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Cálculo para um curso de Química - Volume 2

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Araraquara 
2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maria Helena S. S. Bizelli 
Sidinéia Barrozo 
CÁLCULO 
para um Curso de Química 
Volume 2 
 
 
 
 
 
 
 
Prefácio 
 
 
 
Este material foi elaborado para ser o material de apoio 
aos alunos que cursam a disciplina Cálculo Diferencial e 
Integral II, ministrada no segundo semestre dos cursos de 
Licenciatura e Bacharelado em Química da Unesp, Campus de 
Araraquara. Estes cursos, assim como os demais cursos de 
Química da Unesp, concentram o conteúdo de Cálculo 
Diferencial e Integral em dois semestres, o que os diferenciam 
da maioria dos cursos da área de exatas, que normalmente 
distribui tal conteúdo ao longo de quatro semestres, tratando 
do Cálculo de uma variável nos dois primeiros semestres e do 
Cálculo de duas variáveis nos dois semestres subsequentes. 
Esta particularidade sugere um material mais específico, que 
contemple os tópicos que devam ser trabalhados e, ao mesmo 
tempo, os apresentem em uma sequência lógica e harmoniosa, 
focando a compreensão e a aplicação dos conteúdos. Além 
disso, é mais motivador ao aluno um material que apresente 
aplicações voltadas para a área, favorecendo a apreensão do 
conhecimento adquirido. Assim, com esse intuito, 
desenvolvemos este material, o qual vem sendo utilizado e 
reformulado ao longo dos últimos anos e apresentando bons 
resultados. Esperamos que possa ser útil também a outros 
cursos de Química. 
 
 
Gostaríamos de observar que, seguindo a sequência 
programática da disciplina, este volume contém o estudo de 
técnicas de integração, equações diferenciais ordinárias, 
funções de duas variáveis, derivadas parciais, integração 
múltipla e uma introdução ao estudo do cálculo vetorial, 
enfatizando a integral de linha. 
 
 
Maria Helena S.S. Bizelli 
 Sidinéia Barrozo 
 
5 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
 
Sumário 
 
Capítulo 1 – Alguns Métodos de Integração ............................... 09 
Integrais Imediatas ..................................................................... 11 
Mudança de Variáveis ....................................................... 13 
Outras Substituições .................................................... 15 
Integração por Partes ............................................................ 19 
Integração de Potências e Funções Trigonométricas ............ 25 
Integração por Substituições Trigonométricas ........................... 44 
Integração por Frações Parciais .................................................. 52 
Exercícios Extras .......................................................................... 59 
 
Capítulo 2 – Equações Diferenciais Ordinárias ......................... 63 
Introdução ............................................................................. 64 
Equações Diferenciais de Primeira ordem ................................. 66 
Problemas de Valor Inicial .......................................................... 69 
Equações de Primeira Ordem Separáveis................................... 72 
Aplicações .................................................................................... 79 
Equações de Primeira Ordem Lineares ............................... .. 101 
Aplicações ............................................................................ ... 105 
Campo de direções .................................................... 114 
Exercícios Extras .................................................................... 135 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 – Funções de Várias Variáveis ................................ 140 
Introdução........................................................................... 141 
Sistema Tridimensional de Coordenadas ................................. 142 
A fórmula da distância no espaço ............................................. 147 
A equação de uma esfera .......................................................... 149 
Funções de Duas Variáveis ....................................................... 155 
Gráfico de uma Função de Duas Variáveis ............................. 161 
Curvas de Nível ......................................................................... 164 
Exercícios Extras .................................................................... 176 
 
Capítulo 4 – Derivadas Parciais ............................................... 188 
Introdução........................................................................... 189 
Derivadas Parciais .................................................................... 190 
Aplicações das Derivadas Parciais .......................................... 195 
Cálculo de Derivadas Parciais ................................................. 198 
Função Composta – Regra da Cadeia ................................ 205 
Interpretação Geométrica ..................................................... 218 
Derivadas Parciais de Segunda Ordem .............................. 223 
Extremos de Funções de Duas Variáveis ................................ 229 
Teste da Segunda Derivada ...................................................... 235 
Diferencial de uma Função de Duas Variáveis ................ 250 
Derivação Implícita .................................................................. 273 
Exercícios Extras .................................................................... 276 
 
 
 
Capítulo 5 – Integrais Múltiplas ............................................... 284 
Introdução .................................................................................. 285 
Integrais Duplas ................................................................. 285 
Integral Dupla sobre uma Região ........................................ 292 
Aplicações das Integrais Duplas .......................................... 309 
Integrais Triplas ...................................................................... 318 
Coordenadas Polares ................................................................. 324 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares ........................ 329 
Coordenadas Cilíndricas e Esféricas........................................ 333 
Exercícios Extras .................................................................... 346 
Capítulo 6 – Cálculo Vetorial .................................................... 352 
Vetor .................................................................................. 353 
Operações com Vetores ......................................................... 362 
O Produto Escalar ou Produto Interno ............................... 368 
O Produto Vetorial ................................................................. 374 
Equações Paramétricas de Retas ......................................... 378 
Campo Vetorial ......................................................................... 386 
Derivada Direcional .................................................................. 388 
Integral de Linha ....................................................................... 400 
Algumas Aplicações ................................................................. 418 
Exercícios Extras .................................................................... 446 
 
Apêndice ......................................................................................... 456 
Referências Bibliográficas .......................................................... 464 
Respostas dos Exercícios ............................................................ 466 
Sobre as Autoras .......................................................................... 511 
 
 
 
9 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
Capítulo 1 
Alguns Métodos de Integração 
 
O QUE VOCÊ VAI ESTUDAR:• Como determinar a integral indefinida através de outras 
mudanças de variáveis. 
• Como determinar a integral indefinida através do método de 
integração por partes. 
• Como determinar a integral indefinida através do método de 
potências de funções trigonométricas. 
• Como determinar a integral indefinida através do método de 
substituições trigonométricas. 
• Como determinar a integral indefinida através do método das 
frações parciais. 
 
 
 
 
10 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
Alguns Métodos de Integração 
 
No curso de Cálculo Diferencial e Integral I fizemos uma 
introdução à integração, onde foram trabalhadas as funções que 
possuem integrais imediatas ou que podem ser calculadas através de 
uma substituição simples da variável. Faremos uma breve revisão 
aqui, a fim de situar o leitor a esse respeito. 
O cálculo integral consiste em, conhecendo-se a derivada de 
uma função, encontrar a função primitiva (ou antiderivada) da qual 
ela provém; ou seja, significa encontrar uma função F(x) cuja 
derivada seja conhecida. Assim, se a derivada é representada por 
f(x), a sua primitiva F(x) deverá satisfazer F´(x) = f(x) para qualquer 
x onde f esteja definida e seja contínua. Assim, por exemplo, uma 
primitiva da função f(x) = cos x é F(x) = sen x, pois F´(x) = cos x = 
f(x). É importante lembrar que a primitiva não é única, pois se 
tomarmos F(x) = sen x + C, onde C é um número real qualquer, 
ainda teremos F´(x) = cos x = f(x). 
Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função y = f (x) será 
denominada também de integral indefinida de f e representada por 
( ) ( ) .f x dx F x C= +∫ 
A função f(x) a ser integrada é denominada de integrando, x é a 
variável de integração, dx é um símbolo que indica em relação a 
qual variável a função está sendo integrada e C é a constante de 
integração. 
A tabela a seguir mostra as primitivas consideradas imediatas, 
ou seja, que não demandam de cálculos para serem obtidas. 
 
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 11 
 
Integrais Imediatas 
1dx dx x C= = +∫ ∫ 
( )
1
 1
1
n
n x
x dx C n
n
+
= + ≠ −
+∫ 
1 lndx x C
x
= +∫
 
sen cosx dx x C= − +∫
 
cos sen x dx x C= +∫
 
2sec tg x dx x C= +∫ 
2cossec cotg x dx x C= − +∫ 
sec tg secx x dx x C⋅ = +∫ 
cossec cotg cossec x x dx x C⋅ = − +∫
 
( )1 0 e 1
ln
x xa dx a C a a
a
= + > ≠∫
 
x xe dx e C= +∫ 
 
 
Propriedades 
1. ( ) ( )a f x dx a f x dx⋅ =∫ ∫ onde a é uma constante. 
2. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ±  = ± ∫ ∫ ∫ 
 
LEMBRETE: A integral do produto não é o produto das integrais, 
assim como a integral do quociente também não é o quociente das 
integrais, ou seja, em geral temos 
12 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( )
f x dxf xf x g x dx f x dx g x dx dx
g x g x dx
≠ × ≠
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
 
Observamos que nem toda função possui primitiva, ou seja, 
existem algumas funções para as quais não conseguimos escrever 
suas integrais indefinidas em termos de funções elementares. Um 
exemplo clássico desse tipo de funções é 
2( ) xf x e=
 que, embora 
pareça ser uma função bem simples, só pode ser integrada 
numericamente. Todavia, para calcular as primitivas daquelas 
funções que são integráveis, nos valemos de vários métodos, cada 
um deles adequado a um tipo de função. Existem vários deles, 
porém trataremos aqui somente daqueles que julgamos mais 
necessários para o desenvolvimento das teorias seguintes, como 
resolução de Equações Diferenciais, por exemplo. O estudante que 
tiver necessidade de resolver alguma integral que não tenha sido 
abordada nesse material, poderá recorrer à bibliografia indicada ou 
às tabelas de integração apresentadas no final deste material. 
Observamos ainda que a abordagem dada neste capítulo é mais 
técnica, preparando o estudante com ferramentas matemáticas que 
serão utilizadas na resolução de problemas futuros. 
Inicialmente faremos uma rápida revisão da mudança de 
variável estudada no Cálculo I, seguida de outras possibilidades de 
substituições e, na sequência, estudaremos os métodos de integração 
por partes, de potências de funções trigonométricas, por meio de 
substituições trigonométricas e por meio de frações parciais. 
 
