APOSTILA DO CURSO MAT

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REFORÇO ESCOLAR EM 
MATEMÁTICA 
 ______ 
APOSTILA 
 
 
 
 
 
 
 
 
SERVIÇO SOCIAL DA INDÚSTRIA 
DEPARTAMENTO REGIONAL DE MATO GROSSO DO SUL 
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO 
Campo Grande/MS 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 2 
DEPARTAMENTO REGIONAL DE MATO GROSSO DO SUL 
 
 
SÉRGIO MARCOLINO LONGEN 
Diretor Regional do SESI/DR-MS 
 
 
 
MICHAEL FRANK GORSKI 
SUPERINTENDENTE do SESI/DR-MS 
 
 
 
JOSÉ ANTONIO BELLOC 
GERÊNCIA DE EDUCAÇÃO E LAZER 
 
 
 
SIMONE DE FIGUEIREDO CRUZ 
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO 
 
 
 
ÉDER REGIS RODRIGUES 
ELABORAÇÃO E CEDÊNCIA 
 
 
 
LUCIANO FERRAZ SERVANTES 
ORGANIZAÇÃO TÉCNICA 
 
 
 
Prof.a Me. MARIA FERNANDA B. DE ALENCASTRO 
REVISÃO TÉCNICA 
 
 
 
 
SIMONE DE FIGUEIREDO CRUZ 
SUPERVISÃO GERAL 
 
 
CAMPO GRANDE/MS, ANO 2012 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 3 
MÓDULO I 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
Iniciando com o zero e a partir dele adicionando uma unidade a cada numeral, 
formamos o conjunto dos números naturais em uma sequência infinita. Esse 
conjunto é representado pela letra	ℕ. 
ℕ = �0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,… � 
 
Quando se exclui o zero desse conjunto ele é chamado de conjunto dos 
números naturais não-nulos, é representado por ℕ*. 
 
ℕ ∗= �1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,… � 
 
1.1 Sucessor e antecessor de um número natural 
Todo número natural possui um sucessor. Obtemos esse novo número 
adicionando uma unidade, observe: 
 1 é o sucessor de 0, pois, 0 + 1 = 1 
 2 é o sucessor de 1, pois, 1 + 1 = 2 
 3 é o sucessor de 2, pois, 2 + 1 = 3 
 ⋅ 
 ⋅ 
 ⋅ 
 15 é o sucessor de 14, pois, 14 + 1 = 15 
 
Todo número natural possui um antecessor, exceto o zero. Obtemos esse novo 
número subtraindo uma unidade, observe: 
0 é o antecessor de 1, pois, 1 - 0 = 0 
1 é o antecessor de 2, pois, 2 - 1 = 1 
2 é o antecessor de 3, pois, 3 - 1 = 2 
⋅ 
⋅ 
 13 é o antecessor de 14, pois, 14 - 1 = 13 
 
1.2 Números naturais consecutivos 
• 5 e 6 são consecutivos. 
• 50, 51 e 52 também são consecutivos. 
Sendo N um número natural, podemos representar uma sequência de números 
consecutivos como sendo: N, N + 1, N + 2, . . . , N + M. 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 4 
EXERCÍCIOS 
1. Considere três números naturais e consecutivos, cuja a soma é igual a 453. Quais 
são esses números? 
 
2. Resolvendo problemas com os números naturais 
a) Juca não perde uma ocasião de vender brigadeiros. Hoje, ele vendeu 148, mas 
ainda restam 57. Quantos brigadeiros ele havia levado para vender? 
 
b) Se Pedro ganhar 600,00 reais e juntar com o que tem, poderá pagar uma dívida de 
893,00 reais e ainda lhe sobrarão 31,00 reais. Quanto Pedro tem? 
 
c) Maria tem 423,00 reais e vai receber mais 600,00 reais. Se pagar uma dívida no 
valor de 386,00, quanto lhe sobrará? 
 
d) Um certo televisor de uma determinada marca custa 498,00 reais. Quanto custará 
78 televisores dessa mesma marca? 
 
e) Quantos garrafões de 5 litros são necessários para engarrafar 315 litros de água? 
 
f) Se em 1 hora tem 60 minutos. Quantas horas há em 2220 minutos? 
 
g) Um livro tem 216 páginas. Quero terminar a leitura desse livro em 18 dias, lendo o 
mesmo número de página todos os dias. Quantas páginas preciso ler por dia? 
 
1.3 Potenciação de números naturais 
Por definição todo número elevado a zero, diferente de zero é 1, observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir do expoente 1, a base é o fator que se repete e o expoente é o 
número de fatores que se repetem. Observe: 
��= 2 dois elevado a primeira potência ou a primeira potência de dois 
��= 3x3= 9 três elevado ao quadrado ou o quadrado de três 
��= 4x4x4= 64 quatro elevado ao cubo ou o cubo de quatro 
��= 5x5x5x5= 625 cinco elevado a quarta potência ou a quarta potência de cinco 
 
Observe que na potência 4� o 4 é multiplicado por ele mesmo 3 vezes e, na potência 5� o 5 
é multiplicado por ele mesmo 4 vezes. 
��	= 1 
 
O algarismo 2 é chamado de base; 
O algarismo 0 é chamado de expoente; 
O algarismo 1 é chamado de resultado ou potência. 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 5 
1.3.1 Potencias de dez 
Em síntese, toda potência de dez é um número formado pelo algarismo 1 
acrescido dos zeros que correspondem ao expoente. Veja os exemplos: 
 
= 10��� 
���= 10x10= 100 
���= 10x10x10= 1000 
���= 10x10x10x10= 10 000 
���= 10x10x10x10x10= 100 000 (10 é multiplicado por ele mesmo 5 vezes.) 
 
1.3.2 Potências de bases iguais 
Se levarmos em conta algumas propriedades da potenciação, facilita o cálculo 
de algumas expressões. Em especial quando se trata de operações entre potências de 
mesma base. Olhe os exemplos: 
Multiplicação entre potências de mesma base; 
3� × 3�= 3���= 3� 
5� × 5� = 5���= 5 
Na multiplicação entre potências de mesma base conserva-se a base e somam-se os 
expoentes. 
 
Divisão entre potências de mesma base: 
2�: 2� = 2�"� = 2� 
7#: 7� = 7#"� = 7$ 
Na divisão entre potências de mesma base conserva-se a base e subtrai os expoentes. 
 
