Estatistica Aplicada_Unidade II

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AMOSTRAGEM E CORRELAÇÃO
Nesta segunda parte do curso de Estatística Aplicada, nós 
iremos nos ater à amostragem e à correlação.
Por amostragem, entendem-se os procedimentos destinados 
a estudar as relações entre populações e suas amostras.
Já dentro da correlação e regressão, estaremos nos direcionado 
aos relacionamentos entre duas variáveis, procurando verificar 
se o comportamento de uma está, de alguma forma, relacionado 
com o comportamento da outra.
3 AMOSTRAGEM
Objetivos
Caso você queira saber se uma determinada marca de uísque 
é boa, você precisa beber a garrafa inteira? A menos que você 
tenha acabado de bebê-la, a resposta certamente será não. Todos 
nós sabemos que basta beber uma dose para conseguirmos 
avaliar a qualidade da bebida. Essa pequena dose é chamada 
de amostra, e o processo pelo qual estimamos a qualidade 
do uísque usando a avaliação de uma amostra é chamado de 
amostragem.
Agora, note que, se você quiser fazer o mesmo raciocínio para 
uma feijoada, terá que considerar alguns aspectos: o processo 
de amostragem ainda é válido, mas a amostra certamente 
terá que ser maior do que aquela de uísque. E por que isso? 
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Porque, enquanto o uísque é totalmente homogêneo, a feijoada 
tem um alto grau de heterogeneidade. Trocando em miúdos, 
se você pegar uma pequena amostra da feijoada, corre o risco 
de não provar o paio, que está uma porcaria, e assim chegar a 
conclusões errôneas.
Em estatística, a medida que nos informa qual é o grau 
de homogeneidade do universo que estamos trabalhando é 
o desvio padrão, e, quanto maior ele for, menos homogêneos 
serão o universo e a amostra.
Assim, quando quisermos saber qual é o tamanho que uma 
amostra deve ter, deveremos saber qual é o seu desvio padrão.
Por outro lado, observe que, quando você experimenta 
uma amostra para saber como funciona o universo todo, você 
está fazendo uma estimação, ou seja, uma previsão do todo 
a partir de uma parte. Isso é possível, mas com um cuidado 
fundamental: a previsão está sujeita a um erro estatístico, 
ou seja, uma tolerância para mais e para menos em torno 
do valor previsto. Essa tolerância é chamada de erro máximo 
da estimativa, que deve ser estabelecido por você em função 
da resposta que espera obter. Note que, quanto menor for o 
erro que se está disposto a aceitar, maior será o tamanho da 
amostra que terá que ser colhida, ou seja, mais cara será sua 
amostragem.
Assim, quando quisermos saber qual é o tamanho que uma 
amostra deve ter, deveremos estabelecer qual é o erro máximo 
esperado.
Por fim, você terá que notar que essa sua estimativa merece 
certa confiança de sua parte, ou seja, o quanto você acredita 
que ela está certa. Lembre-se de que, se quiser ter 100% de 
confiança, terá que pagar por isso. A amostra ficará grande e 
cara. Na maior parte das vezes, uma confiança de 90% ou 95% é 
suficientemente boa para podermos tomar uma decisão segura e 
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coerente. Certamente você trabalhou com uma confiança muito 
menor quando decidiu pedir a mão daquela garota bonita ou 
aceitou o pedido de casamento daquele galante rapaz!
Assim, quando quisermos saber qual é o tamanho que 
uma amostra deve ter, deveremos estabelecer qual é o nível de 
confiança com que devemos trabalhar.
Note, portanto, que grande parte de nossas preocupações 
no processo de amostragem é a determinação do tamanho 
das amostras.
Amostragem, fundamentalmente, é o processo de colher 
amostras, estudá-las, determinando suas medidas estatísticas e, 
a partir deste estudo, induzir os parâmetros populacionais.
Quando falamos que estamos estimando um parâmetro 
estatístico, queremos dizer que, a partir do conhecimento 
de uma medida estatística, iremos prever o valor da medida 
(parâmetro) populacional. Por exemplo, suponha que tenhamos 
escolhido aleatoriamente 100 alunos de estatística, dentro de 
uma população de 1.000 estudantes, coletado as notas de 
cada um e encontrado a média dessas notas. Suponha ainda 
que essa média tenha sido 5,6. É lógico supor, em princípio, 
que a média de todos os 1.000 alunos de estatística também 
seja igual a 5,6.
