AULA-N2-OLIMPIADA-DE-MATEMATICA-SUPER-CORRIGIDA

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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE
AULA Nº 02 – 2010
UMA DESIGUALDADE MUITO ÚTIL: A DE CAUCHY–SCHWARTZ
Benedito Tadeu V. Freire e José Maria Gomes
1. Introdução
O objetivo desta aula é mostrar, de forma sucinta, uma ferramenta muito poderosa, a Desigualdade
de Cauchy-Schwartz, muito útil na prova de desigualdades que aparecem com freqüência em
Olimpíadas de Matemática. Depois de apresentarmos a demonstração da Desigualdade de Cauchy-
Schwartz, faremos três aplicações, resolvendo os seguintes problemas, dois deles de Olimpíadas de
Matemática:
Problema (1)
Se a, b e c são números reais tais que
2 2 2 1a b c   , então qual é o valor máximo de ab + bc + ac?
Problema (2) (África do Sul-95)
Se a, b, c e d números reais positivos, prove que
1 1 4 16 64
a b c d a b c d      
Problema (3) (Cone Sul-96)
Se a, b, e c são números reais positivos, prove que
3
2
a b c
b c c a a b    
No final da Aula, deixamos para o leitor exercitar uma coleção de problemas em cuja solução faz
uso dos argumentos aqui estudados.
Vamos fazer a demonstração da Desigualdade de Cauchy-Schwartz provando, inicialmente, o lema
a seguir:
Lema
Se a, b, x, y são números reais quaisquer, com x e y positivos, então segue que:
2 2 2( )a b a b
x y x y
  
Demonstração
A demonstração é feita a partir de manipulações algébricas bem simples. Trabalhamos com a
desigualdade proposta até chegarmos a um fato verdadeiro bem conhecido, o que nos garante a
veracidade da desigualdade, pois, começando com este fato conhecido, fazendo todas as operações
inversas, chegaremos a desigualdade que queremos provar.
Assim, como x e y são positivos, multiplicamos ambos os lados da desigualdade que queremos
provar por xy(x+y), obtendo 2 2 2( ) ( ) ( )a y x y b x x y a b xy     , que é o mesmo que
2 2 2 2 2 2 2 22a y x a y b x b y a xy abxy b xy      
Agora, fazendo os cancelamentos, obtemos: 2 2 2 22 0a y abxy b x   , que é o mesmo que
2( ) 0ay bx  (que é o nosso fato verdadeiro conhecido!). É fácil ver que, a igualdade ocorre
quando ay bx , que é o mesmo que a bx y . Assim, concluímos a prova do nosso lema.
É interessante observar que podemos estender a desigualdade a um terno de números nas condições
do lema:
2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c a b c a b c
x y z x y z x y z
        
Na verdade, por um simples argumento indutivo, podemos mostrar que a desigualdade vale para n
números. Isto é,
2 22 2
1 2 31 2
1 2 1 2
( ... )
...
n n
n n
a a a a aa a
x x x x x x
        
E, de modo análogo ao observado acima, para todo numero real a1,a2,...an e x1, x2 , ... xn > 0, a
igualdade ocorre somente com :
1 2
1 2
n
n
aa a
x x x   
2. A Desigualdade de Cauchy–Schwartz
Se a1, a2 , ... ,an, b1, b2, ... bn são números reais. Segue que:
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2( ... ) . ( ... ) ( ... )n n n na a a b b b a b a b a b         
A igualdade ocorre se e somente se:
1 2
1 2
n
n
aa a
b b b   
Demonstração 1:
Faremos uma demonstração bem conhecida na literatura, que usa as propriedades da função
quadrática. Considere a função:
f(x) = (a1 – b1.x)2 + (a2 – b2.x)2 + (a2 – b3.x)2 + . . . + (an – bnx)2
É fácil ver que f(x) > 0, para todo x real, pois f(x) é uma soma de quadrados. Logo, o
discriminante “∆” < 0.
Para concluirmos a prova, vamos reescrever a função de modo conveniente:
f(x) = a1 – 2a1 b1 x + b2 x2 + a2 –2a2 b2 x +b22 x2+… + an2 –2abnx + bn2 x2
f(x) = (b12 + b22 +… bn2 ) x2 – (2a1b1 + 2a2 b2 +… + 2anbn ) x + a12 + a22 +… an2
Agora, calculando o discriminante da função quadrática 2 4 ,b ac   temos
2 2 2 2 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 24( ... ) 4.( ... ) . ( ... ) 0n n n na b a b a b a a a b b b          
Segue que:
2 2 2 2 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ... ) ( ... ) . ( ... )n n n na b a b a b a a a b b b        ,
O que conclui a demonstração.
Observe que a igualdade ocorre quando ∆ = 0, o que implica que:
1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b 
Demonstração 2 ( Argumento fulminante!)
Vamos usar nosso lema. Comecemos pela expressão: 2 2 21 2 ... na a a 
Agora observe que:
2 22 2 2 2
2 2 2 1 1 2 2
1 2 2 2 2
1 2
.. .... ... n nn
n
a ba b a ba a a b b b     
Aplicando o nosso lema poderoso, para o caso de n números, obtemos:
2 2 22 2 2 2
2 2 2 1 1 2 21 1 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
( ... )... ... ...
n n n n
n
n n
a b a b a b a ba b a ba a a b b b b b b
          