Cálculo entre potências cuja base é uma potência: 
(4�)
�
←= 4�.� =	4)� 
(3�)
�
←= 3�.� = 3� 
No caso da base ser uma potência conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Escreva em uma só potência as seguintes operações: 
a) 2$ × 2�= 
b) 3# × 3�= 
c) 6$ ∶ 	6�= 
d) 9� ∶	 9 = 
e) 10� × 10� × 10$= 
f) 8 × 	8	 × 8� = 
 
2. Calcule: 
a) 10�= 
b) 6� = 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 6 
c) 7	 × 10�= 
d) 35	 × 10�= 
 
1.4 Raiz quadrada exata de um número natural 
Na resolução de raiz quadrada exata, por exemplo,√25 faça a seguinte 
pergunta; que número eu elevo ao quadrado, ou seja, que eu multiplico por ele 
mesmo duas vezes que dá 25? 5, pois, 5 x 5 = 25 ou 5�= 25. Observe a seguir: 
 
525 = lê –se raiz quadrada de vinte cinco é igual a cinco. 
√9 = 3, pois	3�	= 9 
√16 =4, pois 	4�	= 16 
 
Os números que possui raiz quadrada exata são chamados de números 
quadrados perfeitos. Veja o quadro a seguir: 
 
 
x1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 
 
x1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 
x2 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 
 
EXERCÍCIOS 
1. Calcule: 
a) √225 = 
b) √625 = 
c) √900 = 
d) √529 = 
e) √0 = 
 
2. Identifique os números que são chamados de quadrados perfeitos. 
2 9 16 30 41 
 64 50 22 36 49 
 
1.4.1 Expressões numéricas com todas as operações 
Expressões numéricas com todas as operações. Raiz quadrada, potência, 
multiplicação, divisão, adição e subtração. Vamos fazer algumas considerações, que 
são suma importância para a resolução de expressões: 
1º) Eliminamos parênteses, colchetes e chaves. 
2º) Resolvemos raiz quadrada e potência - no sentido em que aparecem na expressão 
(da esquerda para a direita). 
3º) Multiplicação e divisão. 
4º) Adição e subtração. 
 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 7 
Exemplos 
√625 + 3 x 5 - 4�: 4 + 10� 5 x 12 – (125: 5) x 2 + 3 	3� : 3 + 4 x 5 
25 + 3 x 5 – 16 : 4 + 1000 5 x 12 – 25 x 2 + 3 81: 3 + 4 x 5 
25 + 15 – 4 + 1000 60 – 50 + 3 27 + 20 
40 - 4 + 1000 10 + 3 47 
36 + 1000 13. 
1036. 
 
EXERCÍCIOS 
1.Encontre a soma dos quadrados dos números 10 e 5. O valor obtido é o cubo de 
qual número? 
 
2. Determine a raiz quadrada do valor de 2� + 2	 × 2�. 
 
MÓDULO II 
DIVISIBILIDADE: DIVISORES E MÚLTIPLOS 
 
2. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
• Todo número par, ou seja, terminado em 0, 2, 4, 6, 8, é divisível por 2. 
 
• Todo número cuja soma dos seus algarismos seja divisível por 3, também é 
divisível por 3. 
• Todo número terminado em 0 ou 5, é divisível por 5. 
2.1 Divisores 
1 x 20 = 20 
2 x 10 = 20 
4 x 5 = 20 
Logo, os divisores de 20 são: 
D(20)= �1,2,4,5,10,20�. 
 
2.2 Múltiplos 
Um número natural - é múltiplo de um número natural ., diferente de zero, 
se - é divisível por . ou .	for divisor de -. 
M (5) = �0,5,10,15,20,25,30,… �, ser múltiplo é o mesmo que ser divisível por. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Quais dos números a seguir são divisíveis por 2, 3 ou 5. 
2542 48231 3455 528 1046 380 10038 405045 6402 125 
 
2. Quais são os divisores de 125 e de 64? 
 
2.3. Números primos 
Número primo é aquele possui apenas dois divisores, o número 1 é ele 
mesmo. 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 8 
Exemplos: 
Número Divisores Número Divisores 
0 1,2,3,4,... 7 1,7 
1 1 8 1,2,4,8 
2 1,2 9 1,3,9 
3 1,3 10 1,2,5,10 
4 1,2,4 11 1,11 
5 1,5 12 1,2,3,4,6,12 
6 1,2,3,6 13 1,13 
 
2.3.1 Decomposição em fatores primos 
Decompor em fatores primos é escrever um número natural não primo em 
forma de uma multiplicação de dois ou mais fatores, chamada de forma fatorada 
completa. Observe: 
 
4 = 2 × 2 ou �� 
12 = 2 ×2 ×3 ou �� × 3 
16 = 2 × 2 × 2 ×2 = �� 
36/2 18/2 9/3 3/3 1 / = �� × 	�� 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Escreva os números primos entre 0 e 50. 
 
2. Escreva a forma fatorada completa dos seguintes números: 
a) 24 ___________________ 
b) 196 __________________ 
c) 500 __________________ 
d) 1024 _________________ 
e) 972 __________________ 
f) 1089 _________________ 
g) 60 ___________________ 
h) 338 __________________ 
 
2.4 Mínimo múltiplo comum (mmc): 
Mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais, é o menor 
número comum, diferente de zero, que se repete em seus múltiplos. 
Veja. 
 
M (15) = �0,15,30,45, /�, 75,90,105,… � 
 
M (4) = �0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56, /�, 64,68,… � 
Logo: O mmc (4,15) = 60. 
 
 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 9 
Pela decomposição simultânea: 
4 , 15 / 2 
2 , 15 / 2 
1 , 15 / 3 
1 , 5 / 5 
1, 1 
 
EXERCÍCIOS 
1. Quantos alunos têm, no mínimo, o 5ª ano de um colégio, se podemos contá-los de 
8 em 8 ou de 10 em 10? 
 
2. Três luminosos acendem em intervalos regulares. O primeiro a cada 20 segundos, o 
segundo a cada 24 segundos, o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dado 
instante, os três se acendem ao mesmo tempo, depois de quantos segundos os 
luminosos voltarão a acender simultaneamente? 
 
