Estatistica Aplicada_Unidade I

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Estatística Aplicada
Professor conteudista: Maurício Martins do Fanno
Sumário
Estatística Aplicada
Unidade I
1 TEORIA ELEMENTAR DAS PROBABILIDADES ...........................................................................................3
1.1 Definições de probabilidade ................................................................................................................4
1.2 Cálculos das probabilidades elementares ......................................................................................5
1.3 Árvores de decisões ................................................................................................................................9
1.4 Análises combinatórias .......................................................................................................................11
1.5 Experimentos aproximadamente aleatórios .............................................................................. 17
1.6 Evento soma e evento produto ...................................................................................................... 19
1.7 Eventos independentes e eventos vinculados .......................................................................... 24
1.8 Revisão teórica dos conceitos estudados ................................................................................... 26
2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES ..................................................................................................... 32
2.1 Distribuições de probabilidades ...................................................................................................... 33
2.2 Distribuição de probabilidades binomial .................................................................................... 34
2.3 Valor e variância esperados .............................................................................................................. 41
2.4 Distribuição normal ............................................................................................................................. 44
2.4.1 Conceitos básicos .................................................................................................................................... 44
2.4.2 Cálculo das áreas da curva normal .................................................................................................. 48
Unidade II
3 AMOSTRAGEM .................................................................................................................................................. 63
3.1 Teoria elementar da amostragem .................................................................................................. 66
3.2 Teoria da estimação estatística ...................................................................................................... 74
4 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEARES ................................................................................................. 81
4.1 Correlação linear .................................................................................................................................. 82
4.2 Regressão linear .................................................................................................................................... 85
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Apresentação
Prezado aluno,
Este texto foi produzido como sequência do curso de 
Estatística. Todos os conceitos aprendidos lá serão utilizados 
aqui como matéria-prima para o aprofundamento dos 
conceitos estatísticos. Em Estatística Aplicada, veremos 
assuntos mais próximos da prática profissional do que 
vimos anteriormente, mas necessitaremos de ferramentas 
matemáticas mais elaboradas. Na medida do possível, iremos 
revê-las quando forem necessárias. Mas é sempre conveniente 
que você revise os conceitos matemáticos aprendidos em 
disciplinas anteriores.
O estudo da estatística, como de todas as ciências exatas, 
obriga à repetição, o maior número de vezes possível, de exercícios 
de fixação. No presente material, os cálculos definidos são 
mostrados uma única vez, como exemplo, mas o aluno deve se 
lembrar de que terá à disposição nos materiais complementares 
uma grande quantidade de exercícios e problemas e que o 
aprendizado somente será garantido caso eles sejam feitos em 
sua totalidade.
Na disciplina de Estatística, vimos e diferenciamos população 
e amostra e a seguir passamos ao estudo da estatística descritiva 
ou, em última análise, ao estudo das amostras. E agora iremos 
passar ao estudo das populações e das relações entre as 
populações e suas amostras.
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A ideia geral é conhecer primeiro qual é o comportamento 
previsto para populações e amostras e, a seguir, relacioná-las, 
obtendo previsões com razoável grau de confiança.
O curso de Estatística Aplicada foi dividido em quatro 
capítulos. No capítulo 1, trataremos dos assuntos referentes 
às probabilidades. Como são calculadas e quais seus limites de 
utilização. Esses conceitos são importantes para se ter a ideia 
exata do que significa algo ser provável, e não certo. É um 
assunto no qual o raciocínio lógico é fundamental. Procurou-se 
apresentá-lo de maneira progressiva e natural, não se 
prendendo a grandes refinamentos matemáticos. No final desse 
capítulo, você vai encontrar um resumo no qual as ferramentas 
matemáticas são apresentadas de modo mais formal.
No capítulo 2, trataremos das distribuições de probabilidades, 
que a exemplo das distribuições de frequências já vistas 
apresentam os valores trabalhados de maneira mais resumida 
e direta. Devemos notar que, ao contrário das distribuições 
de frequências, as informações são prováveis, e não reais. 
Serão apresentadas as duas mais importantes distribuições de 
probabilidades – a distribuição binomial e a distribuição normal. 
A partir de seu estudo, pode-se estender o conhecimento para 
as outras distribuições, bem menos usadas na prática.
O capítulo 3 refere-se à amostragem, ou seja, ao estudo das 
relações entre as populações e as amostras delas retiradas. São 
basicamente três vertentes de estudo:
• a previsão do comportamento de amostras a partir do 
conhecimento da população da qual foram retiradas;
• a previsão do comportamento de uma população a partir 
do estudo de amostras dela retirada;
• e a previsão da comparação entre amostras e populações, 
na pesquisa de diferenças casuais ou causais.
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O capítulo 4 aborda as relações e correlações entre duas 
variáveis e o comportamento matemático dessas relações. 
Procura-se verificar se, dadas duas variáveis, existe entre elas 
algum tipo de relacionamento e, se existir, qual é.
Com esses assuntos abordados assimilados, poderemos 
entender como se pode prever um acontecimento futuro 
ou desconhecido, a partir de estudos relativamente menos 
trabalhosos, permitindo que se tenham ferramentas preciosas 
para a tomada de decisões, em última análise, a finalidade básica 
de qualquer ramo profissional.
Esperamos que, com esse material, você tenha a oportunidade 
de completar o aprendizado de Estatística e que possa utilizá-la 
como instrumental básico para seu melhor desempenho 
profissional.
Bons estudos!
Prof. Mauricio Martins do Fanno
PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADES
1 TEORIA ELEMENTAR DAS PROBABILIDADES
Objetivos
Em estatística indutiva quando nos referimos a uma previsão 
de comportamento de uma população a partir do conhecimento 
de uma amostra,ou, ao contrário, a previsão do comportamento 
esperado de uma amostra retirada de uma população conhecida, 
temos o cuidado de utilizar a palavra “provavelmente” antes de 
cada informação.
Assim, por exemplo, quando após uma pesquisa eleitoral, um 
veículo de comunicação informa que, se a eleição fosse naquele 
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momento, o candidato X teria 35% dos votos, ele quer dizer que 
provavelmente o candidato X teria essa quantidade de votos. É 
uma afirmação provável de ocorrer, não quer dizer ocorrerá com 
certeza. Uma tolerância nessa informação é esperada.
Neste capítulo, veremos o que significa e como são 
calculadas as probabilidades, ramo de estudo da matemática, e 
não exatamente da estatística. Inicialmente, verificaremos casos 
absolutamente teóricos e, posteriormente, evoluiremos para 
situações mais próximas da realidade.
Tentaremos utilizar o raciocínio lógico para resolver as 
questões e no final do capítulo faremos uma revisão teórica, 
apresentando os conceitos e as fórmulas utilizadas na teoria 
elementar das probabilidades. O importante é você dominar o 
mecanismo de cálculo da probabilidade.
1.1 Definições de probabilidade
Caso você procure a definição de probabilidade em um 
dicionário, o Aurélio, por exemplo, irá encontrar algo do tipo:
Probabilidade: 1. Qualidade do provável. 2. Motivo ou 
indício que deixa presumir a verdade ou a possibilidade de um 
fato, verossimilhança.
Como é fácil notar, essa definição não acrescenta nada ao 
conceito intuitivo que temos de probabilidade. Isso porque 
o conceito de probabilidade é circular, ou seja, define-se 
probabilidade utilizando seus próprios termos.
Desse modo, desenvolve-se atualmente uma abordagem 
axiomática na definição de probabilidade, mantendo-se seu 
conceito indefinido, algo semelhante ao que acontece em 
geometria com as definições de ponto e reta.
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Estatisticamente, no entanto, adotam-se três abordagens 
diferentes na definição de probabilidades: a abordagem clássica, a 
abordagem como frequência relativa e a abordagem subjetiva.
Entretanto, antes de seguirmos na definição de probabilidade, 
é necessário definir alguns termos que serão utilizados:
• Experimento amostral: é aquele que, apesar de ser 
repetido exatamente da mesma maneira, não apresenta 
resultados obrigatoriamente iguais. Por exemplo, você 
pode jogar um dado exatamente da mesma maneira duas 
vezes, e nada garantirá que obterá o mesmo resultado.
• Espaço amostral (ou conjunto universo ou espaço 
das probabilidades): é o conjunto formado por todos 
os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
Por exemplo, o espaço amostral de um jogo de um dado 
honesto é dado por:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
– Observe que o dado deve ser honesto, se não for, o 
experimento não é aleatório.
• Evento: é um determinado subconjunto formado por um 
ou mais elementos do espaço amostral. Por exemplo, em 
um jogo de dados, o evento número primo é formado por:
E = {1, 2, 3, 5}
1.2 Cálculos das probabilidades elementares
Podemos definir estatisticamente a palavra probabilidade 
usando estes termos:
• Abordagem clássica: é a razão (divisão) entre o número 
de elementos (ou resultados) favoráveis a um determinado 
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evento e o número total de elementos (ou resultados) do 
espaço amostral, ou seja:
P A
n A
n S
( )
( )
( )
=
Sendo P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A.
n(A), o número de elementos favoráveis ao evento A.
n(S), o número total de elementos do espaço amostral.
Por exemplo:
Qual é a probabilidade de, ao se jogar um dado honesto, se 
obter um número primo?
