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ESCOLA DE ENGENHARIA E TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO APS – TEORIA DAS FILAS São Paulo, 23 de maio de 2018. ESCOLA DE ENGENHARIA E TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO APS – TEORIA DAS FILAS Trabalho referente à disciplina de Pesquisa Operacional Aplicada, da Universidade Anhembi Morumbi, sendo orientado pelo Prof. Hélio Pekelman. São Paulo, 23 de maio de 2018. Sumário Introdução .......................................................................................................... 4 Referencial Teórico ............................................................................................ 5 Teoria das Filas .................................................................................................. 5 Elementos de um sistema de filas ...................................................................... 6 Notação de Kendall ............................................................................................ 8 Variáveis aleatória fundamentais em um Sistema de Filas ................................ 9 Modelo M / M / S .............................................................................................. 10 Modelo M / M / 1 ............................................................................................... 11 Análises ............................................................... Error! Bookmark not defined. Proposta de Melhorias ........................................ Error! Bookmark not defined. Conclusão ........................................................... Error! Bookmark not defined. Referências Bibliográficas ................................................................................ 20 Introdução As filas estão em todos os lugares, seja no check-in de um aeroporto, pronto-socorro ou mesmo para simplesmente comprar um sorvete no shopping. A fila é relacionada com qualquer tipo de espera e seu estudo já veio desde os anos 1900 com o engenheiro dinamarquês A. K. Erlang. O trabalho desenvolvido por Erlang foi voltado a demanda flutuante na Companhia Telefônica de Compenhage e com base nesse estudo que foi criado a Teoria das Filas. A Teoria das Filas permite realizar uma análise quantitativa sobre indicadores como tempo de espera, número de clientes na fila, tempo de atendimento, por exemplo. Com base nesses cálculos é possível implementar melhorias nos serviços prestados nas mais diversas áreas, inclusive relacionando com custos de operação. O trabalho foi direcionado para um local onde as filas costumam ser razoavelmente grandes em determinados dias e horários, que no caso foi o McDonald’s localizado no Shopping Eldorado em São Paulo-SP, e além isso é de uso comum para a maioria das pessoas. O objetivo desse estudo é analisar e sugerir melhorias, com base nos cálculos feitos com dados coletados no local, e assim usar a Teoria das Filas para melhorar o atendimento do estabelecimento em questão. Referencial Teórico Teoria das Filas A teoria das filas surgiu no início do século XX em Copenhage Dinamarca, pelo matemático Agner Krarup Erlang, quando desenvolveu fórmulas de matemática para estudar o problema de redimensionamento de uma companhia telefônica de Copenhage devido ao congestionamento nas centrais telefónicas. Ele precisava resolver um clássico problema de determinar quantos circuitos são necessários para providenciar um atendimento aceitável nas chamadas telefônicas (FOGLIATTI, 2007). Para (GROSS et al., 2008; CARDOSO et al., 2010; ROMERO et al., 2010) filas são experiências indesejáveis. Seja no trânsito de veículos, no supermercado, em ligações telefônicas ou, como no caso em questão, em agências bancárias. E isto se deve ao fato da demanda por serviço ser maior que a capacidade de prestação do mesmo (GROSS et al., 2008). A Teoria das Filas é uma modelagem analítica