MÓDULO III 
FRAÇÕES 
 
3. FRAÇÕES EQUIVALENTES E SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
0
1
 
234567896
85294:27896
 sendo x e y números naturais quaisquer. 
Quando simplificamos uma fração, encontramos uma fração equivalente a 
primeira, ou seja, que tem o mesmo valor numérico		�#
 �
	∶		�
:	�
= ��
��
 ou seja 
�#
 �
= ��
��
. 
 
�#
 �
= ��
��
= )�
)#
= �
;
= �
�
 . Essas frações são chamadas de equivalentes. A última é 
chamada de Irredutível, tal como: 
�#
 �
= �
�
 
 
 
3.1 Frações e os números decimais 
Para transformar um número fracionário em um número decimal (com 
vírgula), basta dividir o numerador pelo denominador, ou seja, o de cima pelo de 
baixo. Observe: 
1
2
= 0,5 
 
Para fazer o inverso conte as casas decimais, ou seja, as casas que existem 
após a vírgula, se for uma divide por 10, se forem duas divide por 100, se forem três 
divide por 1000 e assim sucessivamente. 
 0,5 = $
)<
= )
�
 
3.2 Frações e porcentagem 
Para transformar frações em porcentagem multiplique por 100. 
2 x 2 x 3 x 5 = 60 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 10 
 
)
�
= )
�
× 100 = )<<
�
= 50% �
�
= �
�
× 	100 = �<<
�
= 75% 
 
Para fazer o inverso divida por 100, pois, porcentagem significa por 100. É algo 
dividido em cem partes iguais. 
 75% = 
 $
)<<
= �
�
 = 0.75 50% = 
$<
)<<
= )
�
 = 0,5 
 
 
3.3 Adição e subtração de frações 
• Com o mesmo denominador 
Operações com o mesmo denominador, conserva-se o denominador e opere 
apenas com os numeradores. 
 
)
$
+ �
$
= )��
$
= �
$
 
��
)<
− 
)<
= ��" 
)<
= )$
)<
= �
�
 
 
• Com denominadores diferentes: 
�
�
+ )
)�
= ;
)�
+ )
)�
= )<
)�
= $
�
 Observe que; 
�
�
= ;
)�
 são frações equivalentes, por isso, 
substituímos um pelo outro para que os denominadores ficassem iguais e 
pudéssemos efetuar o cálculo. 
 
Basta dividir o mmc pelo denominador anterior e multiplicar pelo numerador, 
desta forma o numerador será o mesmo, aí é só proceder da mesma forma dos 
exercícios anteriores. Exemplo: 
)
$
− �
)$
= �"�
)$
= )
)$
 Observe que o mmc (5, 15) = 
15. 
 
3.4 Multiplicação e divisão de frações 
 
Na multiplicação entre frações, multiplica-se o numerador com numerador e 
denominador com denominador. Exemplo: 
�
�
× $
 
= �?$
�? 
= )$
�#
 
Na divisão entre frações, copia-se a primeira fração e multiplica-se pelo 
inverso da segunda fração. Observe que 
$
)
 é o inverso de 
)
$
. 
�
�
: )
$
= �
�
× $
)
= )<
�
 Observe que 
$
)
 é o inverso de 	15. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Usando os símbolos =, > AB	 < , compare as potências: 
a) 
)
�
	_______ )
#
 
 
b) 
�
�
________ �
$
 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 11 
 
c) 
�
$
________ �)
�$
 
 
d) 
)
$
________ �
$
 
 
e) 
�
 
________ �<
�$
 
 
2. Efetue as operações e simplifique os resultados se possível: 
a) 
�
$
+ )
�
 = 
 
b) 
�
�
+ )
$
− )
)$
 = 
 
c) 
 
�
: ))
�
 = 
 
d) 
�
#
− )
#
 = 
 
e) 
)�
�
+ �
�
− )
;
 = 
 
f) 
�
 
× $
)<
 = 
 
g) 
�
;
: �
 
= 
 
h) 
)$
))
+ �)
$
+ �)
�$
 
 
3. Da renda de uma partida de futebol, 
)
)<
 corresponde às despesas gerais, 
)
�
 cabe ao 
clube vencedor e o restante cabe ao clube perdedor. Nessas condições, qual a fração 
da renda que cabe ao clube perdedor? 
 
4. Dona Branca usou 
�
)<
 das laranjas de uma caixa para fazer doces e 
�
)<
 para fazer 
sucos. Que fração da caixa foi usada para fazer doces e sucos? 
 
 
5. Na figura abaixo, o trecho de A a M mede 
$
)�
 da distância de A a B, e o de M a N, 
)
#
 
dessa distância. Que fração da distância de A a B corresponde ao trecho NB? 
 
 
)
#
 
 -----A----------------------------M--------N-----------------------------B------- 
 
$
)�
 
 
 
Observação: As propriedades que estudamos para operar dentro do conjunto dos 
números naturais, valem também para as operações com números inteiros. 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em MatemáticaApostila 12 
MÓDULO IV 
NÚMEROS INTEIROS 
 
O conjunto dos números inteiros é composto por todos os naturais e seus 
simétricos, ou seja, os números negativos. O conjunto dos números inteiros é 
representado por ℤ. Assim: ℤ = {...,-5, -4 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
4. A RETA NUMÉRICA DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
 
Observe que o número que está a direita na reta numérica, é maior que aquele 
que está a esquerda. 
 
4.1 Números opostos ou simétricos 
O oposto de 1 é -1 
O oposto de -4 é 4, e assim sucessivamente. 
 
 
4.2 Módulo ou valor absoluto de um número inteiro 
|-a| = a e |+a| = a 
 
Assim: O módulo de - 4 = 4 
 O módulo de +4 = 4, ou seja, é sempre seu valor positivo. 
4.3 Comparação de números inteiros 
- 8 < 2 
-18 < 0 
-20 < -1 
 1 > 0 
EXERCÍCIOS 
1. Use os símbolos > ou < , para fazer a comparação dos números a seguir: 
a) -15 ________ -1 
b) -95 ________ 0 
c) -7 ________ -75 
d) -87 ________ 1 
e) 15 ________ -16 
 