Enúmeros primos : A = {1, 3, 4, 5} ∴ n(A) = 4
S n A= { }∴ =12 3 4 5 6 6, , , , , ( )
P A
n A
n S
P A( )
( )
( )
( ) , , %= ⇒ = = =4
6
0 667 66 7
• Abordagem como frequência relativa: é a razão entre 
o número de vezes que determinado resultado ocorre, 
quando repetimos o experimento aleatório um número 
elevado de vezes. Por exemplo: jogamos uma moeda 1.000 
vezes e em 512 dessas vezes saiu cara. Podemos dizer 
por esta definição que a probabilidade de sair cara nessa 
moeda é de 512/1.000, ou seja, 51,2%. Esse raciocínio 
seria simbolizado da seguinte forma:
P A f
f
f
P A fRA
A
T
RA
( ) ( )
.
, , %= = ⇒ = = = =512
1 000
0 512 512
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 Note que o resultado acima não é o mesmo que o calculado 
pela definição anterior (50%). Isso pode se dever ao fato de 
a moeda usada não ser honesta (portanto com resultados 
aleatórios) ou ao fato de o número de jogadas não ter 
sido suficientemente grande. Aumentando o número de 
jogadas, a probabilidade tenderá ao valor teórico de 50%, 
se a moeda for honesta.
• Abordagem subjetiva: ao contrário das definições 
anteriores, nesta, a probabilidade não é um valor objetivo, 
mas algo que indica a “crença” do analista naquela 
ocorrência. Evidentemente que esta probabilidade não é 
fruto de um “palpite”, um “chute”, e sim algo embasado 
em dados objetivos, mas complementados por aspectos 
pessoais. É o caso, por exemplo, do meteorologista 
que prevê 80% de chances de ocorrerem chuvas em 
determinado período. Este capítulo da estatística é 
estudado em análise bayesiana de decisão.
Durante nosso curso, utilizaremos as duas primeiras 
abordagens, de acordo com o campo de estudo em que 
estivermos. Deve-se notar que a primeira abordagem é 
eminentemente teórica e pressupõe experimentos aleatórios em 
que os elementos são equiprováveis. Já na segunda abordagem 
podem ser introduzidos fatores diversos, característicos de 
determinadas situações não totalmente aleatórias.
Apesar de basicamente o cálculo de probabilidades envolver 
uma das duas relações descritas anteriormente, existem 
axiomas, teoremas e propriedades que devem ser conhecidos 
para o correto uso da teoria. Antes, porém, de nos preocuparmos 
com a teoria envolvida, iremos nos ater à lógica que permeia o 
cálculo de probabilidades. Para tanto, analisaremos a seguinte 
sequência de questões:
1. Uma moeda honesta é jogada uma única vez, qual é 
a probabilidade de que o resultado seja cara?
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Pelo modo como o exercício é proposto, devemos calcular 
a probabilidade como uma razão entre o número de elementos 
favoráveis ao evento cara e o número total de elementos 
possíveis.
Número de elementos do evento cara: n(A) = 1
Número de elementos total: n(S) = 2
P A
n A
n S
P cara( )
( )
( )
( )= ⇒ = 1
2
2. Duas moedas honestas são jogadas simultaneamente, 
qual é a probabilidade de que pelo menos uma seja 
cara?
Note que neste caso o espaço amostral se tornou ligeiramente 
mais complexo: S = {CaraCara; CaraCoroa; CoroaCara; 
CoroaCoroa}.
E o evento pedido é:
E = {CaraCara; CaraCoroa; CoroaCara},
Logo, a probabilidade é:
P
n A
n S
P( )
( )
( )
( )pelo menos uma cara pelo menos uma cara= ⇒ = =3
4
00 75 75, %=
Observe que, do ponto de vista do cálculo de probabilidade, 
jogar simultaneamente duas moedas é o mesmo que jogar uma, 
anotar o resultado e depois jogar outra.
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1.3 Árvores de decisões
3. Quatro moedas são jogadas simultaneamente, qual 
é a probabilidade de que se obtenham pelo menos 
duas caras?
Perceba que ficou muito mais complexo estabelecer o 
espaço amostral e o evento solicitado. O princípio é o mesmo 
dos exercícios anteriores, mas, como o número de moedas 
aumentou, as dificuldades envolvidas também aumentam.
Para facilitar nosso raciocínio, iremos introduzir duas 
ferramentas: a árvore de decisões e a análise combinatória.
A árvore de decisões consiste em representar graficamente 
todas as possibilidades de resultados dos experimentos aleatórios, 
de modo a não se perder nenhum evento e ao mesmo tempo se 
compreender a mecânica do experimento.
Joga-se uma 
moeda honesta.
Os resultados 
podem ser:
cara
coroa
A seguir, está desenhada a árvore de decisões do experimento 
“jogar quatro moedas honestas simultaneamente”. Note que, com 
certeza, não esquecemos nenhum dos resultados possíveis.
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Joga-se 
uma moeda 
honesta 
sucessivamente 
4 vezes
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
Resultados 
da:
1ª moeda 
jogada
2ª moeda 
jogada
3ª moeda 
jogada
4ª moeda 
jogada
Caminho 1
Caminho 2
Caminho 3
Caminho 4
Caminho 5
Caminho 6
Caminho 7
Caminho 8
Caminho 9
Caminho 10
Caminho 11
Caminho 12
Caminho 13
Caminho 14
Caminho 15
Caminho 16
De posse da árvore de decisões, conseguimos responder mais 
facilmente ao solicitado na questão 3. Perceba que, após se jogar 
a moeda pela quarta vez, nós teremos um total de 16 soluções 
(caminhos) possíveis.
Observe o caminho número 1: na primeira vez que se jogou 
a moeda, saiu cara; na segunda jogada, saiu cara de novo; assim 
como na terceira e na quarta jogadas, ou seja, o caminho um é 
formado pelos eventos sucessivos: cara – cara – cara – cara.
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Da mesma forma, teremos outras 15 combinações possíveis, 
das quais as de números 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,13 apresentam 
a resposta que desejamos, ou seja, pelo menos duas caras, as 
demais apresentam uma ou nenhuma cara, portanto não nos 
interessam.
Assim, temos um total de 16 elementos no espaço amostral, 
sendo que 11 deles são favoráveis à nossa pergunta, portanto 
a probabilidade de que ocorra pelo menos uma cara é de 11 
possibilidades em 16, ou seja:
P A
n A
n S
P( )
( )
( )
( ) , , %= ⇒ = = =pelo menos uma cara 11
16
0 6875 68 75
Agora note que o número de possibilidades (ou seja, 
elementos) do espaço amostral cresce continuamente. Caso 
jogássemos uma quinta vez a moeda, teremos 32 resultados 
diferentes. Uma maneira de trabalharmos com essa grande 
quantidade de números é o uso da análise combinatória. 
(Atenção: aqui iremos trabalhar superficialmente com esse 
assunto. Utilizaremos apenas as ferramentas que nos são 
importantes neste capítulo.)
1.4 Análises combinatórias
Perceba que o cálculo de probabilidade continuará a ser feito 
por meio da razão entre o número de elementos favoráveis ao 
evento que estamos estudando e o número total de elementos 
do espaço amostral. A análise combinatória nos servirá para 
calcular de maneira menos trabalhosa essas quantidades.
Se você olhar a árvore de decisões do jogo de moedas, irá 
perceber que o espaço amostral cresce em número de elementos 
da seguinte maneira:
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Número de jogadas da moeda Número de resultados diferentes
1 2
2 4
3 8
4 16
É fácil notar que a relação matemática existente entre o 
número de jogadas e o número de resultados possíveis é de ab, 
em que a é o número de resultados possíveis de ocorrer em 
uma única repetição do experimento (no caso, a = 2 porque 
os resultados possíveis são cara ou coroa) e b é o número de 
repetições do experimento (no caso na tabela anterior, temos n 
variando de 1 a 4).
Desse modo, se quisermos saber o número de elementos do 
espaço amostral de 6 jogadas de uma moeda, bastaria fazermos 
o cálculo 26 = 64 resultados diferentes.
Em análise combinatória, esse procedimento é conhecido 
como cálculo do número de arranjos com repetição.
Aa,b=a
b
Observação: esta fórmula é lida da seguinte maneira: 
“número de arranjos com repetições de a elementos repetidos 
b vezes”.
Por outro lado, observando a árvore de decisões, podemos 
contar o número de caras que pode aparecer na quarta jogada 
montando o quadro abaixo:
Número de 
coroas que 
apareceu
Número de caras 
que apareceu “Caminhos”
Quantidade de 
caminhos
quatro coroas zero cara 16 1
três coroas uma cara 8-12-14-15 4
duas coroas duas caras 4-6-7-10-11-13 6
uma coroa três caras 2-3-5-9 4
zero coroa quatro caras 1 1
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Na análise combinatória, o número de caminhos é dado pelo 
número de combinações, obtido por meio da fórmula:
C
n
x n xn x,
!
!( )!
=
−
Em que n = número total de repetições do experimento; no 
caso n = 4 (quatro vezes em que a moeda é jogada).
E x = números de resultados desejados; no caso, x varia de 0 
a 4 (número de caras desejadas).
Observação: a fórmula anteriormente mencionada é lida 
da seguinte maneira: “número de combinações de n elementos 
tomados de x a x vezes”, e utiliza o conceito de fatorial (!).
Fatorial de um número a, simbolizado por a!, é a multiplicação 
de todos os números inteiros e positivos desde a unidade até o 
valor a; ou seja:
a!=1x2x3x4x... ...xa
Por exemplo: 6! é igual a 720, porque:
6!=1x2x3x4x6=720
Notar que, por definição, 0! é igual a 1.
