Aula-2

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Aula - 2 
Movimento em uma dimensão 
Física	
  Geral	
  I	
  -­‐	
  F-­‐128	
  
2o	
  semestre,	
  2012	
  
Ilustração dos 
“Principia” de 
Newton 
mostrando a ideia 
de integral 
Movimento 1-D 
•  Entender	
  o	
  movimento	
  é	
  uma	
  das	
  metas	
  das	
  leis	
  da	
  Física.	
  
•  A	
  Mecânica	
  estuda	
  o	
  movimento	
  e	
  as	
  suas	
  causas.	
  
•  A	
  sua	
  descrição	
  é	
  feita	
  pela	
  CinemáFca.	
  
•  As	
  suas	
  causas	
  são	
  descritas	
  pela	
  Dinâmica.	
  	
  
•  Iniciamos	
  com	
  o	
  movimento	
  em	
  1-­‐D.	
  
Conceitos: posição, movimento, trajetória 
 
Velocidade média 
Velocidade instantânea 
Aceleração média 
Aceleração instantânea 
Exemplos 
F128	
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  Semestre	
  de	
  2012	
   2	
  
Questão 1: 
1.  m/s;	
  	
  	
  m;	
  	
  	
  s;	
  
2.  km;	
  	
  	
  	
  km/h;	
  	
  	
  	
  m/s2	
  
3.  m/s;	
  	
  	
  m/s;	
  	
  	
  	
  	
  	
  m/s2	
  
4.  m;	
  	
  	
  	
  	
  	
  m/s;	
  	
  	
  	
  	
  	
  m/s2	
  
5.  nenhuma	
  das	
  alternaFvas	
  
Quais são, no SI, as unidades referentes a distância, velocidade 
e aceleração? 
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  de	
  2012	
   3	
  
 Em cinemática, os conceitos de tempo e posição são primitivos. 
Um objeto é localizado pela sua posição ao longo de um eixo 
orientado, relativamente a um ponto de referência, geralmente 
tomado como a origem (x = 0). Exemplo: 
 O movimento de um objeto consiste na mudança de sua posição 
com o decorrer do tempo. 
t7 
x 7x≡
 Um conceito importante é o da relatividade do movimento: sua 
descrição depende do observador. Já a escolha da origem é arbitrária. 
 A trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados 
pelo objeto que se movimenta. 
t1 
x4 x5 x3 x6 x2 x1 
t2 t3 t4 t5 t6 
0 
Posição – 1D 
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Deslocamento e Velocidade média 
 O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo 
de tempo (t2-t1) é a diferença entre a posição final (x2 ) no 
instante t2 e a posição inicial (x1) no instante t1. 
t
x
tt
xxvm Δ
Δ=
−
−=
12
12
 Se (movimento para a direita, ou no 
sentido de x crescente); 
 
 Se 
ou no sentido de x decrescente). 
00 >⇒>Δ mvx
00 <⇒<Δ mvx (movimento para a esquerda, ou no 
(unidade: m/s) 
A velocidade média é definida como: 
•
•
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   5	
  
Exemplo: (uma possível representação do movimento) 
)eentre(0
)eentre(0
)eentre(0
64
46
46
71
17
17
32
23
23
ttv
tt
xxv
ttv
tt
xxv
ttv
tt
xxv
mm
mm
mm
<
−
−=
=
−
−=
>
−
−=
de 0 a 5,0 s : vm = 40 m/5,0s = 8,0 m/s 
de 5,0 a 10,5 s: vm = 60 m/5,5s = 10,9 m/s 
Em todo o intervalo (de 0 a 10,5 s) : 
 vm = 100 m/10,5s = 9,5 m/s 
Exemplo numérico: corrida de 100 metros. 
Exemplo: 
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)(tx
t
)(txΔ
tΔ
0t tt Δ+0
θ
Velocidade média entre: ttet Δ+00
θtg
t
txvm =Δ
Δ= )(
1
( )x
t
v
t
=
DD
Velocidade média 
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  A	
  velocidade	
  
média	
  nos	
  dá	
  
informações	
  sobre	
  o	
  
movimento	
  em	
  um	
  
intervalo	
  de	
  tempo.	
  	
