atividade 8

Prévia do material em texto

Se´tima Atividade de ma211ab, ps2015
(1) Nesta questa˜o, considere o problema 26 da lista ao final do para´grafo 14.9, na pa´gina 64 do
texto do Edwards e Penney. Neste problema os autores pedem para encontrar os pontos da elipse
4x2 + 9y2 = 36 que esta˜o mais pro´ximos e mais afastados do ponto (1, 1). Pedimos que voceˆ
resolva o problema de duas formas diferentes, depois fac¸a uma animac¸a˜o.
(a) Parametrize a elipse, pondo um carrinho andando sobre ela atrave´s das equac¸o˜es x = a cos(t),
y = b sen(t), t e´ o tempo, a e b voceˆ escolhe para que valha a equac¸a˜o da elipse. Em
seguida escreva a distaˆncia do carrinho ao ponto (1, 1) como func¸a˜o do tempo, que pode ser
escolhido entre 0 e 2π . . . concorda? Finalmente resolva o problema de ca´lculo I resultante,
fac¸a gra´ficos, teste da primeira derivada, interprete, use bastante o mathematica.
(b) Resolva o problema pelo me´todo de lagrange, com duas varia´veis e um v´ınculo, minimizando
a func¸a˜o que da´ o quadrado distaˆncia de um ponto ao gene´rico ao ponto (1, 1), mas com um
v´ınculo que garanta que o ponto esta´ na elipse.
(c) Fac¸a uma bela animac¸a˜o, mostrando o carrinho percorrento a elipse, numa regia˜o bem
escolhida, sobreposta pelos conjuntos de n´ıvel da func¸a˜o que foi minimizada e tambe´m
por suas linhas de gradiente, mostre a velocidade vetorial do carrinho junto com o gradiente
da func¸a˜o vinculante a` elipse que escolheu, estes dois vetores ortogonais se movendo e presos
no ponto que o carrinho esta´ em cada instante.
(2) Nesta questa˜o resolva o problema 20, mais ao final da mesma lista acima, quando os autores
pedem para fazer pelo me´todo de lagrange um exerc´ıcio que ja´ havia aparecido como problema
41 da lista ao final do pargrafo 14.5 do mesmo livro. Neste problema, um arame de 120 cm de
comprimento e´ cortado em treˆs ou menos pedac¸os e com cada pedac¸o forma-se um quadrado.
Como se deve fazer isto de forma a minimizar a a´rea total desses quadrados? . . . e de modo a
maximiza´-la? Novamente empregue o mathematica, fac¸a gra´ficos, conjuntos de n´ıvel e linhas de
gradiente superpostos com o conjunto vinculante, fac¸a divagac¸o˜es, conjeturas e tal e tal . . . afinal,
tentamos ser um curso cabec¸a, ne´?
(3) No 28 da mesma lista, o cone z2 = x2 + y2, de revoluc¸a˜o em torno do eixo z, com semi-
abertura π/4, e´ cortado pelo plano x+2y+3z = 3. Haja vista que o aˆngulo entre o vetor normal
e o eixo z e´ menor que π/4, o corte gera uma elipse . . . concorda com este argumento? (explique).
Pedem para encontrar os pontos mais alto e mais baixo da elipse e falam do exemplo 4, que esta´
na pa´gina 63 do texto.
(a) Fac¸a o exerc´ıcio e o ilustre no mathematica, mostrando as superf´ıcies com a intersecc¸a˜o
destacada, usando muita transpareˆncia e o comando ContourPlot3D [ ] para superpor a
elipse e as superf´ıcies de n´ıvel da altura (f [x, y, z] = z, ne´?). Quais as coordenadas do foco
desta elipse? . . . sera´ que com os pontos encontrados da´ para achar?
(b) Use polares rθ no plano xy e parametrize a elipse . . . se o ponto esta´ no cone, z deve coincidir
com r, use a equac¸a˜o do plano para relacionar r(= z) com θ. Da´ı ponha um carrinho andando
sobre a elipse com x = r[θ] cos[θ], y = r[θ]sen[θ] e z = r[θ]. Enta˜o resolva o problema achando
ma´ximo e mı´nimo de z = r[θ], θ ∈ [0, 2π], como no ca´lculo I.
1