[Relatório] Medidas e Erros

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Erros e Medidas 
CARVALHO, Vinícius1 - Instituto Federal do Sertão Pernambucano - BR 407, Km 08 - Jardim São Paulo 
CEP: 56314-520 | Petrolina/PE – vinniciuscarvalho19@gmail.com 
GAMA, José Vitor P.2 - Instituto Federal do Sertão Pernambucano - BR 407, Km 08 - Jardim São Paulo 
CEP: 56314-520 | Petrolina/PE – josxvitor@gmail.com 
Resumo: O relatório se refere ao experimento intitulado “Erros e medidas”, realizado para a 
determinação das margens e propagação de erro em medições de comprimento, largura, área e volume, 
por meio de aferições diretas e indiretas. Para o estudo, foram utilizados uma régua milimetrada, uma 
régua centimetrada e um paquímetro para determinar as dimensões de uma folha de papel A4 e um de 
pequeno cilindro, de forma a demonstrar como o instrumento de medida utilizado pode afetar o valor 
encontrado. Com os dados obtidos e utilizando-se de artifícios como algumas fórmulas matemáticas e 
derivações, foi possível encontrar as incertezas das medidas, o desvio padrão e a propagação dessas 
incertezas. 
 
Palavras chave: introdução, física, medidas e erros. 
 
Introdução 
No mundo científico, definimos o ato de 
medir como a expressão numérica da 
comparação de quantas vezes “isso” é maior que 
“aquilo”, ou seja, quando se utiliza um padrão 
definido para equiparar a quantas vezes ele se 
repete em outros objetos, o padrão definido 
torna-se uma grandeza, por exemplo, observe as 
afirmações abaixo: 
• a massa de uma caixa é 60 quilogramas 
• o comprimento de um fio é 275 metros 
• o voltímetro acusa a tensão de 12 volts 
As medidas indicadas são correspondentes 
às grandezas massa, comprimento e tensão, 
acompanhadas de suas medidas e unidades, 
sendo a aferição da grandeza massa dada acima 
igual a 60 quilogramas, 60 será sua medida e 
quilogramas sua unidade. Para cada grandeza 
utilizada nas relações físicas existe uma 
padronização, definida no sistema internacional 
de unidades (SI). Os múltiplos das unidades são 
definidos como prefixos por exemplo quilo, 
hecto, deca, deci, centi, mili e etc, sendo 
𝑥103, 𝑥102, 𝑥101, 𝑥10−1, 𝑥10−2𝑒 𝑥10−3, respec
tivamente, observe o exemplo para a unidade de 
comprimento: quilômetro (km), hectômetro (hm) 
e decâmetro (dam), decímetro (dm), centímetro 
(cm) e milímetro (mm). (observe a figura 1) 
 
1 Graduando no curso de Licenciatura em Física do Instituto de Educação, Ciências e Tecnologias do Sertão 
Pernambucano – Petrolina/PE – Turma 1.132171 
2 Graduando no curso de Licenciatura em Física do Instituto de Educação, Ciências e Tecnologias do Sertão 
Pernambucano – Petrolina/PE – Turma 1.132171 
Figura 1 – Prefixos 
 
O ato da aferição, pode ser direto ou 
indireto, por exemplo ao usar uma fita métrica 
para tomar a medida de uma parede, está 
comparando o comprimento da parede com o da 
fita métrica, tomando a fita métrica como padrão 
(aferição direta) assim como também pode se 
utilizar a medida encontrada para realizar um 
cálculo de área dessa parede (aferição indireta). 
Dado que não há como produzir uma 
medida com 100% de precisão, deve-se ser 
considerado erros, sendo os erros causados pelos 
métodos ou pelos instrumentos, denominados 
erros sistemáticos, em contrapartida, os erros 
produzidos por acidentes ou fatores 
imprevisíveis, serão definidos como os erros 
aleatórios. 
Na ciência, a palavra erro não 
tem a mesma conotação 
comum dos termos equivoco 
ou engano. Erro em uma 
medida cientifica significa a 
inevitável incerteza que 
acompanha toda as medições. 
(TAYLOR, 2009) 
 
 
 
 
Materiais e métodos (procedimentos 
experimentais) 
Para este experimento foram utilizados os 
equipamentos do fornecidos pelo professor no 
laboratório que são: 
01 Folha de Papel (Tamanho A4); 
01 Cilindro de Alumínio; 
01 Régua centimetrada; 
01 Régua milimetrada; 
01 Paquímetro. 
 