Para diferenciarmos as duas informações, iremos utilizar 
simbologia diferente para as medidas estatísticas e para os 
parâmetros populacionais. Assim sendo, diríamos que, para a 
amostra de 100 alunos, a média é: X = 5,6 e que, para a população 
de 1.000 estudantes, a média estimada é µ = 5,6. As medidas 
estatísticas são simbolizadas por letras do nosso alfabeto, e os 
parâmetros estatísticos por letras gregas.
Essa estimativa feita é chamada de estimativa por pontos, 
e normalmente são preteridas em favor das estimativas por 
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intervalos, que indicam a precisão ou a exatidão. As estimativas 
por intervalos são dadas por dois números obtidos pela 
introdução do conceito de erro estatístico.
Assim sendo, seria preferível apresentar a estimativa 
anteriormente mencionada da seguinte maneira: o valor 
estimado para a média dos 100 estudantes mencionados é de 
5,6±0,2, ou seja, a média será um valor entre 5,4 e 5,8. O valor 
0,2 é o erro esperado nessa estimativa.
Os cálculos envolvendo essas estimativas serão mostrados a 
seguir.
3.1 Teoria elementar da amostragem
Imagine uma população de grande quantidade de valores, 
da qual são retiradas todas as amostras possíveis de tamanho 
N. Para cada uma dessas amostras, podemos calcular uma 
determinada grandeza estatística, digamos, por exemplo, a 
média, que irá variar de amostra para amostra. Todos os valores 
calculados juntos formarão uma distribuição amostral, que no 
caso da média se chamará distribuição amostral das médias. 
Para essa distribuição como para qualquer outra distribuição, 
pode ser calculada a média e o desvio padrão, portanto podemos 
falar de média e desvio padrão da distribuição amostral das 
médias, por exemplo.
Observe que de maneira semelhante podemos conceituar 
distribuições amostrais das outras medidas estatísticas, como, 
por exemplo, as distribuições amostrais das proporções, a 
distribuição amostral das variâncias, as distribuições amostrais 
dos desvios padrões etc.
Neste curso, iremos nos ater às principais, ressaltando que as 
demais seguem exatamente os mesmo princípios.
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Distribuição amostral das médias
Admita que uma determinada população tenha média µ 
e desvio padrão σ, e que retiremos dessa população todas as 
amostras possíveis de tamanho N. Para cada amostra, calculamos 
a média, e todas as médias calculadas irão compor a distribuição 
amostral das médias, cuja média é chamada de média da 
distribuição das médias e simbolizada por µx, e o desvio padrão 
da distribuição das médias é simbolizado por σx, sendo o valor 
de ambos dados, respectivamente, por:
µx = µ e σ
σ
x N
=
O exemplo a seguir deixa mais claro o raciocínio e a utilização 
desses co nceitos.
1. Sabemos que a altura média de 5.000 estudantes 
universitários do sexo masculino é de 1,728 m com 
desvio padrão de 0,067 m. Desse grupo, retiramos 
100 amostras de 30 estudantes cada uma.Qual é a 
média da distribuição amostral das médias e qual é o 
desvio padrão da distribuição amostral das médias?
Observe que nos foram informados os seguintes dados:
• Média populacional: µ = 1,728
• Desvio padrão populacional: σ = 0,067
• Tamanho das amostras: N = 30
Assim sendo, podemos calcular a média da distribuição 
amostral das médias:
µ µ µx x= ⇒ =1728,
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E o desvio padrão da distribuição amostral das médias:
σ σ σ σx x xN
= ⇒ = ⇒ =0 067
30
0 012
,
,
Sobre esses cálculos, é importante ressaltar:
1. Não estamos considerando todas as amostras possíveis 
e imagináveis, somente 100 delas estão sendo levadas 
em conta. Isso faz com que essa não seja a verdadeira 
distribuição amostral das médias, mas uma amostragem 
experimental. No entanto, como o número 100 é 
suficientemente grande, podemos afirmar que essas 
duas distribuições são muito aproximadas, e do ponto 
de vista prático poderão ser consideradas iguais.
2. Esses cálculos foram considerados para uma população 
muito grande, tão grande que a consideramos infinita. 
Caso a população não fosse tão grande e a amostragem 
não fosse feita com reposição, deveríamos fazer uma 
correção no cálculo do desvio padrão da distribuição 
amostral. Essa correção é feita pela multiplicação do 
valor do desvio padrão pela expressão: 
N N
N
p
p
−
−1
, em 
 
que Np é o tamanho da população. Assim, o cálculo do 
desvio padrão ficaria sendo:
σ σ σ σ σx
p
p
x x xN
N N
N
=
−
−
⇒ = −
−
⇒ = × ⇒ =
1
0 067
30
3 000 80
3 000 1
0 012 0 987
, .
.
