Formulario Probabilidades e Estatística

Prévia do material em texto

INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
Departamento de Matemática 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 
FORMULÁRIO 
 
 
PROBABILIDADES 
Probabilidade condicional ou condicionada de A dado B: )B(P
)BA(P)B|A(P ∩= , se P(B)>0 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
Média, valor esperado ou esperança matemática: 
− ∑=µ≡
i
iXiX )x(fx)X(E , e ( ) ∑φ=µ≡φ φ
i
iXi)X( )x(f)x()X(E , se X é discreta com função de 
probabilidade fX e tomando valores em {x1, x2, ...}; 
− dx )x(f x)X(E XX ∫
+∞
∞−
=µ≡ , e ( ) dx )x(f )x()X(E X)X( ∫
+∞
∞−
φ φ=µ≡φ , se X é (absolutamente) contínua 
com função densidade de probabilidade fX. 
 
Variância: 
− 
2
X)X(Var σ≡ ∑ µ−=
i
iX
2
Xi )x(f)x( ( )( )2XXE µ−= , se X é discreta com função de probabilidade fX 
e tomando valores em {x1, x2, ...}; 
− 
2
X)X(Var σ≡ dx )x(f)x( X2X∫
+∞
∞−
µ−= ( )( )2XXE µ−= , se X é (absolutamente) contínua com função 
densidade de probabilidade fX. 
[ ]22 )X(E)X(E)X(Var −= 
Desvio padrão: )X(VarX =σ 
 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
Se X tem distribuição de Bernoulli de parâmetro p: 


 =∨=−
=
−
contráriocaso0
1x0xse)p1(p)x(f
x1x
X , E(X) = p e Var(X) = p(1-p) 
 
Se X tem distribuição de Binomial de parâmetros n e p: 





=−





=
−
contráriocaso0
,2,1,0xse)p1(p
x
n
)x(f
xnx
X
L
, E(X) = np e Var(X) = np(1-p) 
 
Se X tem distribuição de Poisson de parâmetro µµµµ: 




=
µ
=
µ−
contráriocaso0
,2,1,0xse
!x
e
)x(f
x
X
L
, E(X) = µ e Var(X) = µ 
 
 
 
2
 
ESTIMADORES 
Média Amostral: ∑
=
=
n
1i
iX
n
1X 
Variância Amostral: ( ) 






−
−
=−
−
= ∑∑
==
2
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2 XnX
1n
1XX
1n
1S 
 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
k - nº de amostras; nj - nº de observações na amostra j; N=∑
=
k
1j
jn - nº total de observações 
 
TABELA ANOVA 
Fonte de 
Variação 
Soma de Quadrados Graus de 
Liberdade 
Variância (Soma Média de 
Quadrados) 
Razão F 
 
Entre 
grupos 
SSA = ( )∑
=
−
k
1j
2
jj xxn 
 
k-1 1k
SS
MSS AA
2
b
−
== 
E
A
2
p
2
b
MS
MS
S
S
F == 
Dentro dos 
grupos SSE = ( )∑∑
= =
−
k
1j
n
1i
2
jij
j
xx 
N-k 
kN
SS
MSS EE
2
p
−
== 
 
Total 
SST = ( )∑∑
= =
−
k
1j
n
1i
2
ij
j
xx 
N-1 
 
 
x ∑∑∑
== =
==
k
1j
jj
k
1j
n
1i
ij xnN
1
x
N
1 j
 
 
Testes de Comparação Múltipla 
Teste HSD de Tuckey 
A hipótese H0: µi =µj é rejeitada se 








+≥− α−
ji
E
)1(Tji
n
1
n
1
2
MS
.Sxx 
onde )1(TS α− é tal que ( ) ~ W com 1SWP )1(T α−=≤ α− k)-N ,(k TS 
 
