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Araraquara 2011 Maria Helena S. S. Bizelli Sidinéia Barrozo CÁLCULO para um Curso de Química Volume 2 Prefácio Este material foi elaborado para ser o material de apoio aos alunos que cursam a disciplina Cálculo Diferencial e Integral II, ministrada no segundo semestre dos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Química da Unesp, Campus de Araraquara. Estes cursos, assim como os demais cursos de Química da Unesp, concentram o conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral em dois semestres, o que os diferenciam da maioria dos cursos da área de exatas, que normalmente distribui tal conteúdo ao longo de quatro semestres, tratando do Cálculo de uma variável nos dois primeiros semestres e do Cálculo de duas variáveis nos dois semestres subsequentes. Esta particularidade sugere um material mais específico, que contemple os tópicos que devam ser trabalhados e, ao mesmo tempo, os apresentem em uma sequência lógica e harmoniosa, focando a compreensão e a aplicação dos conteúdos. Além disso, é mais motivador ao aluno um material que apresente aplicações voltadas para a área, favorecendo a apreensão do conhecimento adquirido. Assim, com esse intuito, desenvolvemos este material, o qual vem sendo utilizado e reformulado ao longo dos últimos anos e apresentando bons resultados. Esperamos que possa ser útil também a outros cursos de Química. Gostaríamos de observar que, seguindo a sequência programática da disciplina, este volume contém o estudo de técnicas de integração, equações diferenciais ordinárias, funções de duas variáveis, derivadas parciais, integração múltipla e uma introdução ao estudo do cálculo vetorial, enfatizando a integral de linha. Maria Helena S.S. Bizelli Sidinéia Barrozo 5 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA Sumário Capítulo 1 – Alguns Métodos de Integração ............................... 09 Integrais Imediatas ..................................................................... 11 Mudança de Variáveis ....................................................... 13 Outras Substituições .................................................... 15 Integração por Partes ............................................................ 19 Integração de Potências e Funções Trigonométricas ............ 25 Integração por Substituições Trigonométricas ........................... 44 Integração por Frações Parciais .................................................. 52 Exercícios Extras .......................................................................... 59 Capítulo 2 – Equações Diferenciais Ordinárias ......................... 63 Introdução ............................................................................. 64 Equações Diferenciais de Primeira ordem ................................. 66 Problemas de Valor Inicial .......................................................... 69 Equações de Primeira Ordem Separáveis................................... 72 Aplicações .................................................................................... 79 Equações de Primeira Ordem Lineares ............................... .. 101 Aplicações ............................................................................ ... 105 Campo de direções .................................................... 114 Exercícios Extras .................................................................... 135 Capítulo 3 – Funções de Várias Variáveis ................................ 140 Introdução........................................................................... 141 Sistema Tridimensional de Coordenadas ................................. 142 A fórmula da distância no espaço ............................................. 147 A equação de uma esfera .......................................................... 149 Funções de Duas Variáveis ....................................................... 155 Gráfico de uma Função de Duas Variáveis ............................. 161 Curvas de Nível ......................................................................... 164 Exercícios Extras .................................................................... 176 Capítulo 4 – Derivadas Parciais ............................................... 188 Introdução........................................................................... 189 Derivadas Parciais .................................................................... 190 Aplicações das Derivadas Parciais .......................................... 195 Cálculo de Derivadas Parciais ................................................. 198 Função Composta – Regra da Cadeia ................................ 205 Interpretação Geométrica ..................................................... 218 Derivadas Parciais de Segunda Ordem .............................. 223 Extremos de Funções de Duas Variáveis ................................ 229 Teste da Segunda Derivada ...................................................... 235 Diferencial de uma Função de Duas Variáveis ................ 250 Derivação Implícita .................................................................. 273 Exercícios Extras .................................................................... 276 Capítulo 5 – Integrais Múltiplas ............................................... 284 Introdução .................................................................................. 285 Integrais Duplas ................................................................. 285 Integral Dupla sobre uma Região ........................................ 292 Aplicações das Integrais Duplas .......................................... 309 Integrais Triplas ...................................................................... 318 Coordenadas Polares ................................................................. 324 Integrais Duplas em Coordenadas Polares ........................ 329 Coordenadas Cilíndricas e Esféricas........................................ 333 Exercícios Extras .................................................................... 346 Capítulo 6 – Cálculo Vetorial .................................................... 352 Vetor .................................................................................. 353 Operações com Vetores ......................................................... 362 O Produto Escalar ou Produto Interno ............................... 368 O Produto Vetorial ................................................................. 374 Equações Paramétricas de Retas ......................................... 378 Campo Vetorial ......................................................................... 386 Derivada Direcional .................................................................. 388 Integral de Linha ....................................................................... 400 Algumas Aplicações ................................................................. 418 Exercícios Extras .................................................................... 446 Apêndice ......................................................................................... 456 Referências Bibliográficas .......................................................... 464 Respostas dos Exercícios ............................................................ 466 Sobre as Autoras .......................................................................... 511 9 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA Capítulo 1 Alguns Métodos de Integração O QUE VOCÊ VAI ESTUDAR:• Como determinar a integral indefinida através de outras mudanças de variáveis. • Como determinar a integral indefinida através do método de integração por partes. • Como determinar a integral indefinida através do método de potências de funções trigonométricas. • Como determinar a integral indefinida através do método de substituições trigonométricas. • Como determinar a integral indefinida através do método das frações parciais. 10 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA Alguns Métodos de Integração No curso de Cálculo Diferencial e Integral I fizemos uma introdução à integração, onde foram trabalhadas as funções que possuem integrais imediatas ou que podem ser calculadas através de uma substituição simples da variável. Faremos uma breve revisão aqui, a fim de situar o leitor a esse respeito. O cálculo integral consiste em, conhecendo-se a derivada de uma função, encontrar a função primitiva (ou antiderivada) da qual ela provém; ou seja, significa encontrar uma função F(x) cuja derivada seja conhecida. Assim, se a derivada é representada por f(x), a sua primitiva F(x) deverá satisfazer F´(x) = f(x) para qualquer x onde f esteja definida e seja contínua. Assim, por exemplo, uma primitiva da função f(x) = cos x é F(x) = sen x, pois F´(x) = cos x = f(x). É importante lembrar que a primitiva não é única, pois se tomarmos F(x) = sen x + C, onde C é um número real qualquer, ainda teremos F´(x) = cos x = f(x). Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função y = f (x) será denominada também de integral indefinida de f e representada por ( ) ( ) .f x dx F x C= +∫ A função f(x) a ser integrada é denominada de integrando, x é a variável de integração, dx é um símbolo que indica em relação a qual variável a função está sendo integrada e C é a constante de integração. A tabela a seguir mostra as primitivas consideradas imediatas, ou seja, que não demandam de cálculos para serem obtidas. ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 11 Integrais Imediatas 1dx dx x C= = +∫ ∫ ( ) 1 1 1 n n x x dx C n n + = + ≠ − +∫ 1 lndx x C x = +∫ sen cosx dx x C= − +∫ cos sen x dx x C= +∫ 2sec tg x dx x C= +∫ 2cossec cotg x dx x C= − +∫ sec tg secx x dx x C⋅ = +∫ cossec cotg cossec x x dx x C⋅ = − +∫ ( )1 0 e 1 ln x xa dx a C a a a = + > ≠∫ x xe dx e C= +∫ Propriedades 1. ( ) ( )a f x dx a f x dx⋅ =∫ ∫ onde a é uma constante. 2. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ LEMBRETE: A integral do produto não é o produto das integrais, assim como a integral do quociente também não é o quociente das integrais, ou seja, em geral temos 12 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) f x dxf xf x g x dx f x dx g x dx dx g x g x dx ≠ × ≠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Observamos que nem toda função possui primitiva, ou seja, existem algumas funções para as quais não conseguimos escrever suas integrais indefinidas em termos de funções elementares. Um exemplo clássico desse tipo de funções é 2( ) xf x e= que, embora pareça ser uma função bem simples, só pode ser integrada numericamente. Todavia, para calcular as primitivas daquelas funções que são integráveis, nos valemos de vários métodos, cada um deles adequado a um tipo de função. Existem vários deles, porém trataremos aqui somente daqueles que julgamos mais necessários para o desenvolvimento das teorias seguintes, como resolução de Equações Diferenciais, por exemplo. O estudante que tiver necessidade de resolver alguma integral que não tenha sido abordada nesse material, poderá recorrer à bibliografia indicada ou às tabelas de integração apresentadas no final deste material. Observamos ainda que a abordagem dada neste capítulo é mais técnica, preparando o estudante com ferramentas matemáticas que serão utilizadas na resolução de problemas futuros. Inicialmente faremos uma rápida revisão da mudança de variável estudada no Cálculo I, seguida de outras possibilidades de substituições e, na sequência, estudaremos os métodos de integração por partes, de potências de funções trigonométricas, por meio de substituições trigonométricas e por meio de frações parciais. ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Mudança de Variáveis Este método consiste em tomar uma parte da função a ser integrada e representá-la por outra letra, digamos, a letra u expressão geralmente é uma parte do integrando cuja derivada, ou o produto dela por uma constante, também aparece no integrando, multiplicando dx. Com esta mudança, o integrando passa a ser função de u e a integral torna-se simples de ser calculada. Vejamos alguns exemplos: EXEMPLO 1 Calcule 2 . x x e dx∫ Solução Observe que a função a ser integrada possui o termo x derivada, 2x, também aparece no integrando, multiplicando menos da constante 2. Este é, portanto, um caso típico de função cuja integral se resolve pelo método de mudança de variável, pois fazendo 2u x= , obtemos 12 2 2 dudu x dx x dx du= ⇒ = = , ou seja, mudamos adequadamente a variável x para u e, com isso, obtemos uma integral mais simples de ser calculada, agora na variável u: 2x x e dx∫ = 1 1 2 2 u u e du e C= +∫ . Todavia, não queremos a resposta em u, pois nossa função original é função da variável x. Para retornarmos à variável x, basta substituirmos a variável u da resposta pela sua expressão em seja, basta fazermos a substituição de u por x2 na resposta final obtida. Assim, teremos 2x x e dx∫ = 21 2 x e C+ . ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 13 Este método consiste em tomar uma parte da função a ser u. Esta expressão geralmente é uma parte do integrando cuja derivada, ou o produto dela por uma constante, também aparece no integrando, . Com esta mudança, o integrando passa a ser Vejamos x 2 , cuja , também aparece no integrando, multiplicando dx, a típico de função cuja integral se resolve pelo método de mudança de variável, pois e, com isso, obtemos uma integral mais simples de ser calculada, agora na , pois nossa função original é , basta da resposta pela sua expressão em x, ou na resposta final 14 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA EXEMPLO 2 Calcule 2tg secx x dx∫ por dois meios diferentes: (i) Fazendo tgu x= ; (ii) Fazendo secu x= . Explique a diferença entre os resultados. Solução (i) 2tg secu x du x dx= ⇒ = . 2 2 2 tgtg sec 2 2 u x x x dx u du C C∴ = = + = +∫ ∫ . (ii) sec sec tgu x du x x dx= ⇒ = . 2 2 2 sectg sec sec sec tg . 2 2 u x x x dx x x x dx u du C C∴ = = = + = +∫ ∫ ∫ Observamos que para cada escolha de u obtivemos uma solução diferente para a integral. No entanto, um olhar mais cuidadoso para as soluções, sugere que elas estão relacionadas de algum modo, pois trata-se de potências de funções trigonométricas e sabemos ser verdadeira a identidade 2 2tg 1 secx x+ = , para todo x. Assim, dividindo ambos os lados desta equação por 2 , obtemos 2 2tg 1 sec 2 2 2 x x + = , o que implica que 2 2tg sec 1 2 2 2 x x − = − , ou seja, a função 2tg( ) 2 xf x = difere da função 2sec( ) 2 xg x = por uma constante. Logo, ambas são primitivas de função dada, já que duas primitivas de uma mesma função se diferem apenas por uma constante, conforme visto no Cálculo 1. por dois meios diferentes: tg sec sec sec tg .x x dx x x x dx u du C C∴ = = = + = + obtivemos uma solução diferente para a integral. No entanto, um olhar mais cuidadoso para que elas estão relacionadas de algum modo, pois se de potências de funções trigonométricase sabemos ser . Assim, por uma constante. Logo, ambas são primitivas de função dada, já que duas primitivas de uma mesma função se diferem apenas por uma ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Outras substituições As mudanças de variáveis vistas acima foram trabalhadas no Cálculo 1 e apresentadas aqui apenas com o intuito de relembrar um pouco esta técnica. Porém, a situação descrita acima não é a única em que a mudança de variável simplifica a função a ser integrada. Existem outras possibilidades de mudanças de variáveis facilitam muito o cálculo da integral e, dentre elas, citamos os casos onde aparecem raízes de funções no integrando. A idéia, nestas situações, é fazer uma mudança que possibilite a troca da raiz por um polinômio, uma vez que os polinômios são facilme integráveis. Os exemplos abaixo ilustrarão como isso ocorre. EXEMPLO 3 Calcule 2 1t t dt+∫ . Solução Observe que não estamos no caso típico de mudança de variável visto no Cálculo 1. Porém, é possível substituir o integrando por uma expressão que não contenha a raiz quadrada, considerando 1 + t = u2. Com isso, teremos 2 21 1 e 2u t t u dt u du= + ⇒ = − = . Substituindo no integrando temos ( ) ( )2 4 2 6 4 2 7 5 3 1 2 2 1 2 2 22 . 7 5 3 t t dt u u u u du u u u du u u u C + = − + = − + = = − + + ∫ ∫ ∫ Para retornarmos à variável t, basta substituir a variável solução, pela sua expressão em t, ou seja, por (1 + t )1/2, obtendo 2 7/2 5/2 3/22 4 21 (1 ) (1 ) (1 ) 7 5 3 t t dt t t t C+ = + − + + + +∫ ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 15 As mudanças de variáveis vistas acima foram trabalhadas no Cálculo 1 e apresentadas aqui apenas com o intuito de relembrar um pouco esta técnica. Porém, a situação descrita acima não é a única em que a mudança de variável simplifica a função a ser integrada. Existem outras possibilidades de mudanças de variáveis que facilitam muito o cálculo da integral e, dentre elas, citamos os casos onde aparecem raízes de funções no integrando. A idéia, nestas situações, é fazer uma mudança que possibilite a troca da raiz por um polinômio, uma vez que os polinômios são facilmente de variável orém, é possível substituir o integrando por considerando t t dt u u u u du u u u du+ = − + = − + = a variável u, da , obtendo t t dt t t t C . 