DERIVADAS PARCIAIS

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DERIVADAS TOTAIS E PARCIAIS 
 
 Def. 1: Seja w = f(P) = f(x1,x2, ... ,xn) uma função de n variáveis. Chama-se acréscimo total 
de w = f(P) no ponto P0 ao número real: 
 ∆ ∆ ∆ ∆w f P f P f x x x x x x f x x xn n n= − = + + + −( ) ( ) ( , , , ) ( , , , )0 1 1 2 2 1 2K K . 
 
 Vamos considerar os seguintes casos: 
 
 10 CASO: Para as funções de uma única variável x, isto é, y = f x( ) , temos que P = x, 
P0 = x0 e ∆y = f x( )− f(x0) = f x x f x( ) ( )0 0+ −∆ . 
 Geometricamente: 
 y 
 
 
 f(x0+∆x) 
 
 f(x0) 
 
 x0 x0+∆x x 
 
∆
∆
∆
∆
y
x
f x x f x
x
= + −( ) ( )0 0 = taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x0, x0 + ∆x] 
e 
dy
dx
y
x
f x x f x
x
f x
x x
= = + − = ′→ →lim lim
( ) ( )
( )∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
0 0
0 = taxa de variação (instantânea) de y em relação 
a x, a partir de x0, por unidade de variação de x. 
 ′ =f x dydx( )0 é a derivada total de y = f x( ) no ponto x0. 
 Exemplo: Consideremos a função y x= , x0 = 9. Então, f x( )0 3= e ′ = =f x x( )0 0
1
2
1
6
. 
Isto significa que se: (a) x x0 + ∆ = 10, então f x x( )0 + ∆ = 3 + 1/6; 
 (b) x x0 + ∆ = 11, então f x x( )0 + ∆ = 3 + 2(1/6); 
 (c) x x0 + ∆ = 8, então f x x( )0 + ∆ = 3 − 1/6. 
 
 20 CASO: Para as funções de duas variáveis x e y, isto é, z = f x y( , ) , temos P = (x,y), 
P0 = (x0, y0) e ∆ ∆ ∆z f P f P f x x y y f x y= − = + + −( ) ( ) ( , ) ( , )0 0 0 0 0 . 
 Geometricamente: 
 z 
 f(x0+∆x,y0+∆y) 
 ∆z 
 f(x0,y0) 
 
 
 
 y0 y0+∆y 
 x0 P0 y 
 x0+∆x P=(x0+∆x,y0+∆) 
 x 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso, ∆z depende das variações de ∆x e de ∆y. Vamos considerar, então, que ∆z de-
pende da distância do ponto P0 ao ponto P, d(P0,P), que representa o módulo do vetor P P0
 →
 = 
P P− 0 . Portanto, por analogia, temos que: 
 
∆z
d P P( )0
 = taxa de variação média de z em relação às variações de x e y ou que, é a taxa de 
variação média de z em relação à variação da distância entre P0 e P e, que, 
 
 
dz
d P P
z
d P P
f P f P
P PP P P P( )
lim
( )
lim
( ) ( )
0 0
0
00 0
= = −−→ →
∆
= lim
( , ) ( , )
( , ) ( , )∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆x y
f x x y y f x y
x y→
+ + −
+0 0
0 0 0 0
2 2
 
 
é a taxa de variação (instantânea) de z em relação a x e a y, a partir do ponto P0, por unidade de 
distância de P0 a P. É, por analogia, chamada de derivada total de z = f(P) no ponto P0 e, em rela-
ção a x e a y. 
 
 Exemplo: Calcular a derivada total de z = f x y( , ) = 3x2y, no ponto P0 = (1,2). 
 
dz
d P P
f x y f
x y
x y
x yx
y
x
y
( )
lim
( , ) ( , )
lim
( ) ( ) ( )
0
0
0
2 2 0
0
2 2
2 2
1 2 1 2 3 1 2 3 1 2= + + −+ =
+ + −
+→→ →→∆∆ ∆∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ou, 
dz
d P P( )0
 = lim∆
∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆x
y
x y x x y
x y→→
+ + + + + −
+0
0
2 2
2 2
6 12 3 6 3 6
 = lim∆
∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆x
y
x y x x y
x y→→
+ + +
+0
0
2 2
2 2
12 3 6 3
 
 Como o limite apresenta a indeterminação 
0
0
 e não apresenta simplificação, vamos usar os 
caminhos: 
( )
C
x
y
x x
x
x x
xx
y
x1 0
0
2
2 0
0
0
12 6 12 6
12
∆
∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
∆∆
∆
∆
→
=
 ⇒
+ = + =→
=
→ 
lim lim e 
 C
x
y
y
yx
y
2 0
0
0
0
3
3
∆
∆
∆
∆∆
∆
=
→
 ⇒ ==
→
lim 
 Como os resultados são diferentes, não existe o limite. Isto é, esta função não tem derivada 
total no ponto (1,2). 
 
Obs.: Em geral, z = f x y( , ) não tem derivada total. Mas, em particular, vamos considerar os resul-
tados dos limites por caminhos, isto é, as derivadas por caminhos ou, as derivadas parciais, defini-
das por: 
 
 Def. 2: Chama-se derivada parcial de z = f x y( , ) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a x, ao 
número real f x yx ( , )0 0 , definido por 
 f x y
f x x y f x y
x
z
x
x yx x( , ) lim
( , ) ( )
( , ),0 0 0
0 0 0 0
0 0=
+ − =→∆
∆
∆
∂
∂ 
 
desde que o limite exista. 
 
Obs.: Usamos a letra d para indicar a derivada total. Para não confundir, usamos a letra d do alfabe-
to Ronde, ∂ , para indicar a derivada parcial. 
 Analogamente, podemos ter a derivada parcial em relação a y, isto é: 
 
 Def. 3: Chama-se derivada parcial de z = f x y( , ) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a y, ao 
número real f x yy ( , )0 0 , definido por 
 f x y
f x y y f x y
y
z
y
x yy y( , ) lim
( , ) ( , )
( , )0 0 0
0 0 0 0
0 0= + − =→∆
∆
∆
∂
∂ 
desde que o limite exista. 
 
 
 Exemplos: 
 1) Determine as derivadas parciais de z = f x y( , ) = 3x2y no ponto (1,2) e, em relação a x e, 
em relação a y. 
 Solução: 
 (a) Em relação a x: 
f
f x f
x
x
xx x x
( , ) lim
( , ) ( , )
lim
( ) ( )
1 2
1 2 1 2 3 1 2 3 1 2
0 0
2 2
= + − = + −→ →∆ ∆
∆
∆
∆
∆ = f
x x
xx x
( , ) lim1 2
6 12 6 6
0
2
= + + −→∆
∆ ∆
∆ 
f
x x
xx x
( , ) lim
( )
1 2
12 6
12
0
= + =→∆
∆ ∆
∆ . 
 
 (b) Em relação a y: 
f
f y f
y
y
yy y y
( , ) lim
( , ) ( , )
lim
( ) ( ) ( )
1 2
1 2 1 2 3 1 2 3 1 2
0 0
2 2
= + − = + −→ →∆ ∆
∆
∆
∆
∆ = lim lim∆ ∆
∆
∆
∆
∆y y
y
y
y
y→ →
+ − = =
0 0
6 3 6 3
3. 
 
 
 
 2) Idem (1) para P0 = (x0,y0) genérico. 
 Solução: 
 (a) Em relação a x: 
f x y
f x x y f x y
xx x
( , ) lim
( , ) ( , )
0 0 0
0 0 0 0= + −→∆
∆
∆ = lim
( )
∆
∆
∆x
x x y x y
x→
+ −
0
0
2
0 0
2
03 3 ∴ 
f x yx ( , )0 0 = lim∆
∆ ∆
∆x
x y x y x y x x y
x→
+ + −
0
0
2
0 0 0 0
3
0
2
03 6 3 3 = lim
( )
∆
∆ ∆
∆x
x y y x x
x→
+
0
0 0 06 3 ∴ 
f x y x yx ( , )0 0 0 06= . 
 
 (b) Em relação a y: 
f x y
f x y y f x y
yy y
( , ) lim
( , ) ( , )
0 0 0
0 0 0 0= ∆
∆
∆→
+ −
 = lim
( )
∆
∆
∆y
x y y x y
y→
+ −
0
0
2
0 0
2
03 3 = lim∆
∆
∆y
x y
y→0
0
23
 ∴ 
f x y xy ( , )0 0 0
23= . 
 
