Buscar

Resolução de Problemas com Mathematica

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 4 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

COMO NO VESTIBULAR, LEIA AS QUESTO˜ES, PENSE, NELAS ESTA´ A RESPOSTA.
Primeira Provinha de ma211ab, ps2015RA:
nome completo, turma:
assinatura, rg , cpf , n´ıver e e-mail preferido:
(1) (2,5 pontos) Nesta questa˜o primeiro conte como os comandos ContourPlot[ ] e RegionPlot[ ]
do mathematica podem ser utilizados para resolver problemas de otimizac¸a˜o visualmente, encontrando
o ma´ximo de uma func¸a˜o de duas varia´veis numa regia˜o do seu domı´nio. Ao contra´rio dos cursos
do imecc, abor´ıgenes da etnia charru´a ja´ usavam o mathematica para problemas de otimizac¸a˜o,
pois foi encontrado um computador em escavac¸o˜es pro´ximas de Trinidad, no Uruguai, com as
seguintes linhas de comando digitadas
g [x , y ] = x+ y;
a = ContourPlot [g[x, y], {x, 0, 4}, {y, 0, 4},ContourShading→ False,ContourLabels→ True] ;
b = RegionPlot [y ≤ 2− (x/3) && x ≤ 3, {x, 0, 4}, {y, 0, 4},PlotPoints→ 50] ;
Show [b, a]
(a) descreva o problema que aquele amer´ındio primitivo tentava resolver,
(b) explique qual a finalidade de cada um dos comandos acima e seus detalhes, inclusive o efeito
do ponto-e-v´ırgula ao final,
(c) fac¸a manualmente o desenho obtido apo´s a execuc¸a˜o da u´ltima linha de comando . . . tal,
reproduzida em pintura rupreste, parece que continha, dento do misterioso quadrado [0, 4]× [0, 4],
retas paralelas superpostas a um trape´zio colorido,
(d) a partir do seu desenho conclua qual e´ a soluc¸a˜o do problema . . . e conte, em problemas mais
complicados, que clicando com o direito e escolhendo get coordinates voceˆ nem precisa fazer
conta para achar o ma´ximo.
1
(2) (2,5 pontos) Ao contra´rio dos cursos do imecc, os eg´ıpcios antigos ja´ usavam o mathematica
para calcular volumes de so´lidos, foi encontrado, numa piraˆmide, um computador com as seguintes
linhas digitadas
h [x , y ] = 9− x2 − y2;
Plot3D [h[x, y], {x,−4, 4}, {y,−4, 4},RegionFunction→ Function [{x, y, z},h [x, y] ≥ 0]]
hpol [r , θ ] = Simplify [h [r Cos [θ] , r Sin [θ]]]
Integrate [Integrate [hpol [r, θ] ∗ r, {r, 0, 3}] , {θ, 0, 2π}]
(a) apo´s a execuc¸a˜o do segundo comando, aparecia uma superf´ıcie parabo´lica, que lembra muito
uma corcova de camelo de Magrebe, dentro de um paralelep´ıpedo (caixa transparente, tal
qual certa invenc¸a˜o eg´ıpcia, feita com areia) dado por [−4, 4]× [−4, 4]× [0, 9] . . . desenhe o
resultado da execuc¸a˜o, que talvez tenha sido um primeiro projeto do farao´ tutankamon, que
depois desistiu e mudou para piraˆmide, explique-o em func¸a˜o do comando usado e de seus
detalhes, descreva a base da tal estrutura, que serve de sombra para o gra´fico desenhado,
(b) conjeture a raza˜o do terceiro comando e diga qual e´ o seu resultado, ele sugere que os eg´ıpcios
ja´ conheciam certos tipos de trocas,
(c) para que serve o quarto comando, qual o motivo do misterioso ∗r que aparece nele?
(d) o resultado do quarto comando foi um nu´mero, 135π/2 . . . voceˆ seria capaz de explicar o
porqueˆ, obteˆ-lo fazendo-o . . . by hand?
2
(3) (2,5 pontos) Ao que parece, ate´ os pe´s-grandes esta˜o utilizando o mathematica. Considere
