Apostila Geometria Descritiva

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Universidade Federal de Alagoas – UFAL 
Faculdade de Arquitetura e Urbanismo – FAU 
 
 
 
 
 
Realizadores 
 Orientadoras 
 Patricia Hecktheuer 
 Suzann Flávia Cordeiro de Lima 
 Monitor 
 Daniel Aubert de Araujo Barros 
 Ilustrações 
 Daniel Aubert de Araujo Barros 
 
 
 
Sumário 
Apresentação.................................................................................................................01 
Introdução......................................................................................................................01 
Instrumentos..................................................................................................................02 
 1. Compasso........................................................................................................02 
 2. Esquadros.......................................................................................................03 
 3. Lapiseira.........................................................................................................04 
Capítulo 1: Desenho Geométrico...................................................................................05 
 1. Ponto médio e mediatriz de um segmento de reta......................................05 
 2. Perpendicular de um segmento passando por ponto dado........................06 
 3. Triangulação...................................................................................................08 
 4. Retas paralelas...............................................................................................09 
 5. Como achar o centro de uma circunferência................................................10 
 6/7. Dividindo um segmento de reta/circunferência em x partes.....................11 
 8. Estrela regular.................................................................................................13 
 9. Polígono regular circunscrito numa circunferência dada.............................14 
 10. Concordância de arcos..................................................................................15 
 11. Concordância de segmentos de retas por um arco......................................17 
 12. Triângulos: exercícios resolvidos..................................................................19 
 Exercícios.............................................................................................................21 
Capítulo 2: Vistas Ortográficas......................................................................................25 
 Exercícios............................................................................................................27 
Capítulo 3: Geometria Descritiva (Projeção Mongeana).............................................30 
 1. Ponto na projeção mongeana........................................................................30 
 2. Reta e segmento de reta em épura...............................................................32 
 2.1 Tipos de reta......................................................................................33 
 3. Planos em épura.............................................................................................36 
 3.1 Tipos de plano...................................................................................37 
 4. Objetos tridimensionais em épura................................................................39 
 5. Planificação.....................................................................................................42 
 Exercícios...........................................................................................................46 
Respostas dos exercícios..............................................................................................50 
 Capítulo 1............................................................................................................50 
 Capítulo 2............................................................................................................54 
 Capítulo 3............................................................................................................58 
 
1 
 
 Apresentação 
 Esta apostila tem o objetivo de agregar todos os assuntos 
abordados pela disciplina de Geometria Descritiva da FAU – UFAL, de 
uma maneira didática, com passo a passos e exercícios. Atividades e 
tutoriais feitos pelos professores e monitores já existiam à disposição 
dos alunos, porém separados, e às vezes não eram arquivados. Com 
esta publicação, todo o conteúdo da disciplina poderá ser acessado 
pelos estudantes mais facilmente. 
 
 
 Introdução 
 Este documento está dividido em três capítulos: o primeiro 
apresenta como utilizar os instrumentos (compasso, esquadros, 
escalímetro, etc.) para representações e soluções geométricas; o 
segundo trata-se das vistas ortográficas, como obtê-las de um sólido 
geométrico e como representá-las; e o terceiro introduz o conceito e 
aplicação das projeções mongeanas, por meio da épura. 
 
2 
 
 
 
 
 Antes de começar a fazer exercícios de geometria, o aluno deve 
estar ciente de como usar os instrumentos, por isso aqui vão algumas 
dicas: 
 1. Compasso 
a) Deve-se segurar na haste superior para rotacioná-lo, sem encostar 
nas “pernas”, pois isso pode modificar o raio da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quando for gerar a circunferência, 
 deite o compasso um pouco na direção 
 da rotação, como mostra a figura ao lado. 
 
 
c) Se possível, use minas um pouco duras, 
como HB ou 2H e mantenha-as apontadas, pois 
são mais precisas do que as macias (B, 2B...), e 
a geometria requer precisão. 
 
Instrumentos 
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 2. Esquadros 
a) O jogo de esquadros permite desenhar retas paralelas... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ... retas concorrentes com ângulos de 30°, 45°, 60° e seus múltiplos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O jogo de esquadro permite combinações que são muito úteis para o 
desenho técnico. Porém, o capítulo 1 (Desenho Geométrico), mostrará 
como desenhar retas paralelas, perpendiculares, dentre outras, sem o 
posicionamento dos esquadros, e sim com o compasso; um método 
com menos chances de erros de instrumento. 
 