O quadro a seguir mostra o cálculo das combinações do 
exemplo dado. Verifique que coincide com os números obtidos 
por meio da árvore de decisões.
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Número de 
caras que 
queremos 
obter
Fórmula do cálculo das combinações
Número de 
combinações 
obtidas
Zero cara C
x4 0
4
0 4 0
4
0 4
24
1 24
1,
!
!( )!
!
!( )!
=
−
= = = 1
Uma cara C
x41
4
1 4 1
4
0 1
24
1 6
4,
!
!( )! !( )!
=
−
= = = 4
Duas caras C
x4 2
4
2 4 2
4
2 2
24
2 2
6,
!
!( )!
!
!( )!
=
−
= = = 6
Três caras C
x4 3
4
3 4 3
4
3 1
24
6 1
4,
!
!( )!
!
!( )!
=
−
= = = 4
Quatro 
caras C x4 4
4
4 4 4
4
4 0
24
24 1
1,
!
!( )!
!
!( )!
=
−
= = = 1
Perceba que temos agora todas as informações necessárias 
para o cálculo das probabilidades envolvidas no experimento de 
“Quatro jogadas sucessivas de uma moeda honesta”. O quadro a 
seguir resume estes valores:
Eventos
Número total de resultados do 
espaço amostral (número de 
“caminhos”) 
Calculado usando-se arranjos com 
repetições
Número total de resultados 
favoráveis ao evento 
Calculado usando-se combinações
Probabilidade de ocorrência
Obter zero cara 16 1
1
16
0 0625 6 25= =, , %
Obter uma cara 16 4
416
0 2500 25 00= =, , %
Obter duas caras 16 6
6
16
0 3750 37 50= =, , %
Obter três caras 16 4
4
16
0 2500 25 00= =, , %
Obter quatro caras 16 1
1
16
0 0625 6 25= =, , %
Somatório 100%
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Esse quadro resume todos os possíveis resultados do 
experimento: “jogar quatro vezes uma moeda honesta”. Cada um 
desses resultados é um evento diferente, e a probabilidade de cada 
evento ocorrer é obtida pela divisão do número de vezes em que 
ele ocorre pelo número de resultados totais do experimento.
Obter pelo menos duas caras significa obter ou exatamente duas 
caras, ou exatamente três caras ou exatamente quatro caras. Assim 
sendo, a probabilidade de se obter pelo menos duas caras é a soma 
das probabilidades de se obter duas ou três ou quatro caras. Essas 
probabilidades foram calculadas no quadro anterior, portanto:
P(obter pelo menos duas caras) = 0,3750 + 0,2500 + 0,0625 
= 0,6875 ou 68,75%
Note que é exatamente o valor obtido anteriormente, com a 
utilização da árvore de decisões.
Com esses conceitos, poderíamos calcular o exemplo a seguir, 
que é mais trabalhoso:
4. Vinte moedas são jogadas simultaneamente, qual é a 
probabilidade de que se obtenham exatamente oito 
caras?
Essa questão é muito semelhante à anterior, porém envolve 
uma quantidade de moedas e resultados que inviabiliza o uso 
da árvore de decisões. Mas sabemos calcular questões desse tipo 
usando os conceitos de análise combinatória:
• O número total de resultados possíveis é o número 
de arranjos com repetições de 20 moedas que podem 
apresentar dois resultados diferentes.
Aa,b=a
b=220=1.048.576
• O número total de resultados que nos interessa é o 
número de combinações de 20 moedas, das quais oito 
sejam caras:
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C
n
x n x
Cn x, ,
!
!( )!
!
!( )!
!
! !
. . .=
−
⇒ =
−
=
×
=20 8
20
8 20 8
20
8 12
2 432 902 008.. . .
. . .
.
176 640 000
40 320 479 001 600
125 970
×
=
• A probabilidade de ocorrer oito caras é de:
P A
n A
n S
P( )
( )
( )
( )
.
. .
= ⇒ = =exatamente oito caras 125 970
1 048 576
00 1201 12 01, , %=
Observação: os números envolvidos anteriormente são 
relativamente grandes, mas, com uma calculadora científica ou 
na planilha Excel, o trabalho é relativamente simples. Mesmo 
o cálculo do número de combinações pode ser facilitado se 
utilizarmos o conceito de simplificação, como mostrado a 
seguir:
C
x
x x x x x x x x
x x x x20 8
2
20
8 12
12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 3 4 5,
!
! !
!= =
•
•
• • •
xx x x x6 7 8 12
125 970
!
.=
Vamos utilizar esses conhecimentos adquiridos para fazer 
um cálculo que talvez não deixe você contente:
4. Qual é a probabilidade de se ganhar o prêmio máximo 
na Mega-Sena fazendo-se um jogo com sete dezenas?
Observe que na Mega-Sena é necessário acertar seis dezenas 
para se ganhar o prêmio máximo. Caso se jogue sete dezenas, 
temos 7 chances de acertar as seis dezenas:
C
n
x n x
Cn x, ,
!
!( )!
!
!( )!
!
! !
=
−
⇒ =
−
=
×
=
×
=76
7
6 7 6
7
6 1
5040
720 1
7
Mas quantos resultados diferentes podem ocorrer?
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Na Mega-Sena, existem 60 números possíveis, dos quais 
você deve acertar seis, ou seja:
C
n
x n x
Cn x, ,
!
!( )!
!
!( )!
!
! !
=
−
⇒ =
−
=
×
=60 6
60
6 60 6
60
6 54
50.063.860
Resumindo, você tem 7 chances em 50.063.860 de acertar 
na Mega-Sena, o que dá uma probabilidade de:
P A
n A
n S
P( )
( )
( )
( )
. .
= ⇒ = =ganhar na Mega-Sena 0,00000017
50 063 860
44 0,000014= %
Melhor continuar estudando, não é?
1.5 Experimentos aproximadamente aleatórios
Até aqui, sempre que nos referimos às moedas, frisamos 
que ela era honesta. Por que isso? Porque uma moeda honesta 
é absolutamente aleatória, ou seja, por mais que a joguemos, 
nunca iremos saber qual o próximo resultado que irá ocorrer, 
e também porque a probabilidade de cair cara em uma moeda 
honesta é de 50%, assim como de sair coroa.
Nem sempre será assim. Podemos ter moedas viciadas, e, 
em situações mais próximas da realidade do dia a dia, com 
certeza os experimentos não serão absolutamente aleatórios, 
mas aproximadamente aleatórios, e as probabilidades 
de ocorrência serão dadas pelas frequências relativas 
observadas.
Imagine que você tenha nas mãos uma moeda, que não sabe 
se é honesta ou viciada. Como poderia saber? Testando-a, ou 
seja, jogando-a repetidas vezes e anotando os resultados.
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Caso os resultados tendam para 50% de sair cara e 50% 
de sair coroa, a moeda seria honesta, caso contrário, viciada. 
Obviamente, quanto maior o número de vezes que a testar 
maior a segurança que se terá nessa resposta.
O quadro a seguir mostra uma sucessão teórica de testes em 
duas moedas:
Número de vezes que a 
moeda foi lançada
Moeda A Moeda B
Nº de 
caras
Probabilidade 
de cara
Nº de 
coroas
Probabilidade 
de coroa
Nº de 
caras
Probabilidade 
de cara
Nº de 
coroas
Probabilidade 
de coroa
10 6 60,0% 4 40,0% 5 50,0% 5 50,0%
30 14 46,7% 16 53,3% 16 53,3% 14 46,7%
40 19 47,5% 21 52,5% 23 57,5% 17 42,5%
50 27 54,0% 23 46,0% 29 58,0% 21 42,0%
100 52 52,0% 48 48,0% 57 57,0% 43 43,0%
500 249 49,8% 251 50,2% 290 58,0% 210 42,0%
1.000 505 50,5% 495 49,5% 589 58,9% 411 41,1%
10.000 5.010 50,1% 4.990 49,9% 5.809 58,1% 4.191 41,9%
Note algumas características importantes:
• Para poucos lançamentos, não é possível assumir se as 
moedas são honestas ou viciadas. O número de observações 
não é suficiente. Isso é constante na estatística indutiva. 
Precisamos de uma quantidade de observações mínima 
para se chegar a alguma conclusão.
• À medida que o número de observações vai crescendo, 
cristalizamos a ideia de que a moeda A é honesta e a 
moeda B, viciada. Perceba que em 10 jogadas não há nada 
de estranho em se obter 6 caras e 4 coroas, mas, quando 
jogamos a moeda 100 vezes e obtemos 57 caras, algo não 
acidental está ocorrendo. Não é possível que seja uma 
questão de “sorte” ou “azar”.
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• A partir dessas observações, podemos assumir que a 
moeda A é honesta e a probabilidade de se obter cara é 
igual à de se obter coroa, no valor de 50% (o fato de os 
cálculos não resultarem exatamente em 50% é efeito de 
variações aceitáveis).
• Já a moeda B é viciada, e a probabilidade de se obter cara 
é de 58% (aproximadamente) e de a se obter coroa, 42%.
A partir desses conceitos, podemos abrir um pouco mais o 
leque dos nossos cálculos, resolvendo a questão do próximo 
item.
1.6 Evento soma e evento produto
5. Jogamos a moeda B, mencionada anteriormente, três 
vezes em sequência. Qual é a probabilidade de que 
obtenhamos pelo menos duas caras?