O que nos dá, de forma bem simples, a Desigualdade de Cauchy-Schwartz:
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2( ... ) . ( ... ) ( . . ... )n n n na a a b b b a b a b a b      
Veja que foi espetacular a conclusão!!!
Para finalizar, vamos usar a desigualdade de Cauchy–Schwartz para provar o lema inicial.
Considere a expressão (a + b)2
Vamos reescrevê-la de modo a utilizar Cauchy–Schwartz:
2 2
2 2 2 2 2
2 2( ) . . . ( ) ( )( ) ( )
a b a ba b x y x yx y x y
                 
daí, segue que:
2 2
2( ) . ( )a ba b x yx y
      
Logo,
2 2 2( )a b a b
x y x y
  
A matemática nos leva a caminhos inimagináveis, e nos faz sentir fortes emoções!!!..........
A seguir, vamos resolver os dois problemas apresentados no início da Aula.
3. Problemas Resolvidos
Problema (1)
Se a, b e c são números reais tais que
2 2 2 1a b c   , então qual é o valor máximo de ab + bc + ac?
Solução
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, aplicada as ternas ordenadas de números reais
(a, b, a) e (b, c, c) temos que
 2 2 2 2 2 2 2( )( )ab bc ac a b a b c c       . Por outro lado, como
2 2 2 1a b c   , segue que 2 2 21a b c   . Logo, 2 2 2 2 21a b a c a     . De modo análogo,
temos que 2 2 2 2 21b c c a c     . Portanto,
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( )( ) (1 ).(1 )ab bc ac a b a b c c c a a c            . Agora, tomando
2 2x a c  , temos que  2 2(1 )(1 ) 1 1ab bc ac x x x        . Portanto, o maior valor da
expressão ab + bc + ac é 1 e esse valor é atingido quando 13a b c   .
Problema (2) (África do Sul-95)
Sejam a, b, c e d números reais positivos, prove
1 1 4 16 64
a b c d a b c d      
Solução - 1
Usando o poderoso lema é imediato. Reescrevendo a expressão acima, temos
2 2 2 21 2 2 4 64
a b c d a b c d      
Segue que
2 2 2 2 21 2 2 4 (1 1 2 4) 64
a b c d a b c d a b c d
           
Esse lema é realmente muito legal
2 2 2 21 2 2 4 64
a b c d a b c d      
2 2 2 2 21 2 2 4 (1 1 2 4) 64
a b c d a b c d a b c d
           
Solução – 2
Usando a Desigualdade de Cauchy–Schwartz, temos:
Segue que:
1 2 3 4
1 1 2 4; ;a a a e aa b c d   
1 2 3 4; ;b a b b b c e b d   
Aplicando Cauchy–Schwartz, temos
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4( ) . ( ) ( )a a a a b b b b a b a b a b a b         
21 1 4 16 1 1 2 4. ( ) . . . .a b c d a b c da b c d a b c d
                 
Assim temos:
 21 1 4 16 . ( ) 1 1 2 4a b c da b c d
            
Logo:
1 1 4 16 64
a b c d a b c d      
Problema (3) (Cone Sul-96)
Se a, b, e c são números reais. Prove que
3
2
a b c
b c c a a b    
Solução:
Multiplicamos os três termos do lado esquerdo da desigualdade por ,a ba b e
c
c ,respectivamente,
que é o mesmo que multiplicar por 1, e então usamos nosso poderoso lema:
2 2 2 3
2
a b c
ab ac bc ab ac bc    
2( ) 3
2( ) 2
a b c
ab bc ac
   
A expressão acima é equivalente a:
2 2 2 2 2 2 3 3 3a b c ab bc ac ab bc ac       
2 2 2a b c ab bc ac    
2 2 2a b c ab bc ac     a igualdade ocorre quando .a b c 
Nota:
Podemos facilmente verificar que a desigualdade 2 2 2a b c ab bc ac     é verdadeira. Comefeito, temos:
2 2 2a b ab  , 2 2 2b c bc  e 2 2 2c a ac 
Adicionando as três expressões acima temos:
2 2 22 2 2 2( )a b c ab bc ac    
O final é bem simples 2 2 2a b c ab bc ac     , o que conclui a demonstração.
4. Problemas Propostos
1) Se x, y e z > 0 prove que 2 2 2 9x y y z z x x y z      
2) Se a e b são números reais positivos, prove que 4 4 48( ) ( )a b a b  
3) (República Tcheca-99) Para a, b e c números reais positivos, prove a desigualdade
12 2 2
a b c
b c c a a b    
4) Se a, b, x e y são números reais positivos, prove que 3x y zay bz az bx ax by a b     
5) (Croácia-2004) Se x, y e z são números reais positivos, prove que
2 2 2 3
( ).( ) ( ). ( ) ( ).( ) 4
x y z
x y x z y z y x z x z y       
6) Se a, b e c >0 prove que
2 2 2 2 2 2a b b c a c a b ca b b c a c
        
7) Se a, b e c são números positivos tais que a.b.c = 1 prove que:
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2a b c b a c c a b    
8) Se x, y e z > 0 prove que 12 3 2 3 2 3 2
x y z
x y z y z x z x y       
9) Para todo a, b, c e d reais positivos prove que 2a b c db c c d d a a b      
10) (Moldávia-2007) Se w, x, y e z são números reais positivos prove que:
2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 3
w x y
x y z y z w z w x w x y          