 
 Se a função z = f x y( , ) admite derivadas parciais em relação a x e a y em todos os pontos 
P0 de uma região D do plano IR2, dizemos que z = f x y( , ) é derivável parcialmente em relação a x 
e a y em D. Neste caso, podemos definir as funções derivadas parciais em D. Isto é: 
 
 (i) 
∂
∂
z
x
f x y
f x x y f x y
xx x
= = + −→( , ) lim
( , ) ( , )
∆
∆
∆0 é a função derivada parcial de f x y( , ) em D; 
 (ii) 
∂
∂
z
y
f x y
f x y y f x y
yy y
= = + −→( , ) lim
( , ) ( , )
∆
∆
∆0 é a função derivada parcial de f x y( , ) em D. 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 Vimos (ex. 2, anterior) que a função f x y( , ) = 3x2y tem derivada parcial em relação a x e 
em relação a y, em todos os pontos (x0,y0) do IR2. Logo, é derivável parcialmente em IR2 e, suas 
funções derivadas parciais ou apenas derivadas parciais são: 
 
∂
∂
z
x
f x y xyx= =( , ) 6 e ∂∂
z
y
f x y xy= =( , ) 3 2 . 
 
 
 CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS DE z = f(x,y) 
 Para calcularmos as derivadas parciais de z = f x y( , ) não precisamos calcular os limites que 
as definem. Podemos usar as fórmulas de derivação usadas para o calculo das derivadas de 
y = f x( ) . 
 
 (a) Derivada parcial em relação a x: 
 Para calcularmos as derivadas parciais em relação a x, vamos usar a função auxiliar 
ϕ (x) = f x y( , )0 em que consideramos y = y0 constante. Então: 
 
∂
∂
z
x
= ∂∂
ϕ ϕ ϕz
x
f x y
f xx y f x y
x
x x x
x
x
y y
x x x



 = =
+ − = + − = ′
= → →0
0 0
0 0
0
( , ) lim
( , ) ( , )
lim
( ) ( )
( )∆ ∆
∆
∆
∆
∆ . 
 
 Exemplos: 
 1) Calcular a derivada parcial em relação a x de z = f x y( , ) = 3x2y. 
 Sol.: Considerando y = y0 = b (constante), temos a função auxiliar ϕ (x) = f x b( , ) = 3x2b. 
Derivando ϕ em relação a x, obtemos ϕ‘(x) = 6xb. Como ∂∂
z
x
xb
y b



 = = 6 = ϕ‘(x), voltamos com o 
valor b = y obtendo 
∂
∂
z
x
xy= 6 que é a derivada de f x y( , ) em relação a x. 
 
 2) Calcular a derivada parcial de z = f x y( , ) = x2 + y2 + 3xy2 + 5x − y + 10 em relação a x. 
 Sol.: Para y = y0 = b (constante), a função auxiliar é ϕ (x) = x2 + b2 + 3xb2 + 5x − b + 10. 
Derivando em relação a x obtemos ϕ‘(x) = 2x + 3b2 + 5. Voltando com b = y, temos que, 
∂
∂
z
x
f x y x yx= =( , ) 2 3 5
2+ + . 
 
 
 (b) Derivada parcial em relação a y: 
 De modo análogo, vamos usar a função auxiliar ψ(y) = f x y( , )0 em que considera-
mos x = x0 constante. Então: 
 
∂
∂
z
y
= ∂∂
ψ ψ ψz
y
f x y
f x y y f x y
y
y y y
y
y
x x
y y y



 = =
+ − = + − = ′
= → →0
0 0
0 0
0
( , ) lim
( , ) ( , )
lim
( ) ( )
( )∆ ∆
∆
∆
∆
∆ . 
 
 
 Exemplos: 
 1) Calcular a derivada parcial em relação a y de z = f x y( , ) = 3x2y. 
 Sol.: Considerando x = x0 = a (constante), temos a função auxiliar ψ (y) = f a y( , ) = 3a2y. 
Derivando ψ em relação a y, obtemos ψ ‘(y) = 3a2. Como ∂∂
z
y
a
x a



 =
= 3 2 = ψ ‘(y), voltamos com o 
valor a = x obtendo 
∂
∂
z
y
x= 3 2 que é a derivada de f x y( , ) em relação a y. 
 
 2) Calcular a derivada parcial de z = f x y( , ) = x2 + y2 + 3xy2 + 5x − y + 10 em relação a x. 
 Sol.: Para x = x0 = a (constante), a função auxiliar é ψ (y) = a2 + y2 + 3ay2 + 5a − y + 10. 
 Derivando em relação a y obtemos ψ ‘(y) = 2y + 6ay −1. Voltando com a = x, temos que, 
∂
∂
z
y
f x y y xyy= =( , ) 2 6 1+ − . 
 
 
 30 CASO: Para as funções do tipo w = f x y z( , , ) , de três variáveis, temos que P = (x,y,z), 
P0 = (x0,y0,z0) e ∆w = f(P) − f(P0) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z) − f(x0,y0,z0). 
 Neste caso, não temos representação geométrica e, por analogia, concluímos que não existe a 
derivada total de w = f x y z( , , ) em relação conjunta às três variáveis x, y e z. Mas, existem as deri-
vadas parciais, isto é: 
 
 Def. 4: Dada a função w = f x y z( , , ) das três variáveis x, y, z e, o ponto P0 = (x0,y0,z0), en-
tão, temos que a derivada parcial de w = f(x,y,z), no ponto P0 e, 
 (i) em relação a x, é dada por 
 
∂
∂
w
x
f x y z
f x x y z f x y z
xx x
= = + −→( , , ) lim
( , , ) ( , , )
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∆
∆
∆ ; 
 (ii) em relação a y, é dada por 
 
∂
∂
w
y
f x y z
f x y y z f x y z
yy y
= = + −→( , , ) lim
( , , ) ( , , )
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∆
∆
∆ ; 
 (iii) em relação a z, é dada por 
 
∂
∂
w
z
f x y z
f x y z z f x y z
zz z
= = + −→( , , ) lim
( , , ) ( , , )
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∆
∆
∆ , 
desde que os limites existam. 
 
 Se as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) existem em todos os pontos P = (x0,y0,z0) de uma 
região R do IR3, dizemos que w = f x y z( , , ) é derivável parcialmente em R e, podemos calcular 
suas funções derivadas parciais em relação a x, y e z. (Basta trocar na definição 4, x0 por x, y0 por 
y, z0 por z e, calcular os limites). 
 
 Exemplo: 
 Calcular as derivadas parciais em relação a x, y e z da função w = f x y z( , , ) = x3y2z − 5xy + 
3yz − 2xz + 10. 
 Sol.: (a) Em relação a x: 
∂
∂
w
x
f x x y z f x y z
xx
= lim
( , , ) ( , , )
∆
∆
∆→
+ −
0
 
∂
∂
w
x
= lim
( ) ( ) ( )
∆
∆ ∆ ∆
∆x
x x y z x x y yz x x z x y z xy yz xz
x→
+ − + + − + + − + − + −
0
3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10
 
∂
∂
w
x
x y z x x z x y z x y x z x
xx
= lim∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆→
+ + − −
0
2 2 2 2 2 33 3 5 2
 = 3x2y2z − 5y − 2z. 
 
 
 (b) Em relação a y: 
∂
∂
w
y
f x y y z f x y z
yy
= lim
( , , ) ( , , )
∆
∆
∆→
+ −
0
 
∂
∂
w
y
= lim
( ) ( ) ( )
∆
∆ ∆ ∆
∆y
x y y z x y y y y z xz x y z xy yz xz
y→
+ − + + + − + − + − + −
0
3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10
 
∂
∂
w
y
= lim∆
∆ ∆
∆y
x yz x y z y
y
x yz x z→
− + − +
0
3
32 5 3 2 5 3= . 
 
 (c) Em relação a z: 
∂
∂
w
z
f x y z z f x y z
zz
= lim
( , , ) ( , , )
∆
∆
∆→
+ −
0
 
∂
∂
w
z
 = lim
( ) ( ) ( )
∆
∆ ∆ ∆
∆z
x y z z xy y z z x z z x y z xy yz xz
z→
+ − + + − + + − + − + −
0
3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10
 
∂
∂
w
z
x y z y z x z
z
x y y x= =
3 2
3 23 2 3 2
∆ ∆ ∆
∆
+ − + − . 
 
 
 
 CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS DE w = f(x,y,z) 
 De modo análogo ao caso anterior, vamos calcular as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) em 
relação as variáveis x, y e z, usando funções auxiliares que são funções de uma única variável. Isto 
é, as duas outras variáveis são consideradas como constantes. 
 
 (a) Derivação parcial em relação a x: 
 Vamos considerar a função auxiliar ϕ(x) = f x y z( , , )0 0 em que y = y0 e z = z0 são constan-
tes. Então: 
 
∂
∂
∂
∂
ϕ ϕ ϕw
x
w
x
f x x y z f x y z
x
x x x
x
x
y y
z z
x x
= 

 =
+ − = + − = ′=
=
→ →0
0
0
0 0 0 0
0
lim
( , , ) ( , , )
lim
( ) ( )
( )∆ ∆
∆
∆
∆
∆ . 
 