Vamos entender a questão mediante o uso da árvore de 
decisões. É a mesma árvore usada anteriormente, mas com 
uma diferença. Sobre cada decisão (simbolizada pelas flechas), 
colocaremos a probabilidade correspondente.
Cada “caminho” será formado de várias decisões em 
sequência, cada uma delas com probabilidades diferentes.A probabilidade de ocorrência de um caminho em especial é 
dada pela multiplicação das probabilidades individuais. A isso 
chamamos de evento produto.
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Observe na própria figura o cálculo dos vários caminhos:
Joga-se uma 
moeda viciada 
sucessivamente 
3 vezes
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
Resultados 
da:
1ª moeda 
jogada
2ª moeda 
jogada
3ª moeda 
jogada
Caminho 1 0,58x0,58x0,58=0,583=0,1951
Caminho 2 0,58x0,58x0,42=0,582x0,42=0,1413
Caminho 3 0,58x0,42x0,58=0,582x0,42=0,1413
Caminho 4 0,58x0,42x0,42=0,58x0,422=0,1023
Caminho 5 0,42x0,58x0,58=0,582x0,42=0,1413
Caminho 6 0,42x0,58x0,42=0,58x0,422=0,1023
Caminho 7 0,42x0,42x0,58=0,58x0,422=0,1023
Caminho 8 0,42x0,42x0,42=0,423=0,0741
Somatório = 1 ou 100%
0,58
0,42
0,42
0,42
0,42
0,42
0,42
0,42
0,58
0,58
0,58
0,58
0,58
0,58
Probabilidades de 
cada caminho:
“Pelo menos duas caras” significa duas ou três caras, logo, os 
caminhos 1, 2, 3 e 5 nos interessam, os demais ou têm apenas 
uma cara ou nenhuma.
Qualquer um desses quatro caminhos que vier a ocorrer 
atenderá a nossa pergunta, ou seja, a probabilidade de ocorrer 
pelo menos duas caras é a soma das probabilidades de ocorrer o 
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caminho um ou então o dois ou então o três ou ainda o cinco. 
Poderíamos escrever isso assim:
P(pelo menos uma cara)=P(ca-ca-ca)+P(ca-ca-co)+P(ca-co-
ca)+P(co-ca-ca)
Logo, o resultado seria:
P(pelo menos uma cara)=0,1951+0,1413+0,1413+0,1413=
0,6190=61,90%
Essa soma de eventos gera o que se chama de evento 
soma.
Cada vez que se joga a moeda ocorre um resultado diferente. 
A cada um desses resultados damos o nome de evento. Vários 
eventos podem ser combinados, criando o evento soma e o 
evento produto, já mostrados anteriormente.
O evento soma representa uma alternativa entre vários 
eventos simples, caracteriza-se pela palavra “ou”. Por exemplo, 
a questão “Qual é a probabilidade de um aluno passar em 
Estatística?” é respondida por um evento soma: o aluno pode 
passar sem exame ou com exame. A probabilidade será a soma 
das probabilidades dos dois eventos simples.
O evento produto representa uma obrigação entre várias 
situações e caracteriza-se pela palavra “e”. Por exemplo: “Qual é 
a probabilidade de um aluno cursar administração e passar em 
Estatística?”. O aluno tem que cursar administração e passar em 
Estatística. A probabilidade será o produto entre probabilidade 
de um aluno estudar administração e a probabilidade de passar 
de Estatística.
Vamos firmar esse conceito por meio do seguinte exemplo:
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6. Dois caçadores, Pedro e João atiram contra uma 
caça simultaneamente. Sabemos que Pedro tem uma 
probabilidade de acertar esse tipo de caça de 40%, 
enquanto João acerta em 55% das vezes. Calcular a 
probabilidade de:
a. a caça ser atingida;
b. ambos atingirem a caça simultaneamente.
Antes de resolvermos a questão, vamos sublinhar como 
foram obtidas essas probabilidades. Presume-se que Pedro e 
João já foram caçar diversas vezes esse tipo de caça e a cada tiro 
que deram anotaram o resultado. Após algum tempo, eles têm 
uma série de observações suficientemente grande para calcular 
as probabilidades relacionadas.
Pedro atirou um número x de vezes e acertou quatro a cada 
dez tiros que deu, assim ele pode afirmar que tem 40% de chances 
de acertar um tiro qualquer nessas mesmas condições. João em 
raciocínio semelhante chegou à probabilidade de 55%.
É evidente que, se Pedro tem 40% de chances de acertar, 
tem 60% de chances de errar, assim como João tem 55% de 
probabilidade de acertar e 45% de errar. Chega-se a essa conclusão 
porque os eventos acertar e errar são eventos complementares, 
ou seja, um completa o outro, sem a existência de um terceiro e 
com a soma dos dois resultando em 100%.
Com essas probabilidades individuais, podemos montar a 
árvore de decisões apropriada:
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Acerta o 
tiro
Erra o 
tiro
Pedro 
atira
0,40x0,55 = 0,22 ou 22%
Cálculo das probabilidades
0,40
João 
atira
João 
atira
Erra o 
tiro
Acerta o 
tiro
Erra o 
tiro
Acerta o 
tiro
0,60
0,55
0,55
0,45
0,45
0,40x0,45 = 0,18 ou 18%
0,60x0,55 = 0,33 ou 33%
0,60x0,45 = 0,27 ou 27%
Podemos então responder às questões:
A caça será atingida se Pedro ou João ou os dois a atingirem. 
Quer dizer, existe alternativa, portanto é um evento soma:
P(caça a ser atingida) = 
= P(Pedro acertar e João acertar) + P(Pedro acertar e João 
errar) + P (Pedro errar e João acertar)
P(caça ser atingida) = 0,22 + 0,18 + 0,33 = 0,73 ou 73%
Portanto, a resposta ao item a é: a probabilidade de a caça 
ser atingida é de 73%.
Já para ambos atingirem a caça, é necessário que Pedro e 
João a atinjam, ou seja, é um evento produto:
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P(ambos atingirem a caça) = P(Pedro acertar) x P(João acertar)
P(ambos atingirem a caça) = 0,40 x 0,55 = 0,22 = 22%
Portanto, a resposta ao item b é: a probabilidade de ambos 
acertarem a caça é de 22%.
1.7 Eventos independentes e eventos 
vinculados
Na questão acima, os tiros de Pedro não interferem nos tiros 
de João e vice-versa, ou seja, o fato de Pedro acertar ou errar 
não torna mais ou menos provável os acertos ou erros de João. 
É o que se chama de eventos independentes.
Nem sempre, no entanto, isso ocorre. Eventualmente, a 
ocorrência de um evento altera a probabilidade de ocorrência do 
evento seguinte. São os eventos vinculados ou condicionados 
ou dependentes.
A próxima questão exemplifica esse conceito:
6. Temos uma caixa que contém um total de 45 bolinhas, 
sendo 20 verdes, 15 brancas e 10 pretas. Retira-se dessa 
caixa uma bolinha, anota-se sua cor, coloca-se de lado 
e em seguida retira-se da caixa uma segunda bolinha.
a. Qual é a probabilidade de que as duas bolinhas 
retiradas formem a agradável combinação verde e 
branca?
b. Qual é a probabilidade de que as duas bolinhas 
retiradas formem a desagradável combinação 
preta e branca?
Uma combinação verde e branca corresponde a retirar uma 
primeira bolinha verde e uma segunda bolinha branca ou uma 
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primeira bolinha branca e uma segunda bolinha verde. Raciocínio 
semelhante utiliza-se para a combinação preta e branca.
Novamente vamos utilizar a árvore de decisões para entender 
e esquematizar o problema, seguindo o raciocínio anteriormente 
estabelecido:
Bolinha 
verde
Bolinha 
preta
Caixa contendo: 
19 bolinhas verdes, 
15 brancas e 
10 pretas
Cálculo das probabilidades
20
45
Total de 45 
bolinhas
Bolinha 
branca
15
45
10
45
Depois de 
retirada a 1ª 
bolinha, a caixa 
irá ficar com:
Depois de 
retirada a 1ª 
bolinha, a caixa 
irá ficar com:
Depois de 
retirada a 1ª 
bolinha, a caixa 
irá ficar com:
Total de 44 
bolinhas
Total de 44 
bolinhas
Totalde 44 
bolinhas
Caixa contendo: 
20 bolinhas verdes, 
14 brancas e 
10 pretas
Caixa contendo: 
20 bolinhas verdes, 
15 brancas e 
9 pretas
20
45
19
44
380
1 980
0 1919x = =
.
,
20
45
15
44
300
1 980
0 1515x = =
.
,
20
45
10
44
200
1 980
0 1010x = =
.
,
15
45
20
44
300
1 980
0 1515x = =
.
,
15
45
14
44
210
1 980
0 1061x = =
.
,
15
45
10
44
150
1 980
0 0757x = =
.
,
10
45
20
44
200
1 980
0 1010x = =
.
,
10
45
15
44
150
1 980
0 0757x = =
.
,
10
45
9
44
90
1 980
0 0455x = =
.
