = µ 2 ESTIMADORES Média Amostral: ∑ = = n 1i iX n 1X Variância Amostral: ( ) − − =− − = ∑∑ == 2 n 1i 2 i n 1i 2 i 2 XnX 1n 1XX 1n 1S ANÁLISE DE VARIÂNCIA k - nº de amostras; nj - nº de observações na amostra j; N=∑ = k 1j jn - nº total de observações TABELA ANOVA Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Variância (Soma Média de Quadrados) Razão F Entre grupos SSA = ( )∑ = − k 1j 2 jj xxn k-1 1k SS MSS AA 2 b − == E A 2 p 2 b MS MS S S F == Dentro dos grupos SSE = ( )∑∑ = = − k 1j n 1i 2 jij j xx N-k kN SS MSS EE 2 p − == Total SST = ( )∑∑ = = − k 1j n 1i 2 ij j xx N-1 x ∑∑∑ == = == k 1j jj k 1j n 1i ij xnN 1 x N 1 j Testes de Comparação Múltipla Teste HSD de Tuckey A hipótese H0: µi =µj é rejeitada se +≥− α− ji E )1(Tji n 1 n 1 2 MS .Sxx onde )1(TS α− é tal que ( ) ~ W com 1SWP )1(T α−=≤ α− k)-N ,(k TS Teste de Scheffé A hipótese nula H0: µi =µj é rejeitada se +≥− α ji E)-(1ji n 1 n 1MS . 1)F-(kxx onde, )1(F α− é o quantil de probabilidade (1-α) da distribuição 1k kNF −− , isto é, ( ) α−=≤ α−−− 1FFP )1(1k kN 3 Teste para comparação de k variâncias - Teste de Bartlett: ( ) ( ) −−−= ∑ = k 1j 2 jj 2 p Sln)1n(Sln)kN(C 1B 2 1kHSob 0 ~ − χ ∑ = − − = jn 1i 2 jij j 2 j )XX(1n 1S , ∑ = − − = k 1j 2 jj 2 p S)1n(kN 1S e − − −− += ∑ = kN 1 1n 1 )1k(3 11C k 1j j Estatística de teste de Mann-Whitney ( )∑ = = n 1i iXRT , onde ( )iXR é o score da observação iX Estatística de teste de Kruskal-Wallis Caso de não haver empates, ou o número de empates ser pequeno: T= )1N(3 n R )1N(N 12 k 1i i 2 i +− + ∑ = Caso de haver muitos empates: T= + −∑ = 4 )1N(N n R S 1 2k 1i i 2 i 2 , onde ( ) + − − = ∑∑ = = 4 )1N(NXR 1N 1S 2k 1i n 1j 2 ij 2 i e ( )∑ = = in 1j iji XRR Estatística de teste de ajustamento do Qui-quadrado ( ) ∑ = − = m 1i i 2 ii e eOQ Estatística de teste Kolmogorov-Smirnov )x(F)x(FsupD 0n x n −= +∞<<∞− Estatística para os testes de homogeneidade e independência do Qui-quadrado ( ) ∑∑ = = − =χ r 1i s 1j ij 2 ijij2 eˆ eˆO 4 Medidas de Associação Coeficiente de Contingência de Pearson: n C 2 2 +χ χ = ; q 1qC0 −≤≤ onde q = min{r,s} Coeficiente de Tshuprow: ( )( )1s1rnT 2 −− χ = Coeficiente V de Cramer: ( )1qnV 2 − χ = onde q = min{r,s} ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO [ ] ( ) yXXXbbbb T1TTk10 −== L ( )∑ = −= n 1i 2 i yySST ( )∑ = −= n 1i 2 ii yˆySSE ( )∑ = −= n 1i 2 i yyˆSSR SST SSR r2 = Testes sobre os coeficientes de regressão: 1knHSob ˆ 0 ii t S ˆ 0 i ~ −− β β−β com iiˆ cSS i =β onde cii é o elemento diagonal da linha i +1 da matriz ( ) 1T XX − e 1kn SSES2 −−= Teste F: 2S kSSR )1kn(SSE kSSRF = −− = 2 2 R1 R k 1kn − × −− = k 1knHSob F 0 ~ −− Caso da Regressão Simples: ∑ ∑ = = − − = n 1i 22 i n 1i ii 1 x nx y x nyx b xbyb 10 −= 2 n 1i 2 i 2 n 1i ii1 n 1i i0 2 yny ynxybyb r − −+ = ∑ ∑∑ = == 22 n 1i 2 i n 1i 2 i 22 ˆ xnxn x SS 0 − = ∑ ∑ = = β 2 n 1i 2 i 22 ˆ xnx 1SS 1 − = ∑ = β
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