 
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
Mudança de Variáveis 
Este método consiste em tomar uma parte da função a ser 
integrada e representá-la por outra letra, digamos, a letra u
expressão geralmente é uma parte do integrando cuja derivada, ou o 
produto dela por uma constante, também aparece no integrando, 
multiplicando dx. Com esta mudança, o integrando passa a ser 
função de u e a integral torna-se simples de ser calculada. Vejamos 
alguns exemplos: 
 
EXEMPLO 1 Calcule 
2
.
x
x e dx∫
 
Solução 
Observe que a função a ser integrada possui o termo x
derivada, 2x, também aparece no integrando, multiplicando 
menos da constante 2. Este é, portanto, um caso típico de função 
cuja integral se resolve pelo método de mudança de variável, pois 
fazendo 
2u x=
 , obtemos 12
2 2
dudu x dx x dx du= ⇒ = = , 
ou seja, mudamos adequadamente a variável x para u e, com isso, 
obtemos uma integral mais simples de ser calculada, agora na 
variável u: 
2x
x e dx∫ = 
1 1
2 2
u u
e du e C= +∫ . 
Todavia, não queremos a resposta em u, pois nossa função original é 
função da variável x. Para retornarmos à variável x, basta 
substituirmos a variável u da resposta pela sua expressão em 
seja, basta fazermos a substituição de u por x2 na resposta final 
obtida. Assim, teremos 
2x
x e dx∫ = 
21
2
x
e C+ . 
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 13 
Este método consiste em tomar uma parte da função a ser 
u. Esta 
expressão geralmente é uma parte do integrando cuja derivada, ou o 
produto dela por uma constante, também aparece no integrando, 
. Com esta mudança, o integrando passa a ser 
Vejamos 
x
2
, cuja 
, também aparece no integrando, multiplicando dx, a 
típico de função 
cuja integral se resolve pelo método de mudança de variável, pois 
e, com isso, 
obtemos uma integral mais simples de ser calculada, agora na 
, pois nossa função original é 
, basta 
da resposta pela sua expressão em x, ou 
na resposta final 
14 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
EXEMPLO 2 Calcule 2tg secx x dx∫ por dois meios diferentes:
 (i) Fazendo tgu x= ; 
 (ii) Fazendo secu x= . 
Explique a diferença entre os resultados. 
Solução 
(i) 2tg secu x du x dx= ⇒ = . 
 
2 2
2 tgtg sec
2 2
u x
x x dx u du C C∴ = = + = +∫ ∫ . 
 (ii) sec sec tgu x du x x dx= ⇒ = . 
2 2
2 sectg sec sec sec tg .
2 2
u x
x x dx x x x dx u du C C∴ = = = + = +∫ ∫ ∫
 
Observamos que para cada escolha de u obtivemos uma solução 
diferente para a integral. No entanto, um olhar mais cuidadoso para 
as soluções, sugere que elas estão relacionadas de algum modo, pois 
trata-se de potências de funções trigonométricas e sabemos ser 
verdadeira a identidade 2 2tg 1 secx x+ = , para todo x. Assim, 
dividindo ambos os lados desta equação por 2 , obtemos 
2 2tg 1 sec
2 2 2
x x
+ = , 
o que implica que 
2 2tg sec 1
2 2 2
x x
− = − , 
ou seja, a função 
2tg( )
2
xf x = difere da função 
2sec( )
2
xg x = por 
uma constante. Logo, ambas são primitivas de função dada, já que 
duas primitivas de uma mesma função se diferem apenas por uma 
constante, conforme visto no Cálculo 1. 
 
 
por dois meios diferentes: 
tg sec sec sec tg .x x dx x x x dx u du C C∴ = = = + = +
obtivemos uma solução 
diferente para a integral. No entanto, um olhar mais cuidadoso para 
que elas estão relacionadas de algum modo, pois 
se de potências de funções trigonométricase sabemos ser 
. Assim, 
por 
uma constante. Logo, ambas são primitivas de função dada, já que 
duas primitivas de uma mesma função se diferem apenas por uma 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
Outras substituições 
As mudanças de variáveis vistas acima foram trabalhadas no
Cálculo 1 e apresentadas aqui apenas com o intuito de relembrar um 
pouco esta técnica. Porém, a situação descrita acima não é a única 
em que a mudança de variável simplifica a função a ser integrada. 
Existem outras possibilidades de mudanças de variáveis 
facilitam muito o cálculo da integral e, dentre elas, citamos os casos 
onde aparecem raízes de funções no integrando. A idéia, nestas 
situações, é fazer uma mudança que possibilite a troca da raiz por 
um polinômio, uma vez que os polinômios são facilme
integráveis. Os exemplos abaixo ilustrarão como isso ocorre. 
 
EXEMPLO 3 Calcule 2 1t t dt+∫ . 
Solução 
Observe que não estamos no caso típico de mudança de variável 
visto no Cálculo 1. Porém, é possível substituir o integrando por 
uma expressão que não contenha a raiz quadrada, considerando
1 + t = u2. 
Com isso, teremos 
2 21 1 e 2u t t u dt u du= + ⇒ = − = . 
Substituindo no integrando temos 
( ) ( )2 4 2 6 4 2
7 5 3
1 2 2 1 2 2
22 .
7 5 3
t t dt u u u u du u u u du
u u u C
+ = − + = − + =
 
= − + + 
 
∫ ∫ ∫
Para retornarmos à variável t, basta substituir a variável 
solução, pela sua expressão em t, ou seja, por (1 + t )1/2, obtendo
2 7/2 5/2 3/22 4 21 (1 ) (1 ) (1 )
7 5 3
t t dt t t t C+ = + − + + + +∫ 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 15 
As mudanças de variáveis vistas acima foram trabalhadas no 
Cálculo 1 e apresentadas aqui apenas com o intuito de relembrar um 
pouco esta técnica. Porém, a situação descrita acima não é a única 
em que a mudança de variável simplifica a função a ser integrada. 
Existem outras possibilidades de mudanças de variáveis que 
facilitam muito o cálculo da integral e, dentre elas, citamos os casos 
onde aparecem raízes de funções no integrando. A idéia, nestas 
situações, é fazer uma mudança que possibilite a troca da raiz por 
um polinômio, uma vez que os polinômios são facilmente 
 
de variável 
orém, é possível substituir o integrando por 
considerando 
t t dt u u u u du u u u du+ = − + = − + =
 
a variável u, da 
, obtendo 
t t dt t t t C . 
16 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
EXEMPLO 4 Calcule 5 2 4x x dx+∫ . 
Solução 
Por se tratar de uma raiz quadrada, aplicaremos o mesmo 
procedimento adotado no Exemplo 3, ou seja, faremos x2 + 4 = 
com o objetivo de eliminar a raiz do integrando. Com isso teremos
2 2 2 24 4 2 2u x x u x dx u du x dx u du= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
 
Substituindo no integrando temos 
 
5 2 2 2 2 2 24 ( ) 4 ( 4)x x dx x x x dx u uu du+ = + = − =∫ ∫ ∫ 
7 5 3
4 2 2 6 4 2( 8 16) ( 8 16 ) 8 16
7 5 3
u u u
u u u du u u u du C− + = − + = − + + =∫ ∫
2 7/2 2 5/2 2 3/2( 4) ( 4) ( 4)8 16
7 5 3
x x x C+ + += − + + . 
 
EXEMPLO 5 Calcule 
31
x dx
x+∫
. 
Solução 
Observe que agora o integrando contém uma raiz quadrada e uma 
raiz cúbica e seria interessante fazermos uma mudança de variável 
que eliminasse as duas raízes ao mesmo tempo. Para isso, basta 
tomarmos para expoente da nova variável, digamos u, o mínimo 
múltiplo comum entre os índices das raízes que aparecem na função, 
ou seja, basta fazermos x = u6, já que 6 = mmc(2,3). Assim, 
teremos 
6 56x u dx u du= ⇒ = . 
Substituindo no integrando obtemos: 
 
de uma raiz quadrada, aplicaremos o mesmo 
+ 4 = u2 
com o objetivo de eliminar a raiz do integrando. Com isso teremos 
u x x u x dx u du x dx u du
u u u du u u u du C− + = − + = − + + =
Observe que agora o integrando contém uma raiz quadrada e uma 
raiz cúbica e seria interessante fazermos uma mudança de variável 
que eliminasse as duas raízes ao mesmo tempo. Para isso, basta 
, o mínimo 
iplo comum entre os índices das raízes que aparecem na função, 
, já que 6 = mmc(2,3). Assim, 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
3 5 8
2 23
6 6 .
1 11
x u u udx du du
u ux
= =
+ ++∫ ∫ ∫
 
Aqui temos um novo problema: como calcular a integral resultante 
acima. Para resolver este problema precisamos nos lembrar que se
( )
( )( )
P x
H x Q x= 
onde P e Q são polinômios reais e o grau de Q é menor ou igual que 
o grau de P, então H é dita uma função racional imprópria. Pa
H se torne uma função racional própria é necessário dividir P
até que o grau do numerador seja menor que o do denominador. 
Assim, teremos 
8
6 4 2
2 2
11
1 1
u
u u u
u u
= − + − +
+ +
 
e, substituindo na integral acima, obtemos: 
6 4 2
23
7 5 3
7/6 5/6 3/6
1/6 1/6
16 1
11
6 arctg
7 5 3
6 arctg .
7 5 3
x dx u u u du
ux
u u u
u u C
x x x
x x C
 
= − + − + = ++  
 
= − + − + + = 
 
 
= − + − + + 
 
∫ ∫
 
 
OBS: Note que, ao longo da resolução, nos deparamos com a 
integral 
2
1
1
du
u+∫ 
que ainda não aprendemos como resolver. Sempre que isso 
ocorrer, consulte uma tabela de integração, como a 
apresentada no final desse livro. 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 17 
como calcular a integral resultante 
acima. Para resolver este problema precisamos nos lembrar que se 
é menor ou igual que 
é dita uma função racional imprópria. Para que 
P por Q 
até que o grau do numerador seja menor que o do denominador. 
6 arctg .x x C= − + − + +
Note que, ao longo da resolução, nos deparamos com a 
como resolver. Sempre que isso 
ocorrer, consulte uma tabela de integração, como a 
 
18 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
EXERCÍCIOS 1.1 
1. Calcule as seguintes integrais: 
a) 2 8(2 3 )x x dx+∫ b) 34
x dx
x
+
+∫
 
c) 
4
t
t
e dt
e +∫
 
d) cos(5 2)x dx−∫ 
e) 2 1x x dx+∫ f) ∫ + dxxx 1 
g) 4t t dt−∫ h) 2tg( )x x dx∫ 
i) dx
x
xx
∫
+−
−
3
2
14 43
 
j) 
3
3 2 4
x dx
x +∫
 
k) 
3
1 dx
x x+∫ l) 
3 9x x dx+∫ 
m) 
5 3 2
x dx
x +∫ n) 
1
( 1) 2 dxx x+ −∫ 
o) 3 1x xe e dx+∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
Integração por Partes 
Quando estamos interessados em calcular integrais que se 
apresentam na forma ( ) ( )f x g x dx∫ , onde f é uma função que pode 
ser derivada repetidamente e g é uma função que pode ser integrada 
repetidamente, ambas sem dificuldades, podemos nos valer de uma 
técnica denominada Integração por Partes. Este nome se dá pelo fato 
de que o método consiste em separar o integrando em duas partes, 
digamos, u = f(x) e dv = g(x) dx e, em seguida, aplicar a fórmula 
( ) ( )f x g x dx u dv uv v du= = −∫ ∫ ∫ , 
a qual é denominada “fórmula da integração por partes” . 
Observe que devemos fazer uma escolha sobre qual parte 
iremos chamar de u e qual parte iremos chamar de dv e esta escolha, 
embora nem sempre seja fácil, muitas vezes é decisiva para o 
sucesso da resolução. Não existe uma receita para isso, mas uma boa 
dica é sempre chamar de dv a parte do integrando mais complicada 
que possa ser prontamente integrada. E não se esqueça de incluir 
no termo que chamou de dv. Após feita a escolha, é necessário 
calcular a diferencial de u para obter du e a integral de dv para obter 
v, ambos presentes na fórmula. O exemplo abaixo ilustrará melhor o 
que está sendo dito: 
 