 
2. Determine, na reta numérica, o sucessor e o antecessor dos números a seguir: 
a) ---------4------- 
b) -------- -16 -------- 
c) ------- -27 -------- 
d) ----------0---------- 
e) --------1----------- 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 13 
4.4 Escrevendo subconjuntos de números inteiros 
Vamos escrever um subconjunto de ℤ e vamos chamá-lo de A. Esse conjunto 
irá conter apenas números inteiros maiores que -5. Observe: 
A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
Em símbolos: A = {X ∈ ℤ / X > -5}, assim temos; 
A = {X ∈ ℤ / X > -5} = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
 
EXERCÍCIO 
1. Nomeando os elementos, escreva os seguintes conjuntos dados na forma 
simbólica: 
a) P = {X ∈ ℤ / X≥ -3} 
b) Q = {X ∈ ℤ / -9 < X≤ -6} 
c) R = { X ∈ ℤ / -3< X > 5} 
d) S = { X ∈ ℤ / X< -100} 
e) F = { X ∈ ℤ / X< 0 } 
 
4.5 Adição e subtração de números inteiros 
Duas pessoas estão de pé num mesmo ponto. Uma vai dar quatro passos e a 
outra cinco, em direção oposta. Quantos passos elas estarão uma da outra no final 
dessa experiência? 
+5 + (+4) = + 5 + 4 = + 9 Resposta: 9 passos. 
• Outros exemplos: 
+ 4 + 10 = +14 
- 6 + 17 = + 11 
- 12 + 2 = - 10 
- 3 – 15 = - 18 
+7 -15 + 20 = + 27 – 15 = + 12 
• Se tiver parênteses, primeiro elimine-os: 
(+16) + (-6) = + 16 – 6 = + 10 
(-17) + (-2) = - 17 – 2 = - 19 
(+8) – (-3) = + 8 + 3 = + 11 
(- 5) – (+ 9) = - 5 – 9 = - 14 
(-18) + (+ 20) – (+ 5) = - 18 + 20 – 5 = - 23 + 20 = - 3 
(- 30) - (- 9) + (+ 48) + (- 9) = - 30 + 9 + 48 – 9 = - 39 + 47 = + 8 
 
4.6 Multiplicação e divisão de números inteiros: 
(- 3) . (+ 6) = - 18 
(- 4) . (- 3) = + 12 
(+ 7) . (+ 9) = +63 
(+ 2) . (- 5) = - 10 
(- 9) : (- 3) = + 3 
(+ 4) : (- 2) = - 2 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 14 
EXERCÍCIOS 
1. Responda: 
a) Qual o oposto de um número positivo? 
b) Qual o oposto de um número negativo? 
 
2. Considere os números – 20, – 5, 0, 5, 12, – 1, 8, 15. Qual o menor e o maior número? 
 
3. Coloque os números em ordem crescente 
a) 423, – 243, 234, – 324, – 432, 342, 243 
b) 5055, – 5005, 5505, 5005, – 5055, – 5505 
 
4. Calcule: 
a) ( + 12 ) + ( + 21 ) 
b) ( + 13 ) + ( + 7 ) 
c) ( + 23 ) + ( + 21) 
d) ( – 12 ) + ( – 11 ) 
e) ( – 23 ) + ( – 4 ) 
f) ( – 21 ) + ( – 12 ) 
g) ( + 10 ) + ( – 13 ) 
h) ( + 21 ) + ( – 23 ) 
i) ( + 40 ) + ( – 17 ) 
 
5. Uma empresa deve R$ 5400,00 para seus funcionários, mas irá receber R$ 7.300,00 
de outra empresa. Represente essa situação com apenas um número inteiro? 
 
6. Para fazer um bolo, Renata gastou R$ 27,00. Ela vendeu o bolo por R$ 70,00. Qual 
foi o seu lucro? 
 
7. Resolva: 
a) ( + 3 ) + ( – 2 ) + ( – 5 ) 
b) ( – 2 ) – ( + 1 ) – ( + 5 ) 
c) ( + 4 ) + ( – 2 ) – ( + 3 ) 
d) ( + 5 ) – ( – 3 ) – ( – 1 ) 
e) ( + 4 ) + ( – 6 ) – ( + 7 ) – ( – 6 ) + ( + 7 ) 
f) ( – 3 ) – ( – 5 ) + ( – 6 ) + ( + 8 ) – ( – 4 ) 
 
8. Elimine os parênteses: 
a) + ( – 3 + 8 ) 
b) – ( – 3 + 8 ) 
c) + ( 5 – 6 ) 
d) – ( – 3 – 1 ) 
e) – ( – 6 + 4 – 1 ) 
f) – 6 – ( – 3 + 2 ) 
g) 18 – ( – 5 – 2 – 3 ) 
h) 20 – ( – 6 + 8 ) – ( – 1 + 3 ) 
i) – 32 – 1 – ( – 12 + 14 ) 
j) 7 + ( – 5 – 6 ) – ( – 9 + 3 ) 
 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 15 
9. Um reservatório contém 500 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as 
seguintes operações: 
a) Retiramos 80 litros 
b) Colocamos 45 litros 
c) Colocamos 30 litros 
d) Retiramos 130 litros 
e) Retiramos 80 litros 
Qual a quantidade de água que ficou no reservatório? 
 
10. Qual é o sinal de um produto: 
a) Que tem dois números positivos? 
b) Que tem dois números negativos? 
c) Que tem um número positivo e outro negativo? 
 
11. Efetue as multiplicações: 
 a) ( + 5 ) . ( + 3 ) 
b) ( + 4 ) . ( – 5 ) 
c) ( – 8 ) . ( + 4 ) 
d) ( – 6 ) . ( – 7 ) 
e) ( – 2 ) . ( + 4 ) . ( + 3 ) . ( – 1 ) 
f) ( – 5 ) . ( – 6 ) . ( – 2 ) 
g) 2 . (- 3 ) . ( + 6 ) 
h) (- 3 ) . 5 . ( – 7 ) 
 
12. Determine o sinal de cada produto: 
a) +.+.+.+ 
b) -.-.-.-. 
c) +.-.+.- 
d) +.+.-.+.-.- 
 
13. Efetue as divisões: 
 a) (+ 15 ) : (+ 3 ) 
b) (+ 20 ) : (– 4 ) 
c) (– 35 ) : (+ 7 ) 
d) (– 40 ) : (– 5) 
e) (+51 ) : (– 3 ) 
f) (–77 ) : (+ 11 ) 
g) 500 : (– 25 ) 
h) (–750 ) : 10 
 
