calculo_B_Lista_1

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Universidade Federal da Bahia
Ca´lculo B
Prof. Leandro Suguitani
2o Semestre de 2018
LISTA DE EXERCI´CIOS 1
Aplicac¸o˜es de integrais: volume de so´lidos de revoluc¸a˜o.
02/09/2018
1. Calcule o volume gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o delimitada pelas curvas em torno do eixo
especificado.
(a) x2 + (y − 1)2 = 1, em torno do eixo y
(b) x = (y − 3)2, x = 4, em torno de y = 1
(c) x = (y − 1)2, x = 1, em torno de x = −1
2. Calcule o volume gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o delimitada pelas curvas em torno do
eixo y.
(a) y = e−x
2
, y = 0, x = 0, x = 1
(b) y = 4x− x2, y = x
(c) y = x2, y = 6x− 2x2
3. Calcule o volume gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o delimitada pelas curvas em torno do
eixo x.
(a) xy = 1, x = 0, y = 1, y = 3
(b) x = 1 + (y − 2)2, x = 2
(c) x+ y = 3, x = 4− (y − 1)2
4. Escreva uma integral para o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o delimitada
pelas curvas dadas em torno do eixo especificado (na˜o precisa calcular a integral). Quando
poss´ıvel, expresse a integral pelos dois me´todos (cascas cil´ındricas e discos ou ane´is).
(a) y = tgx, y = 0, x =
pi
4
, em torno do eixo x =
pi
2
(b) y = x, x = y2, em torno de x = −1
(c) x = seny, 0 ≤ y ≤ pi, x = 0, em torno de y = 4
5. Use integrac¸a˜o para deduzir a fo´rmula do volume de um cone circular reto com altura h
e base com raio r. Esboce no plano cartesiano o gra´fico de onde a integral foi obtida.
6. Use integrac¸a˜o para deduzir a fo´rmula de um tronco de um cone circular reto com altura
h, raio da base inferior R e raio de base superior r. Esboce no plano cartesiano o gra´fico
de onde a integral foi obtida.
GABARITO
1. (a)
2
3
pi (b)
128
3
pi (c)
64
15
pi
2. (a) (1− 1
e
)pi (b)
27
2
pi (c) 8pi
3. (a) 4pi (b)
16
3
pi (c)
27
2
pi
4. (a) V = 2pi
∫ pi
4
0
tgx(
pi
2
− x)dx (cascas); V = pi
∫ 1
0
(
pi
2
− arctgy)2 − (pi
4
)2dy (ane´is)
1
Universidade Federal da Bahia
Ca´lculo B
Prof. Leandro Suguitani
2o Semestre de 2018
(b) V = 2pi
∫ 1
0
(
√
x− x)(1 + x)dx (cascas); V = pi
∫ 1
0
(1 + y)2 − (1 + y2)2dy (ane´is)
(c) V = 2pi
∫ pi
0
seny(4− y)dy (cascas)
5. V =
pir2h
3
6. V =
piR2h
3
+Rr + r2
2