  
Mas	
  podemos	
  querer	
  
saber	
  a	
  velocidade	
  
em	
  um	
  dado	
  instante.	
  
)(tx
t
)(txΔ
tΔ
0t tt Δ+0
θ
12v v<
Velocidade média 
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Velocidade média entre: ttet Δ+00
θtg
t
txvm =Δ
Δ= )(
)(tx
t
)(txΔ
tΔ
0t tt Δ+0
θ
Velocidade média 
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Velocidade média entre: ttet Δ+00
θtg
t
txvm =Δ
Δ= )(
)(tx
t0t tt Δ+0
θ
Velocidade média 
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Velocidade média entre: ttet Δ+00
θtg
t
txvm =Δ
Δ= )(
)(tx
t
θtg
dt
tdx
t
txtv
t
=≡
Δ
Δ=
→Δ
)()(lim)(
0
θ
0t
Velocidade instantânea em t0 
reta tangente à curva 
Velocidade instantânea 
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(a velocidade instantânea 
é a derivada da posição 
em relação ao tempo) 
Velocidade instantânea 
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( )
dt
dx
t
xtv
t
=
Δ
Δ=
→Δ 0
lim
sm0,8
s2,11
m90)s2( ≅==tv
Geometricamente: 
Exemplo: 
No gráfico abaixo (corrida de 
100 m), a velocidade em t = 2s é 
tangente Derivada 
Visualização gráfica da derivada 
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http://mathdl.maa.org/images/upload_library/4/vol4/kaskosz/derapp.html 
 0 
)(tf
dttbdgdttadf /)(/)( +)()( tgbtfa +
dttdf /)(
constante=a
nt 1−nnt
tωsin tωω cos
tωcos tωω sin−
teλ teλλ
tλln 1t -­‐
Algumas derivadas importantes 
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 Em muitas situações, . Entretanto, essas duas velocidades 
podem ser bastante diferentes. Exemplo: partícula parte de O, descreve uma 
circunferência de raio r e retorna a O, depois de decorrido um tempo T. 
Neste caso: 
 A velocidade escalar média é uma forma de descrever a “rapidez” com que 
um objeto se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente 
da direção e do sentido: 
t
vem Δ
= percorrida totaldistância
 A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída 
de qualquer indicação de direção e sentido. (O velocímetro de um 
carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já 
que ele não pode determinar a direção e o sentido do movimento). 
mem vv =
0=mv T
rvem
π2= e 
Velocidade escalar média e velocidade média 
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r 
o 
Questão 2 
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1.  60 e 0 km/h 
2.  0 e 60 km/h 
3.  100 e 60 km/h 
4.  60 e 100 km/h 
5.  Nenhuma das acima 
Uma viagem de Campinas a São Paulo é feita, em média em 1,5 
horas. A distância entre estas duas cidades é de 150 km. Quais são a 
velocidade média e escalar média numa viagem de ida e volta à São 
Paulo, com uma parada total de 2 horas durante o percurso? 
 
Um caso particular: velocidade constante 
0
0)(
tt
xxv
dt
dxtv m −
−===
Graficamente: 
)( 00 ttvxx −=−ou: 
Velocidade instantânea 
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t0 t 
x0 
x 
t0 t 
)(tv)(tx
 Note que v(t-t0) é a área sob a curva 
da velocidade v = constante em função do 
tempo. 
 
O cálculo de x(t) a partir de v(t) 
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,)( ttvx Δ=Δ
)( 00 ttvxx −=−
 Este é o problema inverso. Considere inicialmente o caso de 
velocidade constante, isto é: 
onde v(t) é a velocidade instantânea em t. 
t 
v 
t0 
v 
 Este é um resultado geral. Para demonstrá-lo, 
usaremos que para intervalos de tempo muito 
curtos podemos escrever: 
)(tv
O cálculo de x(t) a partir de v(t) 
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No limite N e t0: 
0
( )
( ) ( )
( )
i i
i
i
i
i
x v t t
x t x t x
v t t
Δ ≈ Δ
⇓
− = Δ =
Δ
∑
∑
 Dividimos o intervalo (t-t0) em 
um número grande N de pequenos 
intervalos tΔ
∫ ′′=−
t
t
tdtvxtx
0
)()( 0
)(tv
t0t it
)( itv
tΔ
)(tv
t0t
área=Δx
∫ ′′=−=
t
t
tdtvxtx
dt
tdxtv
0
)()(e)()( 0
 A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao 
tempo; geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta 
tangente à curva da posição em função do tempo no instante 
considerado. 
 