 Após as instruções do professor inicia-
se o experimento, utilizando a régua de divisão 
milimetrada para a determinação do 
comprimento e largura da folha de papel tamanho 
A4, essa aferição é realizada e anotada. 
 Em seguida, repete-se o processo 
anterior, porém desta vez os valores são medidos 
utilizando uma régua de divisão centimetrada, 
esta aferição também é anotada. 
 Posteriormente, foi utilizado um 
paquímetro para determinação do diâmetro e 
altura de um pequeno cilindro de alumínio, após 
realizar a aferição 5 vezes, foram anotados os 
resultados. 
 O processo de obtenção de dados, então 
se finaliza, e a pauta guia nos fornece relações 
para o processamento dos dados, esses resultados 
estão na sessão “Resultados e Discussões” deste 
documento. 
 
Resultados e Discussões 
 
O experimento foi iniciado com a folha 
de papel A4, sendo medida inicialmente com a 
régua milimetrada. Para o comprimento, foi 
obtido o valor de: 
C=29,6 cm 
Uma vez que a menor medida da régua 
é de 0,1 cm e sabendo que a incerteza se dá pela 
metade da menor medida, a conclusão foi de que 
o comprimento é de: 
C= (29,6 ± 0,5) cm 
Da mesma forma, a medida encontrada 
para a largura da folha foi de: 
L= (21,0 ± 0,5) cm 
Para a área, foi necessário usar a 
fórmula de propagação de erro, dada por: 
 
𝜎𝑓 = √(
𝑑𝑓
𝑑𝑥
)
2
𝜎𝑥2 + (
𝑑𝑓
𝑑𝑦
)
2
𝜎𝑦2 (1) 
 
Sendo a fórmula da área dada por: 
A=L.C ± 𝜎𝐴 (2) 
De (2) em (1), temos; 
 
𝜎𝐴 = √(
𝑑𝐴
𝑑𝐿
)
2
𝜎𝐿
2 + (
𝑑𝐴
𝑑𝐶
)
2
𝜎𝐶
2 
 
Onde: 
• 𝜎𝐴 é a incerteza da área; 
• 𝜎𝐿 é a incerteza da largura; 
• 𝜎𝐶 é a incerteza do comprimento. 
 
Assim: 
 
𝜎𝐴 = √𝐶2𝜎𝐿
2 + 𝐿2𝜎𝐶
2 
 
𝜎𝐴 = √(29,6)2. (0,05)2 + (21,0)2. (0,05)² 
 
 𝜎𝐴 ≈ ±1,81463 cm² 
 
Dessa forma, a área com a sua incerteza 
será de: 
 A = 621,6 ± 1,81 cm² 
 Posteriormente, as mesmas medidas 
foram feitas, desta vez usando uma régua 
centrimetrada. Sendo assim, a menor medida da 
régua era de 1 cm, concluindo a incerteza de ±0,5 
cm. Na medição do comprimento, o resultado 
obtido foi: 
C= (29,7 ± 0,5) cm 
 e na largura: 
L= (21,0 ± 0,5) cm 
Utilizando (1), calculamos a propagação de erro: 
 
𝜎𝐴 = √(29,7)2. (0,5)2 + (21,0)2. (0,5)² 
 
 𝜎𝐴 ≈ ±18,18715 cm² 
 
Dessa forma, a área com a sua incerteza será: 
A = (623,7 ± 18,98) cm² 
 
 
Depois, foi utilizado um paquímetro para 
calcular as medidas de um cilindro que foi 
fornecido. Tanto para o diâmetro quanto para a 
altura, foram feitas 5 (cinco) medidas. Os valores 
se encontram na tabela abaixo (Tabela 1): 
 