 (b) Derivação parcial em relação a y: 
 Vamos considerar a função auxiliar ψ(y) = f x y z( , , )0 0 em que x = x0 e z = z0 são constan-
tes. Então: 
 
∂
∂
∂
∂
ψ ψ ψw
y
w
y
f x y y z f x y z
y
y y y
y
y
x x
z z
y y
= 

 =
+ − = + − = ′=
=
→ →0
0
0
0 0 0 0
0
lim
( , , ) ( , , )
lim
( ) ( )
( )∆ ∆
∆
∆
∆
∆ . 
 
 (c) Derivação parcial em relação a z: 
 Vamos considerar a função auxiliar λ(y) = f x y z( , , )0 0 em que x = x0 e y = y0 são constan-
tes. Então: 
. 
∂
∂
∂
∂
λ λ λw
z
w
z
f x y z z f x y z
z
z z z
z
z
x x
y y
x z
= 

 =
+ − = + − = ′=
=
→ →0
0
0
0 0 0 0
0
lim
( , , ) ( , , )
lim
( ) ( )
( )∆ ∆
∆
∆
∆
∆ . 
 
 
 Exemplos: 
 1) Calcular as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) = x3y2z − 5xy + 3yz − 2xz + 10, em rela-
ção a x, y e z. 
 Sol.: (a) Em relação a x: 
 Fazendo y = y0 = b e z = z0 = c, constantes, temos que ϕ(x) = f(x,b,c) = x3b2c − 5xb + 3bc − 
2xc + 10. Derivando em relação a x, ϕ‘(x) = 3x2b2c − 5b − 2c. Voltando com os valores de b = y, c 
= z, obtemos 
∂
∂
w
x
f x y z x y z y zx= = − −( , , ) 3 5 22 2 . 
 
 (b) Em relação a y: 
 Para x = x0 = a e z = z0 = c, constantes, ψ(y) = f(a,y,c) = a3y2c − 5ay + 3yc − 2ac + 10. 
Derivando em relação a y, obtemos ψ‘(y) = 2a3yc − 5a + 3c. Voltando com a = x e c = z, resulta 
que 
∂
∂
w
y
f x y z x yz x zy= = − +( , , ) 2 5 33 . 
 
 (c) Em relação a z: 
 Considerando x = x0 = a e y = y0 = b, resulta que λ(z) = f(a,b,z) = a3b2z − 5ab + 3bz − 2az 
+ 10. Derivando em relação a z, obtemos λ‘(z) = a3b2 + 3b − 2a. Voltando com os valores de a = 
x, b = y, resulta 
∂
∂
w
z
f x y z x y y xz= = + −( , , ) 3 2 3 2 . 
 
 
 
 40 CASO: GENERALIZAÇÃO 
 
 Dada a função de n variáveis w = f(x1,x2, . . . ,xn) então, suas derivadas parciais em relação d 
cada uma das n variáveis é dada por: 
 (a) 
∂
∂
w
x
f x x x x f x x x
xx
n n
1 0
1 1 2 1 2
11
= + −→lim
( , , , ) ( , , , )
∆
∆
∆
K K
; 
 (b) 
∂
∂
w
x
f x x x x f x x x
xx
n n
2 0
1 2 2 1 2
22
= + −→lim
( , , , ) ( , , , )
∆
∆
∆
K K
; 
 M 
 (n) 
∂
∂
w
xf x x x x f x x x
xn x
n n n
nn
= + −→lim
( , , , ) ( , , , )
∆
∆
∆0
1 2 1 2K K , 
desde que os limites existam. 
 
 As derivadas parciais podem ser calculadas diretamente se considerarmos as outras variáveis 
como constantes. 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
 1) Calcular as funções derivadas parciais de z = f x y( , ) = 9 2 2− −x y . Em seguida, calcu-
lar fx (2,1) e fy(2,1). 
 Sol.: 
 (a) Em relação a x: 
 Para y = b, temos que ϕ (x) = f(x,b) = 9 2 2− −x b . Derivando em relação a x, obtemos: 
ϕ‘(x) = −− −
2
2 9 2 2
x
x b
. Voltando com y = b, temos que fx(x,y) = 
−
− −
x
x y9 2 2
 e fx (2,1) = −1; 
 (b) Em relação a y: 
 Considerando x = a, temos que ψ(y) = f(a,y) = 9 2 2− −a y . Derivando em relação a y, 
obtemos ψ‘(y) = −− −
2
2 9 2 2
y
a y
. Voltando com x = a, temos que fy(x,y) = 
−
− −
y
x y9 2 2
 e que 
fy(2,1) = − ½ . 
 
 
 2) Calcular as derivadas parciais de z = ln(x2 + xy + y2) 
 Sol.: 
 (a) Em relação a x: 
 Fazendo y = b, resulta que ϕ(x) = ln(x2 + xb + b2) cuja derivada é ϕ‘(x) = 22 2x bx xb b
+
+ + . 
Como b = y, temos que 
∂
∂
z
x
x y
x xy y
= ++ +
2
2 2 ; 
 
 
 (b) Em relação a y: 
 Para x = a, ψ(y) = ln(a2 + ay + y2) e sua derivada é ψ‘(y) = a y
a ay y
+
+ +
2
2 2 . Substituindo a 
por x, obtemos 
∂
∂
z
y
x y
x xy y
= ++ +
2
2 2 . 
 
 
 3) Calcular 
∂
∂
z
x
 e 
∂
∂
z
y
 para z
xy
x y
= +
2
2 2 . 
 Sol.: 
 (a) Cálculo de 
∂
∂
z
x
: 
 Para y = b, ϕ(x) = 22 2xbx b+ e ϕ‘(x) = 
2 2 22 2
2 2 2
b x y bx x
x b
( ) ( )
( )
+ −
+ = 
2 22
2 2 2
by bx
x b
−
+( ) . Logo, como 
b = y, temos que 
∂
∂
z
x
 = 
2 23
2 2 2
y xy
x y
−
+( ) . 
 
 (b) Em relação a y: 
 Fazendo x = a, ψ(y) = 22 2aya y+ e ψ‘(y) = 
2 2 22 2
2 2 2
a x y ay y
x y
( ) ( )
( )
+ −
+ = 
2 22 2
2 2 2
ax ay
a y
−
+( ) . Logo, 
como a = x, temos que 
∂
∂
z
y
 = 
2 23
2 2 2
x xy
x y
−
+( ) . 
 
 4) Determine as derivadas parciais de z
y
x
= arctg . 
 Sol.: 
 (a) Em relação a x: 
 ϕ(x) = f(x,b) = arctg b
x
. Derivando, ϕ‘(x) = 
−
+ 


−
+
b
x
b
x
b
x
x b
x
2
2
2
2 2
21
= = − +
−
+
bx
x x y
b
x y
2
2 2 2 2 2( )
= . 
Portanto, 
∂
∂
z
x
 = 
−
+
y
x y2 2
. 
 
 (b) Em relação a y: 
 ψ(y) = f(a,y) = arctg y
a
. Derivando, ψ‘(y) = 
1
1
1
2 2 2
2
a
y
a
a
a y
a+




+= = 
a
a a y
2
2 2( )+ . Simplificando 
por a, e substituindo a por x, obtemos 
∂
∂
z
y
 = 
x
x y2 2+ . 
 
 
 5) Se z xy= tg , determine suas derivadas parciais. 
 Sol.: 
 (a) Em relação a x: 
 ϕ(x) = f(x,b) = tgxb . Derivando, ϕ‘(x) = ( )
sec2
1
x
b x
bb tg
− . Para b = y, temos 
∂
∂
z
x
 = ( )
sec2
1
x
y x
yy tg
− . 
 
 (b) Em relação a y: 
 ψ(y) = f(a,y) = tgay . Para derivarmos, vamos escrever na forma ψ(y) = f(a,y) = 
( ) yy aa 1tg=tg . Derivando em relação a y, obtemos ψ‘(y) = ( ) a
y
a y tgln1tg 2
1



− . Para a = x, temos 
∂
∂
z
y
 = − tg tgx
y
x
y
2 ln . 
 
 
 6) Determine as derivadas parciais de w = xy2z3 − 5xy + 3yz. 
 Sol.: A função w é uma função das três variáveis x, y e z. Devemos então calcular as três de-
rivadas parciais. Isto é: 
 (a) Em relação a x: 
 Considerando y = b e z = c, constantes, obtemos a função auxiliar ϕ(x) = f(x,b,c) = xb2c3 
− 5xb + 3bc. Derivando em relação a x obtemos ϕ‘(x) = b2c3 − 5b. Voltando com o b = y e c = z, 
obtemos 
∂
∂
w
x
 = y2z3 − 5y. 
 
 (b) Em relação a y: 
 Para x = a e z = c, temos que ψ(y) = f(a,y,c) = ay2c3 − 5ac + 3yc. Derivando, ψ‘(y) = 
2ayc3 + 3c. 
Voltando com os valores de a = x e c = z, obtemos 
∂
∂
w
y
 = 2xyz3 + 3z. 
 