14. Calcule o valor das expressões numéricas a seguir: 
a) 12- (- 3) . (- 5) 
b) 20 + 3 . (- 4) – 2 . (- 5) 
c) 5 . (- 3) – (- 3) . (+ 6) 
d) 10 – (- 8) : (+ 4) 
 
 
4.7 Potenciação e radiciação de números inteiros com expoentes naturais 
Se o expoente for par, o resultado da potência será positivo. 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 16 
Exemplos: (−2)� = + 4 e (+2)� = + 4 
 
Se o expoente for ímpar, o resultado da potência será o mesmo que o da base. 
Exemplos: (−2)� = - 8 e (+2)� = + 8 
Como visto, com exceção do zero, todo número inteiro elevado a um expoente 
par, o resultado é positivo. Desta forma, raiz quadrada de número negativo, não 
possui solução no conjunto dos números inteiros. Observe alguns exemplos: 
√4 = 2 
- (−√9 )= - (- 3) = + 3 
−	√36 = - 6 
√−64 = ∉ ℤ 
√121 = 11 
√16 ∶ (−√4	 ) = 4 : (- 2) = - 2 
 
EXERCÍCIOS 
1. Qual o valor das expressões numéricas a seguir: 
a) (−5 + 2)�: (- 9) – [2 . (- 4 – 2) – (−1)� . (- 5 + 8)] 
b) (- 7 – 4) . (- 9 + 2) – (- 72 + 2) : (- 5 – 5) + (- 9 – 4 + 6) 
c) (−6)� ∶ (−12) − (−3)� + (−2)$ ∶ (−4)� − 5< 
 
 
2. Duas equipes, A e B, disputam 100 partidas de um certo jogo. Cada vez que a 
equipe A vence uma partida, recebe 20 fichas de B, e cada vez que B vence, recebe 30 
fichas de A. Se a equipe A vencer 51 partidas, quantas fichas ela terá, em relação a B, 
a mais ou a menos 
 
 
3. Determine o valor numérico da expressão J� − (K − L)� quando a = - 3, b = + 1 e c 
= + 5. 
 
 
MÓDULO V 
NÚMEROS RACIONAIS 
Todo número que pode ser escrito na forma de uma fração é chamado de 
racional. São eles; os naturais, os inteiros, os fracionários, os decimais exatos e 
decimais infinitos, ou seja, as dízimas periódicas. 
Observação: os decimais que não são dizimas periódicas são chamados de números 
irracionais. 
ℚ ={x / x = 7
N
, com a∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠ 0} 
As propriedades que estudamos anteriormente estão valendo também para o 
conjunto dos números racionais. Vamos a alguns exemplos particulares de operações 
com os racionais: 
 
 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 17 
5.1 Adição e subtração de números racionais 
 
�
�
+ )
�
− )
�
= ;��"�
�
= )<
�
= $
�
 
Lembre-se que na adição e subtração de númerosdecimais, o valor posicional 
é muito importante, unidades com unidades, décimos com décimos e assim 
sucessivamente. 
Exemplos: 10,532 + 3,02 = 13,552 
 98,02 – 35,987 = 62,033 
 
 
5.2 Multiplicação e divisão de números decimais 
)
�
. �
�
= �
;
 
�
$
: �
�
= �
$
. �
�
= )�
)<
= �
$
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Dê a resposta certa: 
a) O dobro de − $
))
 
 
b) O quádruplo de + �
 
 
 
c) O quíntuplo de − 
)�
 
 
d) O triplo de 45,009 
 
 
2. Sendo x = 
�
$
 e y = − �
$
, qual o valor de : 
a) 2x + 3y 
 
b) 8x – 4y 
 
c) 
?
�
− P
�
 
 
d) 11x – 5y 
 
 
3. Calcule: 
a) 35 – 11,65 
b) 34,50 – 7,05 
c) 0,7 + 3,45 + 10,098 
d) 345 . 4,5 
e) 45,6 . 1,2 
f) 3,87 . 7,8 
g) (+ 2) : (-0,5) 
h) (+6) : (- 2,5) 
i) 1,44 : 0,24 
j) 30,4 : 4 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 18 
k) 
�
$
 + 1,2 
l) − �
�
 + 0,9 
 m) 
)�
)$
+ 
�
 
 
 
4. Represente os números a seguir numa reta numérica, - 4, 1, 0 5, 3, 0,4, 
�
�
, $
�
, 1,9, -2. 
 
5. Dados a = -1,75, b = + 3,6 e c = - 4,21, determine o valor da expressão a – b + c. 
 
 
 
MÓDULO VI 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES: 1º e 2º graus 
Estudar as equações é importante para que sejam facilitadas as resoluções de 
problemas diários. Com o conhecimento dos conceitos sobre igualdades, podemos 
desenvolver nosso raciocínio lógico, solucionar problemas contendo valores 
desconhecidos, operar com os diversos grupos numéricos, passear pelos vários 
campos da matemática: funções, geometria plana e espacial, logaritmos e todos os 
ramos da matemática possíveis através do conhecimento das equações 
 
6.1 Equações do 1º grau com uma incógnita 
Um urubu disse a um bando de pombas: 
- bom dia minhas cem pombas. 
Uma pomba respondeu: 
- Cem pombas não somos nós, para sermos cem, seriam necessário nós, mais o dobro 
de nós e mais você urubu. 
Quantas pombas tinham no bando? 
 
Podemos representar a resposta à questão da história da seguinte forma: 
- + 2- + 1 = 100 
 3- = 100 – 1 
 3- = 99 
 - = ;;
�
 
 - = 33 
Resposta: 33 pombas. 
 
Exemplo: A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número. 
 - + -� =90 
-� + x - 90 =0 
 
Recordando a equação geral a-�+bx + c = 0 temos: 
A=1, b=1 e c = - 90 
Vamos agora substituir na fórmula para resolver a equação do 2º grau: 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 19 
- = "N±√N
R"�7S
�7
 
 
-=")±T)
R"�.).(";<)
�.)
 
 
-= ")±√)���<
�
 
-= ")±√��)
�
 
 
-= ")±);
�
 
 
-’=")�);
�
	= )#
�
 = 9 
 
Observe: -”=")");
�
 = 
	"�<
�
	= -10 
 
Essa resposta não serve, pois, se você substituir na equação inicial a sentença será falsa. 
Portanto, esse número é 9. 
 