4 
 
 3. Lapiseira 
a) É aconselhado o uso de minas HB, pois não são tão macias ao ponto 
de sujar muito o papel, e nem muito duras, o que dificulta a visibilidade 
da linha e às vezes, se muito dura, pode até rasgar a folha. 
 
b) Da mesma forma que o compasso, quando for desenhar um linha, 
incline-a um pouco no sentido em que se está fazendo o traço, ou 
mantenha-a em pé. Mas nunca incline-a no sentido contrário do 
percurso do traço, pois pode quebrar a mina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Também tente girar um pouco a lapiseira quando estiver 
inclinada, para que o desgaste da mina seja uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Para melhor precisão dos traços, é aconselhado o uso de pontas 0.5 
ou 0.3. 
 
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 Capítulo 1 
 Desenho Geométrico 
 
 Este capítulo consiste de passo a passos de como solucionar 
diversos problemas geométricos, por exemplo como achar a mediatriz 
de um segmento de reta, ou como encontrar o centro de uma 
circunferência. São métodos necessários para os demais assuntos dessa 
matéria e até convenientes em qualquer desenho técnico. 
 
 1. Ponto médio e mediatriz de um segmento de reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado o segmento AB, coloque a ponta seca 
do compassoem A ou B. Abra um raio maior 
que a metade do segmento e trace um arco 
acima e abaixo deste. 
Obs.: Faça o arco com um linha fina, pois, 
além de ser apenas uma linha de 
construção, permite maior precisão no 
desenho. 
Faça o mesmo no outro ponto (com o mesmo raio de abertura do compasso). Ligue 
as intersecções dos arcos com um esquadro e marque o ponto médio ou trace a 
mediatriz. 
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 2. Perpendicular de um segmento passando por ponto dado. 
2.1 Ponto contido no segmento (duas maneiras) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Dado o segmento, prolongue-o a 
partir do ponto escolhido (nesse caso 
foi a extremidade B) para passar a 
perpendicular. 
 
b. Coloque a ponta seca do compasso 
no ponto, abra qualquer raio e faça 
um arco de cada lado, passando pelo 
segmento. 
 
 
 
 
c. Ponta seca nas intersecções dos 
raios com o segmento, então, como 
na mediatriz, abra um raio maior que 
a metade do segmento (o segmento 
de um arco ao outro) e marque um 
arco acima e abaixo da reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. Ligue as intersecções desses raios 
por uma reta. Esta será a 
perpendicular. 
7 
 