16 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA EXEMPLO 4 Calcule 5 2 4x x dx+∫ . Solução Por se tratar de uma raiz quadrada, aplicaremos o mesmo procedimento adotado no Exemplo 3, ou seja, faremos x2 + 4 = com o objetivo de eliminar a raiz do integrando. Com isso teremos 2 2 2 24 4 2 2u x x u x dx u du x dx u du= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ = Substituindo no integrando temos 5 2 2 2 2 2 24 ( ) 4 ( 4)x x dx x x x dx u uu du+ = + = − =∫ ∫ ∫ 7 5 3 4 2 2 6 4 2( 8 16) ( 8 16 ) 8 16 7 5 3 u u u u u u du u u u du C− + = − + = − + + =∫ ∫ 2 7/2 2 5/2 2 3/2( 4) ( 4) ( 4)8 16 7 5 3 x x x C+ + += − + + . EXEMPLO 5 Calcule 31 x dx x+∫ . Solução Observe que agora o integrando contém uma raiz quadrada e uma raiz cúbica e seria interessante fazermos uma mudança de variável que eliminasse as duas raízes ao mesmo tempo. Para isso, basta tomarmos para expoente da nova variável, digamos u, o mínimo múltiplo comum entre os índices das raízes que aparecem na função, ou seja, basta fazermos x = u6, já que 6 = mmc(2,3). Assim, teremos 6 56x u dx u du= ⇒ = . Substituindo no integrando obtemos: de uma raiz quadrada, aplicaremos o mesmo + 4 = u2 com o objetivo de eliminar a raiz do integrando. Com isso teremos u x x u x dx u du x dx u du u u u du u u u du C− + = − + = − + + = Observe que agora o integrando contém uma raiz quadrada e uma raiz cúbica e seria interessante fazermos uma mudança de variável que eliminasse as duas raízes ao mesmo tempo. Para isso, basta , o mínimo iplo comum entre os índices das raízes que aparecem na função, , já que 6 = mmc(2,3). Assim, ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 3 5 8 2 23 6 6 . 1 11 x u u udx du du u ux = = + ++∫ ∫ ∫ Aqui temos um novo problema: como calcular a integral resultante acima. Para resolver este problema precisamos nos lembrar que se ( ) ( )( ) P x H x Q x= onde P e Q são polinômios reais e o grau de Q é menor ou igual que o grau de P, então H é dita uma função racional imprópria. Pa H se torne uma função racional própria é necessário dividir P até que o grau do numerador seja menor que o do denominador. Assim, teremos 8 6 4 2 2 2 11 1 1 u u u u u u = − + − + + + e, substituindo na integral acima, obtemos: 6 4 2 23 7 5 3 7/6 5/6 3/6 1/6 1/6 16 1 11 6 arctg 7 5 3 6 arctg . 7 5 3 x dx u u u du ux u u u u u C x x x x x C = − + − + = ++ = − + − + + = = − + − + + ∫ ∫ OBS: Note que, ao longo da resolução, nos deparamos com a integral 2 1 1 du u+∫ que ainda não aprendemos como resolver. Sempre que isso ocorrer, consulte uma tabela de integração, como a apresentada no final desse livro. ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 17 como calcular a integral resultante acima. Para resolver este problema precisamos nos lembrar que se é menor ou igual que é dita uma função racional imprópria. Para que P por Q até que o grau do numerador seja menor que o do denominador. 6 arctg .x x C= − + − + + Note que, ao longo da resolução, nos deparamos com a como resolver. Sempre que isso ocorrer, consulte uma tabela de integração, como a 18 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA EXERCÍCIOS 1.1 1. Calcule as seguintes integrais: a) 2 8(2 3 )x x dx+∫ b) 34 x dx x + +∫ c) 4 t t e dt e +∫ d) cos(5 2)x dx−∫ e) 2 1x x dx+∫ f) ∫ + dxxx 1 g) 4t t dt−∫ h) 2tg( )x x dx∫ i) dx x xx ∫ +− − 3 2 14 43 j) 3 3 2 4 x dx x +∫ k) 3 1 dx x x+∫ l) 3 9x x dx+∫ m) 5 3 2 x dx x +∫ n) 1 ( 1) 2 dxx x+ −∫ o) 3 1x xe e dx+∫ ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Integração por Partes Quando estamos interessados em calcular integrais que se apresentam na forma ( ) ( )f x g x dx∫ , onde f é uma função que pode ser derivada repetidamente e g é uma função que pode ser integrada repetidamente, ambas sem dificuldades, podemos nos valer de uma técnica denominada Integração por Partes. Este nome se dá pelo fato de que o método consiste em separar o integrando em duas partes, digamos, u = f(x) e dv = g(x) dx e, em seguida, aplicar a fórmula ( ) ( )f x g x dx u dv uv v du= = −∫ ∫ ∫ , a qual é denominada “fórmula da integração por partes” . Observe que devemos fazer uma escolha sobre qual parte iremos chamar de u e qual parte iremos chamar de dv e esta escolha, embora nem sempre seja fácil, muitas vezes é decisiva para o sucesso da resolução. Não existe uma receita para isso, mas uma boa dica é sempre chamar de dv a parte do integrando mais complicada que possa ser prontamente integrada. E não se esqueça de incluir no termo que chamou de dv. Após feita a escolha, é necessário calcular a diferencial de u para obter du e a integral de dv para obter v, ambos presentes na fórmula. O exemplo abaixo ilustrará melhor o que está sendo dito: EXEMPLO 1 Calcule 2 xx e dx∫ . Solução O primeiro passo é sempre a escolha da parte que será chamada de e daquela que será chamada de dv. Temos várias possibilidades para dv: dx, x2 dx, ex dx ou x2 ex dx.ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 19 Quando estamos interessados em calcular integrais que se é uma função que pode é uma função que pode ser integrada repetidamente, ambas sem dificuldades, podemos nos valer de uma técnica denominada Integração por Partes. Este nome se dá pelo fato r o integrando em duas partes, e, em seguida, aplicar a fórmula Observe que devemos fazer uma escolha sobre qual parte e esta escolha, embora nem sempre seja fácil, muitas vezes é decisiva para o sucesso da resolução. Não existe uma receita para isso, mas uma boa a parte do integrando mais complicada a ser prontamente integrada. E não se esqueça de incluir dx . Após feita a escolha, é necessário para obter melhor o O primeiro passo é sempre a escolha da parte que será chamada de u . Temos várias possibilidades para 20 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA Dentre estas, a mais complexa que sabemos integrar imediatamente é ex dx. Portanto, fazemos: 2 1 2 . x x u x du xdx dv e dx v e C = ⇒ = = ⇒ = + Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos: 2 2 1 1 2 2 2 1 1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 . x x x x x x x x e dx x e C e C xdx x e C C x xe dx x e xe dx = + − + = + − − = − ∫ ∫ ∫ ∫ Para resolver esta nova integral, aplicamos novamente o método, tomando agora 2 . xx du dxu x v e Cdv e dx == ⇒ = += Com isso, obtemos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 . x x x x x x x x x x e dx x e e xdx x e x e C e C dx x e xe xC e xC C = − = − + − + = = − − + + + ∫ ∫ ∫ ( )2 2 2 2x xx e dx e x x C∴ = − + +∫ . OBS: 1. Note que as constantes de integração, C1 e C2, que surgiram ao integrar dv e dv , foram canceladas ao longo do desenvolvimento dos cálculos. É possível provar que os termos que contêm estas constantes sempre se anularão neste método e, por isso, não será necessário considerar tal constante quando integrar dv. Assim, daqui por diante, a constante de integração de dv será omitida neste texto. Dentre estas, a mais complexa que sabemos integrar imediatamente ral, aplicamos novamente o método, = − = − + − + = , que , foram canceladas ao longo do desenvolvimento dos cálculos. É possível provar que os termos que contêm estas constantes sempre se anularão neste método e, por isso, não será necessário considerar tal . Assim, daqui por diante, a ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 21 2. Se no início dos cálculos tivéssemos escolhido u = ex e dv = x2 dx, teríamos obtido: 3 2 3 x x du e dxu e xdv x dx v = = ⇒ = = e, portanto, a integral se tornaria: 3 2 31 3 3 x x xxx e dx e x e dx= −∫ ∫ que leva a uma integral mais complexa que a original, o que nos indicaria que esta não teria sido uma boa escolha. Do mesmo modo, se decidíssemos mudar a escolha no meio do exercício, ou seja, se ao aplicarmos o método pela segunda vez tivéssemos optado por inverter a escolha das funções, teríamos chego a um resultado inconclusivo, como podemos observar a seguir: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . x x x x x x x x x x du e dx u e xdv xdx v x x x e dx x e e e dx x e dx x e x e x e dx = = ⇒ = = ⇒ = − − ∴ = − + ∫ ∫ ∫ ∫ Observamos novamente, com este exemplo, que o sucesso da resolução depende, muitas vezes, da escolha de u e dv. Todavia, nem sempre acertamos na primeira tentativa. A experiência adquirida ao longo dos estudos certamente nos auxiliará nesta tarefa. 22 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 3. Observe que não se trata de uma mudança de variáveis, mas apenas de um recurso intermediário para escrever a integral em uma outra forma, mais fácil de ser calculada. Mantemos a mesma variável independente ao longo de todo o processo, utilizando u, v, du e dv apenas para mudar a forma de escrever a integral. Este método foi desenvolvido a partir da derivada do produto de duas funções, conforme podemos ver abaixo. Observe que se u e v são duas funções diferenciáveis na variável x, então [ ]( ) ( ) ( ) ( )d dv duu x v x u x v x dx dx dx = + . Integrando ambos os lados em relação à x, obtemos: [ ]( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )d u x v x dx u x v x dx v x u x dx dx = +∫ ∫ ∫ , de onde segue que: ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx= −∫ ∫ . Quando esta equação é escrita na notação de diferenciais, obtemos: u dv uv vdu= −∫ ∫ , a qual é denominada, como já fora dito, fórmula da integração por partes . Assim, para calcular a integral de uma função que se apresenta na forma f(x) g(x) dx, fazemos u = f(x), dv = g(x) dx e aplicamos a fórmula acima. ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 2 Calcule lnx x dx∫ . Solução Como não sabemos calcular a integral de ln x, não devemos escolhê la para compor dv, ou seja, fazemos 2 1 ln , 2 du dx u x x dv xdx x v == ⇒ = = já que x é uma função fácil de ser integrada e ln x é uma função fácil de ser derivada. Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos: 2 2 2 2 2 1ln ln ln 2 2 2 2 ln . 2 4 x x x x x x dx x dx x dx x x x x C = − = − = = − + ∫ ∫ ∫ EXEMPLO 3 Calcule 3sec x dx∫ . Solução Neste caso, uma boa estratégia é escrever a integral na forma 2sec secx x dx∫ , uma vez que a função sec 2 x pode ser facilmente integrada. Assim, tomando 2 sec sec tg tgsec u x du x x dx v xdv x dx = = ⇒ == e aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos: 3 2sec sec tg sec tg .x dx x x x x dx= −∫ ∫ Para efetuarmos o cálculo desta última integral, conforme veremos bem detalhado na próxima seção, substituímos o termo tg2 x por uma expressão equivalente, através das identidades trigonométricas ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 23 , não devemos escolhê- é uma função fácil de ser derivada. Substituindo na fórmula de integração por partes, Neste caso, uma boa estratégia é escrever a integral na forma pode ser facilmente Para efetuarmos o cálculo desta última integral, conforme veremos por uma expressão equivalente, através das identidades trigonométricas 24 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA conhecidas, a fim de transformar a função dada em uma outra que propicie alguma facilidade nos cálculos. Assim, fazendo 2 2tg sec 1x x= − , obtemos 3 2sec sec tg sec (sec 1)x dx x x x x dx= − − =∫ ∫ = 3sec tg sec secx x x dx x dx+ −∫ ∫ . Assim, somando o termo 3sec x dx∫ em ambos os lados da igualdade, obtemos 3 12 sec sec tg ln sec tg x dx x x x x C= + + +∫ , ou 3 1sec sec tg ln sec tg 2 x dx x x x x C = + + + ∫ , onde 1 2 CC = . OBS: A integral sec x dx∫ pode ser encontrada na tabela de integração, que se encontra no Apêndice desse livro, ou pode ser facilmente calculada, após a utilização de um artifício nada óbvio, como podemos ver abaixo: sec tg sec sec sec tg ln ln sec tg , x x x dx x dx x x du u C x x C u + = = + = = + = + + ∫ ∫ ∫ onde 2sec tg e, consequentemente, (sec tg sec ) .u x x du x x x dx= + = + conhecidas, a fim de transformar a função dada em uma outra que propicie alguma facilidade nos cálculos. Assim, fazendo em ambos os lados da pode ser encontrada na tabela de , ou pode ser facilmente calculada, após a utilização de um artifício sec tg e, consequentemente, (sec tg sec ) .u x x du x x x dx ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO25 EXERCÍCIOS 1.2 1) Calcule as seguintes integrais: a) ln x dx∫ b) 2 lnx x dx∫ c) 2senx x dx∫ d) senxe x dx∫ e) 3cossec x dx∫ f) ∫ − dxex x2 g) senx x dx∫ h) arctg x dx∫ i) lnx x dx∫ j) (sen ) ln(cos )x x dx∫ k) sec tgx x x dx∫ l) 3 xx e dx−∫ m) cos5x x dx∫ n) 2 3xx e dx∫ o) 2 cosx x dx∫ 2) A velocidade (no instante t) de um ponto que se move ao longo de uma reta é dada por 2( ) / tv t t e= m/s. Se o ponto está na origem quanto t = 0, ache sua posição em um instante t qualquer. Integração de potências de funções trigonométricas O cálculo de integrais de funções envolvendo potências de funções trigonométricas geralmente é feito a partir da substituição da função por uma equivalente a ela, através das identidades trigonométricas conhecidas, fazendo com que a nova integral possa ser resolvida mais facilmente, na maioria das vezes por meio de uma mudança de variável. 26 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA Não trataremos de todos os casos aqui por entendermos que alguns tipos de integrais raramente serão usadas por um estudante de Química, porém, os casos omissos poderão ser encontrados nas tabelas de integrais e nos livros constantes da referência bibliográfica. O estudo será dividido em casos, de acordo com o tipo da função e do expoente. Porém, antes de iniciá-lo, relembraremos as identidades trigonométricas mais conhecidas, uma vez que a aplicação deste método exige o seu uso constante e certamente muitas delas já caíram no esquecimento de uma boa parte dos estudantes. São elas: 2 2sen cos 1x x+ = 2 1 cos2cos 2 x x + = 2 1 cos2sen 2 x x − = 2 2cotg 1 cossecx x+ = 2 2tg 1 secx x+ = 2 2cos(2 ) cos senx x x= − sen(2 ) 2sen cosx x x= [ ]1sen cos sen( ) sen( ) 2 x y x y x y= − + + [ ]1sen sen cos( ) cos( ) 2 x y x y x y= − − + [ ]1cos cos cos( ) cos( ) 2 x y x y x y= − + + ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 27 1º Caso – Potências de Senos e Cossenos: sen cosm nx x dx∫ onde m e n são inteiros não negativos. Existem várias possibilidades para uma integral deste tipo, o que pode ser notado variando as características de m e n, por exemplo. Assim, o fato destes expoentes serem par ou ímpar influencia substancialmente no modo de proceder a busca por uma solução, conforme pode ser visto a seguir. A) Se a potência do cosseno é ímpar, independente da potência do seno, a sugestão é guardar um fator do cosseno e usar 2 2cos 1 senx x= − para expressar os fatores remanescentes em termos de seno. Observe que isso sempre é possível, uma vez que o expoente, sendo ímpar, possibilita escrevermos a função de modo a deixar um termo cos(x) separado e multiplicando o restante, que terá expoente par e, consequentemente, pode ser escrito como potência de 2. Este termo, cos2x, é que será substituído, conforme sugestão acima. Esta nova maneira de escrever possibilita o cálculo da integral através da mudança de variável u = sen x fl du = cos x dx. OBS: Note que esta regra poderá ser utilizada sempre que houver uma potência ímpar do cosseno, estando ele sozinho ou multiplicado por qualquer potência positiva de seno. 28 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA EXEMPLO 1 Calcule 5cos x dx∫ . Solução Como o expoente é ímpar, o primeiro passo é separar um fator cos no integrando, fazendo com que o restante seja potência de dois: ( )25 4 2cos cos cos cos cosx dx x x dx x x dx= =∫ ∫ ∫ . Agora, substituindo cos2x por (1 - sen2x), obtemos 5 2 2cos (1 sen ) cosx dx x x dx= −∫ ∫ , cuja integral resultante é facilmente resolvida através do método de mudança de variáveis. Portanto, fazendo u = sen x obtemos du = cos x dx e, substituindo na integral, temos: 3 5 2 2 2 4(1 ) (1 2 ) 2 3 5 u u u du u u du u C− = − + = − + + =∫ ∫ 3 52 1sen sen sen 3 5 x x x C− + + . EXEMPLO 2 Calcule 4 3sen cosx x dx∫ . Solução Utilizando os mesmos procedimentos do Exemplo 1, teremos 4 3 4 2 4 2sen cos sen cos cos sen (1 sen )cosx x dx x x x dx x x x dx= = − =∫ ∫ ∫ 5 7 4 2 4 6 5 71 1(1 ) ( ) sen sen 5 7 5 7 u u u u du u u du C x x C− = − = − + = − +∫ ∫ sendo que novamente foi usada a mudança de variável u = sen x. imeiro passo é separar um fator cos x cuja integral resultante é facilmente resolvida através do método de e, substituindo na integral, temos: sen cos sen cos cos sen (1 sen )cosx x dx x x x dx x x x dx= = − = u u du u u du C x x C− = − = − + = − + , . ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 3 Calcule 3 5sen cosx x dx∫ . Solução Como temos uma potência ímpar de cos x, continuamos com o mesmo procedimento: 3 5 3 4 3 2 2 3 2 2 3 2 4 4 6 8 3 5 7 4 6 8 sen cos sen cos cos sen (1 sen ) cos (1 ) (1 2 ) ( 2 ) 2 4 6 8 1 1 1 sen sen sen . 4 3 8 x x dx x x x dx x x x dx u u du u u u du u u u u u u du C x x x C = = − = = − = − + = = − + = − + + = = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ B) Se a potência do seno é ímpar, independente da potência do cosseno, você pode guardar um fator do seno e usar 2 2sen 1 cosx x= − para expressar os fatores remanescentes em termos de cosseno. O raciocínio é exatamente o mesmo aplicado no caso A), porém a mudança de variável para resolver a integral resultante, neste caso, será u = cos x fl du = -sen x dx. Vejamos alguns exemplos. EXEMPLO 1 Calcule 3sen x dx∫ . Solução Neste caso, o procedimento é análogo aos exemplos anteriores, lembrando apenas de separar um fator sen x na expressão da ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 29 , continuamos com o 3 5 3 4 3 2 2sen cos sen cos cos sen (1 sen ) cosx x dx x x x dx x x x dx= = − = = − + = − + + = , independente da potência do cosseno, você pode guardar um fator do seno e usar para expressar os fatores remanescentes em termos de cosseno. O raciocínio é exatamente o mesmo aplicado no porém a mudança de variável para resolver a integral . Vejamos Neste caso, o procedimento é análogo aos exemplos anteriores, na expressão da 30 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA função, a fim de sobrar um fator com expoente par, o qual será substituído por (1 – cos2x). Assim, 3 2 2 3 2 3 sen sen sen (1 cos ) sen 1(1 ) cos cos 3 3 x dx x x dx x x dx u u du u C x x C = = − = = − − = − + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ sendo que a mudança de variável u = cos x foi utilizada. EXEMPLO 2 Calcule 3 2sen cosx x dx∫ . Solução 3 2 2 2 2 2 5 322 4 2 5 3 sen cos sen cos sen (1 cos )cos sen (1 ) ( ) 5 3 cos cos . 