,
Bolinha 
verde
Bolinha 
branca
Bolinha 
preta
Bolinha 
verde
Bolinha 
branca
Bolinha 
preta
Bolinha 
verde
Bolinha 
branca
Bolinha 
preta
1
2
6
8
3
5
4
7
9
19
44
15
44
20
44
14
44
10
44
20
44
15
44
 9 
44
Caixa contendo: 
20 bolinhas verdes, 
15 brancas e 
10 pretas
Observe que, dos nove caminhos existentes (eventos 
produtos), dois correspondem a uma combinação verde e branca: 
os caminhos 2 e 4. Assim, um ou outro atendem ao solicitado 
(portanto, evento soma), dessa forma:
P(combinação verde e branca) = P(1ª verde/2ª branca)+ 
+P(1ª branca/2ª verde)
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P(combinação verde e branca) = 0,1515 + 0,1515 = 0,3030 = 
= 30,30%
A probabilidade de se obter uma combinação verde e branca 
é de 30,30%.
Raciocínio semelhante se faz para a combinação preta e 
branca (siga os caminhos 6 e 8):
P(combinação preta e branca) = P(1ª branca/2ª preta) + 
+ P(1ª preta/2ª branca)
P(combinação preta e branca) = 0,0757 + 0,0757 = 0,1514 = 
= 15,14%
1.8 Revisão teórica dos conceitos estudados
• Experimento: processo que descreve como ocorre uma 
determinada sucessão de acontecimentos. Exemplos: realizar 
uma reação química, investir em ações, jogar dados.
• Experimento matemático ou determinístico: são 
aqueles em que os resultados podem ser previstos de 
modo exato utilizando a ciência. Exemplo: realizar uma 
reação química.
• Experimento aleatório: são aqueles cujos resultados 
não são sempre os mesmos, apesar de se repetirem várias 
vezes em condições semelhantes. Exemplo: jogar dados.
• Experimentos aproximadamente aleatórios: são 
aqueles que, apesar de terem uma tendência de ocorrência, 
não podem ter seus resultados definidos de modo exato 
pela ciência. Por exemplo: investir em ações.
• Espaço amostral ou conjunto universo: conjuntos 
formados por todos os resultados possíveis de um 
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experimento. Exemplo: o conjunto formado pelos números 
1,2,3,4,5 e 6, resultados possíveis de um jogo de dados.
• Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral. 
Exemplo, os números 2, 4 e 6, evento “números pares” de 
um jogo de dados.
• Evento simples: aquele formado por um único elemento 
do espaço amostral. Exemplo, o número 5 em um jogo de 
dados.
• Evento composto: aquele formado por mais de um 
elemento do espaço amostral. Exemplo: os números 1, 3 e 
5, evento “números ímpares” de um jogo de dados.
• Evento complementar: de um evento A qualquer, é o 
evento B (chamado complementar de A), tal que todos 
os elementos do espaço amostral que não pertençam 
a A pertençam a B e vice-versa. Observar que S = A+B. 
Exemplo: o conjunto A={1,3,5} é complementar ao 
conjunto B={2,4,6}, em um jogo de dados, visto que 
ao serem somados dão origem ao espaço amostral 
S={1,2,3,4,5,6}. Não falta nem sobra elemento algum.
• Eventos mutuamente exclusivos: suponha dois eventos 
A e B, no qual a ocorrência de A impede a ocorrência 
de B e vice-versa. Dizemos que eles são mutuamente 
exclusivos. Exemplo: em um jogo de dados, a ocorrência 
de um número par (1,2,3) impede a ocorrência de 
um número ímpar (2,4,5), portanto são mutuamente 
exclusivos. Não confunda eventos complementares 
com eventos mutuamente exclusivos. Todos os eventos 
complementares são mutuamente exclusivos, mas o 
contrário não é verdade.
• Eventos independentes: dizemos que dois ou mais 
eventos são independentes quando eles não exercem 
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ações recíprocas, comportando-se cada um da maneira 
que lhe é própria, sem influenciar os demais. Exemplo: o 
lançamento de duas moedas, simultaneamente.
• Eventos vinculados ou condicionados: são eventos cujo 
aparecimento de um dependa ou seja influenciado pelo 
aparecimento de outro, do mesmo experimento. Exemplo: 
a retirada de duas cartas de um baralho. Quando você 
retira a primeira carta, existem 52 cartas no baralho, 26 
vermelhas e 26 pretas. Quando você for retirar a segunda 
carta o baralho terá apenas 51 cartas e poderão ser 25 
vermelhas e 26 pretas ou 26 vermelhas e 25 pretas, 
dependendo da cor da primeira carta. Portanto, o segundo 
evento está condicionado ou vinculado com o primeiro.
• Evento soma: quando relacionamos dois eventos de 
um mesmo experimento e a ocorrência de um ou de 
outro nos interessa, temos o evento soma. Perceba a 
importância da palavra ou na formulação do princípio 
e da ideia de alternativa. Exemplo: jogo um dado e 
quero que saia um número par ou um número primo. 
Os números pares são: {2,4,6} e os número primos 
são {1,2,3,5}. Como me interessa os números pares ou 
primos, fico satisfeito com a ocorrência de qualquer 
um dos seguintes números {1,2,3,4,5}. Note que esse 
conjunto é a soma dos dois anteriores, descontadas as 
intersecções (no caso o número 2).
• Evento produto: quando relacionamos dois eventos 
de um mesmo experimento e a ocorrência de um e 
simultaneamente do outro nos interessa, temos o 
evento produto. Perceba a importância da palavra e na 
formulação do princípio e da ideia de obrigação. Exemplo: 
jogo um dado e quero que saia um número par e primo. 
Os números pares são: {2,4,6} e os número primos são 
{1,2,3,5}. Como me interessa o número que seja par e 
simultaneamente primo, fico satisfeito somente com 
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a ocorrência de número: {2}. Note que esse conjunto 
é a intersecção dos dois anteriores, ou seja, valores que 
pertencem simultaneamente aos dois conjuntos.
• Definição de probabilidade matemática: é a razão 
(divisão) entre o número de elementos do evento estudado 
pelo número de elementos do espaço amostral, ou seja:
P A
n A
n S
( )
( )
( )
=
• Definição de probabilidade estatística: presumindo que 
um experimento é repetido uma quantidade considerável de 
vezes e seus resultados anotados, definimos a probabilidade 
de ocorrência de eventos daquele experimento como sendo 
a frequência relativa do mesmo:
P A f
f
fRA
A
T
( ) = =
• Axiomas das probabilidades: são verdades a partir das 
quais se estabelecem os conceitos de probabilidades:
1. Dado um evento A, dentro de um espaço amostral S, 
temos:
0 1≤ ≤P A( )
2. A probabilidade do espaço amostral ou da soma de 
todos os eventos possíveis é:
P(S) = 1
3. Para dois eventos mutuamente exclusivos, temos:
P A B P A P B( ) ( ) ( )∪ = +
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4. Se o evento A é complementar de B, então:
P A P B P A P B( ) ( ) () ( )+ = = −1 1 ou 
• Teorema da soma: se A e B são dois eventos não 
mutuamente exclusivos, a probabilidade da ocorrência de 
A ou B ou ambos é dada por:
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
Exemplo: em uma caixa existem oito bolinhas idênticas, 
numeradas de 1 a 8. Qual a probabilidade de, ao se retirar uma 
bolinha, ela seja múltiplo de 2 ou de 5?
Espaço amostral: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -> n(S) = 10
Evento A – múltiplos de 2: A = {2,4,6,8,10) -> n(A) = 5
Evento B – múltiplos de 5: B= {5,10) -> n(B) = 2
Intersecção entre A e B: A∩B = {10} -> n(A∩B) = 1
P A B P A P B P A B P A B
n A
n S
nB
n S
n A B
n S
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
∪ = + − ∩ ⇒ ∪ = + − ∪
))
P A B( ) , %∪ = + − = = =5
10
2
10
1
10
6
10
0 60 60
• Teorema do produto para eventos independentes: caso 
tenhamos dois eventos A e B que não sejam mutuamente 
exclusivos, a probabilidade de ocorrer um resultado que 
pertença simultaneamente aos dois eventos é dada por:
P A B P A xP B( ) ( ) ( )∩ =
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Esse conceito pode ser estendido para mais de dois eventos.
Exemplo: temos duas caixas com bolinhas nas seguintes 
quantidades:
Caixa A: 10 bolinhas azuis, 15 bolinhas brancas e 30 bolinhas 
vermelhas. Total: 55 bolinhas.
Caixa B: 20 bolinhas azuis, 18 bolinhas brancas e 22 bolinhas 
vermelhas. Total: 60 bolinhas.
Retiramos uma bolinha de cada urna. Qual é a probabilidade 
de que ambas as bolinhas retiradas sejam azuis?
Caixa A: probabilidade de uma bolinha retirada ser azul: 
P Azul( ) = 10
55
Caixa B: probabilidade de uma bolinha retirada ser azul: 
P Azul( ) = 20
60
Probabilidade de ambas serem azuis:
P Azul Azul P xP( ) ( ) ( )∩ = Urna A/bolinha Azul Urna B/bolinha Azul == × =10
55
20
60
200
3300
P Azul Azul( ) , , %∩ = =0 0606 6 06
• Teorema do produto para eventos vinculados: a 
probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B 
vinculados é dada pelo produto da probabilidade de um dos 
eventos, pela probabilidade condicional do outro evento:
P A B P A xP B A( ) ( ) ( / )∩ =
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O símbolo P(B/A) lê-se probabilidade de ocorrência do evento 
B tendo ocorrido o evento A, e é a chamada probabilidade 
condicional. Esse conceito pode ser estendido para mais de dois 
eventos.