Também pode ser feito da seguinte maneira: 
 Com um raio qualquer de abertura do compasso, faça os 
seguintes arcos (mantendo sempre o mesmo raio). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Ponto não contido no segmento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. Então é só ligar a última 
intersecção de raios com a 
extremidade do segmento de reta. 
b. Com a ponta seca em 
C, abra o compasso até 
a extremidade mais 
próxima (B) e faça um 
arco passando pelo 
segmento. Se 
necessário prolongue o 
segmento. 
c. Então faça como na 
mediatriz: ponta seca 
nas extremidades; raio 
maior que a metade; 
arcos abaixo. 
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 3. Triangulação. 
Necessária para redesenhar um mesmo triângulo em outra posição 
(figura abaixo), ou outra figura plana se dividida em triângulos; o que 
ajudará na Planificação (no capítulo 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perceba que o processo de achar 
uma perpendicular a uma reta 
sempre precisará do método que 
acha a mediatriz, ou seja, é criado 
um novo segmento cuja mediatriz 
já será essa perpendicular. 
a. Tendo o triângulo ABC, comece 
desenhando uma reta qualquer e 
marcando um ponto (B). Então abra 
um raio igual a um segmento que 
contenha esse ponto (AB) e faça o 
arco. 
b. Agora meça BC com o 
compasso e passe o arco 
como na figura. 
c. Raio AC. 
d. Termine o triângulo 
ABC, que tem as 
mesmas dimensões 
daquele primeiro, porém 
em outra posição. 
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 4. Retas paralelas 
Para desenhar uma reta paralela a outra dada deve-se tentar imaginar 
um retângulo, quadrado ou um paralelogramo (o último é mais usado) 
entre elas, numa posição que dois lados opostos estejam contidos nas 
retas como mostram as figuras abaixo. Assim o processo ficará mais 
fácil de se entender. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Dado um segmento de 
reta, ou uma reta, 
coloque a ponta seca em 
qualquer ponto do 
segmento e faça um arco 
qualquer (essa será a 
medida de um lado do 
paralelogramo). 
c. Faça o mesmo em 
outro ponto (nesse caso 
foram escolhidas as 
extremidades) com o 
mesmo raio. 
d. O raio desse arco 
equivale à diagonal do 
paralelogramo. O ponto 
onde os arcos se 
encontram corresponde 
a um vértice do 
paralelogramo 
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 5. Como achar o centro de uma circunferência 
Apenas trace duas cordas quaisquer, não paralelas, e suas mediatrizes; a 
intersecção destas será o centro da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. Abra o compasso com 
um raio igual ao 
segmento AB. Coloque a 
ponta seca no vértice do 
paralelogramo e marque 
um arco como mostrado. 
f. Ligue as intersecções 
dos arcos. As retas 
estarão paralelas. 
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 6. Dividindo um segmento de reta em x partes. 
O processo a seguir pode ser usado para dividi-lo em qualquer número 
de partes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7. Dividindo uma circunferência em x partes. 
O processo a seguir pode ser usado para dividi-la em qualquer número 
de partes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Trace uma reta adjacente ao segmento, de 
preferência com um ângulo agudo. 
b. Divida essa adjacente no número desejado 
de partes. A unidade não importa; pode ser 
usado o escalímetro ou mesmo o compasso. 
c. Ligue a última marcação com a 
extremidade do segmento. 
d. Usando o jogo de esquadros, faça as 
marcações em AB de maneira que sejam 
paralelas a essa última reta que liga a B, 
partindo das marcações da adjacente (não é 
necessário desenhar o tracejado). 
a. Trace o diâmetro na circunferência. b. Como no item 6, divida o diâmetro no número de 
partes requerido; nesse caso seis partes. 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Com a ponta seca do compasso nessas 
posições, abra um raio igual ao diâmetro e 
marque os arcos. 
d. Escolha as marcações ímpares ou pares 
do diâmetro e transfira-as para a 
circunferência partindo das intersecções 
dos arcos. (Não é necessário o tracejado). 
e. Faça o mesmo partindo da outra 
intersecção de arcos. A circunferência está 
dividida em seis partes iguais. 
f. Se as marcações forem ligadas, terá um 
polígono regular com o número de lados 
igual ao de partes da circunferência, inscrito 
nesta. 
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 8. Estrela regular. 
 O processo a seguir pode ser usado para criar estrelas com qualquer 
número de pontas, a partir de quatro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. A estrela deverá partir de uma 
circunferência dividida igualmente. O 
número de pontas é equivalente ao 
número de partes desta. 
b. Partindo de uma marcação, faça 
duas retas ligando a outros dois 
pontos que não estejam ao lado desta. 
Esses segmentos devem ser 
simétricos. 
e. Ambas as estrelas acima têm 12 pontas, porém os lados foram feitos pulando 
diferentes números de marcação. Na primeira, as marcações ligadas pularam 
apenas uma; já na segunda foram pulados três pontos para ligar as pontas. Tanto 
faz qual maneira será escolhida; o importante é manter a simetria. 
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 9. Polígono regular circunscrito numa circunferência dada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Divida uma circunferência 
pelo número de lados do 
polígono requerido. 
b. Faça uma perpendicular ao 
diâmetro passando em uma 
das extremidades. * 
c. Trace pequenos segmentos 
partindo das marcações até 
encontrarem a perpendicular 
(a reta deve passar pelo 
centro). (Não é necessáriodesenhar o tracejado). 
d. Com o compasso, abra um 
raio do centro até essa nova 
intersecção com a 
perpendicular e faça uma 
circunferência. 
e. Faça os mesmos pequenos 
segmentos nas outras 
marcações. 
f. Ligue as intersecções dos 
segmentos com a 
circunferência maior. 
g. Por fim, escureça a 
circunferência de dentro para 
enaltecer que o polígono está 
circunscrito a ela. 
* Para fazer desta maneira, que é mais fácil, divida a circunferência de modo que as 
divisões dela não estejam na extremidade do diâmetro. Deixe pelo menos uma dessas 
extremidades sem ser uma divisória da circunferência. 
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 10. Concordância de arcos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.1 Concordar dois arcos passando por um ponto dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado o arco, deve-se desenhar uma reta passando pelo centro e por uma 
extremidade do arco. Nesta reta deve estar contido o centro do outro arco, 
senão não estarão concordando, ou seja, se tangenciando. 
Posicione a ponta seca em qualquer ponto da reta, sendo que depois da 
extremidade, abra o raio até encontrar com B e faça o arco. Se for pedido um 
raio específico para a circunferência deste arco, a distância de B até o novo 
centro deve ter a medida do raio. 
a. Dados o arco e o ponto, faça como no item anterior: trace uma reta 
partindo de O e passando em B. 
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b. O segmento BC é uma corda da circunferência do novo arco... 
c. ... Portanto a intersecção de sua mediatriz com a reta prolongada consiste no 
novo centro (ver item 5). 
d. Com a ponta seca nessa intersecção, abra o raio até B e faça o arco. 
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 11 Concordância de segmentos de retas por um arco. 
11.1 Segmentos paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.2 Segmentos oblíquos ou ortogonais, sem raio dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Dados dois segmentos de reta, 
desenhe uma perpendicular 
passando pelas extremidades 
(estas devem estar na mesma 
vertical senão o arco não 
concordará). 
b. Com a ponta seca no ponto médio 
da perpendicular (ver item 1), abra o 
raio até uma das extremidades (B ou 
D) e faça o arco 
b. Prolongue os segmentos até se 
intersectarem. 
c. Com a ponta seca na intersecção, 
abra um raio qualquer e marque os 
dois arcos. 
d. Os segmentos deverão terminar 
nesses arcos. 
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11.3 Segmentos oblíquos ou ortogonais, com raio dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. Passe perpendiculares a cada 
segmento a partir de B e D. A 
intersecção destas será o centro da 
circunferência do arco. 
f. Abra o raio do centro até B ou D e 
faça o arco. 
b. Prolongue os segmentos até se 
intersectarem. 
c. Faça uma perpendicular em cada 
segmento, em qualquer posição e 
com a dimensão do raio pedido para 
a circunferência do arco. 
d. Desenhe paralelas às semi-retas A 
e C partindo das extremidades dessas 
perpendiculares. 
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 12 Triângulos: exercícios resolvidos. 
12.1 Faça o triângulo ABC de maneira que tenha altura 3cm, AB 5cm e o 
ângulo  45°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. Se passadas duas perpendiculares 
às semi-retas a partir desta 
intersecção (centro da 
circunferência), encontraremos os 
pontos B e D, que definem os 
segmentos AB e CD. 
f. Com a ponta seca nessa posição 
faça o arco, concordando os 
segmentos. 
a. Comece aplicando os dados da 
questão. 
b. Desenhe uma perpendicular a AB 
passando em A com 3 cm de altura. 
c. Na extremidade dessa perpendicular, trace 
uma paralela a AB até encontrar a reta 
inclinada a 45°. Este é o ponto C. Feche o 
triângulo. 
20 
 