5 3 x x dx x x x dx x x x dx u u u u du u u du C x x C = = = − = = − − = − = − + = = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ EXEMPLO 3 Calcule 3 3sen cosx x dx∫ . Solução Neste caso, tanto o critério de expoente ímpar de cossenos como de senos pode ser aplicado para solucionar o problema. Inicialmente vamos resolvê-lo utilizando o expoente ímpar do seno. Então, a integral pode ser escrita como função, a fim de sobrar um fator com expoente par, o qual será = − − = − = − + = Neste caso, tanto o critério de expoente ímpar de cossenos como de senos pode ser aplicado para solucionar o problema. Inicialmente lo utilizando o expoente ímpar do seno. Então, a ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO3 3 2 3 6 4 2 3 5 3 6 4 sen cos (1 cos ) cos sen (1 ) ( ) 6 4 1 1 cos cos 6 4 x x dx x x x dx u u u u du u u du C x x C = − = = − − = − = − + = = − + ∫ ∫ ∫ ∫ novamente com a mudança de variável u = cos x. OBS : A escolha de qual termo será substituído por um equivalente a ele, não é única. Você poderá optar, em muitos casos, por substituir o seno ou o cosseno, de acordo com sua preferência ou conveniência. Assim, também poderíamos ter resolvido o Exemplo 3 considerando potência ímpar de cosseno, cuja resolução seria: 3 3 2 3 2 3 6 4 5 3 6 4 sen cos (1 sen ) sen cos (1 ) ( ) 6 4 1 1 sen sen 6 4 x x dx x x x dx u u du u u u u du C x x C = − = − = = − + = − + + = − = + + ∫ ∫ ∫ ∫ com a mudança de variável u = sen x. Exercício: Verifique que ambas as resoluções estão corretas calculando suas derivadas ou mostrando que as duas soluções diferem por uma constante. C) Se as potências de seno e cosseno são pares, usamos as identidades: ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 31 A escolha de qual termo será substituído por um equivalente a ele, não é única. Você poderá optar, em muitos casos, por substituir o seno ou o cosseno, de acordo com sua preferência ou conveniência. Assim, também poderíamos ter iderando potência ímpar de x x dx x x x dx u u du= − = − = Verifique que ambas as resoluções estão corretas calculando suas derivadas ou mostrando que as duas soluções , usamos as 32 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 2 1 cos2sen 2 x x − = e 2 1 cos2cos 2 x x + = OBS: Note que se a função apresenta potências pares e ímpares de senos e cossenos, a escolha de qual critério será usado (potência par ou potência ímpar) fica a cargo do estudante. Todavia, como neste critério de potência par surge cosseno de arco duplo, uma mudança de variável a mais será necessária durante a resolução. Portanto, uma boa dica é usar este procedimento somente quando apenas expoentes pares de senos e/ou cossenos aparecerem no integrando. Nestes casos, todos os termos contendo potências pares devem ser substituídos. Vejamos alguns exemplos destes casos. EXEMPLO 1 Calcule 4sen x dx∫ . Solução Para podermos utilizar a identidade indicada acima, inicialmente escrevemos o integrando como uma potência de sen2x. Em seguida, reescrevemos a função em termos de cossenos e procedemos como nos casos anteriores. Assim, teremos: Note que se a função apresenta potências pares e ímpares de senos e cossenos, a escolha de qual critério será usado (potência par ou potência ímpar) fica a cargo do estudante. Todavia, como neste critério de potência par surge mudança de variável a mais será necessária durante a resolução. Portanto, uma boa dica é usar este procedimento somente quando apenas expoentes pares de senos e/ou cossenos aparecerem no integrando. Nestes casos, evem ser Para podermos utilizar a identidade indicada acima, inicialmente . Em seguida, evemos a função em termos de cossenos e procedemos como ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 33 ( ) 224 2 2 2 1 2 1 1 cos 2 sen sen 2 1 (1 2cos 2 cos 2 ) 4 1 1 1 cos 2 cos 2 4 2 4 1 1 1 cos cos , 4 4 8 x x dx x dx dx x x dx x C x dx x dx x C y dy y dy − = = = = − + = = + − + = = + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ onde a mudança de variável y = 2x foi introduzida para simplificar a integral dos dois últimos termos. Observe que as integrais resultantes são mais simples, porém a última ainda não é imediata e, para resolvê-la, nos valemos novamente deste método de potências pares, agora de cossenos. Vamos resolvê-la separadamente a fim de facilitar a compreensão: 2 2 2 3 1 cos2 1 cos (1 cos2 ) 2 2 1 1 cos 2 4 1 1 sen2 , 2 4 yy dy dy y dy y C z dz y C y C + = = + = = + + = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ onde a mudança z = 2y foi utilizada no cálculo da última integral. Retomando agora a integral inicial, teremos 4 1 1 1sen ( sen ) sen 2 , 4 8 2 4 y x dx x y y C = − + + + ∫ onde C engloba todas as constantes que surgiram ao longo dos cálculos. Substituindo y por 2x teremos o resultado final esperado: 34 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 4 1 1 2 1sen ( sen 2 ) sen 4 4 8 2 4 3 1 1 sen2 sen4 . 8 4 32 x x dx x x x C x x x C = − + + + = = − + + ∫ EXEMPLO 2 Calcule 4 2sen cosx x dx∫ . Solução Neste caso, os dois expoentes são pares e, portanto, fazemos as substituições em ambos os termos. Assim, a integral torna-se: ( ) ( ) 2 4 2 2 3 2 3 1 cos2 1 cos 2 sen cos 2 2 1 1 cos2 cos 2 cos 2 8 1 1 cos cos cos , 16 x x x x dx dx x x x dx y y y dy − + = = = − − + = = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ onde a mudança de variável y = 2x fl dx = dy/2 foi utilizada. A nova integral obtida é a soma de quatro parcelas, sendo que as duas primeiras são facilmente integráveis e as duas últimas são potências de cosseno, necessitando portando, dos métodos vistos acima para calculá-las. Para simplificar o entendimento, novamente vamos resolvê-las separadamente: 2 1 1 cos2 1 cos sen2 2 2 4 y yy dy dy y C+ = = + + ∫ ∫ . pares e, portanto, fazemos as A nova integral obtida é a soma de quatro parcelas, sendo que as primeiras são facilmente integráveis e as duas últimas são itando portando, dos métodos vistos las. Para simplificar o entendimento, novamente ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO ( ) 3 2 3 2 3 2 2 cos (1 sen ) cos 11 sen sen , 3 3 y dy y y dy z z dz z C y z C = − = = − = − + = − + ∫ ∫ ∫ onde a mudança de variável z = sen y foi utilizada . Retomando do ponto onde havíamos interrompido temporariamente os cálculos, temos ( )4 2 2 3 3 3 1 sen cos 1 cos cos cos 16 1 1 1 sen sen2 sen sen 16 2 4 3 1 1 1 sen2 sen 16 2 4 3 x x dx y y y dy yy y y y y C y y y C = − − + = = − − − + − + = = − − + = ∫ ∫ 3 3 1 2 1 1 sen 4 sen 2 16 2 4 3 1 1 1 sen 4 sen 2 , 16 4 3 x x x C x x x C = − − + = = − − + onde C = C1 + C2 + C3, sendo que C3 é a constante correspondente à primeira parte da integral. 2º Caso – Potências de Tangentes e Secantes: tg secm nx x dx∫ onde m e n são inteiros não negativos. Análogo ao caso dos senos e cossenos, o fato dos expoentes serem par ou ímpar interferem fortemente no processo de calcular a ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 35 1 sen sen , Retomando do ponto onde havíamos interrompido temporariamente 3y y y y y C = − − − + − + = é a constante correspondente à Potências de Tangentes e Análogo ao caso dos senos e cossenos, o fato dos expoentes serem par ou ímpar interferem fortemente no processo de calcular a 36 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA integral. Por isso, serão novamente divididos em casos. Vale ressaltar que os procedimentos adotados para trabalhar com tangentes, cotangentes, secantes e cossecantes são todos análogos aos utilizados para trabalhar com senos e cossenos. A) Se a tangente aparece sozinha no integrando, independente de seu expoente ser par ou ímpar, separe um fator tg2x e escreva-o em termos de sec2x, através da identidade 2 2tg sec 1x x= − ; em seguida, utilize a mudança de variável 2tg secu x du xdx= ⇒ = para resolver o problema. EXEMPLO 1 Calcule 5tg .x dx∫ Solução 5 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 4 2 3 4 2 tg tg tg tg (sec 1) tg sec tg tg sec tg (sec 1) tg sec tg sec tg tg ln sec 4 2 1 1 tg tg ln sec , 4 2 x dx x x dx x x dx x x dx x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x dx u u u du u du x dx x C x x x C = = − = = − = = − − = = − − = = − − = − − + = = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ sendo que a mudança de variável u = tg x foi utilizada. integral. Por isso, serão novamente divididos em casos. Vale ressaltar que os procedimentos adotados para trabalhar com ecantes são todos análogos , independente de o em ; em u x du x dx ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 2 Calcule 4tg .x dx∫ Solução 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 tg tg tg