que aborda as filas por meio de fórmulas matemáticas (SHEIKH et al., 2013; PRADO, 2014), caracterizando as filas pelo tempo de espera e tempo de atendimento, aliado a características peculiares como capacidade de atendimento, capacidade máxima do sistema, tamanho da população e disciplina da fila (PRADO, 2014). Para Prado (2009), a Teoria das Filas tenta através de analises matemáticas detalhadas encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável economicamente para o provedor do serviço. Um sistema de filas pode ser descrito como clientes chegando, esperando pelo serviço, e saindo do sistema após serem atendidos. O termo cliente é usado de maneira geral e não implica necessariamente num cliente humano. Elementos de um sistema de filas Para FOGLIATTI (2007) os elementos-chave de um sistema de filas são os clientes e os servidores. O termo clientes pode se referir a pessoas, partes, máquinas, aviões, processos de computador, entre outros. Servidores são caixas de banco, operadores de máquinas, atendentes, controladores de tráfego, operadores de computador, etc. Outros termos importantes são: População: conjunto potencial de clientes pode ser finito ou infinito. Capacidade do Sistema: o limite do número de clientes que o sistema pode acomodar em um dado instante de tempo. Processo de Chegada: as chegadas podem ocorrer em tempos programados ou em tempos aleatórios, sendo que no segundo caso normalmente assume-se alguma distribuição de probabilidade. A distribuição Poisson é a mais comum. Disciplina de Fila: o comportamento da fila em reação ao seu estado atual ou a maneira como a fila é organizada pelo servidor. Mecanismo de serviço (atendimento): o tempo de atendimento pode ser constante ou ter uma duração randômica. O atendimento pode se dar através de um só canal ou através de múltiplos canais. Chegada de clientes Esta característica está relacionada com a distribuição probabilística do tempo entre sucessivas chegadas de clientes. A medição pode ser feita pelo número médio de chegadas por dada unidade de tempo (λ – taxa média de chegada) ou pelo tempo médio entre chegadas sucessivas (IC – intervalo médio de tempo entre chegadas) (GROSS et al., 2008; CAMELO et al., 2010). Padrões de serviço prestados O padrão de serviço depende de como o atendimento é realizado, por exemplo, se é feito individualmente ou em grupo. Um mesmo servidor pode atender mais de um cliente ao mesmo tempo (processamento em computadores) ou apenas um (caixa de supermercado). Devido às peculiaridades, o padrão pode ser descrito por duas formas: pela taxa de serviço (μ – número de clientes atendidos em um dado intervalo de tempo) ou pelo tempo de serviço (TA – tempo necessário para atender o cliente) (ibid). Disciplina da Fila A disciplina refere-se à forma como os clientes são selecionados para o atendimento quando há existência de fila, ou seja, é o critério estabelecido. Os critérios mais comuns, segundo Gross et al. (2008) e Camelo, et al. (2010) são os seguintes: FIFO (First In, First Out, o primeiro que chega é o primeiro a ser atendido), LIFO (Last In, First Out, o último que chega é o primeiro a ser atendido) PRI (Priority service, atendimento prioritário) e SIRO (Service In Random Order, seleção aleatória de atendimento) (ibid). Capacidade do Sistema Trata-se da limitação física do local onde há a prestação de serviço. É o número máximo de usuários dentrodo estabelecimento. A capacidade do sistema pode ser considerada finita ou infinita. No primeiro caso, não há limite de entrada para os usuários no sistema. No sistema com capacidade finita, há limitação, seja ela física ou definida por fatores considerados pertinentes pela administração do estabelecimento (ibid). Número de canais de atendimento Esta característica se refere ao número de estações de serviço em paralelo, que podem atender clientes simultaneamente. O sistema de filas pode