EXERCÍCIOS 
1. O dobro de um número, aumentado de 15, é igual a 49. Qual é esse número? 
 
2. A soma de um número com o seu triplo é igual a 48. Qual é esse número? 
 
3. A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, 
sabendo que juntos têm 60 anos? 
 
4. Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual é a idade de 
Sônia? 
 
5. O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. 
Qual é esse número? 
 
6. O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos quatro. Qual é 
esse número? 
7. O quádruplo de um número, diminuído de 10, é igual ao dobro desse número, 
aumentado de 2. Qual é esse número? 
 
8. O triplo de um número, menos 25, é igual ao próprio número, mais 55. Qual é esse 
número? 
 
9. Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é 
igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento? 
 
10. A diferença entre os dois terços de um número e sua metade é igual a seis. Qual é 
esse número? 
 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 20 
11. Os três quintos de um número aumentados de doze são iguais aos cinco sétimos 
desse número. Qual é esse número? 
 
12. Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a metade é gasta 
com alimentação, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual é o meu 
salário? 
 
13. Lúcio comprou uma camisa que foi paga em 3 prestações. Na 1ª prestação, ele 
pagou a metade do valor da camisa, na 2ª prestação, a terça parte e na última, R$ 
2,00. Quanto ele pagou pela camisa? 
 
14. Achar um número, sabendo-se que a soma de seus quocientes por 2, por 3 e por 
5 é 124. 
 
15. Um número tem 6 unidades a mais que outro. A soma deles é 76. Quais são esses 
números? 
 
16. Um número tem 4 unidades a mais que o outro. A soma deles é 150. Quais são 
esses números? 
 
17. Fábia tem cinco anos a mais que Marcela. A soma da idade de ambas é igual a 39 
anos. Qual é a idade de cada uma? 
 
18. Marcos e Plínio tem juntos R$ 350,00. Marcos tem a mais que Plínio R$ 60,00. 
Quanto tem cada um? 
 
19. Tenho nove anos a mais que meu irmão, e juntos temos 79 anos. Quantos anos 
eu tenho? 
 
20. O perímetro de um retângulo mede 74 cm. Quais são suas medidas, sabendo-se 
que o comprimento tem cinco centímetros a mais que a largura? 
 
21. Eu tenho R$ 20,00 a mais que Paulo e Mário R$ 14,00 a menos que Paulo. Nós 
temos juntos R$ 156,00. Quantos reais tem cada um? 
 
22. A soma de dois números consecutivos é 51. Quais são esses números? 
 
23. A soma de dois números consecutivos é igual a 145. Quais são esses números? 
 
24. A soma de um número com seu sucessor é 71. Qual é esse número? 
 
25. A soma de três números consecutivos é igual a 54. Quais são esses números? 
 
26. A soma de dois números inteiros e consecutivos é – 31. Quais são esses números? 
 
27. A soma de dois números impares consecutivos é 264. Quais são esses números? 
 
28. A soma de dois números é 32 e a diferença é 8. Quais são esses números? 
 
29. A soma de dois números é igual a 27 e a diferença é 7. Quais são esses números? 
 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 21 
30. A soma de dois números é igual a 37 e a diferença é 13. Quais são esses números? 
 
31. Um senhor tem coelhos e galinhas num total de 20 cabeças e 58 pés. Determine o 
número de coelhos e galinhas. 
 
32. Eu tenho 30 cédulas, algumas de R$ 5,00 e outras de R$ 10,00. O valor total das 
cédulas é de R$ 250,00. Quantas cédulas de R$ 5,00 e quantas cédulas de R$ 10,00 eu 
tenho? 
 
33. Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o 
número de bicicletas e de carros. 
34. Carlos tem 17 anos e Mário tem 15 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas 
idades será 72 anos? 
 
35. Um homem tem 25 anos de idade e seu filho 7 anos. Daqui a quantos anos a 
idade do pai será o triplo da idade do filho? 
 
36. Resolva as equações: 
a) 4- − 1 = 3(- − 1) 
b) 3(- − 2) = 2- − 4 
c) 2(- − 1) = 3- + 4 
d) 3(- − 1) − 7 = 15 
e) 7(- − 4) = 2- − 3 
f) 3(- − 2) = 4(3 − -) 
g) 3(3- − 1) = 2(3- + 2) 
h) 7(- − 2) = 5(- + 3) 
i) 3(2- − 1) = −2(- + 3) 
j) 5- − 3(- + 2) = 15 
k) 0
�
= 7 
 
l) 0
�
= −3 
 
m) �0
$
= 4 
 
n) �0
�
= −10 
 
o) �0
�
= 30 
 
p) �0
$
= −18 
 
6.2 Inequações do 1º grau com uma incógnita 
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que 
pode ser escrita numa das seguintes formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 22 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
Exemplos: 
-2x + 7 > 0x – 10 ≤ 0 
2x + 5 ≤ 0 
12 – x < 0 
 
Resolvendo uma inequação de 1° grau 
Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a 
incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos: 
Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0. 
Solução: 
-2x > -7 
 
Multiplicando por (-1) 
2x < 7 
x < 7/2 
Portanto a solução da inequação é x < 7/2. 
Exemplo 2: Resolva a inequação 2x – 6 < 0. 
Solução: 
2x < 6 
x < 6/2 
x < 3 
 
Portanto a solução da inequação e x < 3 
 
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal 
de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento: 
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero; 
2. Localiza-se a raiz no eixo x; 
3. Estuda-se o sinal conforme o caso. 
 
Exemplo 1: 
-2x + 7 > 0 
-2x + 7 = 0 
x = 7/2 
 
 
Exemplo 2: 
Qual é o conjunto solução da equação 5x – 3 . (x + 6) > x – 14, sendo U = ℚ. 
5-	– 3-	– 18 > - – 14 
2- – -	> - 14 + 18 
- > 4 
 
S = { - ∈ ℚ / - > 4} 
 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 23 
EXERCÍCIOS 
1. Determine, para cada uma das seguintes inequações, quais números racionais 
representam uma solução: 
a) - + 15 > 21 
 
b) -	– 18 < -23 
 
c) 17 – - < 30 
 
d) 8- + 19 ≤ 10-	+ 11 
 
e) 3 . (- – 1) – 2- ≥ 13 
f) 
0
�
− $
�
 + x < -1 
 
g) 
0")
�
 > 1 + 
0
�
 
h) 
0�)
�
 ≤ 0"�
#
 
 
 
6.3 Equações do 2º grau com uma incógnita 
Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa 
ser reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números 
reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da 
incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do 
segundo grau. 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número. 
 