, , 00 012,
 Perceba que na prática não ocorre diferenças, em 
virtude do tamanho muito grande da população.
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3. O desvio padrão da distribuição amostral é normalmente 
chamado de erro padrão.
4. Para grandes valores de N (N≥30), a distribuição amostral 
é aproximadamente normal, independentemente do 
comportamento da população. Essa característica 
permite responder à seguinte questão:
2. Quantas das 100 amostras colhidas apresentarão 
valores médios acima de 1,735 m?
Esse cálculo é feito de modo idêntico ao que fizemos no 
capítulo da distribuição normal, ou seja:
z
x
tabela At1
1735 1728
0 012
0 58 0 7190= − = − = → → =µ
σ
, ,
,
, ,
A Ap t= − = − = =1 1 0 7190 0 2810 28 10, , , %
A probabilidade de que uma das amostras tiradas tenha 
valor médio superior a 1,735 m é de 28,10%. Dessa forma, em 
100 amostras colhidas, 28 amostras apresentarão valor médio 
acima de 1,735m.
Distribuição amostral das proporções
Admita que uma população seja infinita e que a probabilidade 
de ocorrência de certo evento é p (probabilidade de sucesso) e 
que retiremos dessa população todas as amostras possíveis de 
tamanho N. Para cada amostra, calculamos a média, e todas 
as médias calculadas irão compor a distribuição amostral das 
proporções, cuja média é chamada de média da distribuição 
das proporções e simbolizada por µp, e o desvio padrão da 
distribuição das proporções é simbolizado por σp, sendo o valor 
de ambos dados, respectivamente, por:
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µp p= e σp
p p
N
= −( )1
O exemplo a seguir deixa mais claro o raciocínio e a utilização 
desses conceitos.
3. Em determinado processo produtivo, 4% dos itens 
produzidos são defeituosos. Em dado momento, retira-
se da produção 500 itens produzidos. Calcular:
a. Qual a média da distribuição amostral dessa 
proporção?
b. Qual é o desvio padrão dessa distribuição amostral 
das proporções?
c. Qual é a probabilidade de que desses 500 itens 
inspecionados 3% ou mais sejam defeituosos?
Observe que nos foi informados os seguintes dados:
• Probabilidade de sucesso: p = 4% ou 0,04
• Tamanho das amostras: N = 500
Assim sendo, podemos calcular a média e o desvio padrão da 
distribuição amostral:
µ µp pp= ⇒ = 0 04,
σ σp p=
− ⇒ =0 04 1 0 04
500
0 009
, ( , )
,
Para o cálculo do item c, precisamos introduzir o fator 
de correção para variáveis discretas. Isso é necessário porque 
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estaremos usando conceitos da distribuição normal, como se 
sabe, uma distribuição para variáveis contínuas em uma questão 
que envolve variáveis discretas. Isso é permitido porque o N é 
suficientemente grande (≥ 30), mas é necessário o uso do fator 
de correção: f
Nc
= 1
2
.
Nessa questão, o fator de correção é de 
f
N
f fc c c= ⇒ = ×
⇒ =1
2
1
2 500
0 001,
Esse cálculo é feito de modo idêntico ao da distribuição 
normal, ou seja:
z
x
tabela At1
0 03 0 001 0 04
0 009
122 0 1112= − = − − = − → → =µ
σ
, , ,
,
, ,
A Ap t= − = − = =1 1 0 1112 0 8888 88 88, , , %
A probabilidade de que dos 500 itens inspecionados 3% ou 
mais sejam defeituosos é de 88,88%.
Distribuição amostral das diferenças
Dadas duas populações, das quais são retiradas amostras 
de NA da população A e NB elementos da população B, a 
distribuição amostral das diferenças (das médias, das proporções 
ou de qualquer outra medida estatística) é caracterizada pela 
diferença dos valores centrais e pela raiz quadrada da soma 
dos quadrados dos desvios padrões, dividida pelo tamanho da 
amostra, ou seja:
Para diferenças entre médias
µ µ µXA XB xA xB− = − e σ
σ σ
XA XB
xA
A
xB
BN N
− = +
2 2
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Para diferenças entre proporções
µpA pB A Bp p− = − e σp` pB
A A
A
B B
B
p p
N
p p
N−
= − + −( ) ( )1 1
As questões a seguir ajudarão a entender esses conceitos.
4. Os amortecedores do fabricante A rodam em 
média 65.000 km, com desvio padrão de 4.500 km, 
normalmente distribuídos. Já os amortecedores do 
fabricante B duram em média 60.000 km, com desvio 
padrão de 3.500 km. Suponha que foram testados 36 
amortecedores da marca A e 49 amortecedores da 
marca B. Calcule:
a. Qual a média e o desvio padrão da distribuição 
amostral da diferença entre as vidas úteis?
b. Qual é a probabilidade de que a amostra dos 
amortecedores da marca A durem menos que 
3.000 km do que os da marca B?