 O deslocamento é obtido pela anti-derivação (ou integração) da 
velocidade; geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva 
da velocidade em função do tempo. 
O cálculo de x(t) a partir de v(t) 
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  Semestre	
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  2012	
   20	
  
 
)(tf
)()( tGbtFa +)()( tgbtfa +
)(tF
1, −≠ntn 1/1 ++ nt n
tωsin ωω /cos t−
tωcos ωω /sin t
teλ λλ /te
||ln t1−t
atconstante=a
Algumas integrais importantes 
F128	
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  Semestre	
  de	
  2012	
   21	
  
Questão 3: 
F128	
  –	
  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   22	
  
•  I	
  
•  II	
  
•  III	
  
•  IV	
  
•  V	
  
Qual desses cinco gráficos de coordenada versus tempo representa o 
movimento de uma partícula cujo módulo da velocidade está 
aumentando? 
Aceleração média 
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  Semestre	
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  2012	
   23	
  
t
v
tt
vvam Δ
Δ=
−
−=
12
12Aceleração média: 
de 0s até 4s: am = 10 m/s / 4s = 2,5 m/s2 
 Exemplo: Um corredor acelera 
uniformemente até atingir 10 m/s em 
t = 4,0 s. Mantém a velocidade nos 
próximos 4,0s e reduz a velocidade 
para 8,0 m/s nos 5,0s seguintes. 
Acelerações médias: 
de 4s até 8s: am = 0 m/s / 4s = 0 m/s2 
de 8s até 13s: am = -2 m/s / 5s = -0,4 m/s2 
(unidade: m/s2) 
Note que am também pode ser >0, <0 ou =0. 
v(m/s) 
t(s) 
10 
2 4 6 8 10 12 14 
2 
4 
6 
8 
0 
)(tv
t
)(tvΔ
tΔ
0t tt Δ+0
θtg
t
tvam =Δ
Δ= )(
θ
Aceleração média entre: ttet Δ+00
Aceleração média 
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  2012	
   24	
  
)(tv
t
θ
0t
Aceleração instantânea em t0: 
reta tangente à curva da velocidade 
(a aceleração instantânea é a 
derivada da velocidade em 
relação ao tempo) 
Aceleração instantânea 
F128	
  –	
  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   25	
  
θtg
dt
tdv
t
tvta
t
=≡
Δ
Δ=
→Δ
)()(lim)(
0
Aceleração instantânea 
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   26	
  
dt
dv
t
va
t
=
Δ
Δ=
→Δ 0
lim
2sm2,2
s7,2
sm9,5)s2( ===ta
2
2
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dva =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡==
Gráficos 
 Exemplo: 
 Na corrida de 100 m, a aceleração em 
t = 2s é: 
Note que 
v(t) 
v(t) 
a(t) 
Segunda 
derivada 
Primeira 
Derivada 
( ) ( )
0
0
tt
tvtvaa m −
−==
atvv += 0
2
)(00 tvv
t
xxvm
+=−=
 Se a aceleração a é constante: 
 Se t0 = 0 e v(t0) = v0, a velocidade fica: 
 Note que neste movimento a 
velocidade média é dada por 
2
2
00
attvxx ++=
 temos: Como tvxx m+= 0 , 
Aceleração constante 
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  de	
  2012	
   27	
  
t/2 t 
v 
v0 
v(t) 
vm 
Resumo: aceleração constante 
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  Semestre	
  de	
  2012	
   28	
  