O exemplo a seguir deixa essa situação mais evidente:
Retiramos sem reposição três cartas de um baralho de 52 
cartas. Qual a probabilidade de que as três sejam vermelhas:
Probabilidade de a 1ª carta ser vermelha: P vermelha( ) = 26
52
Probabilidade de a 2ª carta ser vermelha: P vermelha( ) = 25
51
Probabilidade de a 3ª carta ser vermelha: P vermelha( ) = 24
50
Probabilidade de as três serem vermelhas:
P Vrm Vrm Vrm P xP( ) ( ) ( /∩ ∩ = 1 2 1ª carta Vrm ª carta Vrm ª carta Vrm)) ( ª / ª )xP 3 2 carta Vrm carta Vrm
P Vrm Vrm Vrm( )
.
.
∩ ∩ = × × = × ×
× ×
=26
52
25
51
24
50
26 25 24
52 51 50
15 626
132 6000
0 1178 1178= =, , %
2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
Objetivos
Quando, na disciplina de Estatística, vimos as maneiras se 
apresentar os dados estatísticos, conceituamos frequência 
simples e posteriormente frequência relativa. No capítulo 1 
de Estatística Aplicada vimos que probabilidades podem ser 
definidas como as frequências simples de eventos ocorridos em 
uma repetição considerável do experimento.
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Como decorrência disso, podemos estabelecer o conceito de 
distribuição de probabilidades em analogia com as distribuições 
de frequências com algumas diferenças:
• Na distribuição de frequências, normalmente, utilizávamos 
como informação principal a frequência simples. 
Na distribuição de probabilidades, priorizaremos as 
frequências relativas agora chamadas de probabilidades.
• Distribuições de frequências são informações reais, exatas, 
decorrência de observações efetuadas. Distribuições de 
probabilidade são previsões feitas a partir de observações, 
portanto não são reais, são evidentemente prováveis.
• Na disciplina de estatística, utilizamos nos nossos cálculos, 
primordialmente, as informações na forma de tabelas. 
Em Estatística Aplicada, será mais frequente o uso das 
informações na forma de gráficos.
2.1 Distribuições de probabilidades
O fato de trabalharmos muitas vezes com variáveis discretas 
e outras tantas com variáveis contínuas nos conduz à divisão 
das distribuições de probabilidades em dois grandes grupos, 
cada um deles com modelos matemáticos específicos:
• Distribuições de probabilidades discretas:
– distribuição binomial;
– distribuição de Poisson;
– distribuição hipergeométrica.
• Distribuições de probabilidades contínuas:
– distribuição normal;
– distribuição exponencial.
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A maneira como se utiliza uma e outra difere de acordo 
com os aspectos específicos do problema estatístico que está 
sendo estudado. De modo geral, as distribuições discretas 
utilizam equações estatísticas para calcular as probabilidades e 
as contínuas, gráficos e tabelas deles decorrentes para o mesmo 
cálculo.
Como as distribuições binomiais e em especial as distribuições 
normais são aquelas mais utilizadas na prática, vamos concentrar 
nossos estudos nelas. As demais distribuições apresentam 
aspectos matemáticos diferenciados, mas seguem padrões de 
cálculos semelhantes, o que facilitará o estudo futuro daqueles 
que o desejarem ou dele necessitarem.
2.2 Distribuição de probabilidades binomial
A distribuição de binomial é uma distribuição para variáveis 
discretas e, como o próprio nome indica, é utilizada quando temos 
a presença de dois eventos complementares. É uma generalização 
do binômio de Newton e adapta-se às amostragens que seguem 
o princípio de Bernoille, que são as seguintes:
1. Em cada repetição do experimento, nomeado como 
tentativa, existem dois e apenas dois resultados possíveis, 
complementares chamados por conveniência de sucesso 
e insucesso.
2. A série de tentativas é composta de eventos independentes.
3. As probabilidades de sucesso e insucesso permanecem 
constantes ao longo das tentativas. É um processo 
estacionário.
Para entender o funcionamento e a utilidade da distribuição 
binomial, vamos recuperar um tipo de problema que já 
equacionamos no capítulo anterior:
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1. Um vendedor sabe que, ao sair para fazer um 
determinado tipo de venda, tem 20% de probabilidade 
de concretizá-la. Em um dia qualquer, ele sai para 
atender a três clientes. Qual é a probabilidade de ele 
fazer exatamente duas vendas?
O problema pode ser resolvido usando os conceitos 
aprendidos no capítulo anterior. Mas veja bem, isso só é possível 
porque ele pretende fazer poucas visitas. Caso ele saísse para 
fazer dez visitas, a resolução seria demasiadamente trabalhosa.
Vamos começar pelo caso mais fácil. A árvore de decisões 
apresentada a seguir mostra três caminhos nos quais o vendedor 
consegue efetivar exatamente duas vendas. São os caminhos 
2, 3 e 5. Portanto, como vimos anteriormente a probabilidade 
de o vendedor realizar exatamente duas vendasé a soma das 
probabilidades dos três caminhos, ou seja:
P(exatamente duas vendas)=P(caminho 2) + P(caminho 3) + 
+ P(caminho 5)
P(exatamente duas vendas)=0,0320 + 0,0320 + 0,0320 = 
= 0,0960 = 9,60%
Portanto, a probabilidade de o vendedor conseguir efetivar 
exatamente duas vendas é de 9,60%.
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0,2
1º 
cliente
1
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3
4
5
6
7
8
Não 
efetua a 
venda
Efetua a 
venda
2º 
cliente
2º 
cliente
3º 
cliente
3º 
cliente
3º 
cliente
3º 
cliente
Não 
efetua a 
venda
Efetua a 
venda
Não 
efetua a 
venda
Efetua a 
venda Não 
efetua a 
venda
Efetua a 
venda
Não 
efetua a 
venda
Efetua a 
venda
Não 
efetua a 
venda
Efetua a 
venda
Não 
efetua a 
venda
Efetua a 
venda
0,2x0,2x0,2=0,23x0,80=0,0080
0,2x0,2x0,8=0,22x0,81=0,0320
0,2x0,8x0,2=0,22x0,81=0,0320
0,2x0,8x0,8=0,21x0,82=0,1280
0,8x0,2x0,2=0,22x0,81=0,0320
0,8x0,2x0,8=0,21x0,82=0,1280
0,8x0,8x0,2=0,21x0,82=0,1280
0,8x0,8x0,8=0,20x0,83=0,5120
0,8
0,8
0,2
0,8
0,2 0,8
0,2
0,8
0,2
0,8
0,2
0,8
0,2
Observe algumas coisas interessantes sobre esse cálculo que 
acabamos de fazer:
• Todos os caminhos têm o mesmo cálculo: 0,22 x 0,81 = 
0,0320. Note que 0,2 é a probabilidade de se concretizar 
a venda e o expoente dele, 2, é o número de vendas que 
queremos concretizar; 0,8 é a probabilidade de não se 
concretizar a venda e o expoente dele, 1, é o número de 
vendas que não iremos concretizar.
• Observe também que existem três caminhos possíveis. 
Você deve lembrar que esse valor se refere às combinações 
possíveis de 3 elementos (os clientes visitados) tomados 2 
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a 2 (o número de vendas que queremos efetivar):
C
n
x n x
Cn x, ,
!
!( )!
!
!( )!
!
! !
=
−
⇒ =
−
=
×
= × ×
× ×
=32
3
2 3 2
3
2 1
1 2 3
1 2 1
3
Dessa forma, conseguimos encontrar uma fórmula para 
calcular qualquer quantidade de eventos, com muito menos 
trabalho. Como exemplo disso, vamos resolver a seguinte 
questão:
2. Um vendedor sabe que, ao sair para fazer um 
determinado tipo de venda, tem 30% de probabilidade 
de concretizá-la. Em um dia qualquer, ele sai para 
atender a vinte clientes. Qual é a probabilidade de ele 
fazer exatamente oito vendas?
Nessa questão, os números envolvidos são muito maiores, 
causando um trabalho braçal muito grande se formos resolvê-la 
“na raça”, como a questão anterior. Mas agora já conhecemos o 
funcionamento na distribuição é só usá-lo:
• Probabilidade de se efetivar uma venda: 30% ou 0,3.
• Número de vendas que quero efetivar: 8.
• Probabilidade de não se efetivar uma venda: 70% ou 0,7 
(lembre-se: são eventos complementares).
• Número de vendas que não irá se efetivar: 12 (lembre-se: 
se o vendedor vai fazer 20 visitas e concretiza a venda em 8 
delas, não concretizará vendas em 12 delas, obviamente).
Aplicando a fórmula:
• Número de caminhos:
C
n
x n x
Cn x, ,
!
!( )!
.=
−
⇒ =20 8 125 970
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• Probabilidade de cada caminho: 0,38 x 0,712 = 
0,0000009081
• Probabilidade de se efetivarem exatamente oito vendas: 
125.970 x 0,0000009081 = 0,1144 = 11,44%
Perceba que, apesar dos números envolvidos serem difíceis 
de trabalhar, ainda é muito mais simples que o raciocínio da 
árvore.