 
EXEMPLO 1 Calcule 2 xx e dx∫ . 
Solução 
O primeiro passo é sempre a escolha da parte que será chamada de 
e daquela que será chamada de dv. Temos várias possibilidades para 
dv: 
dx, x2 dx, ex dx ou x2 ex dx.ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 19 
Quando estamos interessados em calcular integrais que se 
é uma função que pode 
é uma função que pode ser integrada 
repetidamente, ambas sem dificuldades, podemos nos valer de uma 
técnica denominada Integração por Partes. Este nome se dá pelo fato 
r o integrando em duas partes, 
e, em seguida, aplicar a fórmula 
 
Observe que devemos fazer uma escolha sobre qual parte 
e esta escolha, 
embora nem sempre seja fácil, muitas vezes é decisiva para o 
sucesso da resolução. Não existe uma receita para isso, mas uma boa 
a parte do integrando mais complicada 
a ser prontamente integrada. E não se esqueça de incluir dx 
. Após feita a escolha, é necessário 
para obter 
melhor o 
O primeiro passo é sempre a escolha da parte que será chamada de u 
. Temos várias possibilidades para 
20 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
Dentre estas, a mais complexa que sabemos integrar imediatamente 
é ex dx. Portanto, fazemos: 
 
2
1
2
.
x x
u x du xdx
dv e dx v e C
= ⇒ =
= ⇒ = +
 
 
Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos: 
2 2
1 1
2 2 2
1 1
( ) 2 ( )
( ) 2 2 .
x x x
x x x x
x e dx x e C e C xdx
x e C C x xe dx x e xe dx
= + − + =
+ − − = −
∫ ∫
∫ ∫
 
Para resolver esta nova integral, aplicamos novamente o método, 
tomando agora 
2 .
xx
du dxu x
v e Cdv e dx
 == 
⇒ 
= +=  
 
Com isso, obtemos: 
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 ( ) ( )
2 2 2 2 .
x x x x x x
x x x
x e dx x e e xdx x e x e C e C dx
x e xe xC e xC C
 = − = − + − + = 
= − − + + +
∫ ∫ ∫
 
( )2 2 2 2x xx e dx e x x C∴ = − + +∫ . 
 
 
OBS: 
 1. Note que as constantes de integração, C1 e C2, que 
surgiram ao integrar dv e dv , foram canceladas ao longo do 
desenvolvimento dos cálculos. É possível provar que os 
termos que contêm estas constantes sempre se anularão neste 
método e, por isso, não será necessário considerar tal 
constante quando integrar dv. Assim, daqui por diante, a 
constante de integração de dv será omitida neste texto. 
Dentre estas, a mais complexa que sabemos integrar imediatamente 
ral, aplicamos novamente o método, 
 = − = − + − + = 
 
, que 
, foram canceladas ao longo do 
desenvolvimento dos cálculos. É possível provar que os 
termos que contêm estas constantes sempre se anularão neste 
método e, por isso, não será necessário considerar tal 
. Assim, daqui por diante, a 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 21 
 
 
2. Se no início dos cálculos tivéssemos escolhido u = ex e 
dv = x2 dx, teríamos obtido: 
3
2
3
x
x du e dxu e
xdv x dx v
 =
 = 
⇒ 
= = 

 
e, portanto, a integral se tornaria: 
3
2 31
3 3
x x xxx e dx e x e dx= −∫ ∫ 
que leva a uma integral mais complexa que a original, o que 
nos indicaria que esta não teria sido uma boa escolha. Do 
mesmo modo, se decidíssemos mudar a escolha no meio do 
exercício, ou seja, se ao aplicarmos o método pela segunda 
vez tivéssemos optado por inverter a escolha das funções, 
teríamos chego a um resultado inconclusivo, como podemos 
observar a seguir: 
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
.
x
x
x x x x
x x x x
du e dx
u e
xdv xdx v
x x
x e dx x e e e dx
x e dx x e x e x e dx
 =
 = 
⇒ 
= = 

 
⇒ = − − 
 
∴ = − +
∫ ∫
∫ ∫
 
Observamos novamente, com este exemplo, que o sucesso da 
resolução depende, muitas vezes, da escolha de u e dv. 
Todavia, nem sempre acertamos na primeira tentativa. A 
experiência adquirida ao longo dos estudos certamente nos 
auxiliará nesta tarefa. 
 
22 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
3. Observe que não se trata de uma mudança de variáveis, 
mas apenas de um recurso intermediário para escrever a 
integral em uma outra forma, mais fácil de ser calculada. 
Mantemos a mesma variável independente ao longo de todo o 
processo, utilizando u, v, du e dv apenas para mudar a forma 
de escrever a integral. 
 
 
 
Este método foi desenvolvido a partir da derivada do produto 
de duas funções, conforme podemos ver abaixo. 
Observe que se u e v são duas funções diferenciáveis na 
variável x, então 
[ ]( ) ( ) ( ) ( )d dv duu x v x u x v x
dx dx dx
= + . 
Integrando ambos os lados em relação à x, obtemos: 
[ ]( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )d u x v x dx u x v x dx v x u x dx
dx
= +∫ ∫ ∫ , 
de onde segue que: 
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx= −∫ ∫ . 
Quando esta equação é escrita na notação de diferenciais, 
obtemos: 
u dv uv vdu= −∫ ∫ , 
a qual é denominada, como já fora dito, fórmula da integração 
por partes . Assim, para calcular a integral de uma função que se 
apresenta na forma f(x) g(x) dx, fazemos u = f(x), dv = g(x) dx e 
aplicamos a fórmula acima. 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
EXEMPLO 2 Calcule lnx x dx∫ . 
Solução 
Como não sabemos calcular a integral de ln x, não devemos escolhê
la para compor dv, ou seja, fazemos 
2
1
ln
,
2
du dx
u x x
dv xdx x
v

== 
⇒ 
= 
=

 
já que x é uma função fácil de ser integrada e ln x é uma função fácil 
de ser derivada. Substituindo na fórmula de integração por partes, 
obtemos: 
2 2 2
2 2
1ln ln ln
2 2 2 2
ln .
2 4
x x x x
x x dx x dx x dx
x
x x
x C
= − = − =
= − +
∫ ∫ ∫
 
 
EXEMPLO 3 Calcule 3sec x dx∫ . 
Solução 
Neste caso, uma boa estratégia é escrever a integral na forma 
2sec secx x dx∫ , uma vez que a função sec
2 
x pode ser facilmente 
integrada. Assim, tomando 
2
sec sec tg
tgsec
u x du x x dx
v xdv x dx
= = 
⇒ 
== 
 
e aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos: 
3 2sec sec tg sec tg .x dx x x x x dx= −∫ ∫
 
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, conforme veremos 
bem detalhado na próxima seção, substituímos o termo tg2 x por uma 
expressão equivalente, através das identidades trigonométricas 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 23 
, não devemos escolhê-
é uma função fácil 
de ser derivada. Substituindo na fórmula de integração por partes, 
Neste caso, uma boa estratégia é escrever a integral na forma 
pode ser facilmente 
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, conforme veremos 
por uma 
expressão equivalente, através das identidades trigonométricas 
24 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
conhecidas, a fim de transformar a função dada em uma outra que 
propicie alguma facilidade nos cálculos. Assim, fazendo 
2 2tg sec 1x x= − , obtemos 
3 2sec sec tg sec (sec 1)x dx x x x x dx= − − =∫ ∫ 
 = 
3sec tg sec secx x x dx x dx+ −∫ ∫ . 
Assim, somando o termo 3sec x dx∫ em ambos os lados da 
igualdade, obtemos 
3
12 sec sec tg ln sec tg x dx x x x x C= + + +∫ , 
ou 
3 1sec sec tg ln sec tg 
2
x dx x x x x C = + + + ∫ , 
onde 1
2
CC = . 
 
 
OBS: A integral sec x dx∫ pode ser encontrada na tabela de 
integração, que se encontra no Apêndice desse livro, ou pode 
ser facilmente calculada, após a utilização de um artifício 
nada óbvio, como podemos ver abaixo: 
sec tg 
sec sec
sec tg 
ln ln sec tg ,
x x
x dx x dx
x x
du
u C x x C
u
 +
= = + 
= = + = + +
∫ ∫
∫
 
onde 
2sec tg e, consequentemente, (sec tg sec ) .u x x du x x x dx= + = +
 
 
conhecidas, a fim de transformar a função dada em uma outra que 
propicie alguma facilidade nos cálculos. Assim, fazendo 
em ambos os lados da 
pode ser encontrada na tabela de 
, ou pode 
ser facilmente calculada, após a utilização de um artifício 
sec tg e, consequentemente, (sec tg sec ) .u x x du x x x dx
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO25 
 
EXERCÍCIOS 1.2 
1) Calcule as seguintes integrais: 
 
a) ln x dx∫ b) 2 lnx x dx∫ c) 2senx x dx∫ 
d) senxe x dx∫ e) 3cossec x dx∫ f) ∫ − dxex x2 
g) senx x dx∫ h) arctg x dx∫ i) lnx x dx∫ 
j)
 
(sen ) ln(cos )x x dx∫
 
k)
 
sec tgx x x dx∫ l)
 
3 xx e dx−∫ 
m) cos5x x dx∫ n) 2 3xx e dx∫ o) 2 cosx x dx∫ 
2) A velocidade (no instante t) de um ponto que se move ao longo 
de uma reta é dada por 2( ) / tv t t e= m/s. Se o ponto está na origem 
quanto t = 0, ache sua posição em um instante t qualquer. 
 
 
 
 
 
Integração de potências de funções 
trigonométricas 
 
O cálculo de integrais de funções envolvendo potências de 
funções trigonométricas geralmente é feito a partir da substituição 
da função por uma equivalente a ela, através das identidades 
trigonométricas conhecidas, fazendo com que a nova integral possa 
ser resolvida mais facilmente, na maioria das vezes por meio de uma 
mudança de variável. 
 