dispor de uma ou de múltiplas estações de atendimento, que servem uma ou mais filas (ibid). Notação de Kendall A Notação de Kendall para a visualização de cada componente do sistema é a mais utilizada por ser mais fácil de ser trabalhada. A disposição de Notação de Kendall é A/B/C/K/M/Z, onde A descreve o processo de chegada; B descreve o processo de atendimento; C representa o número de servidores; K representa a capacidade do sistema; M define o tamanho da população de usuários do sistema; e Z define a disciplina da fila. Caso M e Z não estejam especificados na notação, eles serão considerados como ∞ e FIFO, respectivamente. Abaixo, um esquema representando a notação de Kendall para o modelo M/M/1. M / M / 1 / ∞ / ∞ / FIFO indica um sistema com: Tempo entre chegadas distribuído exponencialmente Tempo de atendimento também distribuído exponencialmente 1 servidor Fila de capacidade ilimitada População de tamanho infinito Disciplina da fila – primeiro que chega, primeiro que sai Variáveis aleatória fundamentais em um Sistema de Filas Um sistema estável de filas, no qual os clientes chegam e aguardam o atendimento dos servidores, apresenta as seguintes variáveis aleatórias fundamentais empregadas na definição e cálculo de desempenho: s: número de servidores do sistema; λ: taxa média de chegada de clientes ou ritmo médio de chagada; μ: taxa média de atendimento por servidor; ρ: taxa de utilização do servidor; Wq: descreve o tempo gasto por um cliente na fila; Ws: descreve o tempo total de um cliente no sistema (fila + atendimento); Lq: descreve o número de clientes na fila; Ls: descreve o número total de clientes no sistema. Fórmulas especificas para o caso M / M / 1: Modelo M / M / S Este modelo é caracterizado por ter mais de um servidor e, conforme Prado (2009), sistemas de filas com mais de um servidor, as chegadas e os tempos de atendimentos se processam assim como no sistema M/M/1, segundo a distribuição de Poisson e Exponencial Negativa, respectivamente e o atendimento é feito por ordem de chegada. A taxa de utilização do sistema é calculada da seguinte forma, onde s é o número de servidores: ρ = λ / s*µ Neste modelo, supõe-se que a capacidade de atendimento de cada um dos atendentes seja a mesma, ou seja, não existe uma variação significativa entre os atendimentos realizados. A figura abaixo apresenta uma visão deste modelo: Este modelo é empregado em estabelecimentos bancários por permitir uma maior sensação de justiça aos clientes atendidos, pois não causa a sensação de que a fila do lado é que anda. Sistema de Fila Única Fonte: Prado (2009) Modelo M / M / 1 De acordo com Hilier e Lieberman (2006), o modelo M/M/1 caracteriza- se como um sistema constituído por uma única fila sendo atendida por um servidor, sem limites na capacidade do sistema e uma disciplina FIFO, onde o número de usuários que chegam na fila por minuto é descrito por uma distribuição de Poisson de parâmetro λ e o tempo de atendimento distribuído com parâmetro µ. A taxa de utilização do sistema é calculada da seguinte forma: ρ = λ / µ Uma taxa de utilização menor que um, indica que o sistema opera com estabilidade, o que permite o estudo analítico do sistema de filas (ANDRADE, 2002). A figura abaixo apresenta uma visão do funcionamento do sistema: Este modelo é empregado na grande maioria dos supermercados onde os clientes chegam aos pontos de atendimento com carrinhos de compras; isso ocorre em virtude da falta de espaço para que sejam formados outros tipos de fila de clientes, que no caso, chegarão com seus carrinhos de compras. Sistema de Fila em Paralelo Fonte: Prado (2009) 2. Dados coletados Seguem abaixo todas as medições executadas em campo, no dia 17/05/2018. O local escolhido para ser analisado foi um fast-food localizado no Shopping Eldorado, como já mencionado anteriormente. Tempo entre chegadas Amostra (Chegadas) Medição (HH:MM:SS) 1 00:00:46 