12.2 Desenhe um triângulo isósceles com altura 2 cm e com um ângulo 
de 120°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.3 Dados apenas os ângulos  60° e B 75° de um triângulo e AB igual a 
3cm, construa-o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Faça uma reta de 2 cm. b. Já que o triângulo é isósceles e tem um ângulo de 
120°, sabemos que o vértice desse ângulo está numa 
das extremidades da altura, pois os outro dois ângulos 
serão equivalentes entre si e não pertencerão a essa 
altura. Então posicione o esquadro de 60° fazendo duas 
retas de 60° com a altura, uma pra cada lado, somando 
os 120°. 
d. Faça uma perpendicular à altura a 
partir de sua outra extremidade, 
fechando o triângulo. 
a. Desenhe o segmento AB 
com 3 cm. 
b. Com o esquadro de 60° 
transfira esse ângulo para 
A, fazendo uma reta. 
Nesta estará contido o 
ponto C. Já que a soma 
dos ângulos internos de 
um triângulo é 180°, o 
outro ângulo é 45°. 
c. Portanto use o esquadro 
de 45° para achar o último 
ponto (C), deslizando-o 
pela semi-reta A até que se 
posicione como mostra a 
imagem. Isso chama-se 
enquadramento. 
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 Exercícios 
1. Faça uma reta perpendicular ao segmento AB passando por B 
 
 
 
 
 
2. Faça uma reta perpendicular ao segmento XY passando pelo centro 
do triângulo. Lembrando: o centro do triângulo é achado com a 
intersecção de suas bissetrizes (reta que divide o ângulo em duas partes 
iguais). 
 
 
 
 
 
 
3. Desenhe o triângulo ABC em outra posição. 
 
 
 
 
 
 
22 
 
4. Desenhe uma reta paralela ao segmento AB passando por C. 
 
 
 
 
 
 
5. Faça uma reta paralela ao segmento XY passando pelo centro da 
circunferência dada. 
 
 
 
 
 
 
6. Divida o segmento abaixo em 13 partes. 
 
 
 
 
7. Divida a circunferência abaixo em 10 partes. 
 
 
 
23 
 
8. Faça uma estrela de 14 lados. 
9. Faça um polígono de 7 lados circunscrito a uma circunferência de raio 
3 cm. 
10. Faça uma estrela de 5 pontas circunscrita a uma circunferência de 
raio 2 cm 
11. Concorde o arco OAB com outro que contenha o ponto C. 
 
 
 
12. Concorde 2 segmentos, cada um pertencendo a uma reta abaixo, por 
um arco de circunferência . 
 
 
 
 
 
 
13 Faça o mesmo que a questão anterior, porém usando uma 
circunferência de raio 2 cm. 
 
 
 
 
 
 
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14. Concorde o segmento abaixo com um arco de circunferência que 
contenha o ponto C. 
 