26 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
Não trataremos de todos os casos aqui por entendermos que 
alguns tipos de integrais raramente serão usadas por um estudante de 
Química, porém, os casos omissos poderão ser encontrados nas 
tabelas de integrais e nos livros constantes da referência 
bibliográfica. 
O estudo será dividido em casos, de acordo com o tipo da 
função e do expoente. Porém, antes de iniciá-lo, relembraremos as 
identidades trigonométricas mais conhecidas, uma vez que a 
aplicação deste método exige o seu uso constante e certamente 
muitas delas já caíram no esquecimento de uma boa parte dos 
estudantes. São elas: 
2 2sen cos 1x x+ =
 
2 1 cos2cos
2
x
x
+
=
 
2 1 cos2sen
2
x
x
−
=
 
2 2cotg 1 cossecx x+ =
 
2 2tg 1 secx x+ =
 
2 2cos(2 ) cos senx x x= −
 
sen(2 ) 2sen cosx x x=
 [ ]1sen cos sen( ) sen( )
2
x y x y x y= − + +
 
[ ]1sen sen cos( ) cos( )
2
x y x y x y= − − +
 
[ ]1cos cos cos( ) cos( )
2
x y x y x y= − + +
 
 
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 27 
 
1º Caso – Potências de Senos e Cossenos: 
sen cosm nx x dx∫ 
 onde m e n são inteiros não negativos. 
Existem várias possibilidades para uma integral deste tipo, o 
que pode ser notado variando as características de m e n, por 
exemplo. Assim, o fato destes expoentes serem par ou ímpar 
influencia substancialmente no modo de proceder a busca por uma 
solução, conforme pode ser visto a seguir. 
A) Se a potência do cosseno é ímpar, independente da potência do 
seno, a sugestão é guardar um fator do cosseno e usar 
2 2cos 1 senx x= −
 
para expressar os fatores remanescentes em termos de seno. Observe 
que isso sempre é possível, uma vez que o expoente, sendo ímpar, 
possibilita escrevermos a função de modo a deixar um termo cos(x) 
separado e multiplicando o restante, que terá expoente par e, 
consequentemente, pode ser escrito como potência de 2. Este termo, 
cos2x, é que será substituído, conforme sugestão acima. Esta nova 
maneira de escrever possibilita o cálculo da integral através da 
mudança de variável 
u = sen x fl du = cos x dx. 
 
OBS: Note que esta regra poderá ser utilizada sempre que 
houver uma potência ímpar do cosseno, estando ele sozinho 
ou multiplicado por qualquer potência positiva de seno. 
28 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
EXEMPLO 1 Calcule 5cos x dx∫ . 
Solução 
Como o expoente é ímpar, o primeiro passo é separar um fator cos 
no integrando, fazendo com que o restante seja potência de dois: 
( )25 4 2cos cos cos cos cosx dx x x dx x x dx= =∫ ∫ ∫ . 
Agora, substituindo cos2x por (1 - sen2x), obtemos 
5 2 2cos (1 sen ) cosx dx x x dx= −∫ ∫ , 
cuja integral resultante é facilmente resolvida através do método de 
mudança de variáveis. Portanto, fazendo 
u = sen x obtemos du = cos x dx e, substituindo na integral, temos:
3 5
2 2 2 4(1 ) (1 2 ) 2
3 5
u u
u du u u du u C− = − + = − + + =∫ ∫ 
3 52 1sen sen sen
3 5
x x x C− + + . 
 
EXEMPLO 2 Calcule 4 3sen cosx x dx∫ . 
Solução 
Utilizando os mesmos procedimentos do Exemplo 1, teremos 
4 3 4 2 4 2sen cos sen cos cos sen (1 sen )cosx x dx x x x dx x x x dx= = − =∫ ∫ ∫
 
5 7
4 2 4 6 5 71 1(1 ) ( ) sen sen
5 7 5 7
u u
u u du u u du C x x C− = − = − + = − +∫ ∫
sendo que novamente foi usada a mudança de variável u = sen x. 
imeiro passo é separar um fator cos x 
cuja integral resultante é facilmente resolvida através do método de 
e, substituindo na integral, temos: 
 
sen cos sen cos cos sen (1 sen )cosx x dx x x x dx x x x dx= = − =
u u du u u du C x x C− = − = − + = − + , 
. 
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
EXEMPLO 3 Calcule 3 5sen cosx x dx∫ . 
Solução 
Como temos uma potência ímpar de cos x, continuamos com o 
mesmo procedimento: 
3 5 3 4 3 2 2
3 2 2 3 2 4
4 6 8
3 5 7
4 6 8
sen cos sen cos cos sen (1 sen ) cos
(1 ) (1 2 )
( 2 ) 2
4 6 8
1 1 1
sen sen sen .
4 3 8
x x dx x x x dx x x x dx
u u du u u u du
u u u
u u u du C
x x x C
= = − =
= − = − + =
= − + = − + + =
= − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
 
 
 
B) Se a potência do seno é ímpar, independente da potência do 
cosseno, você pode guardar um fator do seno e usar 
2 2sen 1 cosx x= −
 para expressar os fatores remanescentes em 
termos de cosseno. O raciocínio é exatamente o mesmo aplicado no 
caso A), porém a mudança de variável para resolver a integral 
resultante, neste caso, será u = cos x fl du = -sen x dx. Vejamos 
alguns exemplos. 
 
EXEMPLO 1 Calcule 3sen x dx∫ . 
Solução 
Neste caso, o procedimento é análogo aos exemplos anteriores, 
lembrando apenas de separar um fator sen x na expressão da 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 29 
, continuamos com o 
3 5 3 4 3 2 2sen cos sen cos cos sen (1 sen ) cosx x dx x x x dx x x x dx= = − =
= − + = − + + =
, independente da potência do 
cosseno, você pode guardar um fator do seno e usar 
para expressar os fatores remanescentes em 
termos de cosseno. O raciocínio é exatamente o mesmo aplicado no 
porém a mudança de variável para resolver a integral 
. Vejamos 
Neste caso, o procedimento é análogo aos exemplos anteriores, 
na expressão da 
30 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
função, a fim de sobrar um fator com expoente par, o qual será 
substituído por (1 – cos2x). Assim, 
3 2 2
3
2 3
sen sen sen (1 cos ) sen
1(1 ) cos cos
3 3
x dx x x dx x x dx
u
u du u C x x C
= = − =
= − − = − + = − +
∫ ∫ ∫
∫
 
sendo que a mudança de variável u = cos x foi utilizada. 
 
 
EXEMPLO 2 Calcule 3 2sen cosx x dx∫ .
 
Solução 
3 2 2 2
2 2
5 322 4 2
5 3
sen cos sen cos sen
(1 cos )cos sen
(1 ) ( )
5 3
cos cos
.
5 3
x x dx x x x dx
x x x dx
u u
u u du u u du C
x x C
= =
= − =
= − − = − = − + =
= − +
∫ ∫
∫
∫ ∫
 
EXEMPLO 3 Calcule 3 3sen cosx x dx∫ .
 
Solução 
Neste caso, tanto o critério de expoente ímpar de cossenos como de 
senos pode ser aplicado para solucionar o problema. Inicialmente 
vamos resolvê-lo utilizando o expoente ímpar do seno. Então, a 
integral pode ser escrita como 
função, a fim de sobrar um fator com expoente par, o qual será 
= − − = − = − + =
 
Neste caso, tanto o critério de expoente ímpar de cossenos como de 
senos pode ser aplicado para solucionar o problema. Inicialmente 
lo utilizando o expoente ímpar do seno. Então, a 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO3 3 2 3
6 4
2 3 5 3
6 4
sen cos (1 cos ) cos sen
(1 ) ( )
6 4
1 1
cos cos
6 4
x x dx x x x dx
u u
u u du u u du C
x x C
= − =
= − − = − = − + =
= − +
∫ ∫
∫ ∫ 
novamente com a mudança de variável u = cos x. 
 
OBS : A escolha de qual termo será substituído por um 
equivalente a ele, não é única. Você poderá optar, em muitos 
casos, por substituir o seno ou o cosseno, de acordo com sua 
preferência ou conveniência. Assim, também poderíamos ter 
resolvido o Exemplo 3 considerando potência ímpar de 
cosseno, cuja resolução seria: 
3 3 2 3 2 3
6 4
5 3
6 4
sen cos (1 sen ) sen cos (1 )
( )
6 4
1 1
sen sen
6 4
x x dx x x x dx u u du
u u
u u du C
x x C
= − = − =
= − + = − + + =
−
= + +
∫ ∫ ∫
∫
com a mudança de variável u = sen x. 
 
Exercício: Verifique que ambas as resoluções estão corretas 
calculando suas derivadas ou mostrando que as duas soluções 
diferem por uma constante. 
 
C) Se as potências de seno e cosseno são pares, usamos as 
identidades: 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 31 
 
A escolha de qual termo será substituído por um 
equivalente a ele, não é única. Você poderá optar, em muitos 
casos, por substituir o seno ou o cosseno, de acordo com sua 
preferência ou conveniência. Assim, também poderíamos ter 
iderando potência ímpar de 
x x dx x x x dx u u du= − = − =
 
Verifique que ambas as resoluções estão corretas 
calculando suas derivadas ou mostrando que as duas soluções 
, usamos as 
32 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
2 1 cos2sen
2
x
x
−
=
 e 
2 1 cos2cos
2
x
x
+
=
 
 
OBS: Note que se a função apresenta potências pares e 
ímpares de senos e cossenos, a escolha de qual critério será 
usado (potência par ou potência ímpar) fica a cargo do 
estudante. Todavia, como neste critério de potência par surge 
cosseno de arco duplo, uma mudança de variável a mais será 
necessária durante a resolução. Portanto, uma boa dica é usar 
este procedimento somente quando apenas expoentes pares de 
senos e/ou cossenos aparecerem no integrando. Nestes casos, 
todos os termos contendo potências pares devem ser 
substituídos. Vejamos alguns exemplos destes casos. 
 