µ µXA XB XA XB− −= − ⇒ =65 000 60 000 5 000. . .
σ σ σ σ σXA XB
xA
A
xB
B
XA XB XA XBN N− − −
= + ⇒ = + ⇒ =
2 2 2 24 500
36
3 500
49
901
. .
Observe que a diferença entre as amostras das vidas úteis 
dos amortecedores da marca A e da marca B é em média de 
5.000 km a favor do primeiro, mas com um erro padrão de 901, 
portanto o cálculo da questão b será:
z
x
tabela At1
3 000 5 000
901
2 22 0 0132= − = − = − → → =µ
σ
. .
, ,
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A Ap t= = =0 0132 132, , %
5. Os resultados de uma eleição mostraram que 
um candidato obteve 60% dos votos. Qual é a 
probabilidade de duas amostras aleatórias, cada uma 
com 200 eleitores, apresentar uma diferença superior 
a 10% de uma em relação à outra?
µ µ µpA pB A B pA pB pA pBp p− − −= − ⇒ = − ⇒ =0 6 0 6 0, ,
σ σpA pB pA pB− −=
− + − ⇒ =0 6 1 0 6
200
0 6 1 0 6
200
0 049
, ( , ) , ( , )
,
Percebaque em princípio não deveria haver diferença entre 
as duas amostras, mas é possível que a amostra A seja maior que 
a amostra B ou vice-versa. A probabilidade de que a amostra A 
tenha 10% a mais de eleitores que a amostra B é calculada da 
seguinte forma:
z
x
tabela At1
0 10 0 0025 0 0
0 049
2 09 0 9817= − = + − = → → =µ
σ
, , ,
,
, ,
A Ap t= − = − = =1 1 0 9817 0 0183 183, , , %
Devemos lembrar, no entanto, que o oposto também pode 
ocorrer, ou seja, há 1,83% de probabilidade de que a amostra 
B tenha mais de 10% de eleitores que a amostra A, logo, a 
probabilidade de que uma tenha mais do que 10% de eleitores 
do que a outra é de:
0 0183 0 0183 0 0366 3 66, , , , %+ = =
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3.2 Teoria da estimação estatística
No item anterior, vimos que é possível prever o 
comportamento de amostras sabendo o comportamento da 
população do qual ela é retirada. Do ponto de vista prático, 
no entanto, normalmente é mais interessante o movimento ao 
contrário, ou seja, a partir do estudo de uma amostra estimar-
se o comportamento de uma população.
Esse campo do estudo estatístico é conhecido como 
inferência estatística, e normalmente é feita com a definição 
dos chamados intervalos de confiança.
Suponha uma distribuição amostral das médias cuja média 
seja µX e o erro padrão σX. Note que uma amostra qualquer 
retirada da população correspondente deve pertencer a essa 
distribuição. Observe o gráfico abaixo:
P(z)
z
-4σx -3σx -2σx -1σx µx 1σx 2σx 3σx 4σx
68,2%
95,4%
99,7%
100,0%
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Observe que a probabilidade de que uma amostra tenha valor 
médio entre µX - σX. e µX + σX é de 68,2%, quer dizer, temos 
uma confiança de 68,2% de que o valor médio de uma amostra 
qualquer esteja entre aqueles valores mencionados. Em outras 
palavras, o intervalo de confiança de 68,2% são os valores entre 
µX - σX. e µX + σX .
De modo semelhante, o intervalo de confiança de 99,7% 
está entre µX - 3σX. e µX + 3σX, e assim por diante.
O número de erros padrões que estabelecem a confiabilidade 
são chamados de coeficientes de confiança ou valores críticos e 
simbolizados por zc. Podemos determinar uma confiança a partir 
do valor crítico, ou, ao contrário, determinar o valor crítico a 
partir da confiança desejada, utilizando a tabela da curva normal 
reduzida.
Por exemplo, caso queiramos trabalhar com uma 
confiabilidade de 90%, o valor crítico será de 1,645. Chega-
se a esse valor por meio do raciocínio estabelecido no gráfico 
abaixo:
P(z)
z
-Zc Zc
100% – 90%
2
= 5% = 0,0500
100% – 90%
2
= 5% = 0,050090%
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Utilizando a tabela da distribuição reduzida, teríamos:
At = 0,0500 → Zc = 1,645
Perceba que a área 0,0500 é exatamente o ponto médio 
entre o valor 0,0495 (Z= -1,65) e 0,0505 (Z= -1,64), daí o valor 
1,645. O sinal negativo será ignorado por causa da simetria da 
curva. Existe um Zc positivo e outro negativo, simétricos.