 
Tabela 1 - Valores do Cilindro 
DIÂMETRO (CM) ALTURA (CM) 
2,576 ±0,002 3,000 ±𝟎, 𝟎𝟎𝟐 
2,562 ±0,002 2,980 ±𝟎, 𝟎𝟎𝟐 
2,588 ±0,002 2,980 ±𝟎, 𝟎𝟎𝟐 
2,570 ±0,002 2,982 ±𝟎, 𝟎𝟎𝟐 
2,574 ±0,002 2,986 ±𝟎, 𝟎𝟎𝟐 
Fonte - O Autor 
Obs; o valor da incerteza 0,002 cm, é fornecido 
pelo instrumento. 
Para os cálculos acerca do cilindro, 
utilizam-se as fórmulas: 
 
𝑆 = √
1
(𝑁 − 1)
⋅ ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑁
𝑖=1
 (3) 
 
𝑆𝑚 =
𝑆
√𝑁
 (4) 
�̅� =
1
𝑁
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
 (5) 
𝑉 = 𝜋𝑟2. ℎ (6) 
𝜎𝑣 = √(
𝑑𝑣
𝑑𝐴𝐵
)
2
𝜎𝐴𝐵
2 + (
𝑑𝑣2
𝑑ℎ
) 𝜎ℎ2 (7) 
 
Onde: 
• S é o desvio padrão; 
• 𝑆𝑚 é o desvio padrão da média, 
• 𝑁 é a quantidade de dados; 
• 𝑥𝑖 é valor na posição i do conjunto de 
dados; 
• �̅� é a média aritmética dos dados. 
 
Utilizando a equação (5),temos que; 
A média do diâmetro é: 
�̅� = 2,574 𝑐𝑚 
A média da altura é: 
�̅� = 2,9856 𝑐𝑚 
Os desvios padrões, calculados utilizando a 
equação (3), são; 
O desvio padrão do diâmetro: 
𝑆�̅� = √
0,00036
4
 
 
𝑆�̅� ≈ ±0,00009 𝑐𝑚 
 
O desvio padrão da altura: 
𝑆�̅� = √
0,0002832
4
 
 
𝑆�̅� ≈ ±0,0000708 𝑐𝑚 
 
O erro padrão do diâmetro e da altura 
respectivamente, é; 
 
𝑆�̅�𝑚 =
0,00009
√5
 
 
𝑆�̅�𝑚 ≈ ±4,02492 × 10−5 𝑐𝑚 
 
𝑆�̅�𝑚 =
0,0000708
√5
 
 
𝑆�̅�𝑚 ≈ ±3,16627 × 10−5 𝑐𝑚 
 
Por fim seu volume pela equação (6), é: 
𝑉 = 𝜋 (
𝐷
2
̅
)
2
. 𝐻 
𝑉 = 𝜋 (
2,574
2
)
2
. 2,9856 
𝑉 = 4,96𝜋 𝑐𝑚³ 
 E o desvio propagado, calculado pela equação 
(7), é: 
𝜎𝑣 = √(
𝑑𝑣
𝑑𝐴𝐵
)
2
𝜎𝐴𝐵
2 + (
𝑑𝑣2
𝑑ℎ
) 𝜎ℎ2 
𝜎𝑣 = √ℎ2𝜎𝐴𝐵
2 + 𝐴𝐵²𝜎ℎ2 
𝜎𝑣 = √ℎ2𝜎𝐴𝐵
2 + 𝐴𝐵²𝜎ℎ2 
𝜎𝑣 = ±0,0004 cm³ 
 
 
Conclusão 
Com os experimentos e os dados conseguidos, 
analisando os desvios padrões e as incertezas, 
pode-se concluir que, como esperado, quanto 
 
 
mais preciso, ou seja, quanto menor a incerteza 
dos instrumentos de medição utilizados, maior a 
precisão dos resultados conseguidos. Dessa 
forma, a régua centimetrada nos deu a maior 
incerteza quanto ás medidas, uma vez que foi 
difícil precisar valores em casas decimais. Por 
outro lado, com o paquímetro, a incerteza foi 
menor graças a possibilidade que o instrumento 
dá de medir valores decimais e centidecimais, 
diminuindo o desvio padrão da média dos valores 
conseguidos. 
Referências 
SAMPAIO, Jose Luiz; CALÇADA, Caio 
Sérgio. Física: volume único. São Paulo: 
Atual, 2005. 
TAYLOR, John R. Introdução à análise de 
erros: o estudo de incertezas em 
medições físicas. Bookman Editora, 2009.