 (c) Em relação a z: 
 Considerando x = a e y = b, constantes, temos que λ(z) = f(a,b,z) = ab2z3 − 5ab + 3bz. 
Derivando em relação a z, obtemos λ‘(z) = 3ab2z2 + 3b. Voltando com a = x e b = y, temos que 
∂
∂
w
z
 = 3xy2z2 + 3y. 
 
 
 7) Calcule as derivadas parciais de w = xyz. 
 Sol.: 
 a) Em relação a x: 
 ϕ(x) = f(x,b,c) = xbc. Derivando, ϕ‘(x) = bc. Logo, ∂∂
w
x
 = yz. 
 
 (b) Em relação a y: 
 ψ(y) = f(a,y,c) = ayc. Derivando, ψ‘(y) = acyc -- 1. Portanto, ∂∂
w
y
 = xzyz − 1 . 
 
 (c) Em relação a z: 
 λ(z) = f(a,b,z) = abz. Derivando, λ‘(z) = abzlnb. Logo, ∂∂
w
z
 = xyzlny. 
 
 8) Calcule as derivadas parciais de w
x
y
y
z
z
t
t
u
= + + + . 
 Sol.: Aqui temos w = f(x,y,z,t,u). Vamos, então, calcular cinco derivadas parciais. 
 (a) Em relação a x: 
 ϕ(x) = f(x,b,c,d,e) = x
b
b
c
c
d
d
e
+ + + . Derivando, ϕ‘(x) = 1
b
 e 
∂
∂
w
x
 = 
1
y
. 
 
 (b) Em relação a y: 
 ψ(y) = f(a,y,c,d,e) = a
y
y
c
c
d
d
e
+ + + . Derivando, ψ‘(y) = − +a
y c2
1
. Logo, 
∂
∂
w
y
 = − +x
y z2
1
. 
 
 (c) Em relação a z: 
 λ(z) = f(a,b,z,d,e) = a
b
b
z
z
d
d
e
+ + + . Derivando, λ‘(z) = − +b
z d2
1
. Logo, 
∂
∂
w
z
 = − +y
z t2
1
. 
 
 (d) Em relação a t: 
 θ(t) = f(a,b,c,t,e) = a
b
b
c
c
t
t
e
+ + + . Derivando, θ‘(t) = − +c
t e2
1
. Logo, 
∂
∂
w
t
 = − +z
t u2
1
. 
 
 (e) Em relação a u: 
 ρ(u) = f(a,b,c,d,u) = a
b
b
c
c
d
d
u
+ + + . Derivando, ρ‘(u) = − d
u2
. Logo, 
∂
∂
w
u
 = − t
u2
. 
 
 
 9) Mostre que se z
x y
x y
=
2 2+
− então, x
∂
∂
z
x
 + y
∂
∂
z
y
 = z. 
 Sol.: (a) 
∂
∂
z
x
 = ( )
2 1 22 2
2
2 2
2
x x y x y
x y
x xy y
x y
( ) ( )( )
( )
− − +
−
− −
−= ; 
 (b) 
∂
∂
z
y
 = 
2 1 22 2
2
2 2
2
y x y x y
x y
x xy y
x y
( ) ( )( )
( ) ( )
− − + −
−
+ −
−= . 
 Substituindo na equação a derivadas parciais, obtemos: 
 x
∂
∂
z
x
 + y
∂
∂
z
y
 = x
x xy y
x y
y
x xy y
x y
2 2
2
2 2
2
2 2− −
−



+
+ −
−



( ) ( ) = 
x x y xy x y xy y
x y
3 2 2 2 2 3
2
2 2− − + + −
−( ) ∴ 
 x
∂
∂
z
x
 + y
∂
∂
z
y
 = 
x x y y x y
x y
2 2
2
( ) ( )
( )
− + −
− = 
x y
x y
z
2 2+
− = . # 
 
 
 10) Se x = ρcosθ e y = ρsenθ , determine 
∂
∂ρ
∂
∂θ
∂
∂ρ
∂
∂θ
x x
y y . 
 Sol.: Derivando parcialmente as funções x = f(ρ,θ) e y = f(ρ,θ), obtemos: 
 
∂
∂ρ θ
x
= cos , 
∂
∂θ ρ θ
x
= − sen , ∂∂ρ θ
y
= sen e 
∂
∂θ ρ θ
y
= cos . Substituindo no determinante, 
obtemos: 
∂
∂ρ
∂
∂θ
∂
∂ρ
∂
∂θ
θ ρ θ
θ ρ θ ρ θ ρ θ
x x
y y = =
cos sen
sen cos cos sen
− +2 2 = ρ(cos2θ + sen2θ ) = ρ. 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
(I) Calcular as derivadas parciais de z = f(x,y) em relação a x e a y de: 
1) f x y( , ) = 2x − 7y2, no ponto (1,2) 2) f x y( , ) = x2 + 3xy − y2, no ponto (2,1) 
3) f x y( , ) = 1 − 3xy, no ponto (1,2) 4) f x y( , ) = xy2 − 3x2y3, no ponto (1, −1) 
5) f x y xy
x
y
( , ) = + , no ponto (2,1) 
 
(II) Calcular as derivadas parciais das seguintes funções: 
 1) f x y( , ) = 3x2 − 2xy + 5y4 + xy2 − 4x + y + 7 2) f x y( , ) = x2 + xy x y
1
2
1
3 2+ 
 3) f x y( , ) = x y2 75 4) f x y( , ) = 
1
3 23 x y
 
 5) f x y( , ) = x y2 2− 6) f x y( , ) = x y − 7 
 7) z = ex+y 8) z = 
x
y
 
 9) z = x2cosy 10) z = 3cos(xy) + 5sen(xy) 
11) z
x y
x y
=
−
+ 12) z = xcosy + ysenx 
13) z x y= +ln 2 2 14) z = 1− y2 
15) f x y
xy
x y
( , ) = +
2
2 2 16) z = x
y 
17) z
y
x
= arctg 18) ( )z x x y= + +ln 2 2 
19) z e
y
x= sen 20) z x y
x y
= −+arcsen
2 2
2 2 
21) z
x
y
= +ln sen 1 22) z e e
x y
x y
= ++cos sen 
23) f x y z
y xz
x y z
( , , ) = ++ +
3 2
2 2 2 24) f x y z( , , ) = ln(xy + z) 
25) w = (xy)z 26) w = 
x y z
x y z
+ +
+ +2 2 2 
27) w = zxy 28) w e
xy
z
xyz= + arctg 3 2 
29) w x y z= + +ln 2 2 2 30) f x y z t xyzt( , , , ) ( )= arctg 
 
 
(III) Verificar as identidades ou calcular o valor de: 
1) Se z
x
x y
=
2
2 2+ , então, x
z
x
y
z
y
z
∂
∂
∂
∂+ = 2) Se z
x
x y
= 2 2+ , então, x
z
x
y
z
y
∂
∂
∂
∂+ = 
3) Se z xy xe
y
x= + , então, x z
x
y
z
y
xy z
∂
∂
∂
∂+ += 4) Se z
y
x
= ln , então, x
z
x
y
z
y
∂
∂
∂
∂+ = 
5) Se w = (x− y)(y− z)(z− x), então, ∂∂
∂
∂
∂
∂
w
x
w
y
w
z
+ + = 
6) Se w x
x y
x z
= + −− , então, 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
w
x
w
y
w
z
+ + = 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS 
 
 Se a função w = f(P) admite derivadas parciais em relação a todas as variáveis independen-
tes, x1,x2, ..., xn e, estas funções derivadas parciais admitem derivadas parciais em relação a todas as 
variáveis, então, suas derivadas parciais são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de 
w = f(P). 
 Se as derivadas de segunda ordem são parcialmente deriváveis, suas derivadas são chamadas 
de derivadas parciais de terceira ordem de w = f(P) e, assim, sucessivamente. 
 
 1) Para z = f(x, y), temos as seguintes derivadas sucessivas: 
z f x y
z
x
f
z
y
f
ordem
z
x
f
z
y x
f
z
x y
f
z
y
f
ordem
z
x
f
z
y x
f
z
x y x
f
z
y x
f
z
x y
f
z
y x y
f
z
x y
f
z
y
f
x
y
a
xx
xy
yx
yy
a
xxx
xxy
xyx
xyy
yxx
yxy
yyx
=
=
=



=
=
=
−










=
=
=
=
=
=
=
=
( , )
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
3
3
2
3
2
3
3
2
3
3
1 24 34
1 244 344
yyy
a ordem




















3
1 244 344 
Obs.: O número de derivadas parciais é 2n em que n é a ordem das derivadas. 
 