A partir desses conceitos, podemos determinar os vários 
intervalos de confiança:
Intervalo de confiança para a média: 
estimativa = ± ×X Zc
N
σ
Intervalo de confiança para as proporções: 
estimativa p= ± × −Zc p p
N
( )1
Intervalo de confiança para as diferenças de médias: 
estimativa (X -X )A B= ± × +Zc
N N
xA
A
xB
B
σ σ2 2
Intervalo de confiança para as diferenças das proporções:
estimativa (p -p )A B= ± ×
− + −Zc p p
N
p p
N
A A
A
B B
B
( ) ( )1 1
A multiplicação do valor crítico pelo erro padrão gera o 
chamado erro esperado ou margem de erro.
Acompanhe abaixo algumas aplicações dos raciocínios 
desenvolvidos anteriormente.
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6. Um auditor contábil separou aleatoriamente uma 
amostra de 45 contas pagas por uma empresa e 
encontrou um valor médio para elas de R$ 14.900,00, 
com desvio padrão de R$ 3.600. Baseando-se nesses 
valores, qual foi o valor estimado para a média 
populacional, com 95% de confiabilidade?
A estimativa para a média é dada por: 
estimativa = ± ×X Zc
N
σ
. Para fazer essa estimativa, 
 
precisamos das seguintes informações:
• Média: X =14 900.
• Valor crítico: Zc = 1,96, conforme o seguinte cálculo:
At tabela Zc= − = → → =1 0 95
2
0 0250 196
,
, ,
• Desvio padrão: σ = s = 3.600
• Tamanho da amostra: 45
estimativa estimativa = ± × = ± × → =X Zc
N
σ
14 900 196
3 600
45
14 90. ,
.
. 00 1 052± .
Baseado nesse cálculo e nessa amostra, pode-se dizer que se 
estima que as contas dessa empresa têm um valor médio entre 
R$ 13.848 e R$ 15.952 com 95% de certeza.
7. Uma pesquisa eleitoral feita com 2.500 eleitores 
revelou que o candidato X a determinado cargo eletivo 
teve 45% de intenções de voto. Qual a estimativa 
que se faria da votação que esse candidato teria, se a 
eleição fosse hoje, com 99% de confiabilidade?
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A estimativa para a proporção é dada por: 
estimativa p= ± × −Zc p p
N
( )1 . Para fazer essa estimativa, 
 
precisamos das seguintes informações:
• Proporção: p = 0,45
• Valor crítico: Zc = 2,58, conforme o seguinte cálculo:
At tabela Zc= − = → → =1 0 99
2
0 0050 2 58
,
, ,
• Tamanho da amostra: 2.500
estimativa p estimativa 0,45= ± × − → = ± × −Zc p p
N
( )
,
, ( ,1
2 58
0 45 1 0 445
2 500
0 026
)
.
,→ = ±estimativa 0,45
ou
estimativa 45%= ± 2 6, %
Desse modo, podemos afirmar que, se a eleição fosse hoje, o 
candidato A teria 45% dos votos com uma margem de erro para 
mais ou para menos de 2,6% com 99% de certeza, ou então 
dizer que ele teria entre 42,4% e 47,6 % dos votos, com 99% de 
confiabilidade.
8. Uma amostra de 300 lâmpadas da marca A apresentou 
uma durabilidade média de 2.300 horas, com desvio 
padrão de 200 horas. Outra amostra de 150 lâmpadas 
da marca B apresentou vida útil de 2.000 horas com 
desvio padrão de 90 horas. Estimar com 90% de 
confiabilidade a diferença entre as vidas úteis de 
ambas as marcas de lâmpadas.
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• Médias: X XA B= =2 300 2 000. ; . 
• Valor crítico: Zc = 1,645, conforme o seguinte cálculo:
At tabela Zc= − = → → =1 0 90
2
0 0500 1645
,
, ,
• Desvios padrões: σA = sA = 200; σB = sB = 90
• Tamanhos das amostras: NA = 300; NB = 150
estimativa (2.300-2.000) estimativa= ± × + →1645 200
300
90
150
2 2
, 300= ± 22 5,
As lâmpadas da marca A devem durar mais do que as 
lâmpadas da marca B entre 277,5 horas e 322,5 horas, com 90% 
de confiança.