2 00:00:39 3 00:00:41 4 00:00:53 5 00:02:01 6 00:00:36 7 00:00:25 8 00:00:09 9 00:00:08 10 00:00:56 11 00:01:07 12 00:00:09 13 00:00:25 14 00:00:03 15 00:00:22 16 00:00:15 17 00:01:27 18 00:00:21 19 00:00:39 20 00:00:21 21 00:00:36 22 00:00:55 23 00:00:18 24 00:00:08 25 00:01:58 26 00:00:25 27 00:00:53 28 00:00:04 29 00:00:17 30 00:01:50 31 00:00:39 32 00:00:21 33 00:01:42 34 00:00:06 35 00:01:49 36 00:01:58 37 00:00:45 38 00:00:22 39 00:00:37 40 00:00:07 41 00:00:45 42 00:00:15 43 00:00:25 44 00:01:03 45 00:00:06 46 00:00:41 47 00:00:04 48 00:00:44 49 00:00:11 50 00:01:49 51 00:00:18 52 00:01:04 53 00:02:35 54 00:01:57 55 00:01:00 56 00:01:20 57 00:01:11 58 00:00:14 59 00:00:10 60 00:00:16 61 00:01:13 62 00:00:04 63 00:01:26 64 00:01:16 65 00:01:13 66 00:00:25 67 00:01:19 68 00:00:30 69 00:01:26 70 00:00:25 71 00:00:45 72 00:00:17 73 00:00:46 74 00:01:04 75 00:00:33 76 00:00:14 77 00:00:05 78 00:02:35 79 00:00:46 80 00:01:25 81 00:01:29 82 00:00:23 83 00:01:05 84 00:00:42 85 00:00:53 86 00:00:56 87 00:01:26 88 00:01:04 89 00:02:35 90 00:01:11 91 00:00:04 92 00:01:19 93 00:00:45 94 00:01:58 95 00:00:07 96 00:00:25 97 00:00:04 98 00:01:29 99 00:00:59 100 00:01:03 Tempo na fila Amostra (Tempo na Fila) Medição (MM:SS:MilMil) 1 01:45:16 2 03:10:17 3 02:45:07 4 00:03:00 5 00:16:57 6 01:08:00 7 01:24:25 8 00:02:00 9 00:16:00 10 01:11:25 11 00:31:09 12 00:29:39 13 00:10:59 14 00:13:44 15 01:04:54 16 02:54:00 17 01:11:56 18 02:17:00 19 01:14:42 20 00:16:38 21 01:03:00 22 00:42:27 23 00:01:00 24 00:01:00 25 00:29:08 26 00:23:41 27 00:40:25 28 01:56:34 29 01:50:14 30 01:01:23 31 01:56:00 32 00:01:32 33 01:03:38 34 00:22:58 35 00:25:08 36 00:22:00 37 00:31:26 38 00:01:00 39 00:01:00 40 01:16:38 41 00:01:00 42 00:29:14 43 00:10:37 44 01:29:14 45 01:01:00 46 00:22:53 47 00:22:53 48 00:24:38 49 00:03:00 50 01:03:38 51 00:22:58 52 00:25:08 53 00:22:00 54 00:31:26 55 01:45:16 56 00:03:00 57 00:02:00 58 00:13:44 59 01:11:56 60 02:17:00 61 00:23:41 62 00:40:25 63 01:01:23 64 01:56:00 65 02:45:07 66 00:03:00 67 00:16:57 68 00:31:09 69 00:29:39 70 00:10:59 71 00:13:44 72 02:17:00 73 01:14:42 74 00:16:38 75 01:03:00 76 01:56:00 7700:01:32 78 01:03:38 79 01:16:38 80 00:01:00 81 01:03:38 82 00:22:58 83 01:11:56 84 02:17:00 85 00:40:25 86 01:01:23 87 01:56:00 88 02:45:07 89 00:03:00 90 03:10:17 91 02:45:07 92 00:03:00 93 00:16:57 94 01:11:25 95 00:31:09 96 00:29:39 97 00:10:59 98 00:13:44 99 01:11:56 100 02:17:00 Tempo de atendimento Amostra (Atendimento) Medição (MM:SS:MilMil) 1 01:17:16 2 04:13:27 3 05:14:31 4 04:00:00 5 03:35:11 6 09:12:23 7 02:21:55 8 11:28:03 9 07:00:00 10 08:47:23 11 07:24:03 12 02:37:36 13 06:21:55 14 05:13:54 15 05:17:24 16 03:16:11 17 02:14:16 18 02:27:31 19 05:50:17 20 05:56:12 21 02:25:56 22 05:24:21 23 03:52:42 24 04:25:43 25 09:23:24 26 04:25:43 27 09:23:21 28 04:19:00 29 03:42:01 30 02:06:00 31 04:11:00 32 03:57:00 33 03:00:33 34 02:31:37 35 02:43:12 36 07:25:30 37 02:30:09 38 02:12:09 39 04:59:50 40 08:01:00 41 01:08:00 42 02:53:00 43 03:49:00 44 01:28:00 45 01:46:00 46 02:23:00 47 02:59:00 48 01:12:00 49 04:18:00 50 02:27:00 51 03:26:00 52 02:40:00 53 03:04:00 54 03:26:00 55 03:48:00 56 01:38:00 57 02:30:00 58 02:53:00 59 01:37:00 60 03:40:00 61 04:16:00 62 02:52:00 63 03:47:00 64 01:26:00 65 02:26:00 66 04:03:29 67 08:33:38 68 01:00:00 69 02:53:46 70 03:03:52 71 03:27:32 72 01:20:35 73 02:42:35 74 03:11:35 75 02:19:28 76 07:15:10 77 04:13:27 78 02:46:00 79 02:56:03 80 03:11:17 81 04:04:52 82 03:27:01 83 06:08:01 84 02:06:00 85 04:11:00 86 03:57:00 87 03:00:33 88 02:31:37 89 02:43:12 90 07:25:30 91 05:56:12 92 02:25:56 93 05:24:21 94 03:52:42 95 04:25:43 96 09:23:24 97 04:25:43 98 03:43:21 99 04:19:00 100 03:57:00 16 É válido ressaltar que o tempo de atendimento se inicia exatamente quando o cliente chega ao guichê, e finaliza quando o mesmo recebe o produto final, nesse caso, a comida. A partir das medições