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COMO NO VESTIBULAR, LEIA AS QUESTO˜ES, PENSE, NELAS ESTA´ A RESPOSTA. Primeira Provinha de ma211ab, ps2015RA: nome completo, turma: assinatura, rg , cpf , n´ıver e e-mail preferido: (1) (2,5 pontos) Nesta questa˜o primeiro conte como os comandos ContourPlot[ ] e RegionPlot[ ] do mathematica podem ser utilizados para resolver problemas de otimizac¸a˜o visualmente, encontrando o ma´ximo de uma func¸a˜o de duas varia´veis numa regia˜o do seu domı´nio. Ao contra´rio dos cursos do imecc, abor´ıgenes da etnia charru´a ja´ usavam o mathematica para problemas de otimizac¸a˜o, pois foi encontrado um computador em escavac¸o˜es pro´ximas de Trinidad, no Uruguai, com as seguintes linhas de comando digitadas g [x , y ] = x+ y; a = ContourPlot [g[x, y], {x, 0, 4}, {y, 0, 4},ContourShading→ False,ContourLabels→ True] ; b = RegionPlot [y ≤ 2− (x/3) && x ≤ 3, {x, 0, 4}, {y, 0, 4},PlotPoints→ 50] ; Show [b, a] (a) descreva o problema que aquele amer´ındio primitivo tentava resolver, (b) explique qual a finalidade de cada um dos comandos acima e seus detalhes, inclusive o efeito do ponto-e-v´ırgula ao final, (c) fac¸a manualmente o desenho obtido apo´s a execuc¸a˜o da u´ltima linha de comando . . . tal, reproduzida em pintura rupreste, parece que continha, dento do misterioso quadrado [0, 4]× [0, 4], retas paralelas superpostas a um trape´zio colorido, (d) a partir do seu desenho conclua qual e´ a soluc¸a˜o do problema . . . e conte, em problemas mais complicados, que clicando com o direito e escolhendo get coordinates voceˆ nem precisa fazer conta para achar o ma´ximo. 1 (2) (2,5 pontos) Ao contra´rio dos cursos do imecc, os eg´ıpcios antigos ja´ usavam o mathematica para calcular volumes de so´lidos, foi encontrado, numa piraˆmide, um computador com as seguintes linhas digitadas h [x , y ] = 9− x2 − y2; Plot3D [h[x, y], {x,−4, 4}, {y,−4, 4},RegionFunction→ Function [{x, y, z},h [x, y] ≥ 0]] hpol [r , θ ] = Simplify [h [r Cos [θ] , r Sin [θ]]] Integrate [Integrate [hpol [r, θ] ∗ r, {r, 0, 3}] , {θ, 0, 2π}] (a) apo´s a execuc¸a˜o do segundo comando, aparecia uma superf´ıcie parabo´lica, que lembra muito uma corcova de camelo de Magrebe, dentro de um paralelep´ıpedo (caixa transparente, tal qual certa invenc¸a˜o eg´ıpcia, feita com areia) dado por [−4, 4]× [−4, 4]× [0, 9] . . . desenhe o resultado da execuc¸a˜o, que talvez tenha sido um primeiro projeto do farao´ tutankamon, que depois desistiu e mudou para piraˆmide, explique-o em func¸a˜o do comando usado e de seus detalhes, descreva a base da tal estrutura, que serve de sombra para o gra´fico desenhado, (b) conjeture a raza˜o do terceiro comando e diga qual e´ o seu resultado, ele sugere que os eg´ıpcios ja´ conheciam certos tipos de trocas, (c) para que serve o quarto comando, qual o motivo do misterioso ∗r que aparece nele? (d) o resultado do quarto comando foi um nu´mero, 135π/2 . . . voceˆ seria capaz de explicar o porqueˆ, obteˆ-lo fazendo-o . . . by hand? 2 (3) (2,5 pontos) Ao que parece, ate´ os pe´s-grandes esta˜o utilizando o mathematica. Considere o movimento de um carrinho dado por x = t e y = t, sendo t um hipote´tico tempo, que vai de −1 ate´ 1, considere ainda