o movimento de um carrinho dado por x = t e y = t, sendo t um hipote´tico tempo, que vai de
−1 ate´ 1, considere ainda que este carrinho esta´ se movimentando num campo de temperaturas
dado por u [x, y] = 40(x2 + (y − 1)2) . . .mostre que a func¸a˜o composta u [t, t] = 40(1− 2t+ 2t2)
(verifique), que da´ a temperatura da posic¸a˜o do carrinho, e´ quadra´tica em t e tem um mı´nimo
em t = 1/2, onde e´ dada por u [1/2, 1/2] = 20. Numa recente cac¸ada ao bigfoot, foi encontrado
numa caverna da Pensilvaˆnia um computador com as seguintes linhas digitadas,
u [x , y ] = 40 (x2 + (y − 1)2);
Plot [{u[t, t], 0}, {t,−1, 1}]
α [t ] = {t , t};
d = ParametricPlot [α[t], {t,−1, 1}] ;
e = ContourPlot [u[x, y], {x,−1, 1}, {y,−1, 1},ContourShading→ False,ContourLabels→ True] ;
gradu [x , y ] = {D [u [x, y] , x] , D [u [x, y] , y]};
f = StreamPlot [gradu[x, y], {x,−1, 1}, {y,−1, 1}] ;
Show [d, e, f,Graphics [Arrow [{α[t], α[t] + (0.1) ∗ α′[t]}]]]
(a) fac¸a o gra´fico de para´bola obtido como resposta ao segundo dos comandos acima, diga qual e´
o mı´nimo e o ma´ximo da temperatura, este e´ um problema de ca´lculo I, note que t ∈ [−1, 1],
(b) os comandos que esta˜o na quinta e se´tima linha sa˜o para produzir duas famı´lias de curvas,
diga que curvas sa˜o estas, sua importaˆncia para o estudo do campo de temperaturas definido
por u[x, y] e qual o aˆngulo que se cruzam curvas das duas famı´lias . . . e qual a raza˜o disto,
(c) na˜o se esquec¸a de notar, como o esperto sasquatch, que as isotermas sa˜o circunfereˆncias
centradas em um certo ponto do eixo y (qual? qual? uga! buga!) . . . e desenhe o resultado
do comando Show [ ] que esta´ na u´ltima linha, explicando os detalhes,
(d) diga qual a relac¸a˜o entre a velocidade vetorial do carrinho, as isotermas e as linhas de
gradiente no ponto de menor temperatura, justifique esta relac¸a˜o em termos da regra da
cadeia vetorial . . . e explique por que esta relac¸a˜o na˜o se repete no ma´ximo da temperatura
(t ∈ [−1, 1] , ca´lculo I etc...).
3
(4) (2,5 pontos) Ao contra´rio de certos outros, nosso curso na˜o forma ‘Derivador Mecaˆnico’ nem
‘Integrador Mecaˆnico’ (e se quiser ser ‘Torneiro Mecaˆnico’, va´ ao SENAI) . . . e nesta, escolha uma
das duas questo˜es (meias filoso´ficas, ne´?):
(a) Entenda um trac¸o como sendo a imagem de uma parametrizac¸a˜o pelo menos cont´ınua
α : R→ R2 com α(t) = x(t)i+y(t)j. Agora considere uma func¸a˜o de duas varia´veis cont´ınua
g : R2 → R com valores reais e um desenho do conjunto de suas curvas de n´ıvel feito sobre
seu domı´nio. Argumente, usando que a composta de cont´ınuas e´ cont´ınua e o velho teorema
do valor intermedia´rio do ca´lculo I, que se fizermos um trac¸o sobre os tais conjuntos de n´ıvel
e este trac¸o cortar os conjuntos de n´ıvel correspondentes a g(x, y) = a e g(x, y) = b, com
a 
= b, enta˜o este trac¸o cortara´ uma infinidade de conjuntos de n´ıvel da forma g(x, y) = k
onde k assume todos valores poss´ıveis entre a e b.
(b) Explique, com argumentos, exemplos e esboc¸os, mostrando que o ca´lculo de volume pelo
me´todo de integrac¸a˜o das sec¸o˜es transversais, que ja´ estudamos no ca´lculo I, e a fo´rmula
para integrais duplas
∫∫
R
f(x, y)dxdy =
∫ b
a
(∫ y2(x)
y1(x)
f(x, y)dy
)
dx ,
por vezes chamada de teorema de Fubini, sa˜o a mesma coisa.
4

Outros materiais