 Exemplo: Calcular as derivadas de 3a ordem de z = f x y( , ) = x4y5 + 5x3y3 − 4x2y − 5 
 Sol.: 
 Derivadas de primeira ordem 
∂
∂
z
x
 = 4x3y5 + 15x2y3 − 4xy2 +3 ∂∂
z
y
 = 5x4y4 + 15x3y2 − 4x2y − 5 
 Derivadas de segunda ordem 
 
∂
∂
z
x 2
 = 12x2y5 + 30xy3 − 4y2 ∂∂ ∂
2 z
x y
 = 20x3y4 + 45x2y2 − 8xy 
∂
∂ ∂
2 z
y x
 = 20x3y4 + 45x2y2 − 8xy ∂∂
2
2
z
y
 = 20x4y3 + 30x3y − 4x2 
 Derivadas de terceira ordem 
 
∂
∂
3
3
z
x
 = 24xy5 + 30y3 
∂
∂ ∂
3
2
z
y x
 = 60x2y4 + 90xy2 − 8y 
 
∂
∂ ∂
3
2
z
x y
 = 60x2y4 + 90xy2 − 8y ∂∂ ∂ ∂
3z
y x y
 = 80x3y3 + 90x2y − 8x 
∂
∂ ∂ ∂
3z
x y x
 = 60x2y4 + 90xy2 − 8y ∂∂ ∂
3
2
z
y x
 = 80x3y3 + 90x2y − 8x 
 
∂
∂ ∂
3
2
z
x y
 = 80x3y3 + 90x2y − 8x ∂∂
3
3
z
y
 = 60x4y2 + 30x3 
 
 
 2) Para w = f(x, y, z), temos as seguintes derivadas parciais 
w f x y z
w
x
f
w
y
f
w
z
f
ordem
w
x
f
w
y x
f
w
z x
f
w
x y
f
w
y
f
w
z y
f
w
x z
f
w
y z
f
w
z
f
ordem
x
y
z
a
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
a
=
=
=
=







=
=
=
=
=
=
=
=
=






















( , , )
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 24 34
1 244 344
 
Obs.: O número de derivadas parciais é 3n em que n é a ordem das derivadas. 
 
 Exemplo: Calcular as derivadas de segunda ordem de w = f x y z( , , ) = x3y4z5 + x2y2z2 + 3xyz + 
5x − 6y + 7z − 12. 
 Sol.: 
 Derivadas de primeira ordem 
 
∂
∂
w
x
 = 3x2y4z5 + 2xy2z2 + 3yz + 5 
∂
∂
w
y
 = 4x3y3z5 + 2x2yz2 + 3xz − 6 ∂∂
w
z
 = 5x3y4z4 + 2x2y2z + 
3xy + 7 
 Derivadas de segunda ordem 
∂
∂
2
2
w
x
 = 6xy4z5 + 2y2z2 
∂
∂ ∂
2w
y x
 = 12x2y3z5 + 4xyz2 + 3z 
∂
∂ ∂
2 w
z x
 = 15x2y4z4 + 4xy2z + 
3y 
∂
∂ ∂
2w
x y
 = 12x2y3z5 + 4xyz2 + 3z 
∂
∂
2
2
w
y
 = 12x3y2z5 + 2x2z2 
∂
∂ ∂
2 w
z y
 = 20x3y3z4 + 4x2yz + 
3x 
∂
∂ ∂
2 w
x z
 = 15x2y4z4 + 4xy2z + 3y 
∂
∂ ∂
2 w
y z
 = 20x3y3z4 + 4x2yz + 3x 
∂
∂
2
2
w
z
 = 20x3y4z4 + 2x2y2 
 
 
 Teorema 1: Se a função w = f(P) admite derivadas parciais mistas de ordem n, contínuas em 
uma região R do IRn, então, suas derivadas parciais mistas são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 INTERPRETAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS 
 
 1) DA FUNÇÃO z = f(x,y) 
 1.1) GEOMÉTRICA 
 Para calcularmos as derivadas parciais de z = f x y( , ) , usamos as funções auxiliares 
ϕ(x) = f(x,y0) e ψ(y) = f(x0,y) nas quais, y0 e x0 são, respectivamente, constantes. 
 
 (a) Em relação a x: 
 A função ϕ(x) = f(x, y0) é a curva intersecção da superfície que é o gráfico de 
z = f x y( , ) com o plano y = y0 = constante. 
 Consideremos os pontos P0 = (x0,y0) e P = (x0 + ∆x,y0) sobre a curva ϕ(x). A reta s 
que passa por P0 e P, é uma reta secante à curva ϕ(x) e ao gráfico de f x y( , ) . O coeficiente angular 
da reta s é dado por m
x x x
xs
= + −ϕ ϕ( ) ( )0 0∆∆ = 
f x x y f x y
x
( , ) ( , )0 0 0 0+ −∆
∆ . 
 Se o ponto P desliza sobre ϕ(x) até coincidir com o ponto P0, P → P0, a reta secante, 
s, passa a ser uma reta t, tangente à curva ϕ(x) e ao gráfico de f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0), com 
z0 = f(x0,y0). Seu coeficiente angular é dado por 
 
 m
x x x
xt x
= + −→lim
( ) ( )
∆
∆
∆0
0 0ϕ ϕ = lim ( , ) ( , )∆
∆
∆x
f x x y f x y
x→
+ −
0
0 0 0 0 = ϕ‘(x0) = fx(x0,y0) 
 
 Isso significa que a derivada parcial de f x y( , ) , em relação a x, no ponto P0 é igual 
ao coeficiente angular da reta tangente à curva ϕ(x) e ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto 
T = (x0, y0, z0). 
 A reta t, tangente, pertence ao plano y = y0 = constante que é paralelo ao plano coor-
denado x0z. Logo, o ângulo α que t forma com a reta y = y0 = constante, no plano x0y é o mesmo 
ângulo que t forma com o eixo 0x. Portanto: 
 
 f x y
f P
xx
( , )
( )
0 0
0=
∂
∂ = tg α = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 
z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e, paralela ao plano x0z. 
 
 Analogamente, 
 (b) Em relação a y: 
 A função ψ (y) = f(x0, y) é a curva intersecção da superfície que é o gráfico de 
z = f x y( , ) com o plano x = x0 = constante. 
 Consideremos os pontos P0 = (x0,y0) e P = (x0,y0 + ∆y) sobre a curva ψ(y). A reta s 
que passa por P0 e P, é uma reta secante à curva ψ(y) e ao gráfico de f x y( , ) . O coeficiente angular 
da reta s é dado por m
y y x
ys
= + −ψ ψ( ) ( )0 0∆∆ = 
f x y y f x y
y
( , ) ( , )0 0 0+ −∆
∆ . 
 Se o ponto P desliza sobre ψ(y) até coincidir com o ponto P0, P → P0, a reta secante, 
s, passa a ser uma reta t, tangente à curva ψ(y) e ao gráfico de f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0), com 
z0 = f(x0,y0). Seu coeficiente angularé dado por 
 
 m
y y y
yt y
= + −→lim
( ) ( )
∆
∆
∆0
0 0ψ ψ = lim ( , ) ( , )∆
∆
∆y
f x y y f x y
y→
+ −
0
0 0 0 0 = ψ‘(y0) = fy(x0,y0) 
 
 Isso significa que a derivada parcial de f x y( , ) , em relação a y, no ponto P0 é igual 
ao coeficiente angular da reta tangente à curva ψ(y) e ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto 
T = (x0,y0,z0). 
 A reta t, tangente, pertence ao plano x = x0 = constante que é paralelo ao plano coor-
denado y0z. Logo, o ângulo β que t forma com a reta x = x0 = constante, no plano x0y é o mesmo 
ângulo que t forma com o eixo 0y. Portanto: 
 
 f x y
f P
yy
( , )
( )
0 0
0=
∂
∂ = tg β = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 
z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e, paralela ao plano y0z 
. 
 Exemplo: 
 Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y, 
 (a) no ponto (2,3,4) e paralela ao plano x0z, isto é, na direção do eixo 0x; 
 (b) no ponto (2,3,4) e paralela ao plano y0z, isto é, na direção do eixo 0y; 
 (c) no ponto (1,1,9) e na direção do eixo 0x; 
 (d) no ponto (1,1,9) e na direção do eixo 0y. 
 
 Sol.: 
 As derivadas parciais de z = f x y( , ) são: 
 fx(x,y) = −2x + 2 e fy(x,y) = −2y + 2 
 (a) A reta tangente em (2,3,4) e paralela ao plano x0z é uma reta que pertence ao plano y = 3 
e tem como coeficiente angular fx(2,3) = − 4 + 2 = −2; 
 (b) A reta tangente em (2,3,4) e paralela ao plano y0z é uma reta que pertence ao plano x = 2 
e tem como coeficiente angular fy(2,3) = − 6 + 2 = −4; 
 (c) A reta tangente em (1,1,9) e na direção do eixo 0x, é uma reta que pertence ao plano 
y = 1 e tem como coeficiente angular fx(1,1) = − 2 + 2 = 0; 
 (a) A reta tangente em (1,1,9) e na direção do eixo 0y, é uma reta que pertence ao plano 
x = 1 e tem como coeficiente angular fy(1,1) = − 2 + 2 = 0. 
 