acima, foi possível realizar análises estatísticas, e também a construção do histograma, para uma melhor visualização da situação atual da loja. Desta forma, abaixo encontram-se os dados estatísticos calculados, como o tempo médio entre chegadas, ou seja, a taxa de chegada, o menor intervalo de tempo, o maior intervalo de tempo, o desvio padrão da amostra e por fim, o ritmo de chegada. Tempo de Chegada na Fila (HH:MM:SS) Mínimo 00:00:04 Máximo 00:02:35 Média 0:00:49 Tamanho (n) 100 Est. Classes 10 Classes 10 Incremento 0:00:15 Desv. Pad 0:00:38 Incremento (2) 0:00:02 Tempo Total 1:22:05 Taxa de chegada 0,82083 minuto/pessoa Ritmo de chegada 1.2183 pessoa/minuto Além disso, foi possível calcular o número de classes bem como suas classes, para a elaboração do histograma abaixo. 17 Com base no histograma acima, podemos depreender que, na maioria das vezes, o tempo entre chegadas é de 18 segundos. Para as medições do tempo em fila, utilizamos o mesmo padrão, identificando os tempos mínimo e máximo, a média, desvio padrão e, para plotagem do gráfico, calculamos os números de classes bem como as classes. Tempo em Fila (MM:SS:MilMil) Mínimo 00:01:00 Máximo 03:10:17 Média 00:54:27 Tamanho (n) 100 Est. Classes 10 Classes 10 Incremento 00:18:56 Desv. Pad 00:50:35 Incremento (2) 00:01:54 18 Por fim, seguimos novamente o mesmo padrão da análise do tempo entre atendimentos, identificando o tempo médio entre atendimentos, ou seja, a taxa de atendimento, o menor intervalo de tempo, o maior intervalo de tempo, o desvio padrão da amostra e por fim, o ritmo de atendimento. Tempo de atendimento (MM:SS:MilMil) Mínimo 1:00:00 Máximo 11:28:03 Média 4:01:53 Tamanho (n) 100 Est. Classes 10 Classes 10 Incremento 1:02:48 Desv. Pad 2:08:16 Incremento (2) 0:06:17 Tempo total 19:08:14 Taxa de atendimento 4.02 19 minuto/pessoa Ritmo de atendimento 0.2488 pessoa/minuto Abaixo segue o histograma, elaborado a partir dos dados calculados acima. Após o cálculo do ritmo de chegada e do ritmo de atendimento, calculamos outros parâmetros com o auxílio da ferramenta abaixo. Os outros parâmetros se resumem em: Utilização: 7,8% Probabilidade de o sistema estar vazio: 85,85% Pessoas na fila: 0,0010 Pessoas no sistema: 0,1570 Tempo de fila: 0,0012 minutos Tempo no sistema: 0,1913 minutos Probabilidade de o cliente aguardar na fila: 11 20 Referências Bibliográficas CAMELO, G. R. COELHO, A, S. BORGES, R. M. SOUZA, R. M. Teoria das filas e da simulação aplicada ao embarque de minério de ferro e manganês no terminal marítimo de ponta da madeira. XXX Encontro Nacional De Engenharia De Produção, São Carlos, 2010; CARDOSO F. S. JUNIOR, R. F. F. SANTOS, Y. B. I. Pesquisa operacional: aplicação de Teoria de Filas no sistema de uma panificadora. XXX Encontro Nacional De Engenharia De Produção, São Carlos, 2010; FOGLIATTI, Maria Cristina; MATTOS, Néli Maria Costas. Teoria de Filas. Rio de Janeiro: Interciência, 2007; GROSS, D. SHORTLE, J. F. THOMPSON, J. M. HARRIS, C. M. Fundamentals of Queueing Theory. New Jersey: John Wiley & Sons, 2008; MOORE, J.; WEATHERFORD; LARRY, R. Tomada de decisão em administração com planilhas. Ed. Bookman, São Paulo, 2004; PRADO, Darci. Teoria das Filas e da Simulação. v.2 4. ed. Belo Horizonte: Editora de Desenvolvimento Gerencial. Série Pesquisa Operacional, 2009; PRADO, D. Teoria das filas e da simulação. Nova Lima: Falconi, 2014, p.152; ROMERO, C. M. SALES, D. S. VILAÇA, L. L. CHAVEZ, J. R. A. CORTES, J. M. Aplicação da teoria das filas na maximização do fluxo de paletes em uma indústria química. Revista Eletrônica Pesquisa Operacional para o Desenvolvimento, Rio de Janeiro, v. 2, n.3, p. 226-231; SHEIKH, T. SINGH, S. K. KASHYAP, A. K. Application of queuing theory for the improvement of bank service. International Journal of Advanced Computational Engineering and Networking, v.1, n.4, jun. 2013.
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