AulaExp_cap10a

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Aula exploratória-10A 
UNICAMP – IFGW 
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F-128 – Física Geral I 
•  Cada ponto do corpo rígido executa um 
movimento circular de raio r em torno do eixo. 
y 
x 
z
θ
s
s r 
( )radianosemθθrs=
 Deslocamento angular: 
12 θθθ −=Δ
Figura: 
 Velocidade angular (escalar) média: 
 Velocidade angular instantânea (vetor): 
Deslocamento angular em torno de : 
n
dt
dn
tt
ˆˆlim
0
θθω =
Δ
Δ=
→Δ

tΔ
Δ= θω
∫=−
2
1
)()()( 12
t
t
dtttt ωθθ
nˆ )(tθ
)( tt Δ+θ )(tθΔ
ω
nz ˆˆ≡
x 
y 
r 
Variáveis rotacionais 
na direção fixa ( ): 
 
 A aceleração angular instantânea é um vetor paralelo a quando o 
eixo de rotação é fixo! 
Variação da velocidade angular 
Aceleração angular média 
Aceleração angular instantânea 
 Velocidade angular em função de 
 Aceleração angular 
ω
∫=−
2
1
)()()( 12
t
t
dtttt αωω 
)()( ttt ωωω  −Δ+=Δ
tΔ
Δ= ωα


dt
d
tt
ωωα

 =
Δ
Δ=
→Δ
lim
0
α
nˆ ∫=−
2
1
)()()( 12
t
t
dtttt αωω
Variáveis rotacionais 
Movimento circular uniformemente acelerado 
 Dadas as condições iniciais: 
Temos, para a constante: 
 Comparando com as variáveis do movimento linear: 
 Em capítulo anterior já estudamos o movimento circular uniforme. 
Vamos estudar agora o 
0021 )0(e)0(e0 ωωθθ ==→== ttt
)(2
2
1)(;)(
0
2
0
2
2
000
θθαωω
αωθθαωω
−+=
++=+= ttttt
)()();()();()( tattvttxt ↔↔↔ αωθ
Cinemática angular 
•  Aceleração: 
=×== )( r
dt
d
dt
vda 

 ω





dt
rdr
dt
d ×+×= ωω
vrrat ˆαα =×=

rrrvaN ˆ)(
2ωωωω −=××=×= 
ta

Na

(em módulo: ) rat α=
(em módulo: ) raN
2ω=
xˆ
yˆ
zˆ
θ
r
s
ω
v
ta

Na

α•  Posição: θrs=
•  Velocidade: ωθ r
dt
dr
dt
dsv === rv  ×=ω( ) 
Relação com as variáveis lineares 
=++= 2222
2
11 2
1....
2
1
2
1
nnvmvmvmK
222 )(
2
1)(
2
1 ωω iiii rmrmK ∑∑ ==
Momento de inércia I: 2ii rmI ∑=
ou: 2
2
1 ωIK =
iv

(energia cinética de rotação) 
2
2
1
iivm∑
 Distribuição contínua de massa: ,2∫= dmrI
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
volumeumem:
superfícieumaem:
fioumem:
dV
ds
dl
dm
ρ
σ
λ
Energia Cinética de Rotação 
∑∑∑∑ ′⋅++′=⇒
+′⋅+′=⇒+′=
i
ii
i
ii
i
ii
i
i
iiiii
rmhhmrmrm
hrhrrhrr


2
)()(
222
2
 Mas: 
00)( =′⇒=−⇒= ∑∑∑
∑
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
rmhrm
m
rm
h 



22 MhIrmI CMi
i
iO +==∑
Então: 
 Se conhecermos o momento de inércia ICM de um corpo em relação 
a um eixo que passa pelo seu centro de massa, podemos facilmente 
determinar IO do corpo em relação a um eixo paralelo que passa por O. 
De fato: 
ir
 dm
h

CM
•
•
o
ir
′
(teorema dos eixos paralelos) 
Teorema dos eixos paralelos 
 Uma roda, partindo do repouso, é acelerada de tal forma que sua 
velocidade angular aumenta uniformemente para 180 rpm em 3 min. 
Depois de girar com esta velocidade por algum tempo, a roda é freada 
com desaceleração uniforme, levando 4 min para parar. O número total 
de rotações é 1080. Quanto tempo, ao todo, a roda ficou girando? 
Resp: 9,5 min 
180 
ω/2π (RPM) 
Area = 1080 rotações 
3 3+Δt 7+Δt 
t (min) 
0 
Δt = 2,5min 
Exercício 01 
 Um astronauta está sendo testado em uma centrífuga. A centrífuga 
tem um raio de 10 m e, a partir do repouso, gira de acordo com a 
equação θ(t) = 0,3t2, onde t está em segundos e θ em radianos. 
Quando t = 5,0 s, quais são os módulos: 
 a) da velocidade angular; 
 b) da velocidade linear; 
 c) da aceleração tangencial; 
 d) da aceleração radial do astronauta? 
Resp: 
2
2
m/s90)d
m/s6,0 c)
m/s30 b)
rad/s0,3)a
Exercício 02 
Uma barra uniforme de comprimento L e massa M pode girar 
livremente através de um pino que está localizado em uma de suas 
extremidades, como mostrado na figura abaixo. A barra está 
inicialmente na posição horizontal quando é solta. 
 a) qual é a sua velocidade angular quando ela atingir a sua posição 
mais baixa? 
 b) determine a velocidade linear no centro de massa e a velocidade 
linear do ponto mais baixo da barra quando ela se encontra na 
posição vertical. Despreze todos os atritos. 
Resp: 
Exercício 03 
gLv
vb
3
4
3gL
)
L
3ga)
=
=
=ω
 Duas partículas, cada uma com massa m, são ligadas uma à outra 
e ao eixo de rotação por duas barras leves, cada uma de comprimento 
L e massa M, como mostrado na figura. O sistema gira em torno do 
eixo de rotação com velocidade angular ω. Obtenha as expressões 
algébricas para: 
 a) o momento de inércia do sistema em relação a O e 
 b) a energia cinética de rotação em torno de O. 
 (Observação: Use para a barra ) 12/2MLICM =
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +=++=
3
85
12
28
3
5 2
22
2 MmLMLMLmLIT
222
3
85
2
1
2
1 ωω LMmIK ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +==
Exercício 04 
Calcule o momento de inércia de uma placa fina homogênea 
retangular de lados a e b em torno de: 
a) um eixo perpendicular passando pelo centro da placa. 
b) um eixo paralelo ao lado de tamanho b da placa 
Resp: a) 
 
 
 
 b) 
Exercício 05 (Extra) 
)(
12
1 22 baMI +=
2
3
1 aMI =