 
 
15. Faça o triângulo ABC de maneira que tenha altura (perpendicular a 
AB) 4cm, AB 2cm e o ângulo  75°. 
16. Desenhe um triângulo isósceles com altura 4 cm e com apenas um 
ângulo de 45°. 
17. Dados apenas os ângulos  30° e B 105° de um triângulo e AB igual a 
3cm, construa-o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 Capítulo 2 
 Vistas Ortográficas 
 
 Trata-se da representação bidimensional de um objeto projetada 
ortogonalmente em seis planos. Estes são posicionados ao redor do 
objeto, formando um cubo, para assim serem obtidas as projeções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Porém, esta imagem é apenas didática. A maneira correta de 
representar as vistas é planificando esse cubo. Portantoas vistas dessa 
pirâmide devem ficar assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As linhas tracejadas 
compreendem as arestas 
do cubo que envolve o 
objeto. Porém, estas linhas 
NÃO DEVEM ser 
representadas, pois 
qualquer reta em vistas 
ortográficas representa 
uma aresta ou um plano 
ortogonal ao de projeção. 
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 Exemplos de objetos com planos curvos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As distâncias entre as vistas 
devem ser iguais, facilitando 
a transferência de medidas; 
como mostra a imagem: da 
vista lateral direita para a 
vista superior. 
Note também que as linhas tracejadas 
representam arestas. Porém estas 
estão por trás de um plano do próprio 
objeto, ou seja, são arestas 
escondidas e devem ser 
representadas tracejadas. 
 
Na vista lateral esquerda não aparecem 
arestas ligando os planos porque estes 
estão concordando, ou seja, estão se 
tangenciando. 
Já na vista superior aparece uma reta 
que não está no sólido. Esta não é uma 
aresta, mas sim o plano em S quando 
está perpendicular à vista. 
Para escolher a vista frontal (seja um objeto 
com plano curvo ou não) sempre use os 
seguintes requisitos: a que identifica mais 
aquele objeto; a maior; e com menos arestas 
escondidas. 
Note que na posição em que o plano 
curvo fica ortogonal a vista, surge uma 
aresta; como a tracejada da VLE. 
27 
 
 Exercícios 
1. Dadas as duas vistas ortográficas abaixo de um sólido, faça a vista 
superior e a inferior do mesmo. 
 
 
 
 
 
 
2. Dos seguintes sólidos, represente: 
(Lembre-se de manter a proporção nas vistas) 
 
a) todas as vistas. b) VF,VS, VLD. 
 
 
 
 
 
 
 
c) VF, VS, VLD. d) VF, VS, VLE. 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Mesmo que alguns sólidos não venham com as medidas ao lado, 
tente percebê-las para ajudar a manter a proporção. 
 
VF VLE 
28 
 
e) VF, VS, VLD. f) VF, VS, VLE. 
 
 
 
 
 
 
 
g) VF, VS, VLE. h) VF, VS, VLD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) apenas as vistas necessárias. j) VF, VS, VLE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
k) VF, VS, VLD. l) VF, VI, VLE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
m) VF, VS, VLD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n) todas as vistas. o) VF, VS, VLD. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Identifique erros nas vistas ortográficas do sólido abaixo. Refaça as 
vistas da maneira correta. Escala e unidade livres. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Faça todas as vistas do sólido abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Dois pontos de vista do 
mesmo sólido. 
30 
 
 Capítulo 3 
 Geometria Descritiva (Projeção Mongeana) 
 
 Este assunto assemelha-se ao anterior, porém usaremos apenas 
dois planos de projeção (às vezes será necessário um plano auxiliar) e 
serão usadas coordenadas para os pontos projetados. Os planos de 
projeção correspondem a um diedro. Existem quatro, mas a ABNT 
adota apenas o primeiro (imagem abaixo), portanto usaremos apenas 
este. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 Ponto na projeção mongeana. 
Já que os objetos estão no espaço, pertencem a um sistema 
tridimensional, portanto serão usadas três coordenadas. São a Abscissa 
(distância do ponto para π0), o Afastamento (distância do ponto para 
π2), e a Cota (distância do ponto para π1). π0 é o plano auxiliar que 
posiciona-se perpendicular ao vertical e ao horizontal, passando pela 
origem (como mostra a imagem a seguir). 
 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mas como nas vistas ortográficas, a representação deve ser feita 
em duas dimensões. Portanto o resultado é a planificação desse diedro, 
e chama-se Épura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As linha finas são apenas de 
construção, mas mostram 
como deve haver uma 
correspondência entre as 
projeções. 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 Reta e segmento de reta em épura. 
Segmento de reta é a simples ligação de dois pontos. Já a reta deve ser 
representada como se fosse infinita, ou seja, não deve ter pontos 
limitando-a. 
 Segmento de reta: Reta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Perceba que a reta deve ser representada apenas por uma letra 
minúscula. 
 