tg (sec 1) tg sec tg tg sec (sec 1) tg sec sec sec tg 3 1 1 tg tg ln sec , 4 2 x dx x x dx x x dx x x dx x dx x x dx x dx x x dx x dx dx u u du x dx dx x x C x x x C = = − = = − = = − − = = − + = = − + = − + + = = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ onde a novamente a mudança de variável u = tg x foi utilizada. B) Se a potência da secante é par, independente do expoente da tangente, você pode guardar um fator de x2sec e usar 2 2tg 1 secx x+ = para expressar os fatores remanescentes em termos de tangente. Isso possibilitará calcular a integral pelo método de mudança de variáveis, a exemplo dos casos anteriores, uma vez que 2(tg ) secd x x dx = . Vejamos os exemplos abaixo. EXEMPLO 1 Calcule 4sec x dx∫ . Solução 4 2 2 2 2sec sec sec (1 tg ) secx dx x x dx x x dx= = + =∫ ∫ ∫ ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 37 foi utilizada. , independente do expoente da e usar para expressar os fatores remanescentes em termos de tangente. Isso possibilitará calcular a integral pelo método de mudança de variáveis, a exemplo dos casos anteriores, uma vez que 38 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 3 2 31(1 ) tg tg 3 3 u u du u C x x C+ = + + = + +∫ , onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada. EXEMPLO 2 Calcule 5 4tg secx x dx∫ . Solução ( )5 4 5 2 2 5 2 2 6 8 5 2 5 7 6 8 tg sec tg sec sec tg 1 tg sec 1 1(1 ) ( ) tg tg , 6 8 6 8 x x dx x x x x x x dx u u u u du u u du C x x C = = + = + = + = + + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada. EXEMPLO 3 Calcule 4 4tg secx x dx∫ . Solução 4 4 4 2 2 5 7 4 2 5 7 tg sec tg (1 tg )sec 1 1(1 ) = tg tg , 5 7 5 7 x x dx x x x dx u u u u du C x x C = + = + = + + + + ∫ ∫ ∫ onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada. C) Se a potência da tangente é ímpar e ela aparece multiplicando a secante, independente do expoente da secante, você pode guardar um fator de sec tgx x e usar 2 2tg sec 1x x= − para expressar os fatores remanescentes em termos de secante. Neste caso, use a mudança de variável sec sec tg .u x du x x dx= ⇒ = (1 ) ( ) tg tg ,u u du u u du C x x C = = + = e ela aparece multiplicando a secante, independente do expoente da secante, você pode guardar para expressar os fatores remanescentes em termos de secante. Neste caso, use a ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 1 Calcule 5 3tg sec .x x dx∫ Solução 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 2 7 5 3 7 5 3 tg sec (tg ) sec tg sec (sec 1) sec tg sec ( 1) ( 2 ) 2 7 5 3 1 2 1 sec sec sec , 7 5 3 x x dx x x x x dx x x x x dx u u du u u u du u u u C x x x C = = = − = = − = − + = = − + + = = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ onde a mudança de variável u = sec x foi utilizada. EXEMPLO 2 Calcule 5 4tg sec .x x dx∫ Solução 5 4 2 2 3 2 2 3 2 2 3 7 5 3 8 6 4 8 6 4 tg sec (tg ) sec tg sec (sec 1) sec tg sec ( 1) ( 2 ) 2 8 6 4 1 1 1 sec sec sec , 8 3 4 x x dx x x x x dx x x x x dx u u du u u u du u u u C x x x C = = = − = = − = − + = = − + + = = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ onde a mudança de variável u = sec x foi utilizada. OBS: Note que esta última integral já foi calculada pelo procedimento sugerido no item B), apresentando a resposta em termos de tg x. Isso ocorre pela mudança de variável ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 39 Note que esta última integral já foi calculada pelo , apresentando a resposta . Isso ocorre pela mudança de variável 40 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA escolhida. No entanto, ambas as respostas estão corretas, conforme você pode verificar, derivando-as. Este é um caso típico onde podemos escolher qual procedimento usar na hora de resolver a integral. D) Se a potência da tangente é par e da secante é ímpar ou se potência da secante é ímpar e ela aparece sozinha, utilize integração por partes. EXEMPLO 1 Calcule 3sec x dx∫ . Solução Este exemplo já foi feito quando estudamos o método de integração por partes, porém, como esta integral aparecerá muitas vezes daqui por diante, entendemos ser válido relembrar sua resolução. Note que se escrevermos a integral na forma 2sec secx x dx∫ , e utilizarmos 2 sec sec tg tgsec u x du x x dx v xdv x dx = = ⇒ == teremos, pela fórmula de integração por partes: 3 2sec sec tg sec tg .x dx x x x x dx= −∫ ∫ Para efetuarmos o cálculo desta última integral, fazemos 2 2tg sec 1x x= − , e teremos 3 2 3 sec sec tg sec (sec 1) sec tg sec sec . x dx x x x x dx x x x dx x dx = − − = = + − ∫ ∫ ∫ ∫ escolhida. No entanto, ambas as respostas estão corretas, as. Este é um caso típico onde podemos escolher qual procedimento usar na hora ou se a utilize Este exemplo já foi feito quando estudamos o método de integração por partes, porém, como esta integral aparecerá muitas vezes daqui por diante, entendemos ser válido relembrar sua resolução. Note que Para efetuarmos o cálculo desta última integral, fazemos ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Assim, somando o termo 3sec x dx∫ em ambos os lados da igualdade, obtemos 3 12 sec sec tg ln sec tg x dx x x x x C= + + +∫ , ou 3 1sec sec tg ln sec tg 2 x dx x x x x C = + + + ∫ , onde C = C1 EXEMPLO 2 Calcule 2 3tg secx x dx∫ . Solução Análogo ao que foi feito no Exemplo 1, precisamos reescrever a função a ser integrada de modo que ela se apresente em uma forma que seja fácil visualizar qual termo chamaremos de u chamaremos de dv. Lembre-se que u deve ser facilmente derivável e dv deve ser facilmente integrável. Assim, segundo estes critérios, podemos fazer 2 2 3 2 3 5 sen 1 sen tg sec sen . cos cos cos x x x x dx dx x dx x x x = =∫ ∫ ∫ Fazendo agora a escolha 5 4 sen cos sen 1 cos 4 cos u x du x dx xdv dx v x x = ⇒ = = ⇒ = e aplicando a fórmula de integração por partes, teremos ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 41 em ambos os lados da 1/2. Análogo ao que foi feito no Exemplo 1, precisamos reescrever a função a ser integrada de modo que ela se apresente em uma forma e qual deve ser facilmente derivável e deve ser facilmente integrável. Assim, segundo estes critérios, tg sec sen .x x dx dx x dx 42 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 2 3 4 4 4 3 3 4 4 4 sen 1 cos tg sec 4cos 4 cos sen 1 1 4cos 4 cos sen 1 sec 4cos 4 sen 1 1 sec tg ln sec tg 4cos 4 2 sen 1 sec tg ln sec tg . 4cos 8 x x x x dx dx xx x dx x x x xdx x x x x x x C x x x x x x C x = − = = − = = − = = − + + + = = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ OBS: Todos estes procedimentos utilizados para tangentes e secantes também se aplicam, de modo análogo, à cotangentes e cossecantes, conforme veremos nos exemplos a seguir. EXEMPLO 1 Calcule 3 4cotg cossec .x x dx∫ Solução 3 4 3 2 2 3 2 2 3 2 5 3 6 4 6 4 cotg cossec cotg cossec cossec cotg (cotg 1) cossec ( 1) ( ) cotg cotg , 6 4 6 4 x x dx x x x dx x x x dx u u du u u du u u x xC C = = = + = = − + = − + = = − − + = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ onde a mudança de variável u = cotg x, du = -cossec2x dx foi utilizada. = − + + + = Todos estes procedimentos utilizados para tangentes e secantes também se aplicam, de modo análogo, à cotangentes foi ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 2 Calcule 4cotg .x dx∫ Solução 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 cotg cotg cotg (cossec 1) cotg cossec cotg cotg cossec cotg (cossec 1) cotg cossec cotg , 3 x dx x x dx x x dx x x dx x dx x x dx x dx x u du x dx dx x x C = = − = = − = = − − = = − − + = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ onde novamente a mudança de variável u = cotg x, du = -cossec dx foi utilizada. EXEMPLO 3 Calcule 3cossec .x dx∫ Solução Procedemos de modo inteiramente análogo ao que foi feito no cálculo da integral de sec3x: 3 2 2 2 3 cossec cossec cossec cossec cotg cossec cotg cossec cotg cossec (cossec 1) cossec cotg cossec cossec . x dx x x x x x x dx x x x x dx x x x dx x dx = = = − − = = − − − = = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Assim, 3 3 2 cossec cossec cotg ln cossec cotg , ou seja, 1 cossec cossec cotg ln cossec cotg , 2 x dx x x x x C x dx x x x x C = − + − + = − + − + ∫ ∫ ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 43 cossec cotg ,u du x dx dx x x C = = − = = − − + = − + + + cossec2x Procedemos de modo inteiramente análogo ao que foi feito no cossec cotg cossec (cossec 1) cossec cotg cossec cossec . x x x x dx x x x dx x dx = − − − = 2 cossec cossec cotg ln cossec cotg , cossec cossec cotg ln cossec cotg , x dx x x x x C x dx x x x x C = − + − + 44 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA sendo que inicialmente fizemos u = cossec x e dv = cossec2x para utilizar o método de integração por partes e depois, cotg2x cossec2x – 1. EXERCÍCIOS 1.3 1) Calcule as seguintes integrais: a) 4sen cosx x dx∫ b) 2 4sen cosx x dx∫ c) 3 5cotg cossecx x dx∫ d) 5 2sen cosx x dx∫ e) 3sen cosx x dx∫ f) 6tg x dx∫ g) 3cos senx x dx∫ h) 4 6tg secx x dx∫ i) 3 2tg secx x dx∫ j) 2(tg cotg )x x dx+∫ k) 3cos x dx∫ l) 2 3cotg cossecx x dx∫ Integração por substituições trigonométricas Se o integrando contém uma expressão da forma 2 2 2 2 ,a x a x− + ou 2 2x a− , ou mesmo apenas os quadrados perfeitos aparecem no radicando, onde a > 0, então é possível, na maioria das vezes, efetuarmos a integração através de uma dx x = Se o integrando contém uma expressão da forma , ou mesmo apenas os quadrados 0, então é possível, na maioria das vezes, efetuarmos a integração através de uma ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 45 substituição trigonométrica, conforme veremos abaixo, a qual possibilitará a eliminação da raiz e o cálculo facilitado da integral. 