Com rigor formal, a fórmula para o cálculo da distribuição 
binomial, é a seguinte:
P X x C p pn x
x n x( ) ( ),= = × × − −1
Sendo:
• P(X=x) é a probabilidade de que o número de sucessos 
obtidos seja exatamente igual a x;
• n é o número de tentativas realizadas, ou seja, o número 
de vezes que o experimento é realizado;
• X é o número de sucessos que desejamos obter;
• p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
Vamos praticar esse cálculo com a seguinte questão:
3. Em um ano qualquer, 55% das ações negociadas na 
Bolsa de Valores de São Paulo sofreram alta, enquanto 
45% se mantiveram estáveis ou sofreram baixa. Uma 
corretora de ações separa dez ações de sua carteira 
ao acaso. Qual é a probabilidade de que dessas dez 
ações:
a. Exatamente oito ações tenham tido alta?
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b. Todas as dez ações tenham tido alta?
c. No máximo duas ações tenham tido alta?
Para todas as perguntas serão mantidas constantes as 
informações:
• Número de tentativas: n = 10.
• Probabilidade de sucesso: p = 0,55 (probabilidades de uma 
ação ter alta).
Irá variar o valor de x para cada uma das perguntas:
• Na pergunta a, o valor de x é oito: x = 8, logo, o cálculo 
será:
P X x C p p P X Cn x
x n x( ) ( ) ( ) , ( , ), ,= = × × − ⇒ = = × × −− −1 8 0 55 1 0 5510 8 8 10 8
P X( )
!
!( )!
, ( , ) , ( , )= =
−
× × − = × × − =−8 8
8 10 8
0 55 1 0 55 45 0 55 1 0 55 48 10 8 8 0 55 0 0084 0 2025× ×, ,
P X( ) , , %= = =8 0 0765 7 65
• Na pergunta b, o valor de x é dez: x = 10, e o cálculo 
será:
P X x C p p P X Cn x
x n x( ) ( ) ( ) , ( , ), ,= = × × − ⇒ = = × × −− −1 10 0 55 1 0 551010 10 10 100
P X( )
!
!( )!
, ( , ) , ( ,= =
−
× × − = × × −−10 10
10 10 10
0 55 1 0 55 1 0 55 1 010 10 10 10 555 1 0 0025 10) ,= × ×
P X( ) , , %= = =10 0 0025 0 25
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• Na pergunta b, o valor de x é 0, 1 e 2, porque queremos 
no máximo duas ações com alta ou seja, nenhuma ação 
com alta ou uma ação com alta ou duas ações com alta. 
Devemos, então, fazer três cálculos e somar os valores:
P X C( ) , ( , ) ,,= = × × − =−0 0 55 1 0 55 0 000310 0 0 10 0
P X C( ) , ( , ) ,,= = × × − =−1 0 55 1 0 55 0 0042101 1 10 1
P X C( ) , ( , ) ,,= = × × − =−2 0 55 1 0 55 0 022910 2 2 10 2
P(X - no máximo 2) = 0,0003 + 0,0042 + 0,0229 = 0,0274 = 2,74%
A rigor, a distribuição de probabilidades binomial seria uma 
tabela, com todos os possíveis resultados associados às suas 
probabilidades correspondentes. O quadro a seguir faz isso para 
a questão anterior.
Número de 
ações em alta
Cálculo da probabilidade de ocorrência 
n = 10; p = 0,55
Probabilidade 
de ocorrência
0 P(X=0)=C10,0x0,55
0x(1-0,55)10-0 0,03%
1 P(X=1)=C10,1x0,55
1x(1-0,55)10-1 0,42%
2 P(X=2)=C10,2x0,55
2x(1-0,55)10-2 2,29%
3 P(X=3)=C10,3x0,55
3x(1-0,55)10-3 7,46%
4 P(X=4)=C10,4x0,55
4x(1-0,55)10-4 15,96%
5 P(X=5)=C10,5x0,55
5x(1-0,55)10-5 23,40%
6 P(X=6)=C10,6x0,55
6x(1-0,55)10-6 23,84%
7 P(X=7)=C10,7x0,55
7x(1-0,55)10-7 16,65%
8 P(X=8)=C10,8x0,55
8x(1-0,55)10-8 7,63%
9 P(X=9)=C10,9x0,55
9x(1-0,55)10-9 2,07%
10 P(X=10)=C10,10x0,55
10x(1-0,55)10-10 0,25%
Somatório 100%
Observe a tabela anterior e verifique a semelhança com a 
apresentação semelhante feita na disciplina de Estatística, para 
amostras. Lembre-se de que a partir de informações desse tipo 
definimos as medidas de posição e as medidas de dispersão para 
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as amostras. De maneira semelhante, iremos agora definir as 
mesmas medidas para as populações, com a diferença de que 
para as amostras são valores reais e para população,valores 
prováveis, ou esperados.
2.3 Valor e variância esperados
A média de uma população é um valor provável ou, se 
preferir, esperado, e é calculado de maneira semelhante ao 
que foi calculado na amostra, mas utilizando-se os valores de 
probabilidades em vez das frequências.
Utiliza-se como símbolo da média populacional a letra grega 
µ (mi) ou então o símbolo E(x), significando a esperança de x ou 
o valor esperado para x, e é obtida pela fórmula:
E x p x p x p x p x p xn n i
i
n
( ) .....= + + + + =
=
∑1 1 2 2 3 3 1
1
Observe o cálculo a seguir, feito para os dados da questão 3, 
e perceba a semelhança com o cálculo da média amostral feita 
na disciplina de Estatística:
A B C D = AxC
Número de ações 
em alta
Probabilidade 
de ocorrência 
percentual
Probabilidade 
de ocorrência 
decimal pix1
x1 pi
0 0,03% 0,0003 0,00
1 0,42% 0,0042 0,00
2 2,29% 0,0229 0,05
3 7,46% 0,0746 0,22
4 15,96% 0,1596 0,64
5 23,40% 0,2340 1,17
6 23,84% 0,2384 1,43
7 16,65% 0,1665 1,17
8 7,63% 0,0763 0,61
9 2,07% 0,0207 0,19
10 0,25% 0,0025 0,03
Somatório da coluna D E(x) 5,50
5
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10
Isso significa que o valor esperado de ações em alta nessa 
Bolsa é de 5,5 ações, das dez consideradas. Podemos afirmar 
que, em cada dez ações acompanhadas, 5,5 devem estar em 
alta. Perceba que não é uma certeza, é um valor, sujeito a 
variabilidade. Essa variabilidade é medida pela variância, que 
tem a mesma definição e as mesmas características daquela 
definida para a amostra, e é calculada pela fórmula:
Var x E x E x( ) ( ) ( )= − [ ]2 2
O quadro a seguir mostra o cálculo da variância, semelhante 
ao conhecido para a amostra:
A B C D = AxC E = AxA F = ExC
Número 
de ações 
em alta
Probabilidade 
de ocorrência 
percentual
Probabilidade 
de ocorrência 
decimal pix1
Valor ao 
quadrado pix1
2
x1 pi
0 0,03% 0,0003 0,00 0 0,00
1 0,42% 0,0042 0,00 1 0,00
2 2,29% 0,0229 0,05 4 0,09
3 7,46% 0,0746 0,22 9 0,67
4 15,96% 0,1596 0,64 16 2,55
5 23,40% 0,2340 1,17 25 5,85
6 23,84% 0,2384 1,43 36 8,58
7 16,65% 0,1665 1,17 49 8,16
8 7,63% 0,0763 0,61 64 4,88
9 2,07% 0,0207 0,19 81 1,68
10 0,25% 0,0025 0,03 100 0,25
Somatório da coluna 
D e F E(x) 5,50 E(x)
2 32,73
Var x E x E x Var x( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ,= − [ ] ⇒ = −[ ] = − =2 2 232 73 5 5 32 73 30 25 2 48
Você se lembra de que o desvio padrão é a raiz quadrada 
da variância. O símbolo do desvio padrão populacional é a letra 
grega σ (sigma), portanto:
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σ = Var x( )
Nessa questão, o desvio padrão é dado por: 
σ σ σ= ⇒ = ⇒ =Var x( ) , ,2 48 158
Todas essas informações estatísticas que acabamos de ver e 
calcular para o caso do lote de ações da Bolsa de Valores podem 
ser apresentadas na forma gráfica, de modo semelhante ao que 
fizemos para as amostras.
Observar que, enquanto no eixo horizontal continuamos 
a colocar os valores envolvidos, no eixo vertical, colocamos 
agora as probabilidades, e não mais as frequências. De resto, são 
gráficos bastante semelhantes, com a já sabida diferença de que 
um apresenta valores reais (quando trabalhamos com amostras) 
e o outro, valores prováveis (para a população).
Distribuição de probabilidades – ações em alta
Pr
ob
ab
ili
da
de
s
Número de ações em alta
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
µ-σ µ+σµ
5
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No gráfico, podemos definir:
• As probabilidades de cada ocorrência (determinado número 
de ações em alta), representadas pelas colunas verticais.
• A média (µ) ou valor esperado para essa distribuição, 
representado pela linha tracejada central.
• A variação de um desvio padrão (σ) para mais, representada 
pela linha traço e ponto da direita.
• A variação de um desvio padrão (σ) para menos, 
representada pela linha traço e ponto da esquerda.
• E uma curva que passa pelo topo de todas as colunas, 
centrada na média e com inflexões nos desvios padrões 
para mais e para menos.
Essa curva é extremamente importante para a estatística 
e é assunto de nosso próximo item. Verifique, por ora, que é 
evidente o fato de que, quanto maior for o número de colunas, 
mais definida será a referida curva.