O resultado, sem todas 
aquelas informações, deve 
ficar assim. Porém quando 
você fizer linhas de 
construção não apague-as, 
pois mostra quais os passos 
usados para chegar naquele 
resultado. E lembre-se que 
devem ser linhas claras, pois 
também usaremos retas em 
épura, e elas não devem ser 
confundidas. 
33 
 
 2.1 Tipos de reta. 
Dependendo da posição da reta em relação aos planos de projeção, ela 
receberá denominações diferentes. Existem sete tipos. 
 
 Reta frontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reta horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reta é paralela a π2, 
oblíqua a π1 e π0. 
Portanto está em Verdadeira Grandeza 
em π2, e em Projeção Reduzida em π1 
e π0. 
Obs.: 
Verdadeira Grandeza (VG) – Quando a projeção tem a mesma dimensão do objeto real. 
Ocorre quando o objeto está paralelo àquele plano de projeção. 
Projeção Reduzida (PR) – Quando a projeção é menor que o objeto real, porém não chega a 
ser o mínimo, como um ponto. Ocorre quando o objeto está oblíquo àquele plano de 
projeção. 
Projeção Acumulada (PA) – Quando uma dimensão do objeto do objeto está resumida a um 
ponto na projeção, ou seja, quando o objeto está ortogonal ao plano de projeção 
A reta é paralela a π1, 
oblíqua a π2 e π0. 
Portanto está em Verdadeira Grandeza 
em π1, e em Projeção Reduzida em π2 
e π0. 
34 
 
 Reta fronto-horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reta vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reta de perfil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reta é paralela a π1 e π2, 
e ortogonal a π0. 
Portanto está em Verdadeira Grandeza 
em π1 e π2, e em Projeção Acumulada 
em π0. 
A reta é paralela a π0 e π2, 
e ortogonal a π1. 
Portanto está em Verdadeira Grandeza 
em π0 e π2, e em Projeção Acumulada 
em π1. 
Este símbolo é usado para mostrar que 
dois ou mais pontos estão acumulados 
no mesmo ponto de projeção. 
A reta é paralela a π0, 
e oblíqua a π1 e π2. 
Portanto está em Verdadeira Grandeza 
em π0, e em Projeção Reduzida em π1 
e π2. 
35 
 
 Reta de topo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reta oblíqua 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tabela de posicionamento dos tipos de reta 
Tipos de reta π1 π2 π0 
Frontal PR VG PR 
Horizontal VG PR PR 
Fronto-Horizontal VG VG PA 
Vertical PA VG VG 
Perfil PR PR VG 
Topo VG PA VG 
Oblíqua PR PR PR 
 
Legenda: 
: oblíqua; : ortogonal; : paralela. 
A reta é paralela a π1 e π0, 
e ortogonal a π2. 
Portanto está em Verdadeira Grandeza 
em π1 e π0, e em Projeção Acumulada 
em π2. 
A reta é oblíqua a π1, π0 e π2. 
Portanto está em Projeção Reduzida 
em π1, π0 e π2. 
36 
 
 3 Planos em épura 
Um plano pode serrepresentado ou subentendido de diversas formas 
em épura, não apenas por uma figura plana. Como: 
 
 Por três pontos não colineares Uma reta e um ponto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma figura plana Pelos traços do plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Traço de um plano é a reta gerada quando o plano intersecta os 
planos de projeção 
 
Este seria o plano desses 
últimos traços: 
 
 
37 
 
3.1 Tipos de planos. Como as retas, também existem sete. 
 Frontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Perfil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O plano é paralelo a π2, 
e ortogonal a π0 e π1. 
Portanto está em Verdadeira Grandeza 
em π2, e em Projeção Acumulada em 
π0 e π1. 
O plano é paralelo a π1, 
e ortogonal a π0 e π2. 
Portanto está em Verdadeira Grandeza 
em π1, e em Projeção Acumulada em 
π0 e π2. 
O plano é paralelo a π0, 
e ortogonal a π1 e π2. 
Portanto está em Verdadeira Grandeza 
em π0, e em Projeção Acumulada em 
π1 e π2. 
38 
 
 Vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Rampa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Topo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O plano é ortogonal a π1, 
e oblíquo a π0 e π2. 
Portanto está em Projeção Acumulada 
em π1, e em Projeção Reduzida em π0 
e π2. 
O plano é ortogonal a π0, 
e oblíquo a π1 e π2. 
Portanto está em Projeção Acumulada 
em π0, e em Projeção Reduzida em π1 
e π2. 
O plano é ortogonal a π2, 
e oblíquo a π1 e π0. 
Portanto está em Projeção Acumulada 
em π2, e em Projeção Reduzida em π1 
e π0. 
39 
 
 Oblíquo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela de posicionamento dos tipos de plano 
Tipos de plano π1 π2 π0 
Frontal PA VG PA 
Horizontal VG PA PA 
Perfil PA PA VG 
Vertical PA PR PR 
Rampa PR PR PA 
Topo PR PA PR 
Oblíquo PR PR PR 
 
 4 Objetos tridimensionais em épura 
 Superfícies planas – Cubos, paralelepípedos, pirâmides. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O plano é oblíquo a π1, π0 e π2. 
Portanto está em Projeção Reduzida 
em π1, π0 e π2. 
Obs.: Perceba que, como nas vistas ortográficas, linhas tracejadas representam 
segmentos de reta escondidos (atrás de um plano). 
 