 
 
 EQUAÇÕES DAS RETAS TANGENTES 
 
 (a) A equação da reta t1, tangente ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e parale-
la ao plano x0z, é dada por: 
 Na forma simétrica 
x x z z
f x y
y y
x
− = −
=



0 0
0 0
0
1 ( , )
 
 ou, na forma paramétrica 
x x
y y
z z f x yx
= +
=
= +



0
0
0 0 0
λ
λ
 
 
( , )
. 
 
 (b) A equação da reta t2, tangente ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e parale-
la ao plano y0z, é dada por: 
 Na forma simétrica 
y y z z
f x y
x x
y
− = −
=



0 0
0 0
0
1 ( , )
 
 ou, na forma paramétrica 
x x
y y
z z f x yy
=
= +
= +



0
0
0 0 0
 
 λ
λ ( , )
. 
 Exemplo: 
 Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y, 
 (a) no ponto (2,3,4); 
 (b) no ponto (1,1,9). 
 Sol.: 
 Considerando os resultados do exemplo anterior, isto é, fx(2,3) = −2; fy(2,3) = −4; 
fx(1,1) = 0 = fy(1,1), temos que: 
 (a) Paralela ao plano x0z é 
x
y
z
= 
= 
=
2
3
4 2
+
−



λ
λ
 e, paralela ao plano y0z é 
x
y
z
= 
= 
=
2
3
4 4
+
−



λ
λ
 
 (b) Paralela ao plano x0z é 
x
y
z
=
= 
= 
1
1
9
+


λ
 e, paralela ao plano y0z é 
x
y
z
= 1 
= 1+
= 9 
λ



 
 
 
 
 PLANO TANGENTE − RETA NORMAL 
 
 As retas tangentes t1 e t2, se interceptam no ponto T = (x0,y0,z0). Logo, determinam um plano 
que passa por T e que contém as retas t1 e t2. Este plano é o plano tangente ao gráfico de 
z = f x y z( , , ) , no ponto T. Sua equação geral é dada por 
 
 z - z0 = fx(x0,y0)(x− x0) + fy(x0,y0)(y− y0) 
 
cujo vetor normal é r r rn v v= 1 2× , em que rv1 é o vetor diretor de t1 e, rv 2 é o vetor diretor de t2. Isto é, 
r r r
r r r
r r r
n v v
i j k
i j k= 1 2 0
0
0 01 0
0 1
× = = − − +f P
f P
f P f Px
y
x y( )
( )
( ) ( ) ou, 
r r r rn i j k= + −f P f Px y( ) ( )0 0 . 
 
Obs.: Para P = (x0 + ∆x, y0 +∆y) pertencente a uma vizinhança de P0, o valor de z = f x y( , ) , isto é, 
o valor de f(P) = f(x0 + ∆x, y0 +∆y) pode ser calculado, aproximadamente, sobre o plano tangente. 
Ou seja, vale que z = f(x0 + ∆x, y0 +∆y) ≅ zplano. 
 
 A reta normal ao gráfico de z = f x y( , ) no ponto T = (x0,y0,z0), tem como vetor diretor o 
vetor rn . Logo, suas equações paramétricas são 
x x f x y
y y f x y
z z
x
y
= −
= −
= +



0 0 0
0 0 0
0
λ
λ
λ
( , )
( , )
 
 e, as equações simétricas são 
x x
f x y
y y
f x y
z z
x y
−
− =
−
− = −

0
0 0
0
0 0
0( , ) ( , )
. 
 
 Exemplo: 
 Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função z = 7 − x2 − y2 
+ 2x + 2y nos pontos: 
 (a) (2,3,4) (b) (1,1,9) 
 Sol.: 
 (a) Considerando os resultados dos exemplos anteriores, isto é, que fx(2,3) = −2, 
fy(2,3) = − 4 e que rv1 = (1,0,−2) e rv 2 = (0,1,−4 ), temos que: r r r
r r r
n v v
i j k
1 2= =× −
−
1 0 2
0 1 4
 = 2
r
i + 4
r
j + 
r
k é o vetor normal ao plano tangente. A equação do plano tangente é 2x + 4y + z + d = 0. Como o 
ponto (2,3,4) pertence ao plano, 2.2 + 4.3 + 4 + d = 0, ou, d = −20. Logo, a equação do plano tan-
gente é 2x + 4y − z −20 = 0. 
 Se usarmos a equação envolvendo as derivadas parciais, temos que: 
 z − 4 = −2(x − 2) − 4(y − 3) ou que 2x + 4y + z −20 = 0. 
 A equação simétrica da reta normal é 
x y
z
− − −
2
2
3
4
4= = e, as paramétricas são 
x
y
z
=
=
= 
2 2
3 4
4
+
+
+



λ
λ
λ
. 
 
 (b) Considerando os resultados do exemplo anterior, isto é, fx(1,1) = fy(1,1) = 0, e que 
rv1 = (1,0,0) e 
rv 2 = (0,1,0), temos que: 
r r r
r r r
n v v
i j k
= =1 2 1 0 0
0 1 0
× = 0ri + 0rj − rk é o vetor normal ao 
plano tangente. A equação do plano tangente é: − z + d = 0. Como o ponto (1,1,9) pertence ao plano 
tangente, −9 + d = 0 ou que, d = 9. Logo, a equação do plano tangente é z −9 = 0 ou z = 9. 
 Se usarmos a equação envolvendo as derivadas parciais, temos que, 
 z − 9 = 0(x −1) + 0(y −1) ou que z − 9 = 0. 
 As equações simétricas e paramétricas da reta normal são idênticas e valem 



+ λ9=
0=
0=
z
y
x
. 
 
 
 
 1.2) TAXA DE VARIAÇÃO 
 
 Vimos que não existe a derivada total de z = f x y( , ) , no ponto P0 = (x0,y0) e, em 
relação a x e a y, simultaneamente. Mas, podemos avaliar as variações de z em relação a x e, em 
relação a y, em separado. Isto é: 
 (a) Em relação a x: 
 A taxa de variação média de z = f x y( , ) entre os pontos P0 = (x0,y0) e 
P = (x0 + ∆x,y0), isto é, na direção do vetor P P0
 →
 ou, do eixo 0x, é dada por 
 
∆
∆ ∆
∆
∆
z
x
f P f P
x
f x x y f x y
x
= =
( ) ( ) ( , ) ( , )− + −0 0 0 0 0 . 
 A taxa de variação instantânea ou apenas taxa de variação de z = f x y( , ) , no ponto 
P0 e na direção positiva do eixo 0x, é dada por 
 
 lim
( ) ( )
lim
( , ) ( , )
( , ) ( )∆ ∆∆
∆
∆x x x
f P f P
x
f x x y f x y
x
f x y
z
x
P→ →
− + −
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0= = =
∂
∂ 
 
ou seja, a derivada parcial de z = f x y( , ) , em relação a x, no ponto P0 = (x0,y0), indica a variação 
de z por unidade de variação de x, na direção positiva do eixo 0x, a partir de P0 = (x0,y0). 
 Analogamente: 
 
 (b) Em relação a y: 
 A taxa de variação média de z = f x y( , ) entre os pontos P0 = (x0,y0) e 
P = (x0,y0 +∆y), isto é, na direção do vetor P P0
 →
 ou, do eixo 0y, é dada por∆
∆ ∆
∆
∆
z
y
f P f P
y
f x y y f x y
y
= =
( ) ( ) ( , ) ( , )− + −0 0 0 0 0 . 
 
 A taxa de variação instantânea ou apenas taxa de variação de z = f x y( , ) , no ponto 
P0 e na direção positiva do eixo 0y, é dada por 
 
 lim
( ) ( )
lim
( , ) ( , )
( , ) ( )∆ ∆∆
∆
∆y y y
f P f P
y
f x y y f x y
y
f x y
z
y
P→ →
− + −
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0= = =
∂
∂ 
 
ou seja, a derivada parcial de z = f x y( , ) , em relação a y, no ponto P0 = (x0,y0), indica a variação 
de z por unidade de variação de y, na direção positiva do eixo 0y, a partir de P0 = (x0,y0). 
 