2.4 Distribuição normal
2.4.1 Conceitos básicos
No tópico anterior, vimos a mais importante distribuição de 
probabilidades discretas, a distribuição binomial. Para variáveis 
contínuas, a mais importante distribuição é a distribuição 
normal ou de Gauss. Aliás, essa é a mais importante distribuição 
de probabilidades e a mais usada. Uma enorme quantidade de 
situações estatísticas recai na distribuição normal.
O gráfico apresentado no final do item anterior mostra o 
surgimento da curva a partir de um histograma de probabilidade, 
com suas características principais:
• centrada na média;
• com sua forma definida pelo valor do desvio padrão.
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Na tabela abaixo, temos relacionados dados referentes 
às ações em alta de três diferentes bolsas de valores. Foram 
acompanhadas 30 diferentes ações em cada uma das bolsas, e 
seu comportamento estatístico foi calculado. Cada uma delas 
com um comportamento diferente expresso pela média e pelo 
desvio padrão.
Bolsa de 
valores
Número de 
observações
Probabilidade de 
ações em alta
Média de 
ações em alta
Desvio 
padrão de 
ações em alta
A 30 30% 9 2,51
B 30 50% 15 2,74
C 30 80% 24 2,19
Essas mesmas informações estão mostradas no gráfico abaixo. 
Perceba que retiramos as colunas do histograma e mantivemos 
apenas a curva. Essas curvas são as chamadas distribuições 
normais. Quando o número de observações (tentativas) em uma 
distribuição binomial aumenta, ela se aproxima cada vez mais 
da distribuição normal, até que ficam indistinguíveis. Chama-se 
a isso de aproximação da binomial pela normal.
20%
18%
16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
0
Pr
ob
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da
de
s
Bolsa A (9;2,51)
Bolsa B (15;2,74)
Bolsa C (24;2,19)
5 10 15 20 25 30
Número de ações em alta
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Observando atentamente o gráfico anterior, percebemos que 
na Bolsa C é praticamente impossível (ou seja, a probabilidade é 
muito próxima de zero) que existam menos de 15 ações em alta. 
Para a Bolsa A, é o oposto, é praticamente impossível que tenha 
mais do que 16 ou 17 ações em alta. Já para a Bolsa B, o mais 
provável é que tenha 15 ações em alta.
Percebe-se também que a curva que apresenta o maior desvio 
padrão é a mais baixa e achatada (Bolsa B) e a que apresenta 
menor desvio padrão é a mais alta e afilada (Bolsa C).
A bolsa que tem maior probabilidade de ter ações em alta 
(Bolsa C) tem o gráfico deslocado para a direita, enquanto a com 
menor probabilidade (Bolsa A) está deslocada para a esquerda. 
A Bolsa A que tem 50% de suas ações em alta está localizada 
exatamente em torno do valor central e, percebe-se, é mais 
regular, menos “deformada” que as outras.
Resumindo, a curva normal é determinada em todos os seus 
aspectos pela média e pelo desvio padrão. Conhecendo esses 
dois parâmetros, conhecemos o comportamento probabilístico 
do experimento.
Observe agoraa curva referente à Bolsa B. Perceba que ela 
é absolutamente simétrica em relação ao eixo vertical. O lado 
esquerdo dela em relação à média é idêntico ao lado direito. 
Em outras palavras, metade da área sob essa curva está do lado 
esquerdo da média e metade está do lado direito da média, e a 
probabilidade de se ter 15 ações ou mais em alta nessa bolsa é de 
50%, assim como a probabilidade de se ter 15 ações ou menos. 
Essa é uma importante decorrência das distribuições contínuas, 
entre elas, a normal: as probabilidades são proporcionais às áreas 
definidas pelos valores envolvidos.
A questão proposta a seguir demonstra a utilidade desses 
conceitos:
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4. Uma empresa de pneumáticos acompanhou a vida 
útil de uma quantidade considerável de pneus de um 
determinado tipo e chegou à conclusão de que essa 
vida útil é normalmente distribuída e tem uma média 
de 42.000 km com desvio padrão de 5.800 km. Um 
cliente adquire um desses pneus e o instala no seu 
automóvel. Qual é a probabilidade de que ele dure 
mais do que 50.000 km?
Antes de qualquer coisa, vamos entender os procedimentos 
operacionais envolvidos. O fabricante não acompanha todos os 
pneus que fabrica, evidentemente, acompanha uma pequena 
fração deles, anotando a quilometragem durante a qual 
eles foram utilizados. Com esses dados, que devem ser em 
quantidade considerável, ele calcula a média e o desvio padrão, 
como nós fizemos na disciplina de Estatística, e assume que, se 
ele tivesse acompanhado todos os pneus fabricados, os valores 
seriam muito próximos. Ele consegue observar também se o 
experimento segue ou não a curva normal.
Feita essa observação, veja o gráfico a seguir:
0
Pr
ob
ab
ili
da
de
s
5 20 35 50 65
42
Vida útil
em milhares de km
Área na qual estão 
localizados os pneus 
que têm vida útil maior 
ou igual a 50.000 km
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Na área sob a curva, estão representados todos os possíveis 
pneus desse tipo, desde o que menos rodou ou rodará até o 
que mais rodou ou rodará, ou seja, a população dos pneus 
desse tipo. Perceba que o pneu que menos roda faz isso por 
aproximadamente 25.000 km, e o que é mais resistente roda 
cerca de 65.000 km.
Se todos os pneus estão representados pela área total (AT) e 
os pneus que duram 50.000 ou mais quilômetros na área cinza 
(Ap = área pedida), então é lógico deduzir a partir do que já 
sabemos:
P
A
A
p
t
(pneu rodar 50.000 km ou mais) =
Nessas circunstâncias, calcular a probabilidade significa 
calcular duas áreas. Não é uma tarefa fácil, matematicamente, 
mas foram desenvolvidos procedimentos que facilitam esses 
cálculos.
Logo a seguir, mostraremos como são esses procedimentos. 
Por ora, você acreditará quando digo que a área dada desse 
exercício corresponde a 8,38% da área total, portanto:
P(pneu rodar 50.000 km ou mais) = 0,0838 = 8,38%
2.4.2 Cálculo das áreas da curva normal
Como notamos na resolução da questão anterior, o cálculo 
de uma probabilidade que segue a distribuição normal é 
relativamente fácil e pouco trabalhoso; o grande problema é 
calcular as áreas envolvidas.
Esse tipo de cálculo é matematicamente muito trabalhoso e 
deveria ser refeito a cada problema a se resolver, visto que, como 
cada curva normal é caracterizada pela média e pelo desvio 
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padrão, qualquer alteração nesses parâmetros provocaria uma 
mudança na curva e consequentemente o recálculo das áreas 
envolvidas.
Para facilitar esses cálculos que são repetidos centenas de 
milhares de vezes, foi estabelecida uma curva padrão, chamada 
de curva normal reduzida, a partir da qual, por analogia, 
determinam-se as áreas de situações práticas.
Essa curva tem várias características interessantes que irão 
facilitar nossos cálculos:
• Utiliza-se a variável reduzida (padrão) z, para diferenciá-la 
da variável real, aquela de envolve os problemas práticos 
que continuaremos a chamar de x (por exemplo, vida útil 
do pneu do nosso exemplo).
• É construída para uma média igual a zero e um desvio 
padrão igual a 1 (µ=0; σ=1).
• A área total sob a curva normal reduzida é igual a 1.
• A curva varia, no eixo z desde -4 até mais 4, ou seja, de 
menos quatro desvios padrões da média até mais quatro 
desvios padrões da média.
• Todas as áreas são tabeladas. Veja tabela do anexo 1.
• A relação entre a curva normal reduzida e a curva normal 
real é feita pela fórmula:
z
x= − µ
σ
Em que:
• z é a variável reduzida.
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• x é a variável real.
• µ é a média real.
• σ é o desvio padrão real.
A curva reduzida pode ser vista a seguir. Perceba que entre 
um desvio padrão para menos, em relação à média, e um desvio 
padrão para mais, a área é de 68,2% do total. Entre dois desvios 
padrões para menos e dois desvios padrões para mais, a área é 
de 95,4% do total e assim por diante. Perceba que não existe 
área antes de quatro vezes o desvio padrão para menos e 
depois de quatro vezes o desvio padrão para mais, ou seja, é 
estatisticamente impossível ocorrer algo que diste mais do que 
4 vezes o desvio padrão da média.
P(z)
z
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
68,2%
95,4%
99,7%
100,0%
Os cálculos das probabilidades envolvendo distribuições 
normais são basicamente a determinação das áreas envolvidas, 
por meio do uso da tabela da curva normal reduzida, acessada 
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por meio de analogia com a situação real que estamos 
trabalhando.
Precisamos então entender o funcionamento da tabela da 
curva normal reduzida, a qual você encontra no anexo 1.
O critério básico da tabela é que as áreas começam sempre 
da extrema esquerda da curva e terminam no valor de z que se 
está trabalhando, como mostrado a seguir:
P(z)
z
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
At
Z1 = -1,65
A área marcada começa na extrema esquerda e termina em 
z1=-1,65, portanto é uma área tabelada, o valor dela é obtido na 
tabela da seguinte forma:
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0404 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0600 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
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Perceba que a tabela tem duas páginas. Uma para 
valores de z positivos e outra para valores de z negativos. 
No exemplo anterior, usamos a tabela para valores de z 
negativos, obviamente. Na coluna da esquerda, localizamos 
os dois primeiros algarismos do z dado, ou seja, 1,6. Na 
primeira linha, localizamos o valor do último algarismo de 
z, o algarismo 5. A área tabelada é