40 
 
 Superfícies de revolução – Cones, cilindros, esferas e troncos. 
 São aquelas formadas pela rotação de um plano ao longo de um 
eixo, como mostram as figuras: 
Cone 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cilindro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esfera 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o vértice pode ser definido, 
como no cone, o objeto possui vértice 
próprio. 
Quando o vértice está no infinito, 
como no cilindro, o objeto possui 
vértice impróprio. 
O cone é obtido pela rotação 
de uma triângulo. 
O cilindro é obtido pela rotação 
de uma retângulo/quadrado. 
A esfera é obtida pela rotação 
de um semi-círculo. 
41 
 
 As retas finas nas épuras dessas superfícies representam as 
geratrizes dos volumes (não é obrigatória sua representação nos 
exercícios). Estas são as retas que ligam a diretriz ao vértice, formando 
a superfície lateral do objeto. A diretriz por sua vez é a circunferência 
que direciona as geratrizes, por isso possui esse nome (normalmente 
corresponde à base do objeto). 
 O eixo da superfície é a reta que liga o centro de sua base ao 
vértice. Percebe-se que nos últimos exemplos o eixo forma 90° com a 
base, portanto são considerados de eixo reto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Troncos - São superfícies de vértice próprio, porém chanfradas entre a 
base e o vértice, de maneira que este último não se encoste à superfície. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de superfície de eixo oblíquo. 
Tronco de pirâmide. Tronco de cone. 
42 
 
 5 Planificação 
Seu objetivo é posicionar todas as faces de uma superfície sobre um 
mesmo plano, resultando numa figura inteiramente em verdadeira 
grandeza. Portanto, dada a superfície, o primeiro passo é achar a 
verdadeira grandeza de todas suas arestas, caso já não estejam em VG. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para perceber se uma reta está 
em VG em tal plano, digamos 
π1, é necessário verificar em 
um dos outros planos, 
usaremos π2, se ela está 
paralela a tal plano. No caso ao 
lado perceba que em π2 a reta 
está paralela a linha de terra, 
portanto está paralela a π1 e 
em VG no mesmo. 
Ou então se ela estiver em PA 
no outro plano (π2), e nesse 
(π1) estiver representada como 
um reta, com certeza esta 
estará em VG.] 
Obs.: o mesmo pode ser feito 
para π0, porém ao invés de se 
basear pela linha de terra deve-
se usar a reta perpendicular a 
esta que passa pela origem, 
sempre usada quando 
necessário esse plano auxiliar. 
Usaremos esse tronco de 
pirâmide como exemplo de 
planificação. 
Para facilitar: o único tipo de reta que 
não possui VG em nenhum dos três 
planos de projeção é a oblíqua. 
43 
 
1° Passo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2° Passo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como já foi dito, deve-se saber 
quais segmentos de reta não 
estão em VG. Portanto AD e CF. 
Porém, nesse processo de 
planificação, é usada a 
triangulação para desenhar 
cada face da superfície, como 
veremos a frente, e este objeto 
possui faces quadriláteras, 
portanto deve-se usar a 
diagonal de cada face 
quadrilátera (formando 
triângulos). O que significa que 
se estas não estiverem em VG, 
suas verdadeiras grandezas 
também terão de ser achadas. 
Por sorte, AD é igual a CF, e a diagonal BD é igual a EF. Assim só teremos de 
achar a VG de uma de cada par. 
 Deve-se achar a VG de cada segmento de reta oblíquo. A seqüência de imagens 
mostra como fazê-lo. 
AD foi escolhido. Passa-se uma reta 
horizontal em um dos pontos, no caso 
D (em π1 ou em π2). 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3° Passo: 
 Depois de achadas todas as VGs, deve-se começar a fazer a planificação fora 
da épura, de preferência em uma folha avulsa. A seqüência de imagens mostra 
como montar, por triangulação, a superfície planificada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa horizontal deve sair do ponto que 
foi rotacionado, nesse caso: A. 
A distância dessa intersecção ao ponto 
D1 é a VG de AD. 
Comece desenhando uma das faces. E continue face por face. 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Continuando com a triangulação para achar cada face, obtém-se a 
planificação completa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Obs.: A posição das faces poderia ser diferente, se mantido o mesmo 
método de triangulação usando somente as verdadeiras grandezas. Como assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A planificação continua correta, porém com outra configuração. 
46 
 
 Exercícios 
 Para todas questões: Escala 1:1 / Un.: mm 
 
1. Desenhe em épura uma superfície cuja diretriz é uma circunferênciade centro O (50;50;00), raio 20mm, contida no plano horizontal de 
projeção. Sabe-se que uma de suas geratrizes é o segmento de reta 
frontal definido por Z (30;50;00) e Y (30;50;25). 
 