 Exemplo: 
 1) A temperatura do ponto (x,y) de uma placa metálica plana é dada por 
 T(x,y) = 40 − 43 2 42 2− −x y (T em 0C, x e y em cm) 
 (a) Determine a temperatura no ponto (3,2) e a equação da isoterma que passa por este ponto; 
 (b) Qual é a taxa de variação da temperatura em relação a x e a y? 
 (c) Qual é a temperatura aproximada dos pontos (4,2); (3,3); (2,2) e (3,1)? 
 Sol.: 
 (a) T(3,2) = 40 − 43 2 3 4 22 2− −( ) ( ) = 40 −3 = 37 0C 
 A isoterma que passa pelo ponto (3,2) é a equação de todos os pontos que tem temperatu-
ra 37 0C, isto é, a curva de nível T(x,y) = 37 . Substituindo e desenvolvendo obtemos: 
 40 − 43 2 42 2− −x y = 37 ou (3)2 = 43 − 2x2 − 4y2 ou 2x2 + 4y2 = 34. 
 (b) (i) Em relação a x: 
 
∂
∂
T
x
 = Tx(x,y) = − −− −
4
2 43 2 42 2
x
x y
 = 
2
43 2 42 2
x
x y− − e, no ponto (3,2), 
 
∂
∂
T
x
Tx
( , )
( , )
3 2
3 2= =
2(3)
9
 = 
6
3
 = 2 0C/cm. (Temperatura aumenta de 20C por cm) 
 (ii) Em relação a y: 
 
∂
∂
T
y
T x y
y
x yy
= =( , ) − −− −
8
2 43 2 42 2
 = 
4
43 2 42 2
y
x y− − e, no ponto (3,2), 
 
∂
∂
T
y
Ty
( , )
( , )
( )3 2
3 2
4 2
9
= = =
8
3
 ≅ 2,66 0C/cm. (Temperatura aumenta de 2,660C por cm) 
 (c) Os valores aproximados das temperaturas são: 
 T(4,2) ≅ 370C + 20C.1cm = 370C + 20C = 390C 
 T(3,3) ≅ 370C + 2,660C.1cm = 370C + 2,660C = 39,660C 
 T(2,2) ≅ 370C + 20C.(−1)cm = 370C − 20C = 370C 
 T(3,1) ≅ 370C + 20C.(−1)cm = 370C − 2,660C = 36,340C. 
 
 
 
 
 2) DA FUNÇÃO w = f(x,y,z) 
 
 Vimos que esta função não tem representação geométrica (gráfico). Logo, só pode-
mos interpretar suas derivadas parciais através da taxa de variação. Isto é: 
 
 (a) Em relação a x: 
 A taxa de variação média da função w = f x y z( , , ) entre os pontos P0 = (x0,y0,z0) e 
P =(x0 + ∆x,y0,z0) é dada por ∆∆
∆
∆
w
x
f x x y z f x y z
x
= + −( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0 . Logo, a taxa de variação 
instantânea ou apenas taxa de variação de w = f x y z( , , ) , a partir de P0 e na direção de P0 a P, isto 
é, na direção positiva do eixo 0x, é dada por 
 
 lim
( , , ) ( , , )
( , , )∆
∆
∆x x
f x x y z f x y z
x
f x y z→
+ −
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0= 
 
que indica o quanto varia w por unidade de variação de x, a partir de P0, na direção positiva do eixo 
0x. 
 
 (b) Analogamente, a derivada parcial de w = f x y z( , , ) no ponto P0 e em relação a y, indica 
a taxa de variação de w por unidade de variação de y, a partir de P0, na direção positiva do eixo 0y 
e, 
 (c) A derivada parcial de w = f x y z( , , ) , no ponto P0 e em relação a z, indica a taxa de vari-
ação de w em relação a variação de z, a partir do ponto P0 e, na direção positiva do eixo 0z. 
 
 
 GENERALIZAÇÃO 
 
 Para w = f(x1,x2, . . ., xn), interpretamos cada derivada parcial como sendo a taxa de varia-
ção de w por unidade de variação da respectiva variável xi, i = 1,2, ..., n, a partir do ponto P0 e na 
direção positiva do eixo xi. 
 
 Exemplo: 
 1) O volume de um tronco de cone reto, com altura h, raio da base (maior) R e raio menor r, 
é dado pela função V(h,r,R) = 
π
3
2 2h r rR R( )+ + (V em unidades de volume e h,r,R em unidades 
lineares) 
 Em um determinado instante temos um tronco de cone de dimensões h = 10 cm, r = 2 cm e 
R = 5 cm. 
 (a) Qual é o volume tronco do cone? 
 (b) Se variarmos só a altura, qual é a variação do volume? 
 (c) Se variarmos só o raio menor, qual é a variação do volume? 
 (d) Qual é a variação do volume em relação ao raio da base? 
 Sol.: 
 (a) O volume do tronco do cone é V = =
π π
3
10 4 10 25 130( )+ + cm3. 
 (b) 
∂
∂
πV
h
V h r R r rR Rh= =( , , ) ( )3
2 2+ + e Vh(10,2,5) = 13π cm3/cm. 
 (c) 
∂
∂
πV
r
V h r R h r Rr= =( , , ) ( )3
2 + e Vr(10,2,5) = 30π cm3/cm. 
 (d) 
∂
∂
πV
R
V h r R h r RR= =( , , ) ( )3
2+ e VR(10,2,5) = 40π cm3/cm. 
 
 
 2) O potencial elétrico dos pontos (x,y,z) de uma região do espaço é dado por 
 V x y z x y z( , , ) ln= 2 2 2+ + (V em volts; x,y e z em cm) 
 (a) Determine o potencial elétrico do ponto (1,2,2); 
 (b) Qual é a superfície equipotencial que passa pelo ponto (1,2,2)? 
 (c) Quais são as taxas de variação do potencial V, no ponto (1,2,2), em relação as variações 
de x, y e z? 
 Sol.: 
 (a) V ( , , ) ln1 2 2 1 2 22 2 2= + + = ln3 = 1,0986 volts. 
 (b) A equação da superfície equipotencial é dada por V(x,y,z) = ln3 (é uma superfície de ní-
vel) 
 Substituindo e desenvolvendo, ln x y z2 2 2+ + = ln3 ou x2 + y2 + z2 = 32 , isto é, to-
dos os pontos que pertencem à esfera de centro na origem e raio 3 têm o mesmo potencial elétrico e 
ln3 volts. 
 (c) As taxas de variação são dadas pelas derivadas parciais no ponto (1,2,2), isto ë: 
 (i) Em relação a x: 
 
∂
∂
V
x
V x y z
x
x y z
x y z
x
x y zx
= = =( , , )
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
+ +
+ + + + e Vx(1,2,2) = 
1
1 2 2
1
92 2 2+ + = 
volts/cm. 
 
 (ii) Em relação a y: 
 
∂
∂
V
y
V x y z
y
x y z
x y z
y
x y zy
= = =( , , )
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
+ +
+ + + + e Vy(1,2,2) = 
2
1 2 2
2
92 2 2+ + = volts/cm. 
 
 (iii) Em relação a z: 
 
∂
∂
V
z
V x y z
z
x y z
x y z
z
x y zz
= = =( , , )
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
+ +
+ + + + e Vz(1,2,2) = 
2
1 2 2
2
92 2 2+ + = volts/cm. 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Calcular as derivadas parciais de terceira ordem das seguintes funções: 
 a) f x y( , ) = x4 + 5y3 + 3x2y + 8xy b) f x y( , ) = x3cosy + 4y2senx 
 c) f x y( , ) = ln(x + y) d) z = x3e5y 
 e) z = cos(3x + 5y) f) z = ln(x2 + y) 
 g) z = excosy h) z = exseny 
 i) z x y
y
x
= arctg( )2 2+ j) z = ln x x y
x x y
− −
+ −
2 2
2 2
 
 
2) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções: 
 a) z = arcsen
y
x 2
 b) w = xy + yz + zx 
 c) z = xaybzc d) w = x y z2 2 2+ + 
 
3) Verifique se 
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
2 2z
x y
z
y x
= para: 
 a) z = arcsen
x y
x
−
 b) z = 2 2xy y+ 
 c) z = arctg
x y
xy
+
−1 d) z = x
y 
 
4) a) Mostre que para a função f x y xy
x y
x y
x y
x y
( , ) , ( , ) ( , )
( , ) ( , )
=
−
+ ≠
=



2 2
2 2 0 0
0 0 0
 se 
 se 
 , temos fxy(0,0) = −1 e 
fyx(0,0) = 1; 
 b) Dada a função z = ye x
2
, calcular 
∂
∂ ∂
4
2 2
z
x y
; 
 c) Mostre que a função z = x3 − 2xy2 verifica a equação x z
x
y
z
y x
z
x
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
2
2
2
2+ = ; 
 d) Mostre que a função z = x
y
x
y
x
+ verifica a equação x z
x
xy
z
x y
y
z
y
2
2
2
2
2
2
22 0
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂+ + = ; 
 e) Mostre que a função z = tg(y + kx) + (y − kx)3/2 verifica a equação da corda vibrante, 
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
z
x
k
z
y
= ; 
 f) Quando dois resistores de resistências R1 ohms e R2 ohms são conectadosem paralelo, sua re-
sistência combinada R em ohms é R
R R
R R
= 1 2
1 2+ . Mostre que 
∂
∂
∂
∂
2
1
2
2
2
2
2
1 2
4
4R
R
R
R
R
R R
=
( )+ 
 
5) Se f x y( , ) admite derivadas parciais de segunda ordem, chama-se Laplaciano de f à função: 
 
r∇ = +2
2
2
2
2f x y
f
x
x y
f
y
x y( , ) ( , ) ( , )
∂
∂
∂
∂ 
 Calcule 
r∇2 f x y( , ) para as seguintes funções: 
 a) f x y( , ) = x4 − y4 b) f x y( , ) = sen(x2 − y2) c) f x y( , ) = 
1
2 2x y+ 
 d) f x y( , ) = 
2
2 2
x
x y+ e) f x y( , ) = arctg
y
x
 f) f x y( , ) = excosy 
 
6) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva intersecção do gráfico de z 
= 10 22 2− −x y com o plano y = 1 no ponto em que x = 2. 
 