1º Caso: 2 2a x− , a > 0 , x a≤ . Neste caso fazemos a seguinte mudança de variável: sen cosx a dx a dθ θ θ= ⇒ = , tomando 0 / 2θ pi≤ ≤ para 0x ≥ e / 2 0pi θ− ≤ ≤ para 0x ≤ , uma vez que cos 0θ ≥ neste intervalo e isso, juntamente com a hipótese sobre a, nos permitirá eliminar a raiz sem a presença do módulo. Assim, com essa mudança, a expressão da função se torna bem mais simples para ser integrada. Veja: 2 2 2 2 2 2 2 2 2sen (1 sen ) cos cosa x a a a a aθ θ θ θ− = − = − = = , já que a > 0 e cos 0θ ≥ para / 2 / 2pi θ pi− ≤ ≤ . 2 2 cosa x a θ∴ − = , sendo arcsen x a θ = , uma vez que f(x) = sen x é inversível em [ ]/ 2, / 2pi pi− . Se posicionarmos estas variáveis em um triângulo retângulo, visualizaremos a mudança de variável com mais facilidade, uma vez que sabemos, da trigonometria dos triângulos retângulos, que cateto oposto sen hipotenusa x a θ = = . 46 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA Essa visualização geométrica é fundamental para fazermos o retorno da variável q para x. EXEMPLO 1 Calcule ∫ − 22 xa dx . Solução Considere sen cosx a dx a dθ θ θ= ⇒ = , / 2 / 2pi θ pi− ≤ ≤ Substituindo na integral e aproveitando os cálculos realizados logo acima, obtemos: 2 2 cos arcsen . cos dx a xd d C C a aa x θ θ θ θ θ = = = + = + − ∫ ∫ ∫ Caso particular: 2 arcsen 1 dx x C x = + − ∫ . EXEMPLO 2 Calcule . Solução Considere a = 3 e 3 sen , / 2 / 2.x θ pi θ pi= − ≤ ≤ Então, temos que 3cosdx dθ θ= e a integral torna-se: 2 2 2 2 2 2 9 9 9sen 1 9cos3 cos cos 9sen 3 sen x dx d d x θ θθ θ θ θ θ θ − − = = =∫ ∫ ∫ ∫ − dx x x 2 29 / 2 / 2 os cálculos realizados logo = = = ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 2 2 2 2 2 cos cotg (cossec 1) cossec sen d d d d dθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 29 cotg arcsen 3 x xC C x θ θ − −= − − + = − + . OBS: Observe que o retorno de q para x foi feito a partir da observação do triângulo retângulo ilustrado acima, uma vez que 2cateto adjascente 9 cotg cateto oposto x x θ −= = . Já a expressão para q é conseqüência imediata de 3sen sen arcsen . 3 3 x x x θ θ θ= ⇒ = ⇒ = EXEMPLO 3 Calcule 3 216 x dx x− ∫ . Solução Considere a = 4, 4 sen , / 2 / 2x θ pi θ pi= − ≤ ≤ . Então temos 4cosdx dθ θ= e a integral torna-se: 3 3 3 2 2 3 2 64 sen 4cos sen cos64 cos16 16 16sen 64 sen 64 (1 cos ) sen x dx d d x d d θ θ θ θθ θ θθ θ θ θ θ θ = = = − − = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3164 sen 64 64 cos cos 3 d u du Cθ θ θ θ = − = − − + = ∫ ∫ ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 47 d d d d dθ θ θ θ θ θ θ θ= = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ foi feito a partir da observação do triângulo retângulo ilustrado acima, uma vez é conseqüência imediata de dx d dθ θ= = = = = − = 48 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 2 2 3 2 216 1 ( 16 ) 3264 16 4 3 64 3 x x xC x C − − − − − = + + = − + . 2º Caso: 2 2a x+ , a > 0 . Neste caso fazemos tgx a θ= 2secdx a dθ θ⇒ = , tomando 0 / 2θ pi≤ < para 0x ≥ e / 2 0pi θ− < ≤ para 0x ≤ , pelos motivos já apresentados no 1° Caso. No triângulo retângulo teremos então: e com esta mudança, a raiz torna-se: 2 2 2 2 2 2 2 2 2tg (1 tg ) sec sec ,a x a a a a aθ θ θ θ+ = + = + = = já que a > 0 e sec 0θ ≥ para 2 2 pi piθ− < < . 2 2 seca x a θ∴ + = , sendo arctg x a θ = , uma vez que f(x) = tg x é inversível em , 2 2 pi pi − . EXEMPLO 1 Calcule . Solução ∫ + dxx 5 2 . , tomando , pelos motivos tg (1 tg ) sec sec ,θ θ θ θ ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃOConsidere 5a = , 5 tg , / 2 / 2x θ pi θ pi= − < < . Então, θθ ddx 2sec5= e a integral torna-se: 2 25 5 sec 5 secx dx dθ θ θ+ = =∫ ∫ 3 55 sec sec tg ln sec tg 2 d Cθ θ θ θ θ θ = = + + + = ∫ 2 25 5 5ln . 2 5 5 5 5 x x x x C + + = + + + EXEMPLO 2 Calcule . Solução Considere tg , 2 2 x a pi piθ θ= − < < . Então, 2secdx a dθ θ= integral torna-se: 2 2 2 2 2 sec 1 1 1 arctg sec dx a xd d C C a x a a a a a θ θ θ θ θ = = = + = + +∫ ∫ ∫ Caso particular: 2 arctg1 dx x C x = + +∫ . 3º Caso: , a > 0 , a x≤ . ∫ + 22 xa dx 22 ax − ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 49 dx a dθ θ e a d d C C . 50 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA Neste caso, fazemos secx a θ= sec tgdx a dθ θ θ⇒ = sendo que 0 2 piθ≤ < para ax ≥ e 3 2 pi pi θ≤ < para ax −≤ . No triângulo retângulo agora temos e, com esta mudança, a raiz torna-se: 2 2 2 2 2 2 2 2 2sec (sec 1) tg tgx a a a a a aθ θ θ θ− = − = − = = , levando em conta que: 0a > e tg 0θ ≥ para 30, , . 2 2 x pi pi pi ∈ ∪ 2 2 tgx a a θ∴ − = , sendo arcsec x a θ = , uma vez que ( ) secf x x= é inversível para todo 30, , . 2 2 x pi pi pi ∈ ∪ EXEMPLO 1 Calcule . Solução Considere ∫ − 22 axx dx dx a dθ θ θ , θ θ θ θ , para ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO sec sec tgx a dx a dθ θ θ θ= ⇒ = , 3θ 0, , 2 2 pi pi pi ∈ ∪ . Substituindo na integral, obtemos: 2 2 sec tg 1 1 1 arcsec . sec tg dx a xd d C C a a a a a ax x a θ θ θ θ θ θ θ = = = + = + − ∫ ∫ ∫ Caso particular: 2 2 arcsec 1 dx x C x x = + − ∫ . EXEMPLO 2 ∫ − 923 xx dx Considere 3sec 3sec tgx dx dθ θ θ θ= ⇒ = , (0, / 2) ( ,3 / 2)θ pi pi pi∈ ∪ Substituindo na integral, obtemos: 33 2 2 2 3 sec tg 27sec 3 tg9 1 1 1 cos 27 sec 27 dx d x x d d = = − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ θ θ θ θ θ θ θ θ θ [ ] 1 (1 cos2 ) 1 1 sen 2 27 2 54 2 1 2 sen cos 54 d C C + = = + + = = + + = ∫ θ θ θ θ θ θ θ ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 51 . arcsec . dx a xd d C C a a a a a a = = = + = + (0, / 2) ( ,3 / 2) . = = + + = 52 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 2 2 2 1 9 3 arcsen 54 3 1 3 9 arcsen 54 3 x x C x x x x C x − = + + = − = + + . EXERCÍCIOS 1.4 1) Calcule as seguintes integrais: a) 24 dx x+∫ b) 2 3 dx x x + ∫ c) 2 16 dx x − ∫ d) 29t te e dt−∫ e) 2 225x x dx−∫ f) 2 2 1x dx x − ∫ 2) Mostre, utilizando integrais, que a área da região delimitada pela elipse 2 2 2 2 1 x y a b + = é A = pab. 3) Mostre, utilizando integrais, que a área de um círculo de raio R 2A Rpi= . Integração por Frações Parciais Este método é utilizado quando desejamos integrar uma função racional (quociente de duas funções polinomiais), cuja expressã não permite sua integração por um método mais simples, como os vistos anteriormente. . Mostre, utilizando integrais, que a área da região delimitada pela R é Este método é utilizado quando desejamos integrar uma função racional (quociente de duas funções polinomiais), cuja expressão não permite sua integração por um método mais simples, como os ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 53 Inicialmente relembramos que se ( ) ( )( ) P x H x Q x= onde P e Q são polinômios reais e o grau de Q é menor ou igual que o grau de P, então H é dita uma função racional imprópria. Para que H se torne uma função racional própria é necessário dividir P por Q até que o grau do numerador seja menor que o do denominador. Se tomarmos, por exemplo, a função 4 2 2 10 3 1( ) 4 x x xH x x − + + = − observamos que é uma função racional imprópria. Porém, ao dividirmos o polinômio do numerador pelo do denominador, obtemos uma nova forma de representar a mesma função, agora composta por um termo polinomial somado a uma fração própria, como podemos ver abaixo. 