9. Uma amostra aleatória, com 250 homens e 320 
mulheres, revelou que 150 dos homens e 240 das 
mulheres apreciaram o design de um novo modelo 
de automóvel. Estimar com 98% de confiabilidade a 
diferença entre a proporção de todos os homens e 
mulheres em relação a esse novo automóvel.
• Proporções: p pH M= = = =
150
250
0 6
240
320
0 75, ,; 
• Valor crítico: Zc = 2,33, conforme o seguinte cálculo:
At tabela Zc= − = → → =1 0 98
2
0 0100 2 33
,
, ,
• Tamanho da amostra: NH = 250; NM = 3205
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estimativa (p -p )M H= ± ×
− + − →Zc p p
N
p p
N
M M
M
H H
H
( ) ( )1 1
estimativa (0,75-0,60)= ± × − + −2 33 0 75 1 0 75
320
0 60 1 0 60
,
, ( , ) , ( , )
2250
0 092→ = ±estimativa (0,15 ,
ou
estimativa 15%= ± 9 2, %
Estima-se que 15% a mais de mulheres do que homens 
gostem do design deste automóvel, com uma margem de erro 
de 9,2% e uma confiabilidade de 98%, ou, em outras palavras, 
a diferença entre mulheres e homens nesse aspecto está entre 
5,8% e 24,2%, com 98% de certeza.
Decorrência importante desses cálculos é a determinação do 
tamanho da amostra necessária para se atender a determinadas 
condições estatísticas. O raciocínio é o mesmo dos casos 
anteriores, invertendo-se, no entanto, a incógnita procurada. A 
questão seguinte demonstra esse equacionamento.
10. Um analista de treinamento deseja estimar o tempo 
de treinamento em horas para determinado cargo 
com uma confiabilidade de 95% e erro esperado de 
2 horas. Baseado em estudos anteriores, ele estima o 
desvio padrão das horas gastas em treinamento em 
18 horas. Qual é o tamanho de amostra com que deve 
trabalhar?
O erro esperado ou margem de erro é dado por: 
erro esperado = ×Zc
N
σ
. Para fazer essa estimativa, 
 
precisamos das seguintes informações:
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• Valor crítico: Zc = 1,96, conforme o seguinte cálculo:
At tabela Zc= − = → → =1 0 95
2
0 0250 196
,
, ,
• Desvio padrão: σ = s = 18 horas
• Erro esperado desejável: 2 horas
erro esperado = × → = × → = × → = ×

Zc N N
N N
σ
2 196
18
196
18
2
196
18
2
, , ,  → =
2
312N
Baseado nesse cálculo, o analista deve trabalhar com uma 
amostra de 312 elementos.
De maneira semelhante, podem ser calculados os tamanhos 
necessários para amostras em qualquer dos intervalos de 
confiança.
4 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEARES
Objetivos do módulo
Podemos eleger para a palavra correlação significados como: 
relação mútua entre dois termos; qualidade de correlativo; 
correspondência.
Em estatística: é um parâmetro que indica o “grau de 
correspondência” entre duas variáveis, ou seja, a correlação 
mostra a “intensidade” com a qual dois conjuntos de dados 
estão relacionados mutuamente.
Eventualmente, duas variáveis interagem entre si, ou seja, 
uma variável está correlacionada à outra, de maneira mais ou 
menos intensa, provocando questões do seguinte tipo:
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• O salário de um trabalhador está relacionado com a 
escolaridade do mesmo, ou seja, em que grau a variável 
“salário médio de um trabalhador” está ligada com a 
variável “escolaridade do trabalhador”?
• A quantidade de livros que uma pessoa já leu está 
relacionada com sua escolaridade?
• Em que grau o peso de uma pessoa está relacionado com 
sua altura?
• A estatura de uma pessoa está relacionada com sua 
alimentação?
• A lucratividade de uma empresa está relacionada com o 
grau de escolaridade de seus executivos?
• A capacidade de aprender estatística está relacionada 
com o sexo do aluno?
Responder matematicamente a essas questões é o objetivo 
do estudo estatístico das correlações.
Considerando que exista uma correlação entre duas 
variáveis, muitas vezes desejamos saber qual é a lei matemática 
que as relacionam. Isso nos remete ao estudo das funções de 
regressão.
Neste momento, tanto para correlação como para regressão, 
iremos nos circunscrever aos relacionamentos lineares, quer 
dizer, àqueles que utilizam uma equação de primeiro grau. 
Existem outros relacionamentos, mas não serão objeto de nosso 
estudo.