2. Planifique as seguintes superfícies desenhadas em épura. 
 a)Prisma de base hexagonal. b)Prisma de base triangular. 
 
3. Represente, em épura, uma pirâmide de base quadrangular, sabe-se 
que esta base pertence a um plano horizontal de cota 20mm. 
 
4. Represente uma superfície com eixo oblíquo e de vértice impróprio 
em épura. Sua diretriz deve ser uma circunferência. 
 
5. Represente em épura uma superfície de vértice próprio cuja diretriz é 
a circunferência de centro O (40;50;30). 
 
6. Desenhe e planifique a superfície cúbica cujos vértices são: 
A (60;60;10) B (60;20;10) C (20;20;10) D (20;60;10) E (60;60;50) 
F (20;60;50) G (60;20;50) H (20;20;50) 
 
7. Desenhe e planifique a superfície de base ABC e vértice V. 
A (20;10;30) B (30;10;10) C (10;10;10) V (20;30;20) 
 
8. Represente em épura um plano horizontal por 2 retas concorrentes. 
 
9. Represente em épura um plano vertical por um segmento de reta e 
um ponto não pertencente a este. 
 
47 
 
10. Represente em épura um plano de perfil por segmentos de reta nele 
contidos. 
 
11. Represente em épura um plano frontal por três pontos não 
colineares. 
 
12. Planifique os seguintes poliedros: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A (60;25;00) B (60;40;00) C (30;40;00) D (30;25;00) E (15;40;40) F (00;40;40) 
G (00;10;40) H (15;10;40) 
 
 
 
48 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A (60;15;00) B (60;30;00) 
C (30;15;00) D (30;30;00) 
E (28;??;24) F (28;??;24) 
G (??;??;20) H (??;??;20) 
 V (00;56;45) 
A (10,20,00) B (10,20,20) 
C (18,12,00) D (18,12,20) 
E (30,24,32) F (22,32,32) 
G (40,34,22) H (32,42,22) 
49 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) QUAL dos seguintes segmentos de reta não pertence ao plano que 
contém os demais segmentos? 
AB: A(40;10;30) B(40;40;30) 
CD: C(00;00;30) D(30;50;30) 
EF: E(60;30;30) F(60;50;60) 
GH: G(70;25;30) H(10;25;30) 
 
14) Desenhe o resultado de um cubo cortado por um plano vertical, de 
maneira que a parte que sobrar deste cubo seja a mais distante da 
origem. O cubo tem abscissa 10mm, afastamento 20mm e cota 20mm, 
suas faces tem 30mm x 30mm e são paralelas aos planos de projeção; o 
plano vertical faz 45º com π2 e π0 e corta o cubo exatamente ao meio. 
 
15) Desenhe um cone cuja base pertença a um plano de topo. O plano 
faz 30º com π1e seu traço neste plano de projeção tem abscissa 60mm; 
o cone tem altura 45mm, eixo reto, e sua base tem raio 15mm, e centro 
com afastamento 30mm e cota sendo metade da cota do traço em π0. 
 
A (30,05,20) B (30,05,00) 
C (25,21,20) D (25,21,00) 
E (40,15,00) F (35,7.5,20) 
G (15,10,20) H (20,18,00) 
I (20,??,00) J (15,15,20) 
K (40,10,00) L (35,17,20) 
50 
 
 Respostas dos exercícios 
 Capítulo 1 
 
1. 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
3. 
5. 
51 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Apesar que a 
estrela deva ter 14 
pontas, estas podem ser 
mais apontadas do que 
nesta resposta. 
52 
 
10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. 
 
 
 
 
 
12. 13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
14. 
 
 
 
 
 
15. 
 
 
 
 
 
 
16. 
 
 
 
 
 
 
 
17. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 Capítulo 2 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
k) l) 
 
 
 
 
 
 
 
 
m) 
 
 
 
 
 
 
 
n) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o) 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 Capítulo 3 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. a) Planificação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Planificação: 
 
 
 
 
 
 
 
0 
0 
59 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: desenho em reduzido. 
 
61 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Planificação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
12. a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
65 
 
13. O segmento EF. 
14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
15.