7) Dada a função f x y y
x y
( , ) = 2
2 2
1+ + , pede-se determinar: 
 a) O domínio de f; 
 b) As derivadas parciais fx(3,4) e fy(3,4); 
 c) O coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o 
plano x = 3 no ponto em que y = 4. 
 
8) Determine a equação do plano tangente e da reta normal às seguintes superfícies: 
 a) z = x2 − 4y2, no ponto P0 = (5,−2) b) z = x2 + y2 , no ponto P0 = (3,4) 
 c) z = x2 + y2 − 4x − 6y + 9, no ponto em que o plano tangente é paralelo ao plano x0y. 
 
9) Através da equação do plano tangente, encontre um valor aproximado para: 
 a) (1,02)3(0,97)2 b) (0,998)31,003 c) ( , ) ( , )4 05 2 932 2+ 
 d) 8 002 3 9623 3, , e) 
24 936
81 082
,
,
 f) 36 24, tg44040’ 
 
10) Um ponto move-se ao longo da intersecção do parabolóide elíptico z = x2 + 3y2 e o plano x = 2. 
A que taxa está z variando em relação a x quando o ponto está em (2,1,7)? 
11) Um ponto move-se ao longo da intersecção do plano y = 3 e superfície z x y= 29 2 2− − . Qual 
é a taxa de variação de z em relação a x e em relação a y quando o ponto está em (4,3,3)? 
 
12) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa metálica plano é dada por 
T x y x y( , ) = 30 50 2 2+ − − . (T em 0C, x e y em cm) 
 a) Determine o domínio de T(x,y) e a temperatura no ponto (3,4); 
 b) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (3,4) e a represente no plano x0y; 
 c) Se a partir do ponto (3,4) um formiga caminhar na direção do eixo 0x, sentido positivo, a 
temperatura aumentará ou diminuirá? De quantos graus por centímetro aproximadamente? 
 
13) Em uma livraria, o lucro mensal L é uma função do número de vendedores, x, e do capital inves-
tido em livros, y, (y em milhares de reais). Em uma certa época tem-se: L(x,y) = 400 − (12 − x)2 − 
(40 − y)2. 
 a) Calcule o lucro diário se a empresa tem 7 vendedores e 30 mil reais investidos; 
 b) Calcule 
∂
∂
∂
∂
L
x
L
y
( , ) ( , )7 30 7 30 e ; 
 c) O que é mais lucrativo, a partir da situação do item (a): 
 − aumentar de uma unidade o número de vendedores, mantendo o capital investido; 
 − ou investir mais 1 mil reais, mantendo o número de vendedores? 
 
14) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa é dada por T(x,y) = 2x2 + 3y2 + 15, (T em 0C, x e y 
em cm). 
 a) Determine a equação da isoterma que passa por (1,2); 
 b) Se a partir do ponto (1,2) nos movermos no sentido positivo do eixo 0x, a temperatura 
aumenta ou diminui? De quantos 0C por cm, aproximadamente? 
 c) Em que ponto (a,b) a temperatura vale 45 0C, sendo a taxa de variação da temperatura em 
relação à distância percorrida na direção do eixo 0y, sentido positivo, igual a 12 0C/cm? (considere a 
e b positivos). 
 
15) Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B, 
sendo o custo mensal da produção conjunta dado por C x y x y( , ) .= + +20 000 2 2 (C em reais). 
Em um certo mês, foram produzidas 3.000 unidades de A e 2.000 unidades de B. 
 a) Calcule o custo da produção neste mês; 
 b) Calcule 
∂
∂
∂
∂
C
x
C
y
 e ; 
 c) O que é mais conveniente, a partir desta situação: aumentar a produção de A mantendo 
constante a de B, ou aumentar a de B mantendo constante a de A? Justifique com base nos resultados 
de (b). 
 
16) A superfície de um lago é representada por uma região D no plano x0y, de modo que a profundi-
dade sob o ponto (x,y) é dada por f x y( , ) = 300 − 2x2 − 3y2, (unidades em metros). Se um esquiador 
aquático está na água no ponto (4,9), ache a taxa de variação da profundidade na direção leste e na 
direção norte. 
 
17) O potencial elétrico V no ponto (x,y,z) é dado por V x y z
x y z
( , , ) = + +
100
2 2 2 (V em volts, x, y e z 
em cm). 
Ache a taxa de variação de V, no ponto (2,−1,1) na direção: 
 a) do eixo 0x b) do eixo 0y c) do eixo 0z 
 
18) A análise de certos circuitos elétricos envolve a fórmula I
V
R L
= +2 2 2ω , em que I é a corrente, 
V a voltagem, R a resistência, L a indutância e ω uma constante positiva. Ache e interprete ∂∂
I
R
 e 
∂
∂
I
L
. 
 
19) A resistência R ohms de um circuito elétrico é dada pela fórmula R
E
I
= , em que I é a corrente 
em ampères e E é a força eletromotriz em volts. Calcule e interprete o significado de 
∂
∂
∂
∂
R
I
R
E
 e 
quando I = 15 ampères e E = 110 volts. 
 
20) A maioria dos computadores tem apenas um processador que pode ser utilizado para cálculos. 
Os supercomputadores modernos, entretanto, têm entre dois e vários milhares de processadores. Um 
supercomputador multiprocessador é comparado a um computador uniprocessador em termos de 
speedup. A speedup S é o número de vezes mais rápido que um cálculo pode ser feito com um mul-
tiprocessador, do que com um uniprocessador. A lei de Amdahl é uma fórmula usada para determi-
nar S 
 S p q
p
q p q
( , )
( )
= + −1 
em que p é o número de processadores e q é a fração do cálculo que pode ser realizada utilizando 
todos os processadores disponíveis em paralelo − isto é, usando-os de maneira que os dados sejam 
processados concomitantemente por unidades separadas. A situação ideal, paralelismo completo, 
ocorre quando q = 1. 
 a) Se q = 0,8, ache a speedup quando p = 10; 100 e 1.000. Mostre que a speedup S não pode 
exceder a 5, independente do número de processadores disponíveis. 
 b) Ache a taxa instantânea de variação de S em relação a q. 
 c) Qual a taxa de variação em (b) se há paralelismo completo, e como o número de processa-
dores afeta esta taxa de variação? 
 d) A eficiência E de um cálculo por multiprocessador pode ser calculada pela equação: 
 E p q
S p q
p
( , )
( , )= 
Mostre que, se 0 ≤ q < 1, E(p,q) é uma função decrescente de p e, portanto, sem paralelismo com-
pleto, o aumento de número de processadores não aumenta a eficiência do cálculo. 
 
21) No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura T no instante t horas e à pro-
fundidade x pode ser dada, aproximadamente, por 
 T x t T e t xx( , ) sen( )= −−0 λ ω λ 
em que T0, ω e λ são constantes. O período de sen(ωt − λx) é 24 horas. 
 a) Calcule e interprete 
∂
∂
∂
∂
T
x
T
t
 e . 
 b) Mostre que T verifica a equação unidimensional do calor 
∂
∂
∂
∂
T
t
k
T
x
=
2
2 em que k é uma 
constante. 
 
22) A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inala-
ção de ar. Para um indivíduo do sexo masculino com x anos de idade e y centímetros de altura, V 
pode ser aproximada pela fórmula V(x,y) = 27,63y − 0,112xy. 
 Calcule e interprete o significado de 
∂
∂
∂
∂
V
x
V
y
 e . 
 
23) Em um dia claro, a intensidade de luz solar (em velas-pé) às t horas após o nascente e à profun-
didade oceânica de x metros, pode ser aproximada por: I x t I e
t
D
kx( , ) sen ( )= −0 3 π em que I0 é a 
intensidade de luz ao meio-dia, D é a extensão do dia (em horas) e k é uma constante positiva. SeI0 = 1.000, D = 12 e k = 0,1, calcule e interprete 
∂
∂
∂
∂
I
t
I
x
 e quando t = 6 e x = 5. 
 
24) O volume V de um cone circular reto é dado por V x y x=
π
24
42 2 2− em que y é o compri-
mento da geratriz e x é o diâmetro da base. Encontre a taxa de variação do volume em relação à ge-
ratriz e do volume em relação ao diâmetro quando x = 16 cm e y = 10 cm.