EXEMPLO 1 Calcule 4sen x dx∫ . 
Solução 
Para podermos utilizar a identidade indicada acima, inicialmente 
escrevemos o integrando como uma potência de sen2x. Em seguida, 
reescrevemos a função em termos de cossenos e procedemos como 
nos casos anteriores. Assim, teremos: 
Note que se a função apresenta potências pares e 
ímpares de senos e cossenos, a escolha de qual critério será 
usado (potência par ou potência ímpar) fica a cargo do 
estudante. Todavia, como neste critério de potência par surge 
mudança de variável a mais será 
necessária durante a resolução. Portanto, uma boa dica é usar 
este procedimento somente quando apenas expoentes pares de 
senos e/ou cossenos aparecerem no integrando. Nestes casos, 
evem ser 
Para podermos utilizar a identidade indicada acima, inicialmente 
. Em seguida, 
evemos a função em termos de cossenos e procedemos como 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 33 
 
( ) 224 2
2
2
1
2
1
1 cos 2
sen sen
2
1 (1 2cos 2 cos 2 )
4
1 1 1
cos 2 cos 2
4 2 4
1 1 1
cos cos ,
4 4 8
x
x dx x dx dx
x x dx
x C x dx x dx
x C y dy y dy
− 
= = = 
 
= − + =
= + − + =
= + − +
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
 
 
onde a mudança de variável y = 2x foi introduzida para simplificar 
a integral dos dois últimos termos. Observe que as integrais 
resultantes são mais simples, porém a última ainda não é imediata e, 
para resolvê-la, nos valemos novamente deste método de potências 
pares, agora de cossenos. Vamos resolvê-la separadamente a fim de 
facilitar a compreensão: 
2
2
2 3
1 cos2 1
cos (1 cos2 )
2 2
1 1
cos
2 4
1 1
sen2 ,
2 4
yy dy dy y dy
y C z dz
y C y C
+ 
= = + = 
 
= + + =
= + + +
∫ ∫ ∫
∫ 
onde a mudança z = 2y foi utilizada no cálculo da última integral. 
Retomando agora a integral inicial, teremos 
4 1 1 1sen ( sen ) sen 2 ,
4 8 2 4
y
x dx x y y C = − + + +  ∫
 
onde C engloba todas as constantes que surgiram ao longo dos 
cálculos. Substituindo y por 2x teremos o resultado final esperado: 
34 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
4 1 1 2 1sen ( sen 2 ) sen 4
4 8 2 4
3 1 1
sen2 sen4 .
8 4 32
x
x dx x x x C
x x x C
 
= − + + + =  
= − + +
∫
 
 
EXEMPLO 2 Calcule 4 2sen cosx x dx∫ . 
Solução 
Neste caso, os dois expoentes são pares e, portanto, fazemos as 
substituições em ambos os termos. Assim, a integral torna-se: 
( )
( )
2
4 2
2 3
2 3
1 cos2 1 cos 2
sen cos
2 2
1 1 cos2 cos 2 cos 2
8
1 1 cos cos cos ,
16
x x
x x dx dx
x x x dx
y y y dy
− +   
= =   
   
= − − + =
= − − +
∫ ∫
∫
∫
 
onde a mudança de variável y = 2x fl dx = dy/2 foi utilizada. 
A nova integral obtida é a soma de quatro parcelas, sendo que as 
duas primeiras são facilmente integráveis e as duas últimas são 
potências de cosseno, necessitando portando, dos métodos vistos 
acima para calculá-las. Para simplificar o entendimento, novamente 
vamos resolvê-las separadamente: 
2
1
1 cos2 1
cos sen2
2 2 4
y yy dy dy y C+ = = + + 
 
∫ ∫ . 
 
pares e, portanto, fazemos as 
 
A nova integral obtida é a soma de quatro parcelas, sendo que as 
primeiras são facilmente integráveis e as duas últimas são 
itando portando, dos métodos vistos 
las. Para simplificar o entendimento, novamente 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
( )
3 2
3
2 3
2 2
cos (1 sen ) cos
11 sen sen ,
3 3
y dy y y dy
z
z dz z C y z C
= − =
= − = − + = − +
∫ ∫
∫
 
onde a mudança de variável z = sen y foi utilizada . 
Retomando do ponto onde havíamos interrompido temporariamente 
os cálculos, temos 
( )4 2 2 3
3
3
1
sen cos 1 cos cos cos
16
1 1 1
sen sen2 sen sen
16 2 4 3
1 1 1
sen2 sen
16 2 4 3
x x dx y y y dy
yy y y y y C
y y y C
= − − + =
 
= − − − + − + = 
 
 
= − − + = 
 
∫ ∫
 
 
3
3
1 2 1 1
sen 4 sen 2
16 2 4 3
1 1 1
sen 4 sen 2 ,
16 4 3
x
x x C
x x x C
 
= − − + =  
 
= − − + 
 
 
onde C = C1 + C2 + C3, sendo que C3 é a constante correspondente à 
primeira parte da integral. 
 
2º Caso – Potências de Tangentes e 
Secantes: 
tg secm nx x dx∫ 
 onde m e n são inteiros não negativos. 
Análogo ao caso dos senos e cossenos, o fato dos expoentes 
serem par ou ímpar interferem fortemente no processo de calcular a 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 35 
1 sen sen ,
Retomando do ponto onde havíamos interrompido temporariamente 
3y y y y y C = − − − + − + = 
 
é a constante correspondente à 
Potências de Tangentes e 
Análogo ao caso dos senos e cossenos, o fato dos expoentes 
serem par ou ímpar interferem fortemente no processo de calcular a 
36 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
integral. Por isso, serão novamente divididos em casos. Vale 
ressaltar que os procedimentos adotados para trabalhar com 
tangentes, cotangentes, secantes e cossecantes são todos análogos 
aos utilizados para trabalhar com senos e cossenos. 
 
A) Se a tangente aparece sozinha no integrando, independente de 
seu expoente ser par ou ímpar, separe um fator tg2x e escreva-o em 
termos de sec2x, através da identidade 2 2tg sec 1x x= − ; em 
seguida, utilize a mudança de variável 2tg secu x du xdx= ⇒ =
para resolver o problema. 
 
EXEMPLO 1 Calcule 5tg .x dx∫ 
Solução 
5 3 2 3 2
3 2 3
3 2 2
3 2 2
4 2
3
4 2
tg tg tg tg (sec 1)
tg sec tg
tg sec tg (sec 1)
tg sec tg sec tg
tg ln sec
4 2
1 1
tg tg ln sec ,
4 2
x dx x x dx x x dx
x x dx x dx
x x dx x x dx
x x dx x x dx x dx
u u
u du u du x dx x C
x x x C
= = − =
= − =
= − − =
= − − =
= − − = − − + =
= − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
sendo que a mudança de variável u = tg x foi utilizada. 
 
integral. Por isso, serão novamente divididos em casos. Vale 
ressaltar que os procedimentos adotados para trabalhar com 
ecantes são todos análogos 
, independente de 
o em 
; em 
u x du x dx
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
EXEMPLO 2 Calcule 4tg .x dx∫ 
Solução 
4 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3
2 2
4 2
tg tg tg tg (sec 1)
tg sec tg
tg sec (sec 1)
tg sec sec
sec tg 
3
1 1
tg tg ln sec ,
4 2
x dx x x dx x x dx
x x dx x dx
x x dx x dx
x x dx x dx dx
u
u du x dx dx x x C
x x x C
= = − =
= − =
= − − =
= − + =
= − + = − + + =
= − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
onde a novamente a mudança de variável u = tg x foi utilizada. 
 
B) Se a potência da secante é par, independente do expoente da 
tangente, você pode guardar um fator de x2sec e usar 
2 2tg 1 secx x+ =
 para expressar os fatores remanescentes em termos 
de tangente. Isso possibilitará calcular a integral pelo método de 
mudança de variáveis, a exemplo dos casos anteriores, uma vez que 
2(tg ) secd x x
dx
= . Vejamos os exemplos abaixo. 
 
EXEMPLO 1 Calcule 4sec x dx∫ . 
Solução 
4 2 2 2 2sec sec sec (1 tg ) secx dx x x dx x x dx= = + =∫ ∫ ∫ 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 37 
foi utilizada. 
, independente do expoente da 
e usar 
para expressar os fatores remanescentes em termos 
de tangente. Isso possibilitará calcular a integral pelo método de 
mudança de variáveis, a exemplo dos casos anteriores, uma vez que 
38 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
3
2 31(1 ) tg tg
3 3
u
u du u C x x C+ = + + = + +∫ , 
onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada. 
 
 
EXEMPLO 2 Calcule 5 4tg secx x dx∫ . 
 Solução 
( )5 4 5 2 2 5 2 2
6 8
5 2 5 7 6 8
tg sec tg sec sec tg 1 tg sec
1 1(1 ) ( ) tg tg ,
6 8 6 8
x x dx x x x x x x dx
u u
u u du u u du C x x C
= = + =
+ = + = + + = + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada. 
 
 
EXEMPLO 3 Calcule 4 4tg secx x dx∫ . 
 Solução 
4 4 4 2 2
5 7
4 2 5 7
tg sec tg (1 tg )sec
1 1(1 ) = tg tg ,
5 7 5 7
x x dx x x x dx
u u
u u du C x x C
= + =
+ = + + + +
∫ ∫
∫
 
onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada. 
 
C) Se a potência da tangente é ímpar e ela aparece multiplicando 
a secante, independente do expoente da secante, você pode guardar 
um fator de sec tgx x e usar 2 2tg sec 1x x= − para expressar os 
fatores remanescentes em termos de secante. Neste caso, use a 
mudança de variável sec sec tg .u x du x x dx= ⇒ = 
(1 ) ( ) tg tg ,u u du u u du C x x C
= = + =
 
e ela aparece multiplicando 
a secante, independente do expoente da secante, você pode guardar 
para expressar os 
fatores remanescentes em termos de secante. Neste caso, use a 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
EXEMPLO 1 Calcule 5 3tg sec .x x dx∫ 
Solução 
5 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2 6 4 2
7 5 3
7 5 3
tg sec (tg ) sec tg sec
(sec 1) sec tg sec
( 1) ( 2 )
2
7 5 3
1 2 1
sec sec sec ,
7 5 3
x x dx x x x x dx
x x x x dx
u u du u u u du
u u u C
x x x C
= =
= − =
= − = − + =
= − + + =
= − + +
∫ ∫
∫
∫ ∫ 
onde a mudança de variável u = sec x foi utilizada. 
 
EXEMPLO 2 Calcule 5 4tg sec .x x dx∫ 
Solução 
5 4 2 2 3
2 2 3
2 2 3 7 5 3
8 6 4
8 6 4
tg sec (tg ) sec tg sec
(sec 1) sec tg sec
( 1) ( 2 )
2
8 6 4
1 1 1
sec sec sec ,
8 3 4
x x dx x x x x dx
x x x x dx
u u du u u u du
u u u C
x x x C
= =
= − =
= − = − + =
= − + + =
= − + +
∫ ∫
∫
∫ ∫ 
onde a mudança de variável u = sec x foi utilizada. 
 