( )
( )tvvxx
xxavv
attvxx
atvv
++=
−+=
++=
+=
00
0
2
0
2
2
00
0
2
1
2
2
1
 As equações de movimento para o caso de aceleração 
constante são: 
O movimento de uma partícula é descrito pela equação: 
Exemplo 1: 
F128	
  –	
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  Semestre	
  de	
  2012	
   29	
  
)sememem(342 txttx +−=
 a) fazer o gráfico de x(t); 
 b) calcular v(t) e a(t) e fazer os 
gráficos correspondentes. 
( )m/s42)( −== t
dt
dxtv
( )2m/s2)( ==
dt
dvta
O GP de Mônaco 
F128	
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  Semestre	
  de	
  2012	
   30	
  
1 volta = 3,340 km 
Vettel no GP de Mônaco 
F128	
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  de	
  2012	
   31	
  
Tempo Velocidade Tempo Velocidade Tempo Velocidade 
0 218 25 90 50 104 
1 242 26 143 51 158 
2 260 27 101 52 200 
3 272 28 62 53 227 
4 273 29 49 54 183 
5 157 30 55 55 181 
6 114 31 95 56 210 
7 136 32 89 57 104 
8 179 33 89 58 223 
9 213 34 133 59 168 
10 238 35 93 60 117 
11 256 36 88 61 99 
12 266 37 110 62 114 
13 272 38 176 63 162 
14 209 39 212 64 197 
15 174 40 237 65 123 
16 155 41 253 66 68 
17 161 42 263 67 61 
18 137 43 272 68 82 
19 138 44 281 69 112 
20 175 45 279 70 84 
21 207 46 166 71 110 
22 175 47 91 72 161 
23 100 48 74 73 207 
24 75 49 69 74 233 
0 10 20 30 40 50 60 700
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Ve
loc
ida
de
 (k
m
/h
)
Link: http://www.youtube.com/watch?v=boQqf49sd8g&feature=related 
Distância Percorrida e Velocidade Escalar Média 
F128	
  –	
  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   32	
  
0 10 20 30 40 50 60 700
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Ve
loc
ida
de
 (k
m
/h
)
Área sob a curva 
= deslocamento 
1 volta = 3.35km!!!!! 
∫ ′′=−=
t
t
tdtvxtx
dt
tdxtv
0
)()(e)()( 0
0 10 20 30 40 50 60 700
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Ve
loc
ida
de
 (k
m
/h
)
hkm163
h1
s3600
s74
km35.3totaldistância =×=
Δ
=
t
vem
dt
dv
t
va
t
=
Δ
Δ=
→Δ 0
lim
Aceleração 
F128	
  –	
  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   33	
  
42 44 46 48 50 52 54 56
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
X: 49
Y: 0.7324
Tempo (s)
Ac
ele
ra
çã
o 
(m
/s2
)
X: 52.9
Y: 2.439X: 44.1
Y: -0.1142
0 10 20 30 40 50 60 700
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Ve
loc
ida
de
 (k
m
/h
)
Deriva 
Aceleração da gravidade 
F128	
  –	
  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   34	
  
 Galileu, o primeiro físico moderno, 
estudou a queda dos corpos. Refutou as 
hipóteses de Aristóteles. 
 Através de experimentos, mostrou 
que os corpos caem com a mesma 
velocidade (aceleração), independente-
mente de sua massa. 
 
x ~ t2 , v ~ t : consequências de uma 
aceleração constante! 
Aceleração da gravidade 
F128	
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  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   35	
  
 Mas... devemos notar que há, em 
geral, outras forças atuando no corpo 
em queda considerado, o que pode 
frustrar uma experiência se não formos 
suficientemente cuidadosos. 
a resistência do 
ar!! 
Resumo: aceleração constante (-g) 
F128	
  –	
  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   36	
  
( )
( ) tvvyy
yygvv
gttvyy
gtvv
++=
−−=
−+=
−=
00
0
2
0
2
2
00
0
2
1
2
2
1
 As equações de movimento para o caso da aceleração da 
gravidade -g são (ao longo do eixo y): 
g y 
 Todo objeto em queda livre fica sujeito a uma aceleração dirigida 
para baixo, qualquer que seja seu movimento inicial (objetos atirados 
para cima ou para baixo ou aqueles soltosa partir do repouso). 
Exemplo 2 
F128	
  –	
  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   37	
  
gtvgty −=−= e
2
1 2
 Um corpo cai livremente a partir do 
repouso; calcule a sua posição e sua 
velocidade em t = 1,0, 2,0 e 3,0 s. 
 Em t = 1,0 s: 
 y = - 4,9 m e v = -9,8m/s 
 
 Continuando, obtenha os resultados 
da tabela ao lado. 
y 
g 
 Note que a(t-t0) é a área sob a curva da 
aceleração a(t) = constante em função do 
tempo. 
 Este também é um resultado geral. Para 
demonstrá-lo, usaremos que para intervalos 
de tempo muito curtos podemos escrever 
O cálculo de v(t) a partir de a(t) 
F128	
  –	
  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   38	
  
ttav Δ=Δ )(
)( 00 ttavv −=−
 Este é novamente o problema inverso. Considere inicialmente 
o caso de aceleração constante. Então: 
onde a(t) é a aceleração instantânea no instante t. 
t 
a 
0t
a(t) 
O cálculo de v(t) a partir de a(t) 
F128	
  –	
  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   39	
  
( ) tdtavv
t
t
′′=− ∫
0
0
 Dividimos o intervalo (t-t0 ) em 
um número grande N de pequenos 
intervalos . 
0
( )
( ) ( )
( )
i i
i
i
i
i
v a t t
v t v t v
a t t
Δ ≈ Δ
⇓
− = Δ =
Δ
∑
∑
tΔ
No limite N à ∞ e Δtà0: 
t0t
)(ta
área=Δv
t0t it
)(ta
)( ita
tΔ
∫ ′′=−=
t
t
tdtavtv
dt
tdvta
0
)()(e)()( 0
 A aceleração é obtida derivando-se a velocidade; 
geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente à 
curva da velocidade em função do tempo no instante 
considerado. 
 
 A velocidade é obtida pela anti-derivação (ou 
integração) da aceleração; geometricamente, a variação de 
velocidade é igual à área sob a curva da aceleração em 
função do tempo. 
O cálculo de v(t) a partir de a(t) 
F128	
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  Semestre	
  de	
  2012	
   40	
  
Questão 4 
F128	
  –	
  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   41	
  
1.  I	
  
2.  II	
  
3.  III	
  
4.  NDA	
  
Baseado na curva da velocidade em função do tempor e sabendo que em x=0 para 
t=0, escolha os gráficos de posição e aceleração que melhor representam o 
movimento desta partícula. 
2 4 6 8 
- 10 
10 
20 
30 v(t) 
t 2 4 6 8 
- 10 
10 
20 
30 v(t) 
t 
x(t) 
t 
0 
2 4 6 8 
- 10 
10 
20 
30 v(t) 
t 
a(t) 
t 0 
x(t) 
t 0 
a(t) 
t 
0 
x(t) 
t 
0 
0 
a(t) 
t 
 Dadas as posições xA e xB de dois corpos A e B em relação a uma 
origem 0 (referencial), a posição relativa de A em relação a B é dada 
por: 
 xAB = xA – xB 
 
 Então, a velocidade relativa vAB de A em relação a B é: 
Movimento relativo 1D 
F128	
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  Semestre	
  de	
  2012	
   42	
  
BA
BAAB
AB vvdt
dx
dt
dx
dt
dxv −=−==
BA
AB
AB aadt
dva −==
E a aceleração relativa aAB de A em relação a B é: 
Alternativamente, podemos escrever: BABA
vvv +=
BABA aaa +=
Regra mnemônica: BTABAT vvv +=
Referencial Relativo: Exemplo 
F128	
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  2o	
  	
  Semestre	
  de	
  2012	
   43	
  
Ao fazer o reabastecimento aéreo, os dois aviões têm 
velocidade relativa próxima de zero. 
Link: http://www.youtube.com/watch?v=ullR3nN8x8w&hd=1 
http://www.youtube.com/watch?v=AJMVTqRWHC4