Teste de Scheffé 
A hipótese nula H0: µi =µj é rejeitada se 








+≥− α
ji
E)-(1ji
n
1
n
1MS . 1)F-(kxx 
onde, )1(F α− é o quantil de probabilidade (1-α) da distribuição 1k kNF −− , isto é, ( ) α−=≤ α−−− 1FFP )1(1k kN 
 
 
3
 
Teste para comparação de k variâncias - Teste de Bartlett: 
( ) ( )








−−−= ∑
=
k
1j
2
jj
2
p Sln)1n(Sln)kN(C
1B 2 1kHSob 0
~
−
χ 
∑
=
−
−
=
jn
1i
2
jij
j
2
j )XX(1n
1S , ∑
=
−
−
=
k
1j
2
jj
2
p S)1n(kN
1S e 








−
−
−−
+= ∑
=
kN
1
1n
1
)1k(3
11C
k
1j j
 
 
 
Estatística de teste de Mann-Whitney 
( )∑
=
=
n
1i
iXRT , onde ( )iXR é o score da observação iX 
 
Estatística de teste de Kruskal-Wallis
 
 
 Caso de não haver empates, ou o número de empates ser pequeno: 
T= )1N(3
n
R
)1N(N
12 k
1i i
2
i +−
+ ∑
=
 
 
Caso de haver muitos empates: 
T= 




 +
−∑
=
4
)1N(N
n
R
S
1 2k
1i i
2
i
2 , onde ( )







 +
−
−
= ∑∑
= =
4
)1N(NXR
1N
1S
2k
1i
n
1j
2
ij
2
i
 e ( )∑
=
=
in
1j
iji XRR 
 
Estatística de teste de ajustamento do Qui-quadrado 
 
( )
∑
=
−
=
m
1i i
2
ii
e
eOQ 
 
Estatística de teste Kolmogorov-Smirnov 
 
)x(F)x(FsupD 0n
x
n −=
+∞<<∞−
 
 
Estatística para os testes de homogeneidade e independência do Qui-quadrado 
 
( )
∑∑
= =
−
=χ
r
1i
s
1j ij
2
ijij2
eˆ
eˆO
 
 
 
4
 
Medidas de Associação 
Coeficiente de Contingência de Pearson: 
n
C 2
2
+χ
χ
= ; 
q
1qC0 −≤≤ onde q = min{r,s} 
Coeficiente de Tshuprow: ( )( )1s1rnT
2
−−
χ
= 
Coeficiente V de Cramer: ( )1qnV
2
−
χ
= onde q = min{r,s} 
 
 
 
ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO 
 
[ ] ( ) yXXXbbbb T1TTk10 −== L 
( )∑
=
−=
n
1i
2
i yySST ( )∑
=
−=
n
1i
2
ii yˆySSE ( )∑
=
−=
n
1i
2
i yyˆSSR SST
SSR
r2 = 
 
Testes sobre os coeficientes de regressão: 
 
1knHSob
ˆ
0
ii t
S
ˆ
0
i
~
−−
β
β−β
 
com iiˆ cSS i =β onde cii é o elemento diagonal da linha i +1 da matriz ( ) 1T XX − e 1kn SSES2 −−= 
 
Teste F: 
 
2S
kSSR
)1kn(SSE
kSSRF =
−−
= 2
2
R1
R
k
1kn
−
×
−−
=
k
1knHSob
F
0
~
−−
 
 
Caso da Regressão Simples: 
∑
∑
=
=
−
−
=
n
1i
22
i
n
1i
ii
1
 x nx
y x nyx
b xbyb 10 −= 
2
n
1i
2
i
2
n
1i
ii1
n
1i
i0
2
yny
ynxybyb
r
−
−+
=
∑
∑∑
=
==
 
22
n
1i
2
i
n
1i
2
i
22
ˆ
xnxn
x
SS
0
−
=
∑
∑
=
=
β 
2
n
1i
2
i
22
ˆ
xnx
1SS
1
−
=
∑
=
β