OBS: Note que esta última integral já foi calculada pelo 
procedimento sugerido no item B), apresentando a resposta 
em termos de tg x. Isso ocorre pela mudança de variável 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 39 
 
Note que esta última integral já foi calculada pelo 
, apresentando a resposta 
. Isso ocorre pela mudança de variável 
40 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
escolhida. No entanto, ambas as respostas estão corretas, 
conforme você pode verificar, derivando-as. Este é um caso 
típico onde podemos escolher qual procedimento usar na hora 
de resolver a integral. 
 
D) Se a potência da tangente é par e da secante é ímpar ou se
potência da secante é ímpar e ela aparece sozinha, utilize 
integração por partes. 
 
EXEMPLO 1 Calcule 3sec x dx∫ . 
Solução 
Este exemplo já foi feito quando estudamos o método de integração 
por partes, porém, como esta integral aparecerá muitas vezes daqui 
por diante, entendemos ser válido relembrar sua resolução. Note que 
se escrevermos a integral na forma 2sec secx x dx∫ , e utilizarmos 
2
sec sec tg
tgsec
u x du x x dx
v xdv x dx
= = 
⇒ 
== 
 
teremos, pela fórmula de integração por partes: 
3 2sec sec tg sec tg .x dx x x x x dx= −∫ ∫
 
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, fazemos 
2 2tg sec 1x x= − , e teremos 
3 2
3
sec sec tg sec (sec 1)
sec tg sec sec .
x dx x x x x dx
x x x dx x dx
= − − =
= + −
∫ ∫
∫ ∫
 
escolhida. No entanto, ambas as respostas estão corretas, 
as. Este é um caso 
típico onde podemos escolher qual procedimento usar na hora 
ou se a 
utilize 
Este exemplo já foi feito quando estudamos o método de integração 
por partes, porém, como esta integral aparecerá muitas vezes daqui 
por diante, entendemos ser válido relembrar sua resolução. Note que 
 
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, fazemos 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
Assim, somando o termo 3sec x dx∫ em ambos os lados da 
igualdade, obtemos 
3
12 sec sec tg ln sec tg x dx x x x x C= + + +∫ , 
ou 
3 1sec sec tg ln sec tg 
2
x dx x x x x C = + + + ∫ , onde C = C1
 
EXEMPLO 2 Calcule 2 3tg secx x dx∫ . 
Solução 
Análogo ao que foi feito no Exemplo 1, precisamos reescrever a 
função a ser integrada de modo que ela se apresente em uma forma 
que seja fácil visualizar qual termo chamaremos de u 
chamaremos de dv. Lembre-se que u deve ser facilmente derivável e 
dv deve ser facilmente integrável. Assim, segundo estes critérios, 
podemos fazer 
2
2 3
2 3 5
sen 1 sen
tg sec sen .
cos cos cos
x x
x x dx dx x dx
x x x
= =∫ ∫ ∫
Fazendo agora a escolha 
5 4
sen cos
sen 1
cos 4 cos
u x du x dx
xdv dx v
x x
= ⇒ =
= ⇒ =
 
e aplicando a fórmula de integração por partes, teremos 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 41 
em ambos os lados da 
1/2. 
Análogo ao que foi feito no Exemplo 1, precisamos reescrever a 
função a ser integrada de modo que ela se apresente em uma forma 
 e qual 
deve ser facilmente derivável e 
deve ser facilmente integrável. Assim, segundo estes critérios, 
tg sec sen .x x dx dx x dx 
42 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
2 3
4 4
4 3
3
4
4
4
sen 1 cos
tg sec
4cos 4 cos
sen 1 1
4cos 4 cos
sen 1
sec
4cos 4
sen 1 1
sec tg ln sec tg
4cos 4 2
sen 1
sec tg ln sec tg .
4cos 8
x x
x x dx dx
xx
x dx
x x
x
xdx
x
x
x x x x C
x
x
x x x x C
x
= − =
= − =
= − =
 = − + + + = 
 = − + + + 
∫ ∫
∫
∫
 
 
 
OBS: Todos estes procedimentos utilizados para tangentes e 
secantes também se aplicam, de modo análogo, à cotangentes 
e cossecantes, conforme veremos nos exemplos a seguir. 
 
EXEMPLO 1 Calcule 3 4cotg cossec .x x dx∫ 
Solução 
3 4 3 2 2
3 2 2
3 2 5 3
6 4 6 4
cotg cossec cotg cossec cossec
cotg (cotg 1) cossec
( 1) ( )
cotg cotg
,
6 4 6 4
x x dx x x x dx
x x x dx
u u du u u du
u u x xC C
= =
= + =
= − + = − + =
= − − + = − − +
∫ ∫
∫
∫ ∫
 
onde a mudança de variável u = cotg x, du = -cossec2x dx foi 
utilizada. 
 
= − + + + =
 
 
Todos estes procedimentos utilizados para tangentes e 
secantes também se aplicam, de modo análogo, à cotangentes 
foi 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
EXEMPLO 2 Calcule 4cotg .x dx∫ 
Solução 
4 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
3
2 2
cotg cotg cotg (cossec 1) cotg
cossec cotg cotg
cossec cotg (cossec 1)
cotg
cossec cotg ,
3
x dx x x dx x x dx
x x dx x dx
x x dx x dx
x
u du x dx dx x x C
= = − =
= − =
= − − =
= − − + = − + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
onde novamente a mudança de variável u = cotg x, du = -cossec
dx foi utilizada. 
 
EXEMPLO 3 Calcule 3cossec .x dx∫ 
Solução 
Procedemos de modo inteiramente análogo ao que foi feito no 
cálculo da integral de sec3x: 
3 2
2
2
3
cossec cossec cossec
cossec cotg cossec cotg
cossec cotg cossec (cossec 1)
cossec cotg cossec cossec .
x dx x x
x x x x dx
x x x x dx
x x x dx x dx
= =
= − − =
= − − − =
= − − +
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
Assim, 
3
3
2 cossec cossec cotg ln cossec cotg , 
ou seja,
1
cossec cossec cotg ln cossec cotg ,
2
x dx x x x x C
x dx x x x x C
= − + − +
 = − + − + 
∫
∫
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 43 
cossec cotg ,u du x dx dx x x C
= = − =
= − − + = − + + +
cossec2x 
Procedemos de modo inteiramente análogo ao que foi feito no 
cossec cotg cossec (cossec 1)
cossec cotg cossec cossec .
x x x x dx
x x x dx x dx
= − − − =
 
2 cossec cossec cotg ln cossec cotg , 
cossec cossec cotg ln cossec cotg ,
x dx x x x x C
x dx x x x x C = − + − + 
 
44 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
sendo que inicialmente fizemos u = cossec x e dv = cossec2x 
para utilizar o método de integração por partes e depois, cotg2x
cossec2x – 1. 
 
EXERCÍCIOS 1.3 
1) Calcule as seguintes integrais: 
a) 4sen cosx x dx∫ b) 2 4sen cosx x dx∫ 
c) 3 5cotg cossecx x dx∫ d) 5 2sen cosx x dx∫ 
e) 3sen cosx x dx∫ 
f) 6tg x dx∫ 
g) 3cos senx x dx∫ h) 4 6tg secx x dx∫ 
i) 3 2tg secx x dx∫ j) 2(tg cotg )x x dx+∫ 
k) 3cos x dx∫ l)
 
2 3cotg cossecx x dx∫ 
 
 
 
Integração por substituições 
trigonométricas 
Se o integrando contém uma expressão da forma 
2 2 2 2
,a x a x− + ou 2 2x a− , ou mesmo apenas os quadrados 
perfeitos aparecem no radicando, onde a > 0, então é possível, na 
maioria das vezes, efetuarmos a integração através de uma 
 dx 
x = 
 
 
Se o integrando contém uma expressão da forma 
, ou mesmo apenas os quadrados 
0, então é possível, na 
maioria das vezes, efetuarmos a integração através de uma 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 45 
 
substituição trigonométrica, conforme veremos abaixo, a qual 
possibilitará a eliminação da raiz e o cálculo facilitado da integral. 
1º Caso: 2 2a x− , a > 0 , x a≤ . 
Neste caso fazemos a seguinte mudança de variável: 
sen cosx a dx a dθ θ θ= ⇒ = , 
tomando 0 / 2θ pi≤ ≤ para 0x ≥ e / 2 0pi θ− ≤ ≤ para 0x ≤ , 
uma vez que cos 0θ ≥ neste intervalo e isso, juntamente com a 
hipótese sobre a, nos permitirá eliminar a raiz sem a presença do 
módulo. Assim, com essa mudança, a expressão da função se torna 
bem mais simples para ser integrada. Veja: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2sen (1 sen ) cos cosa x a a a a aθ θ θ θ− = − = − = = , 
já que a > 0 e cos 0θ ≥ para / 2 / 2pi θ pi− ≤ ≤ . 
2 2 cosa x a θ∴ − = , sendo arcsen x
a
θ = , uma vez que f(x) = sen x 
é inversível em [ ]/ 2, / 2pi pi− . 
Se posicionarmos estas variáveis em um triângulo retângulo, 
visualizaremos a mudança de variável com mais facilidade, uma vez 
que sabemos, da trigonometria dos triângulos retângulos, que 
cateto oposto
sen
hipotenusa
x
a
θ = = . 
46 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
Essa visualização geométrica é 
fundamental para fazermos o retorno da 
variável q para x. 
 
 
EXEMPLO 1 Calcule ∫
−
22
xa
dx
. 
Solução 
Considere sen cosx a dx a dθ θ θ= ⇒ = , / 2 / 2pi θ pi− ≤ ≤
Substituindo na integral e aproveitando os cálculos realizados logo 
acima, obtemos: 
2 2
cos
arcsen .
cos
dx a xd d C C
a aa x
θ θ θ θ
θ
= = = + = +
−
∫ ∫ ∫ 
 
Caso particular: 
2
arcsen
1
dx
x C
x
= +
−
∫ . 
 
EXEMPLO 2 Calcule . 
Solução 
Considere a = 3 e 3 sen , / 2 / 2.x θ pi θ pi= − ≤ ≤ 
Então, temos que 3cosdx dθ θ= e a integral torna-se: 
2 2 2
2 2 2
9 9 9sen 1 9cos3 cos cos
9sen 3 sen
x dx d d
x
θ θθ θ θ θ
θ θ
− −
= = =∫ ∫ ∫
∫
− dx
x
x
2
29
 
/ 2 / 2
 
os cálculos realizados logo 
= = = 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
2
2 2 2
2
cos
cotg (cossec 1) cossec
sen
d d d d dθ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
= = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
29
cotg arcsen
3
x xC C
x
θ θ − −= − − + = − + . 
 