que este carrinho esta´ se movimentando num campo de temperaturas dado por u [x, y] = 40(x2 + (y − 1)2) . . .mostre que a func¸a˜o composta u [t, t] = 40(1− 2t+ 2t2) (verifique), que da´ a temperatura da posic¸a˜o do carrinho, e´ quadra´tica em t e tem um mı´nimo em t = 1/2, onde e´ dada por u [1/2, 1/2] = 20. Numa recente cac¸ada ao bigfoot, foi encontrado numa caverna da Pensilvaˆnia um computador com as seguintes linhas digitadas, u [x , y ] = 40 (x2 + (y − 1)2); Plot [{u[t, t], 0}, {t,−1, 1}] α [t ] = {t , t}; d = ParametricPlot [α[t], {t,−1, 1}] ; e = ContourPlot [u[x, y], {x,−1, 1}, {y,−1, 1},ContourShading→ False,ContourLabels→ True] ; gradu [x , y ] = {D [u [x, y] , x] , D [u [x, y] , y]}; f = StreamPlot [gradu[x, y], {x,−1, 1}, {y,−1, 1}] ; Show [d, e, f,Graphics [Arrow [{α[t], α[t] + (0.1) ∗ α′[t]}]]] (a) fac¸a o gra´fico de para´bola obtido como resposta ao segundo dos comandos acima, diga qual e´ o mı´nimo e o ma´ximo da temperatura, este e´ um problema de ca´lculo I, note que t ∈ [−1, 1], (b) os comandos que esta˜o na quinta e se´tima linha sa˜o para produzir duas famı´lias de curvas, diga que curvas sa˜o estas, sua importaˆncia para o estudo do campo de temperaturas definido por u[x, y] e qual o aˆngulo que se cruzam curvas das duas famı´lias . . . e qual a raza˜o disto, (c) na˜o se esquec¸a de notar, como o esperto sasquatch, que as isotermas sa˜o circunfereˆncias centradas em um certo ponto do eixo y (qual? qual? uga! buga!) . . . e desenhe o resultado do comando Show [ ] que esta´ na u´ltima linha, explicando os detalhes, (d) diga qual a relac¸a˜o entre a velocidade vetorial do carrinho, as isotermas e as linhas de gradiente no ponto de menor temperatura, justifique esta relac¸a˜o em termos da regra da cadeia vetorial . . . e explique por que esta relac¸a˜o na˜o se repete no ma´ximo da temperatura (t ∈ [−1, 1] , ca´lculo I etc...). 3 (4) (2,5 pontos) Ao contra´rio de certos outros, nosso curso na˜o forma ‘Derivador Mecaˆnico’ nem ‘Integrador Mecaˆnico’ (e se quiser ser ‘Torneiro Mecaˆnico’, va´ ao SENAI) . . . e nesta, escolha uma das duas questo˜es (meias filoso´ficas, ne´?): (a) Entenda um trac¸o como sendo a imagem de uma parametrizac¸a˜o pelo menos cont´ınua α : R→ R2 com α(t) = x(t)i+y(t)j. Agora considere uma func¸a˜o de duas varia´veis cont´ınua g : R2 → R com valores reais e um desenho do conjunto de suas curvas de n´ıvel feito sobre seu domı´nio. Argumente, usando que a composta de cont´ınuas e´ cont´ınua e o velho teorema do valor intermedia´rio do ca´lculo I, que se fizermos um trac¸o sobre os tais conjuntos de n´ıvel e este trac¸o cortar os conjuntos de n´ıvel correspondentes a g(x, y) = a e g(x, y) = b, com a = b, enta˜o este trac¸o cortara´ uma infinidade de conjuntos de n´ıvel da forma g(x, y) = k onde k assume todos valores poss´ıveis entre a e b. (b) Explique, com argumentos, exemplos e esboc¸os, mostrando que o ca´lculo de volume pelo me´todo de integrac¸a˜o das sec¸o˜es transversais, que ja´ estudamos no ca´lculo I, e a fo´rmula para integrais duplas ∫∫ R f(x, y)dxdy = ∫ b a (∫ y2(x) y1(x) f(x, y)dy ) dx , por vezes chamada de teorema de Fubini, sa˜o a mesma coisa. 4
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