4.1 Correlação linear
Imagine qualquer uma das questões anteriormente 
mencionadas. Parece que algumas respostas são verdadeiras, 
por exemplo, um trabalhador deve ganhar mais se tiver maior 
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escolaridade; uma pessoa mais alta deve pesar mais, mas outras 
respostas parecem ser falsas, como por exemplo, relacionar sexo 
com facilidade de aprendizado.
A maneira estatística de se determinar a verdade ou a 
falsidade dessas questões é calcular o coeficiente de correlação 
que existe entre as variáveis, no nosso caso o coeficiente de 
correlação linear. Esse coeficiente linear, chamado de coeficiente 
de correlação linear de Pearson é obtido da seguinte maneira:
r
n x y x y
n x x n y y
i i i i
i i i i
=
−
− −
∑∑∑
∑ ∑∑∑
. . ( ).( )
( . ( ) ).( . ( ) )2 2 2 2
Em que x é a chamada variável independente e y a variável 
dependente, ou seja, que está correlacionada (ou não) à variável x.
Essa correlação pode existir ou não, e, se existir, pode ser 
mais ou menos intensa, conforme nos mostra o coeficiente de 
Pearson:
De acordo com o coeficiente r, a correlação poderá ser:
• r = -1,00: correlação negativa perfeita.
• r = -0,75: correlação negativa forte.
• r = -0,50: correlação negativa média.
• r = -0,25: correlação negativa fraca.
• r = 0,00: correlação linear inexistente.
• r = +0,25: correlação positiva fraca.
• r = +0,50: correlação positiva média.
• r = +0,75: correlação positiva forte.
• r = +1,00: correlação positiva perfeita.
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Correlação linear positiva significa que, se uma variável 
aumenta, a outra variável também aumenta ou então, se uma 
variável diminui, a outra também diminui.
Correlação linear negativa significa que, se uma variável 
aumenta, a outra variável diminui ou então, se uma variável 
diminui, a outra aumenta.
O exemplo a seguir mostra, passo a passo, os procedimentos 
de cálculo:
1. Uma empresa de confecções quer avaliar se suas 
despesas com publicidade estão repercutindo 
favoravelmente em suas vendas. Para tanto, levantou 
os gastos de publicidade e as vendas em cinco meses 
diferentes, os quais estão relacionados na tabela 
abaixo. Calcule a resposta para a empresa.
Gastos com publicidade 
(em $mil) 3 4 8 12 14
Vendas ( em $mil) 7 14 15 28 32
A reposta a essa questão é o cálculo do coeficiente de 
correlação linear. Caso ele seja positivo, poderemos afirmar 
que as despesas com publicidade repercutem favoravelmente 
nas vendas, caso contrário, a resposta será negativa. Caso o 
coeficiente seja positivo, quanto mais próximo do valor 1, maior 
será a repercussão da publicidade nas vendas.
Para fazermos esse cálculo, iremos montar a seguinte tabela, 
na qual serão determinados os somatórios necessários para a 
utilização da fórmula:
Xi YI xi2 YI2 Xi.YI
3 7 9 49 21
4 14 16 196 56
8 15 64 225 120
12 28 144 784 336
14 32 196 1.024 448
Somatórios 41 96 429 2.278 981
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r
n x y x y
n x x n y y
i i i i
i i i i
=
−
− −
∑∑∑
∑ ∑∑∑
. . ( ).( )
( . ( ) ).( . ( ) )2 2 2 2
r = −
− −
5 981 41 96
5 429 41 52 278 962 2
. ( ).( )
( . ( ) ).( . ( ) )
r = −
−( ) −( )
4 905 3 936
2 145 1 681 11 390 9 216
. .
. . . . .
r = 969
464 2 174( ).( . )
r= 0,96
Existe entre as duas variáveis uma correlação positiva forte,ou seja, do ponto de vista prático, é fortemente interessante 
investir em publicidade para essa empresa.
Imagine agora a seguinte questão: caso a empresa investisse 
em publicidade R$ 18.000,00, qual seriam as vendas previstas?
Perceba que para se responder a essa questão seria necessário 
estabelecer um relacionamento matemático entre as duas 
variáveis. Isso pode ser feito por meio da regressão linear, nosso 
próximo e último assunto:
4.2 Regressão linear
É o processo de traduzir o comportamento conjunto de duas 
variáveis na forma de uma lei matemática denominada equação 
de regressão. Assim sendo, os conceitos de correlação e regressão 
são indissociáveis. A regressão é linear quando essa lei matemática 
mencionada é uma reta, portanto uma equação de 1º grau.
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Correlação perfeita
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6
Correlação forte
14
12
10
8
6
4
2
0
0 5 10 15 20
Como na prática trabalha-se com diversos pontos 
experimentais, existem inúmeras retas possíveis para um 
determinado conjunto de dados. No entanto, o critério 
normalmente utilizado para a definição dessa reta é o chamado 
método dos mínimos quadrados.