 
OBS: Observe que o retorno de q para x foi feito a partir da 
observação do triângulo retângulo ilustrado acima, uma vez 
que 
2cateto adjascente 9
cotg
cateto oposto
x
x
θ −= = . 
Já a expressão para q é conseqüência imediata de 
3sen sen arcsen .
3 3
x x
x θ θ θ= ⇒ = ⇒ =
 
 
EXEMPLO 3 Calcule 
3
216
x dx
x−
∫ . 
Solução 
Considere a = 4, 4 sen , / 2 / 2x θ pi θ pi= − ≤ ≤ . 
Então temos 4cosdx dθ θ= e a integral torna-se: 
3 3 3
2 2
3 2
64 sen 4cos sen cos64
cos16 16 16sen
64 sen 64 (1 cos ) sen
x dx d d
x
d d
θ θ θ θθ θ
θθ
θ θ θ θ θ
= = =
− −
= = − =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
2 3164 sen 64 64 cos cos
3
d u du Cθ θ θ θ = − = − − + =  ∫ ∫
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 47 
d d d d dθ θ θ θ θ θ θ θ= = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
foi feito a partir da 
observação do triângulo retângulo ilustrado acima, uma vez 
é conseqüência imediata de 
dx d dθ θ= = =
= = − =
 
48 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
2 2 3 2
216 1 ( 16 ) 3264 16
4 3 64 3
x x xC x C
   
− − − − −
= + + = − +   
    
. 
 
2º Caso: 2 2a x+ , a > 0 . 
Neste caso fazemos tgx a θ=
 
2secdx a dθ θ⇒ = , tomando 
0 / 2θ pi≤ < para 0x ≥ e / 2 0pi θ− < ≤ para 0x ≤ , pelos motivos 
já apresentados no 1° Caso. 
No triângulo retângulo teremos então: 
 
e com esta mudança, a raiz torna-se: 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2tg (1 tg ) sec sec ,a x a a a a aθ θ θ θ+ = + = + = =
já que a > 0 e sec 0θ ≥ para 
2 2
pi piθ− < < . 
 
2 2 seca x a θ∴ + = , sendo arctg x
a
θ = , 
uma vez que f(x) = tg x é inversível em ,
2 2
pi pi 
− 
 
. 
 
EXEMPLO 1 Calcule . 
Solução 
∫ + dxx 5
2
. 
, tomando 
, pelos motivos 
tg (1 tg ) sec sec ,θ θ θ θ 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃOConsidere 5a = , 5 tg , / 2 / 2x θ pi θ pi= − < < . 
Então, 
θθ ddx 2sec5= 
e a integral torna-se: 
2 25 5 sec 5 secx dx dθ θ θ+ = =∫ ∫ 
3 55 sec sec tg ln sec tg
2
d Cθ θ θ θ θ θ = = + + + = ∫ 
2 25 5 5ln .
2 5 5 5 5
x x x x C
 + +
 = + + +
  
 
 
EXEMPLO 2 Calcule . 
Solução 
Considere tg ,
2 2
x a
pi piθ θ= − < < . Então, 2secdx a dθ θ=
integral torna-se: 
2
2 2 2 2
sec 1 1 1
arctg
sec
dx a xd d C C
a x a a a a a
θ θ θ θ
θ
= = = + = +
+∫ ∫ ∫
 
Caso particular: 2 arctg1
dx
x C
x
= +
+∫ . 
 
 
3º Caso: , a > 0 , a x≤ . 
∫ + 22 xa
dx
22
ax −
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 49 
dx a dθ θ
 e a 
d d C C . 
50 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
Neste caso, fazemos secx a θ= sec tgdx a dθ θ θ⇒ =
sendo que 0
2
piθ≤ <
 para ax ≥ e 
3
2
pi
pi θ≤ <
 para ax −≤ . 
No triângulo retângulo agora temos 
 
e, com esta mudança, a raiz torna-se: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2sec (sec 1) tg tgx a a a a a aθ θ θ θ− = − = − = = ,
levando em conta que: 
0a > e tg 0θ ≥ para 30, , .
2 2
x
pi pi
pi
   
∈ ∪   
   
 
2 2 tgx a a θ∴ − = , 
sendo arcsec x
a
θ = , uma vez que ( ) secf x x= é inversível para 
todo 30, , .
2 2
x
pi pi
pi
   
∈ ∪   
   
 
EXEMPLO 1 Calcule . 
Solução 
Considere 
∫
−
22 axx
dx
dx a dθ θ θ , 
 
θ θ θ θ , 
para 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
sec sec tgx a dx a dθ θ θ θ= ⇒ = , 3θ 0, ,
2 2
pi pi
pi
   
∈ ∪   
   
. 
Substituindo na integral, obtemos: 
2 2
sec tg 1 1 1
arcsec .
sec tg
dx a xd d C C
a a a a a ax x a
θ θ θ θ θ
θ θ
= = = + = +
−
∫ ∫ ∫
 
Caso particular: 
2 2
arcsec
1
dx
x C
x x
= +
−
∫ . 
 
EXEMPLO 2 ∫
− 923 xx
dx
 
Considere 
3sec 3sec tgx dx dθ θ θ θ= ⇒ = , (0, / 2) ( ,3 / 2)θ pi pi pi∈ ∪
Substituindo na integral, obtemos: 
33 2
2
2
3 sec tg
27sec 3 tg9
1 1 1
cos
27 sec 27
dx d
x x
d d
= =
−
= = =
∫ ∫
∫ ∫
θ θ θ
θ θ
θ θ θ
θ
 
[ ]
1 (1 cos2 ) 1 1
sen 2
27 2 54 2
1 2 sen cos
54
d C
C
+  
= = + + = 
 
= + + =
∫
θ θ θ θ
θ θ θ 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 51 
   
   
   
. 
arcsec .
dx a xd d C C
a a a a a a
= = = + = +
 
(0, / 2) ( ,3 / 2) . 
= = + + =
 
52 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
 
2
2
2
1 9 3
arcsen
54 3
1 3 9
arcsen
54 3
x x C
x x
x x C
x
 
−
= + + = 
  
 
−
= + + 
  
. 
 
 
EXERCÍCIOS 1.4 
1) Calcule as seguintes integrais: 
a) 24
dx
x+∫ 
b) 
2 3
dx
x x +
∫ c) 2 16
dx
x −
∫ 
d) 29t te e dt−∫ e) 2 225x x dx−∫ f) 
2
2
1x dx
x
−
∫ 
2) Mostre, utilizando integrais, que a área da região delimitada pela 
elipse 
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = é A = pab. 
3) Mostre, utilizando integrais, que a área de um círculo de raio R
2A Rpi= . 
 
 
Integração por Frações Parciais 
Este método é utilizado quando desejamos integrar uma função 
racional (quociente de duas funções polinomiais), cuja expressã
não permite sua integração por um método mais simples, como os 
vistos anteriormente. 
. 
 
Mostre, utilizando integrais, que a área da região delimitada pela 
R é 
Este método é utilizado quando desejamos integrar uma função 
racional (quociente de duas funções polinomiais), cuja expressão 
não permite sua integração por um método mais simples, como os 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 53 
 
Inicialmente relembramos que se 
( )
( )( )
P x
H x Q x= onde P e Q são 
polinômios reais e o grau de Q é menor ou igual que o grau de P, 
então H é dita uma função racional imprópria. Para que H se torne 
uma função racional própria é necessário dividir P por Q até que o 
grau do numerador seja menor que o do denominador. 
Se tomarmos, por exemplo, a função 
4 2
2
10 3 1( )
4
x x xH x
x
− + +
=
−
 
observamos que é uma função racional imprópria. Porém, ao 
dividirmos o polinômio do numerador pelo do denominador, 
obtemos uma nova forma de representar a mesma função, agora 
composta por um termo polinomial somado a uma fração própria, 
como podemos ver abaixo. 
 
4 2
2
2 2
10 3 1 3 23( ) 6
4 4
fração imprópria fração própria
x x x xH x x
x x
− + + −
= = − +
− −��������� �����
 
 
 
 OBS: Para integrar uma função racional (quociente de duas 
funções polinomiais), devemos primeiro verificar se ela é uma 
fração própria. Caso não seja, devemos antes transformá-la 
em uma fração própria e, só depois, integrar. Por exemplo: 
2 2
2 2
3 23 3 23( ) ( 6 ) ( 6)
4 4
este é o nosso problema !!
x xH x dx x dx x dx dx
x x
− −
= − + = − +
− −
∫ ∫ ∫ ∫
�����
 
 
 
54 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
O método das frações parciais permite escrever uma função 
racional própria em uma soma de frações mais simples, que possam 
ser integradas pelos métodos já conhecidos. Para isso, em uma 
fração do tipo 
( )
( )
P x
Q x , 
 Q(x) deve ser escrito como um produto de fatores lineares ou 
quadráticos irredutíveis (que não possuem raízes reais). Isso sempre 
é possível devido ao Teorema Fundamental da Álgebra, que garante 
que qualquer polinômio com coeficientes reais pode ser expresso 
como um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis, de 
tal forma que cada um dos fatores tenha coeficientes reais. É o que 
conhecemos por fatoração. 
 
Método das frações parciais 
Seja (x – a) um fator linear de Q(x). Se (x – a)m for o termo de 
maior potência de (x – a) que divide Q(x), então devemos atribuir, a 
cada fator linear distinto, a soma de m frações parciais escritas do 
seguinte modo: 
( ) ( ) ( )
1 2 1
1 2
m m
m m
A A A A
x ax a x a x a
−
−
+ + + +
−
− − −
⋯ . 
Agora, se 2x bx c+ + for um fator quadrático irredutível de 
Q(x) e se ( )2 nx bx c+ + for o termo de maior potência de 
2x bx c+ +
 que divide Q(x), então devemos atribuir, a cada fator 
quadrático distinto, a soma de n frações parciais escritas do seguinte 
modo: 
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 1
1 2 22 2 2
n n n n
n n
B x C B x C B x C B x C
x bx cx bx c x bx c x bx c
− −
−
+ + + +
+ + + +
+ ++ + + + + +
⋯ . 
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
Os exemplos a seguir facilitarão o entendimento: 
 