2. A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse 
número. 
 
3. O quadrado menos o dobro de um número é igual – 1. Calcule esse número. 
 
4. A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse 
número. 
 
5. O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. 
Calcule esse número. 
 
6. A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a sete vezes esse 
número. Que número é esse? 
 
7. O quadrado menos o quádruplo de um número é igual a cinco. Que número é 
esse? 
 
8. O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é 
esse número? 
 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 24 
9. O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse número por 7, 
menos 3. Qual é esse número? 
 
10. O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é 
esse número? 
 
 
 
 
MÓDULO VII 
FUNÇÃO DO 1º e 2º GRAU 
 
7.1 Função do 1º grau: exercitando 
Uma equação do 1º grau é definida por y = a- + b com 
 
1. Represente graficamente a função definida por: 
a) f(x) = 2x-1 
b) f(x) = -1/2x+3 
c) f(x) = 4x 
d) f(x) = 1/3x+2 
e) f(x) = -3x+6 
 
2. Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações: 
a) f(x) = 2x+5 
b) f(x) = -x+2 
c) f(x) = 1/3x+3 
d) f(x) = 1-5x 
e) f(x) = 4x 
Para Saber: O gráfico é uma maneira de representar, visualmente, certas situações que 
envolvem dados numéricos relacionando grandezas. Existem diferentes tipos de gráfico. No 
gráfico de barras, ou gráfico de colunas, os valores são representados por retângulos (as 
barras) verticais ou horizontais. No gráfico de segmentos, certos valores são representados 
por pontos (a uma altura adequada de uma reta horizontal), os quais são ligados por 
segmentos de reta. Na maior parte das vezes, esse tipo de gráfico é utilizado para expressar 
a variação de uma grandeza em função do tempo. No gráfico de setores, certos valores, em 
geral porcentagens, são representados por partes de um círculo. Esse tipo de gráfico é 
usado, geralmente, para mostrar a relação entre as partes e o total. Também existe o gráfico 
cartesiano, que utiliza o sistema cartesiano de localização de pontos, sendo utilizado para 
retratar funções. 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 25 
Exercício resolvido 
 
Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo: 
 
Pelo gráfico, concluímos: 
• Quando x=0, y=2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2 
• Quando y=0, x=-4 (raiz ou zero da função) 
• Substituindo os valores em y = ax + b: 
0 = -4a + 2 
 a = 1/2 
 
 
 
• Logo, a expressão é y = 1/2U+2 
3. As figuras abaixo representam os gráficos de funções, de R em R, determine as 
expressões que as definem: 
a) 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 26 
b) 
 
 
7.2 Funções do 2º grau: exercitando 
Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois 
ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo 
que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição 
para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser 
igual a zero. 
 
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: 
f: R→ R definida por f(x) = ax
2
 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R. 
 
Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, 
quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta. 
 
Alguns exemplos de Função do 2º grau: 
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa) 
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta) 
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta) 
 
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio. 
 
EXERCÍCIOS 
1. As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, 
ache as coordenadas do vértice que a representa: 
a) f(x)= x² - 4x + 5 
b) f(x)= x² +4x - 6 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 27 
c) f(x)= 2x² +5x - 4 
d) f(x)= -x² + 6x - 2 
e) f(x)= -x² - 4x +1 
 
2. Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes: 
a) f(x)= 3x² - 7x + 2 
b) f(x)= -x² + 3x - 4 
c) f(x)= -x² + 3/2x + 1 
d) f(x)= x² -4 
e) f(x)= 3x² 
 
MÓDULO VIII 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
De um modo geral, chamamos de progressão aritmética (P.A) toda sequência 
de números reais, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior 
somado a uma constante, denominada razão r. 
 
8.1 Classificação de uma P.A: 
• Crescente (r > 0) 
• Constante (r = 0) 
• Decrescente (r < 0) 
 
 
 
8.2 Termo geral de uma P.A: 
 
 
 
 
 
 
8.3 Soma dos n termos de uma P.A: 
 
 
 
 
 
, em que: 
• → termo geral 
• → primeiro termo 
• n → número de termos 
• r → razão 
, em que: 
• → primeiro termo 
• → enésimo termo 
• n → número de termos 
• → soma dos n termos 
A representação é: (J), J�, J�, … , J2). Em que: 
• J) → primeiro termo 
• n → número de termos 
• r → razão 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 28 
EXERCÍCIOS 
 
1. (FATES) Considere as seguintes sequências de números: 
 I. 3, 7, 11, ... 
 II. 2, 6, 18, ... 
 III. 2, 5, 10, 17, ... 
 
O número que continua cada uma das sequências na ordem dada deve ser 
respectivamente: 
a) 15, 36 e 24 
b) 15, 54 e 24 
c) 15, 54 e 26 
d) 17, 54 e 26 
e) 17, 72 e 26 
 
2. Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números em P. A. nesta 
ordem. 
 
 
MÓDULO IX 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Progressão geométrica (P.G.)é toda sequência de números não-nulos em que 
cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu termo precedente por 
uma constante, denominada razão q da progressão geométrica. 
 
 
 
 
 
 
9.1 Termo geral de uma P.G: 
 
 
 
 
 
 
A representação é: ( . 
Em que: 
• → primeiro termo 
• n → número de termos 
• q → razão 
, em que: 
• → termo geral 
• → primeiro termo 
• n → número de termos 
• q → razão 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 29 
9.2 Soma dos n termos de uma P.G: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Represente os termos a7, a2, a3 e a4, de uma P.G., em função dos a9, a5, a1 e a3 
respectivamente. 
Para que você consiga resolver com mais habilidade os próximos exercícios, é 
fundamental que você consiga entender perfeitamente o conceito aplicado na 
resolução deste exercício, portanto preste bastante atenção e o estude quantas vezes 
forem necessárias, até que o tenha compreendido por completo. 
A partir da fórmula do termo geral da P.G. em função de qualquer termo, 
exibida abaixo, podemos representar um termo específico em função de qualquer 
outro termo. 
 