É sabido que a equação de uma reta é dada pela fórmula 
geral: y=ax+b
Em que a e b são os chamados coeficientes da reta.
Estatisticamente, a equação da chamada reta interpoladora 
é dada pela fórmula:
y K x y K xy i y
* ( )= ⋅ + − ⋅
Em que: K r
s
sy
y
x
= ⋅( )
Assim sendo, para calcularmos a equação da reta interpoladora, 
precisaremos calcular a média e o desvio padrão de ambas as 
variáveis (x e y) e o coeficiente de correlação entre elas.
Vamos utilizar um exemplo para deixar mais claro o processo 
de cálculo, passo a passo.
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2. A tabela abaixo mostra a evolução de duas variáveis 
possivelmente correlacionadas. Determine a equação 
de regressão linear decorrente.
x 3 5 7 9 10 14 16
y 1 2 3 5 7 10 13
1º passo: cálculo do coeficiente de correlação linear:
xi yi xi
2 yi
2 xi.yi
3 1 9 1 3
5 2 25 4 10
7 3 49 9 21
9 5 81 25 45
10 7 100 49 70
14 10 196 100 140
16 13 256 169 208
Σ= 64 41 716 357 497
r =
− ( ) ( )
− ( )  −( ) 
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
n x y x y
n x x n y y
i i i i
i i i i
. .
. . .2
2 2 2
rr = − ( ) ( )
− ( )( ) − ( )( )
=
7 497 64 41
7 716 64 7 357 41
0 988
2 2
. .
. . .
,r
2º passo: cálculo da média e do desvio padrão da variável x:
xi di di2
3 3 – 9,1429 = –6,1429 37,7352
5 5 – 9,1429 = –4,1429 17,1636
7 7 – 9,1429 = –2,1429 4,5920
9 9 – 9,1429 = –0,1429 0,0204
10 10 – 9,1429 = 0,8571 0,7346
14 14 – 9,1429 = 4,8571 23,5914
16 16 – 9,1429 = 6,8571 47,0198
Σ= 64 130,857
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x
x
n
x x
s
d
n
s s
i
x
i
x x
= ⇒ = ⇒ =
=
−
⇒ =
−
⇒ =
∑
∑
64
7
9 1429
1
130 857
7 1
4 6701
2
,
,
,
3º passo: cálculo da média e do desvio padrão da variável y:
yi di di
2
1 1 – 5,8571 = –4,8571 23,5914
2 2 – 5,8571 = –3,8571 14,8772
3 3 – 5,8571 = –2,8571 8,1630
5 5 – 5,8571 = –0,8571 0,7346
7 7 – 5,8571 = 1,1429 1,3062
10 10 – 5,8571 = 4,1429 17,1636
13 13 – 5,8571 = 7,1429 51,0210
Σ= 41 116,857
y
y
n
y y
s
d
n
s s
i
y
i
x x
= ⇒ = ⇒ =
=
−
⇒ =
−
⇒ =
∑
∑
41
7
5 8571
1
116 857
7 1
4 4132
2
,
,
,
4º passo: cálculo do coeficiente Ky:
K r
S
S
Ky
y
x
y=




⇒ = 

 =. , .
,
,
,0 988
4 4132
4 6701
0 93
5º passo: definição da equação da reta procurada:
y K x y K xy i y* . .= + −( )
y xi* , , , ,= ⋅ + − ⋅( )0 93 5 8571 0 93 9 1429
y xi* , ,= ⋅ −0 93 2 64
5
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A determinação dessa equação da reta permite prever valores 
futuros, com os devidos cuidados de sempre. Por exemplo, caso 
queiramos saber qual é o valor de y quando o x assumir o valor 18:
y x y yi* , , * , , * ,= ⋅ − → = ⋅ − → =0 93 2 64 0 93 18 2 64 14 1
Referências bibliográficas
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MEDEIROS, E. et. al. Estatística para os cursos de economia, 
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Atlas, 1997.
_________________. Tabelas de estatística para os cursos de 
economia, administração e ciências contábeis. 2. ed. São Paulo: 
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MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. 1. ed. Rio 
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Áreas sob a curva normal reduzida
Página 1 – valores da variável reduzida negativos – Área entre -3,99 e Z
z
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,00210,0020 0,0019
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
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Unidade II
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Áreas sob a curva normal reduzida
Página 1 – valores da variável reduzida positivos – Área entre -3,99 e Z
z
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9646 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
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ESTATÍSTICA APLICADA
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