EXEMPLO 1 Calcule 3 2
1
2
x dx
x x x
−
− −
∫ . 
Solução 
Inicialmente verificamos se o integrando é uma fração própria. 
Como o maior expoente do denominador é 3 e o do numerador é 1, 
concluímos que a fração é própria e, portanto, podemos passar para 
o passo seguinte, que é a aplicação do método em si. 
O primeiro passo é fatorar o denominador para que ele fique na 
forma de produto de fatores lineares ou quadráticos irredutíveis. 
Com isso nossa integral torna-se: 
3 2
1 1
2 ( 2)( 1)
x xdx dx
x x x x x x
− −
=
− − − +∫ ∫
. 
Agora tomamos o integrando e usamos o método descrito acima 
para transformar a fração dada em uma soma de frações mais 
simples. Como os fatores são todos lineares e não se repetem, 
atribuímos a cada um deles uma constante no numerador e 
efetuamos a soma das frações resultantes, como mostrado abaixo:
1 2 3
2
1 2 3
2
1 2 3 2 1 3 1
1
( 2)( 1) 2 1
( 2) ( 1) ( 2)
( 2)( 1)
( ) ( 2 ) 2
.( 2)( 1)
x A A A
x x x x x x
A x x A x x A x x
x x x
A A A x A A A x A
x x x
−
= + + =
− + − +
− − + + + −
= =
− +
++ + − − −
=
− +
 
Comparando o primeiro termo da igualdade com o último, notamos 
que as duas frações são iguais se, e somente se, os numeradores são 
iguais, ou seja, quando 
2
1 2 3 2 1 3 1( ) ( 2 ) 2 1A A A x A A A x A x+ + + − − − = −
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 55 
Inicialmente verificamos se o integrando é uma fração própria. 
Como o maior expoente do denominador é 3 e o do numerador é 1, 
concluímos que a fração é própria e, portanto, podemos passar para 
o passo é fatorar o denominador para que ele fique na 
forma de produto de fatores lineares ou quadráticos irredutíveis. 
Agora tomamos o integrando e usamos o método descrito acima 
transformar a fração dada em uma soma de frações mais 
simples. Como os fatores são todos lineares e não se repetem, 
atribuímos a cada um deles uma constante no numerador e 
efetuamos a soma das frações resultantes, como mostrado abaixo: 
.
 
Comparando o primeiro termo da igualdade com o último, notamos 
que as duas frações são iguais se, e somente se, os numeradores são 
( ) ( 2 ) 2 1+ + + − − − = − , 
56 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
o que é equivalente a 
1 2 3 22 3
1 2 3 1
2 3 31
110
1 622 1
3 22 22 1 2 3
A A A AA A
A A A A
A A AA
+ + = =+ = −   
− + − = ⇒ = ⇒ ⇒  
  
− = = −
− = −   
 
Dessa forma, encontramos os valores para as constantes A1, A2 e 
de maneira que: 
31 21 1 1 2
( 2)( 1) 2 1 2 6( 2) 3( 1)
AA Ax
x x x x x x x x x
−
= + + = + −
− + − + − +
.
Logo, 
3 2
1 1 1 1 1 2 1
2 2 6 2 3 1
x dx dx dx dx
x x x x x x
−
= + − =
− − − +∫ ∫ ∫ ∫ 
= 
1 1 2ln ln 2 ln 1
2 6 3
x x x C+ − − + + . 
 
 
EXEMPLO 2 Calcule 
3
2 3
( 1)
( 2)
x dx
x x
−
−
∫ . 
Solução 
Observando que a fração é própria e usando o mesmo procedimento 
do exemplo 1, porém notando que agora os fatores lineares se 
repetem, fazemos 
3
32 1 2 1
2 3 2 3 2
( 1)
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
BA A B Bx
x x x x x x x
−
= + + + + =
− − − −
 
3 3 2 2 2 2
2 1 3 2 1
2 3
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
.( 2)
A x A x x B x B x x B x x
x x
− + − + + − + −
=
−
Igualando os numeradores, obtemos 
e A3 
( 2)( 1) 2 1 2 6( 2) 3( 1) . 
fração é própria e usando o mesmo procedimento 
do exemplo 1, porém notando que agora os fatores lineares se 
.
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
3 3 2 4 3 2 2
2 1 3
3 2 4 3 2
2 1
4 3
1 1 2 1 2 1
2
2 1 3 2 1 2 1 2
1 ( 6 12 8) ( 6 12 8 )
( 2 ) ( 4 4 )
( ) ( 6 4 )
( 6 12 2 4 ) (12 8 ) 8 .
x A x x x A x x x x B x
B x x B x x x
A B x A A B B x
A A B B B x A A x A
− = − + − + − + − + +
+ − + − + =
= + + − + − +
+ − + + − + + − −
Assim, 
2
2 1 3 2 1 1
2 1 2 1
1 1 3
2 1
22
1
1
8
36 12 2 4 0
166 4 1
70
4
12 8 0 5
8 1 4
3
16
A
A A B B B A
A A B B
A B B
A A
BA
B

=

− + + − + =
=

− + − =  
+ = ⇒ = 
 
− =
 
= − = −

−
=
. 
 
Portanto, 
3
2 3
2 3 2
( 1)
( 2)
1 3 7 5 3
8 16 4 ( 2) 4 ( 2) 16 2
x dx
x x
dx dx dx dx dx
x x x x x
−
=
−
= + + + − =
− − −
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2
1 3 7 5 3ln ln 2
8 16 8( 2) 4( 2) 16
3 1 1 7 5ln .
16 2 4 2 2( 2) ( 2)
x x C
x x x
x C
x x x x
−
= + − − − − + =
− −
 
= − + + + 
− − − 
 
 
EXEMPLO 3 Calcule 
3 2
2 2
5 3 7 3
( 1)
x x x dx
x
− + −
+∫ . 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 57 
3 3 2 4 3 2 2
2 1 3
2 1 3 2 1 2 1 2( 6 12 2 4 ) (12 8 ) 8 .
x A x x x A x x x x B x
A A B B B x A A x A
− = − + − + − + − + +
+ − + + − + + − −
 
8 16 4 ( 2) 4 ( 2) 16 2
dx dx dx dx dx
= + + + − =
 
= + − − − − + =
 
58 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
Solução 
Como neste caso temos um fator quadrático irredutível no 
denominador, o qual se repete, colocamos um fator linear no 
numerador de cada fração parcial, e procedemos como nos exemplos 
anteriores: 
3 2
2 2 2 2 2
5 3 7 3
.( 1) ( 1) ( 1)
x x x Ax B Cx D
x x x
− + − + +
= +
+ + +
 
Resolvendo esta soma de frações e igualando os numeradores, 
chegamos à seguinte igualdade: 
3 2 2
3 2
5 3 7 3 ( ) ( 1)
( ) ,
x x x Ax B Cx D x
Cx Dx A C x B D
− + − = + + + + =
= + + + + +
 
de onde concluímos que: 
A = 2, B = 0, C = 5 e D = −3. 
Assim, 
3 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
5 3 7 3 2 5 3
( 1) ( 1) ( 1)
2 5 3
( 1) 1 1
1 5 ln( 1) 3arctg .
1 2
x x x x xdx dx dx
x x x
x xdx dx dx
x x x
x x K
x
− + − −
= + =
+ + +
= + − =
+ + +
= − + + − +
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ 
 
EXERCÍCIOS 1.5 
1. Calcule as seguintes integrais: 
 a) 2
6 7
( 2)
x dx
x
+
+∫
 b) 
2 1
( 1)( 2)( 3)
x dx
x x x
+
− − −
∫ 
 c) 
2
3 2
4 13 9
2 3
x x dx
x x x
+ −
+ −∫
 d) ∫ +
dx
xx
x
2
32
 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 59 
 
 e) 2 2
2 4
( 1)( 1)
x dx
x x
− +
+ −∫
 f) 
3
3
9 3 1x x dx
x x
− +
+∫
 
 g) 
2
2
2 7
6 9
x x dx
x x
+
+ +∫
 h) 2
2 1
2 3 2
x dx
x x
+
+ −∫ 
 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS 
1. Calcule as seguintes integrais, utilizando os métodos estudados. 
1) 
2
2
5 4
2 1
x x dx
x x
+ +
− +∫
 2)
 
4 2
4 dx
x x−∫ 
3) 2
3
19t dt
t
 
+ 
 
∫ 4) 2
1
9
dx
x x +
∫ 
5)
2
2
sec
(1 tg )
x dx
x+∫ 
6) 2 2tg cossecx x dx∫ 
7) ∫ +− dxxx
dxx
22 )1()1( 8)
 
cos
2 sen 
x dx
x−∫ 
9) 216
dx
x+∫ 
10)
 
2tg (5 )x dx∫ 
11) 2
2
3 3
dt
t +∫ 
12) 2
9
1
dx
x−∫ 
13)
 
12
2
y dy
y
 
−  
 
∫ 14) 
1
2
1
xe dx
x∫
 
60 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA 
 
15) 
3 2
3
6 3 16
4
x x x dx
x x
+ + +
+∫
 
16)
 
4 2
1
3
dx
x x −
∫ 
17)
 
2 3sen (2 ) cos (2 ) dθ θ θ∫ 18) 
3 2
2
2 4
2 2
x x dx
x
+ +
+∫
 
19) 2 2 2cos ( 1)x xe e dx−∫ 20) ( 1) xx e dx−−∫ 
 
 
21) 6cossec x dx∫ 22)
 
2
2
2 25 33
( 1) ( 5)
x x dx
x x
− −
+ −∫ 
23)
 
2
2 7
sen 22
cos
x xe dx
x x
 
− + 
 
∫ 24) 2
1
4
x dx
x
+
−
∫ 
25)
 
2 2(16 )
x dx
x−∫
 26) cos
2
x xe dx∫ 
27) 25 xx e dx∫ 28)
 
2sec
cotg
x dx
x∫ 
29) 2 2
1
( 2 3)
x dx
x x
−
+ +∫
 
30) 2( 1)secx x dx−∫
 
 
 
2. Seja f contínua em [a, b] e R a região delimitada pelo gráfico de f, 
pelo eixo-x e pelas retas verticais x = a e x = b. O volume do sólido 
de revolução gerado pela revolução de R em torno do eixo-x é dado 
por [ ]2( )b
a
V f x dxpi= ∫ . Sabendo disso, calcule o volume dos 
sólidos gerados pelas funções abaixo, em torno do eixo-x, nos 
intervalos especificados: 
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 61 
 
a) ln ; [0, ]y x x e= ∈ b) 2cos ; [0,2 ]y x x pi= ∈ 
c) 2 1/2( 25) ; [0,5]y x x x−= + ∈ 
 
3. A velocidade (no instante t) de um ponto em movimento sobre 
uma reta coordenada é dada por 2cos tpi m/s. Qual é a distância 
percorrida pelo ponto em 5 segundos? 
 
4. A aceleração (no instante t) de um ponto em movimento sobre 
uma reta coordenada é dada por 2sen cost t m/s2. Em t = 0 o ponto 
está na origem e sua velocidade é 10 m/s. Determine sua posição no 
instante t. 
 
5. Encontre a área da região delimitada pelo gráfico de 
3 2 1/2(10 )y x x −= − , pelo eixo-x e pela reta 1.x =
 
 
 
 
 
 
62 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA

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