Para representarmos a7 em função de a9 temos: 
 
Entretanto vimos que na prática esta fórmula nada mais faz que determinar o 
número de termos de um ao outro e aplicar este número como o coeficiente de q, 
que irá multiplicar o termo original. Se o termo final estiver à direita (depois) do 
termo original o coeficiente será positivo, se estiver à esquerda (antes) será negativo. 
a9 está dois termos à direita a7, logo precisamos dividi-lo duas vezes pela razão: a7 = 
a9 . q
-2. 
a5 vem três termos depois de a2, portanto precisamos dividi-lo três vezes pela razão: 
a2 = a5 . q
-3. 
a1 vem dois termos antes de a3, logo precisamos multiplicá-lo duas vezes pela razão: 
a3 = a1 . q
2. 
a3 está um termo à esquerda a4, portanto precisamos multiplicá-lo uma vez pela 
razão: a4 = a3 . q. 
Então: a7 = a9 . q
-2, a2 = a5 . q
-3, a3 = a1 . q
2 e a4 = a3 . q 
 
, em que: 
• → primeiro termo 
• q → razão da P.G. 
• n → número de termos 
• → soma dos n termos 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 30 
EXERCÍCIOS 
1. (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e 
a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão, a razão é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
2. A soma dos termos de uma PG é expressa por V2 =	−3 +	32�). A razão da 
progressão é 
a) 2 
b) 3 
c) 6 
d) √2 
e) √6 
 
MÓDULO X 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como 
um ponto de partida e temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como 
chegar a esse objetivo temos um problema. Se soubéssemos não haveria problema. 
É necessário, portanto, que comece por explorar as possibilidades, por 
experimentar hipóteses, voltar atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar 
idéias que se conformem à natureza do problema, rejeitar aqueles que não se 
ajustam a estrutura total da questão e organizar-se. Mesmo assim, é impossível ter 
certeza de que escolheu o melhor caminho. O pensamento tende a ir e vir quando se 
trata de resolver problemas difíceis. 
Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que 
aceitamos como certa concluímos que estivemos raciocinando. Se a conclusão 
decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico. 
Em lógica, podem-se distinguir três tipos de raciocínio lógico: dedução, 
indução e abdução. Dada uma premissa, uma conclusão, e uma regra segundo a qual 
a premissa implica a conclusão, eles podem ser explicados da seguinte forma: 
• Dedução corresponde a determinar a conclusão. Utiliza-se da regra e sua 
premissa para chegar a uma conclusão. Exemplo: "Quando chove, a grama fica 
molhada. Choveu hoje. Portanto, a grama está molhada." É comum associar os 
matemáticos com este tipo de raciocínio. 
• Indução é determinar a regra. É aprender a regra a partir de diversos 
exemplos de como a conclusão segue da premissa. Exemplo: "A grama ficou 
molhada todas as vezes em que choveu. Então, se chover amanhã, a grama 
ficará molhada." É comum associar os cientistas com este estilo de raciocínio. 
• Abdução significa determinar a premissa. Usa-se a conclusão e a regra para 
defender que a premissa poderia explicar a conclusão. Exemplo: "Quando 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 31 
chove, a grama fica molhada. A grama está molhada, então pode ter chovido." 
Associa-se este tipo de raciocínio aos diagnosticistas e detetives. 
 
No Raciocínio Lógico utiliza-se o Método dedutivo – uma modalidade que faz 
uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinada(s) premissa(s). 
 Os raciocínios dedutivos se caracterizam por apresentar conclusões que 
devem, necessariamente, ser verdadeiras caso todas as premissas sejam verdadeiras. 
 Possui base racionalista e pressupõe que apenas a razão pode conduzir ao 
conhecimento verdadeiro. 
 Partindo de princípios reconhecidos como verdadeiros e inquestionáveis 
(premissa maior), o pesquisador estabelece relações com uma proposição particular 
(premissa menor) para, a partir de raciocínio lógico, chegar à verdade daquilo que 
propõe (conclusão). 
 
EXERCÍCIOS 
1. (ENEM) Vinte anos depois da formatura, cinco colegas de uma turma decidem 
organizar uma confraternização. Para marcar o dia e o local da confraternização, 
precisam se comunicar por telefone. Cada um conhece o telefone de alguns colegas e 
desconhece o de outros. No quadro abaixo 
- o número “1” indica que o colega da linha correspondente conhece o telefone da 
coluna correspondente; 
- o número “0” indica que o colega da linha não conhece o telefone do colega da 
coluna. 
 
Exemplo: Beto sabe o telefone do Dino que não conhece o telefone do Aldo. 
 
 Aldo Beto Carlos Dino Ênio 
Aldo 1 1 0 1 0 
Beto 0 1 0 1 0 
Carlos 1 0 1 1 0 
Dino 0 0 0 1 1 
Ênio 1 1 1 1 1 
Qual será o número mínimo de telefonemas que Aldo deverá fazer para se 
comunicar com Carlos? 
 
 
2. (UNESP) Na sequência abaixo descubra qual a próxima linha? 
1 
1 1 
2 1 
1 2 1 1 
3 1 1 2 
1 3 2 1 1 2 
. . . . . . . . . 
 
 
SESI – Educação Continuada a Distância Reforço Escolar em Matemática Apostila 32 
3. (UNESP) Escrever o número 6 usando, no máximo, três operações distintas, em 
cada situação abaixo: 
2_2_2=6 
3_3_3=6 
5_5_5=6 
6_6_6=6 
7_7_7=6 
 
4. (COEDI) Em uma escola verificou-se que 280 alunos praticam voleibol, 400 futebol 
e 80 praticam ambos os esportes. Quantos alunos têm essa escola, se todos os alunos 
foram pesquisados e 30 disseram não praticar nenhum dos esportes? 
a) 870 
b) 790 
c) 710 
d) 630 
 
5. (COEDI) Em uma competição ciclística em um autódromo, dois competidores 
partem juntos do ponto inicial do circuito. O primeiro percorre o circuito em 200 
segundos e o outro em 240 segundos. Após quantos minutos os dois competidores 
passarão juntos novamente pelo ponto inicial? 
a) 15 
b) 20 
c) 35 
d) 40