4 2 2 2 2 10 3 1 3 23( ) 6 4 4 fração imprópria fração própria x x x xH x x x x − + + − = = − + − −��������� ����� OBS: Para integrar uma função racional (quociente de duas funções polinomiais), devemos primeiro verificar se ela é uma fração própria. Caso não seja, devemos antes transformá-la em uma fração própria e, só depois, integrar. Por exemplo: 2 2 2 2 3 23 3 23( ) ( 6 ) ( 6) 4 4 este é o nosso problema !! x xH x dx x dx x dx dx x x − − = − + = − + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ����� 54 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA O método das frações parciais permite escrever uma função racional própria em uma soma de frações mais simples, que possam ser integradas pelos métodos já conhecidos. Para isso, em uma fração do tipo ( ) ( ) P x Q x , Q(x) deve ser escrito como um produto de fatores lineares ou quadráticos irredutíveis (que não possuem raízes reais). Isso sempre é possível devido ao Teorema Fundamental da Álgebra, que garante que qualquer polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis, de tal forma que cada um dos fatores tenha coeficientes reais. É o que conhecemos por fatoração. Método das frações parciais Seja (x – a) um fator linear de Q(x). Se (x – a)m for o termo de maior potência de (x – a) que divide Q(x), então devemos atribuir, a cada fator linear distinto, a soma de m frações parciais escritas do seguinte modo: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 m m m m A A A A x ax a x a x a − − + + + + − − − − ⋯ . Agora, se 2x bx c+ + for um fator quadrático irredutível de Q(x) e se ( )2 nx bx c+ + for o termo de maior potência de 2x bx c+ + que divide Q(x), então devemos atribuir, a cada fator quadrático distinto, a soma de n frações parciais escritas do seguinte modo: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 2 22 2 2 n n n n n n B x C B x C B x C B x C x bx cx bx c x bx c x bx c − − − + + + + + + + + + ++ + + + + + ⋯ . ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Os exemplos a seguir facilitarão o entendimento: EXEMPLO 1 Calcule 3 2 1 2 x dx x x x − − − ∫ . Solução Inicialmente verificamos se o integrando é uma fração própria. Como o maior expoente do denominador é 3 e o do numerador é 1, concluímos que a fração é própria e, portanto, podemos passar para o passo seguinte, que é a aplicação do método em si. O primeiro passo é fatorar o denominador para que ele fique na forma de produto de fatores lineares ou quadráticos irredutíveis. Com isso nossa integral torna-se: 3 2 1 1 2 ( 2)( 1) x xdx dx x x x x x x − − = − − − +∫ ∫ . Agora tomamos o integrando e usamos o método descrito acima para transformar a fração dada em uma soma de frações mais simples. Como os fatores são todos lineares e não se repetem, atribuímos a cada um deles uma constante no numerador e efetuamos a soma das frações resultantes, como mostrado abaixo: 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 3 1 1 ( 2)( 1) 2 1 ( 2) ( 1) ( 2) ( 2)( 1) ( ) ( 2 ) 2 .( 2)( 1) x A A A x x x x x x A x x A x x A x x x x x A A A x A A A x A x x x − = + + = − + − + − − + + + − = = − + ++ + − − − = − + Comparando o primeiro termo da igualdade com o último, notamos que as duas frações são iguais se, e somente se, os numeradores são iguais, ou seja, quando 2 1 2 3 2 1 3 1( ) ( 2 ) 2 1A A A x A A A x A x+ + + − − − = − ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 55 Inicialmente verificamos se o integrando é uma fração própria. Como o maior expoente do denominador é 3 e o do numerador é 1, concluímos que a fração é própria e, portanto, podemos passar para o passo é fatorar o denominador para que ele fique na forma de produto de fatores lineares ou quadráticos irredutíveis. Agora tomamos o integrando e usamos o método descrito acima transformar a fração dada em uma soma de frações mais simples. Como os fatores são todos lineares e não se repetem, atribuímos a cada um deles uma constante no numerador e efetuamos a soma das frações resultantes, como mostrado abaixo: . Comparando o primeiro termo da igualdade com o último, notamos que as duas frações são iguais se, e somente se, os numeradores são ( ) ( 2 ) 2 1+ + + − − − = − , 56 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA o que é equivalente a 1 2 3 22 3 1 2 3 1 2 3 31 110 1 622 1 3 22 22 1 2 3 A A A AA A A A A A A A AA + + = =+ = − − + − = ⇒ = ⇒ ⇒ − = = − − = − Dessa forma, encontramos os valores para as constantes A1, A2 e de maneira que: 31 21 1 1 2 ( 2)( 1) 2 1 2 6( 2) 3( 1) AA Ax x x x x x x x x x − = + + = + − − + − + − + . Logo, 3 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 6 2 3 1 x dx dx dx dx x x x x x x − = + − = − − − +∫ ∫ ∫ ∫ = 1 1 2ln ln 2 ln 1 2 6 3 x x x C+ − − + + . EXEMPLO 2 Calcule 3 2 3 ( 1) ( 2) x dx x x − − ∫ . Solução Observando que a fração é própria e usando o mesmo procedimento do exemplo 1, porém notando que agora os fatores lineares se repetem, fazemos 3 32 1 2 1 2 3 2 3 2 ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) BA A B Bx x x x x x x x − = + + + + = − − − − 3 3 2 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) .( 2) A x A x x B x B x x B x x x x − + − + + − + − = − Igualando os numeradores, obtemos e A3 ( 2)( 1) 2 1 2 6( 2) 3( 1) . fração é própria e usando o mesmo procedimento do exemplo 1, porém notando que agora os fatores lineares se . ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 3 3 2 4 3 2 2 2 1 3 3 2 4 3 2 2 1 4 3 1 1 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 2 1 2 1 ( 6 12 8) ( 6 12 8 ) ( 2 ) ( 4 4 ) ( ) ( 6 4 ) ( 6 12 2 4 ) (12 8 ) 8 . x A x x x A x x x x B x B x x B x x x A B x A A B B x A A B B B x A A x A − = − + − + − + − + + + − + − + = = + + − + − + + − + + − + + − − Assim, 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 1 1 1 3 2 1 22 1 1 8 36 12 2 4 0 166 4 1 70 4 12 8 0 5 8 1 4 3 16 A A A B B B A A A B B A B B A A BA B = − + + − + = = − + − = + = ⇒ = − = = − = − − = . Portanto, 3 2 3 2 3 2 ( 1) ( 2) 1 3 7 5 3 8 16 4 ( 2) 4 ( 2) 16 2 x dx x x dx dx dx dx dx x x x x x − = − = + + + − = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 3 7 5 3ln ln 2 8 16 8( 2) 4( 2) 16 3 1 1 7 5ln . 16 2 4 2 2( 2) ( 2) x x C x x x x C x x x x − = + − − − − + = − − = − + + + − − − EXEMPLO 3 Calcule 3 2 2 2 5 3 7 3 ( 1) x x x dx x − + − +∫ . ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 57 3 3 2 4 3 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 2( 6 12 2 4 ) (12 8 ) 8 . x A x x x A x x x x B x A A B B B x A A x A − = − + − + − + − + + + − + + − + + − − 8 16 4 ( 2) 4 ( 2) 16 2 dx dx dx dx dx = + + + − = = + − − − − + = 58 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA Solução Como neste caso temos um fator quadrático irredutível no denominador, o qual se repete, colocamos um fator linear no numerador de cada fração parcial, e procedemos como nos exemplos anteriores: 3 2 2 2 2 2 2 5 3 7 3 .( 1) ( 1) ( 1) x x x Ax B Cx D x x x − + − + + = + + + + Resolvendo esta soma de frações e igualando os numeradores, chegamos à seguinte igualdade: 3 2 2 3 2 5 3 7 3 ( ) ( 1) ( ) , x x x Ax B Cx D x Cx Dx A C x B D − + − = + + + + = = + + + + + de onde concluímos que: A = 2, B = 0, C = 5 e D = −3. Assim, 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 7 3 2 5 3 ( 1) ( 1) ( 1) 2 5 3 ( 1) 1 1 1 5 ln( 1) 3arctg . 1 2 x x x x xdx dx dx x x x x xdx dx dx x x x x x K x − + − − = + = + + + = + − = + + + = − + + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ EXERCÍCIOS 1.5 1. Calcule as seguintes integrais: a) 2 6 7 ( 2) x dx x + +∫ b) 2 1 ( 1)( 2)( 3) x dx x x x + − − − ∫ c) 2 3 2 4 13 9 2 3 x x dx x x x + − + −∫ d) ∫ + dx xx x 2 32 ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 59 e) 2 2 2 4 ( 1)( 1) x dx x x − + + −∫ f) 3 3 9 3 1x x dx x x − + +∫ g) 2 2 2 7 6 9 x x dx x x + + +∫ h) 2 2 1 2 3 2 x dx x x + + −∫ EXERCÍCIOS EXTRAS 1. Calcule as seguintes integrais, utilizando os métodos estudados. 1) 2 2 5 4 2 1 x x dx x x + + − +∫ 2) 4 2 4 dx x x−∫ 3) 2 3 19t dt t + ∫ 4) 2 1 9 dx x x + ∫ 5) 2 2 sec (1 tg ) x dx x+∫ 6) 2 2tg cossecx x dx∫ 7) ∫ +− dxxx dxx 22 )1()1( 8) cos 2 sen x dx x−∫ 9) 216 dx x+∫ 10) 2tg (5 )x dx∫ 11) 2 2 3 3 dt t +∫ 12) 2 9 1 dx x−∫ 13) 12 2 y dy y − ∫ 14) 1 2 1 xe dx x∫ 60 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 15) 3 2 3 6 3 16 4 x x x dx x x + + + +∫ 16) 4 2 1 3 dx x x − ∫ 17) 2 3sen (2 ) cos (2 ) dθ θ θ∫ 18) 3 2 2 2 4 2 2 x x dx x + + +∫ 19) 2 2 2cos ( 1)x xe e dx−∫ 20) ( 1) xx e dx−−∫ 21) 6cossec x dx∫ 22) 2 2 2 25 33 ( 1) ( 5) x x dx x x − − + −∫ 23) 2 2 7 sen 22 cos x xe dx x x − + ∫ 24) 2 1 4 x dx x + − ∫ 25) 2 2(16 ) x dx x−∫ 26) cos 2 x xe dx∫ 27) 25 xx e dx∫ 28) 2sec cotg x dx x∫ 29) 2 2 1 ( 2 3) x dx x x − + +∫ 30) 2( 1)secx x dx−∫ 2. Seja f contínua em [a, b] e R a região delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo-x e pelas retas verticais x = a e x = b. O volume do sólido de revolução gerado pela revolução de R em torno do eixo-x é dado por [ ]2( )b a V f x dxpi= ∫ . Sabendo disso, calcule o volume dos sólidos gerados pelas funções abaixo, em torno do eixo-x, nos intervalos especificados: ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 61 a) ln ; [0, ]y x x e= ∈ b) 2cos ; [0,2 ]y x x pi= ∈ c) 2 1/2( 25) ; [0,5]y x x x−= + ∈ 3. A velocidade (no instante t) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é dada por 2cos tpi m/s. Qual é a distância percorrida pelo ponto em 5 segundos? 4. A aceleração (no instante t) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é dada por 2sen cost t m/s2. Em t = 0 o ponto está na origem e sua velocidade é 10 m/s. Determine sua posição no instante t. 5. Encontre a área da região delimitada pelo gráfico de 3 2 1/2(10 )y x x −= − , pelo eixo-x e pela reta 1.x = 62 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
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