Cálculo para um curso de Química - Volume 2
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Cálculo para um curso de Química - Volume 2


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Araraquara 
2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maria Helena S. S. Bizelli 
Sidinéia Barrozo 
CÁLCULO 
para um Curso de Química 
Volume 2 
 
 
 
 
 
 
 
Prefácio 
 
 
 
Este material foi elaborado para ser o material de apoio 
aos alunos que cursam a disciplina Cálculo Diferencial e 
Integral II, ministrada no segundo semestre dos cursos de 
Licenciatura e Bacharelado em Química da Unesp, Campus de 
Araraquara. Estes cursos, assim como os demais cursos de 
Química da Unesp, concentram o conteúdo de Cálculo 
Diferencial e Integral em dois semestres, o que os diferenciam 
da maioria dos cursos da área de exatas, que normalmente 
distribui tal conteúdo ao longo de quatro semestres, tratando 
do Cálculo de uma variável nos dois primeiros semestres e do 
Cálculo de duas variáveis nos dois semestres subsequentes. 
Esta particularidade sugere um material mais específico, que 
contemple os tópicos que devam ser trabalhados e, ao mesmo 
tempo, os apresentem em uma sequência lógica e harmoniosa, 
focando a compreensão e a aplicação dos conteúdos. Além 
disso, é mais motivador ao aluno um material que apresente 
aplicações voltadas para a área, favorecendo a apreensão do 
conhecimento adquirido. Assim, com esse intuito, 
desenvolvemos este material, o qual vem sendo utilizado e 
reformulado ao longo dos últimos anos e apresentando bons 
resultados. Esperamos que possa ser útil também a outros 
cursos de Química. 
 
 
Gostaríamos de observar que, seguindo a sequência 
programática da disciplina, este volume contém o estudo de 
técnicas de integração, equações diferenciais ordinárias, 
funções de duas variáveis, derivadas parciais, integração 
múltipla e uma introdução ao estudo do cálculo vetorial, 
enfatizando a integral de linha. 
 
 
Maria Helena S.S. Bizelli 
 Sidinéia Barrozo 
 
5 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
 
Sumário 
 
Capítulo 1 \u2013 Alguns Métodos de Integração ............................... 09 
Integrais Imediatas ..................................................................... 11 
Mudança de Variáveis ....................................................... 13 
Outras Substituições .................................................... 15 
Integração por Partes ............................................................ 19 
Integração de Potências e Funções Trigonométricas ............ 25 
Integração por Substituições Trigonométricas ........................... 44 
Integração por Frações Parciais .................................................. 52 
Exercícios Extras .......................................................................... 59 
 
Capítulo 2 \u2013 Equações Diferenciais Ordinárias ......................... 63 
Introdução ............................................................................. 64 
Equações Diferenciais de Primeira ordem ................................. 66 
Problemas de Valor Inicial .......................................................... 69 
Equações de Primeira Ordem Separáveis................................... 72 
Aplicações .................................................................................... 79 
Equações de Primeira Ordem Lineares ............................... .. 101 
Aplicações ............................................................................ ... 105 
Campo de direções .................................................... 114 
Exercícios Extras .................................................................... 135 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 \u2013 Funções de Várias Variáveis ................................ 140 
Introdução........................................................................... 141 
Sistema Tridimensional de Coordenadas ................................. 142 
A fórmula da distância no espaço ............................................. 147 
A equação de uma esfera .......................................................... 149 
Funções de Duas Variáveis ....................................................... 155 
Gráfico de uma Função de Duas Variáveis ............................. 161 
Curvas de Nível ......................................................................... 164 
Exercícios Extras .................................................................... 176 
 
Capítulo 4 \u2013 Derivadas Parciais ............................................... 188 
Introdução........................................................................... 189 
Derivadas Parciais .................................................................... 190 
Aplicações das Derivadas Parciais .......................................... 195 
Cálculo de Derivadas Parciais ................................................. 198 
Função Composta \u2013 Regra da Cadeia ................................ 205 
Interpretação Geométrica ..................................................... 218 
Derivadas Parciais de Segunda Ordem .............................. 223 
Extremos de Funções de Duas Variáveis ................................ 229 
Teste da Segunda Derivada ...................................................... 235 
Diferencial de uma Função de Duas Variáveis ................ 250 
Derivação Implícita .................................................................. 273 
Exercícios Extras .................................................................... 276 
 
 
 
Capítulo 5 \u2013 Integrais Múltiplas ............................................... 284 
Introdução .................................................................................. 285 
Integrais Duplas ................................................................. 285 
Integral Dupla sobre uma Região ........................................ 292 
Aplicações das Integrais Duplas .......................................... 309 
Integrais Triplas ...................................................................... 318 
Coordenadas Polares ................................................................. 324 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares ........................ 329 
Coordenadas Cilíndricas e Esféricas........................................ 333 
Exercícios Extras .................................................................... 346 
Capítulo 6 \u2013 Cálculo Vetorial .................................................... 352 
Vetor .................................................................................. 353 
Operações com Vetores ......................................................... 362 
O Produto Escalar ou Produto Interno ............................... 368 
O Produto Vetorial ................................................................. 374 
Equações Paramétricas de Retas ......................................... 378 
Campo Vetorial ......................................................................... 386 
Derivada Direcional .................................................................. 388 
Integral de Linha ....................................................................... 400 
Algumas Aplicações ................................................................. 418 
Exercícios Extras .................................................................... 446 
 
Apêndice ......................................................................................... 456 
Referências Bibliográficas .......................................................... 464 
Respostas dos Exercícios ............................................................ 466 
Sobre as Autoras .......................................................................... 511 
 
 
 
9 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
Capítulo 1 
Alguns Métodos de Integração 
 
O QUE VOCÊ VAI ESTUDAR: