4 - Monômios e Polinômios

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MONÔMIOS 
 
Toda expressão algébrica representada por um número ou apenas por uma variável, ou 
por uma multiplicação de números e variáveis. Exemplos: 7𝑚, 𝑝2, 2𝑥𝑦 e 𝑚𝑦8. 
 
No monômio 5𝑗𝑝2 temos: 
• coeficiente: parte numérica do monômio; o coeficiente é 5. 
• parte literal: parte formada pelas variáveis; a parte literal é 𝑗𝑝2. 
 
 
 
POLINÔMIOS 
 
Toda expressão algébrica representada por operações de adição e subtração de 
monômios. 
Exemplos: 7𝑚 + 𝑝2, 2𝑥𝑦 − 𝑚𝑦8 e 2𝑥 − 𝑎𝑏 + 4. 
 
• redução de termos semelhantes; dois ou mais monômios possuem termos 
semelhantes se, e somente apresentarem a mesma parte literal. 
 
Exemplos: 
 
7𝒎 é semelhante a −5𝒎 
𝒑𝟐 é semelhante a 3𝒑𝟐 
2𝒙𝒚 é semelhante a −2𝒙𝒚 
𝒎𝒚𝟖 é semelhante a 79𝒎𝒚𝟖 
 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
 4 – MONÔMIOS E POLINÔMIOS Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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• grau do polinômio; é o grau do monômio de maior grau. Exemplo: 7𝑥2 + 8𝑥4 − 9𝑥, 
o grau desse polinômio é 4, pois o monômio de maior grau é 8𝑥4 , ou seja, é o 
maior expoente das partes literais. 
• expressão algébrica: 
 
 
 
 
 
 1º termo 2º termo 3º termo 
 
 
Operações com Polinômios 
 
• adição e subtração; somar ou subtrair os termos semelhantes dos polinômios. 
 
Exemplos: 
 
1) (𝑥 + 1) + (𝑥2 + 3𝑥) + (−4𝑥2 + 3) = 
= 𝑥 + 1 + 𝑥2 + 3𝑥 − 4𝑥2 + 3 = 
= −3𝑥2 + 4𝑥 + 4 
 
2) (𝑥2 − 4𝑥𝑦 − 4) − (3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2) = 
= 𝑥2 − 4𝑥𝑦 − 4 − 3𝑥2 − 𝑥𝑦 − 2 = 
= −2𝑥2 − 5𝑥𝑦 − 6 
 
 c oeficientes parte literal grau do polinômio 
𝟒 𝒙 + 𝟑 𝒙𝒚𝒛 + 𝟕 𝒙 𝟐 
𝟒𝒙 + 𝟑𝒙𝒚𝒛 + 𝟕 𝒙 𝟐 
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 multiplicação; multiplicar cada termo de um dos polinômios pelos termos do outro 
(propriedade distributiva) e, posteriormente efetuar as operações de adição e 
subtração. 
 
Exemplos: 
 
1) 3(𝑥 + 5) = 3 · 𝑥 + 3 · 5 = 3𝑥 + 15 
 
2) 7(𝑥 − 2) = 7 · 𝑥 + 7 · (−2) = 7𝑥 − 14 
 
3) −2(𝑥 + 4) = −2 · 𝑥 − 2 · 4 = −2𝑥 − 8 
 
4) 2𝑥(𝑥 + 8) = 2𝑥 · 𝑥 + 2𝑥 · 8 = 2𝑥2 + 16𝑥 
 
5) −3𝑥(2𝑥 + 7) = −3𝑥 · 2𝑥 − 3𝑥 · 7 = −6𝑥2 − 21𝑥 
 
6) −5𝑥(4𝑦 − 𝑥) = −5𝑥 · 4𝑦 − 5𝑥 · (−𝑥) = −20𝑥𝑦 + 5𝑥2 
 
7) (𝑥 + 2𝑦)(𝑥2 − 𝑥) = 𝑥 · 𝑥2 − 𝑥 · 𝑥 + 2𝑦 · 𝑥2 + 2𝑦 · 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦 
 
8) (2𝑎 + 𝑏)(3𝑎 − 2𝑏) = 2𝑎 · 3𝑎 + 2𝑎 · (−2𝑏) + 𝑏 · 3𝑎 + 𝑏 · (−2𝑏) = 
= 6𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 3𝑎𝑏 − 2𝑏2 = 
= 6𝑎2 − 𝑎𝑏 − 2𝑏2 
 
9) (2𝑝 − 1)(𝑝2 − 3𝑝 + 2) = 
= 2𝑝 · 𝑝2 + 2𝑝 · (−3𝑝) + 2𝑝 · 2 − 1 · 𝑝2 − 1 · (−3𝑝) − 1 · 2 = 
= 2𝑝3 − 6𝑝2 + 4𝑝 − 𝑝2 + 3𝑝 − 2 = 
= 2𝑝3 − 7𝑝2 + 7𝑝 − 2 
 
10) (𝑥𝑦 − 4𝑥2𝑦)(3𝑥2𝑦 − 𝑦) = 
= 𝑥𝑦 · 3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦 · (−𝑦) − 4𝑥2𝑦 · 3𝑥2𝑦 − 4𝑥2𝑦 · (−𝑦) = 
= 3𝑥3𝑦2 − 𝑥𝑦2 − 12𝑥4𝑦2 + 4𝑥2𝑦2 
 
 
 
 
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 divisão de polinômios por monômio; dividir cada termo do polinômios pelo monômio. 
 
Exemplos: 
 
1) (10𝑥4 − 20𝑥3 + 15𝑥2) ÷ 5𝑥3 =
 10 𝑥4 
5 𝑥3
−
 20 𝑥3 
5 𝑥3
+
 15 𝑥2 
5 𝑥3
= 
= 2𝑥4−3 − 4𝑥3−3 + 3𝑥2−3 = 
= 2𝑥 − 4 + 3𝑥−1 ou 2𝑥 − 4 +
 3 
𝑥
 
 
2) (28𝑥4𝑦3 − 7𝑥3𝑦4) ÷ 7𝑥2𝑦2 =
 28 𝑥4 𝑦3 
7 𝑥2 𝑦2
−
 7 𝑥3 𝑦4 
7 𝑥2 𝑦2
= 
= 4 𝑥4−2 𝑦3−2 − 1 𝑥3−2 𝑦4−2 = 4𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 
 
3) (20𝑥3 + 12𝑥5𝑦4 − 5𝑥2𝑦) ÷ 3𝑥5𝑦 =
 20 𝑥3 
3 𝑥5 𝑦
+
 12 𝑥5 𝑦4 
3 𝑥 5𝑦
−
 5 𝑥2 𝑦 
3 𝑥5 𝑦
= 
=
 20 
3
𝑥3−5 𝑦−1 + 4 𝑥5−5 𝑦4−1 −
 5 
3
𝑥2−5 𝑦1−1 = 
=
 20 
3
𝑥−2𝑦−1 + 4𝑦3 −
 5 
3
𝑥−3 ou 
 20 
3 𝑥2 𝑦 
+ 4𝑦3 −
 5
3 𝑥3 
 
 
 
 divisão de polinômios; o processo de divisão de polinômios é semelhante ao 
algoritmo da divisão de dois números. 
 
Procedimento: 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 | 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑄𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
 (𝑄𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) · (𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 ) + 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 
 
1º) dividir o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, 
obtendo o primeiro termo do quociente. 
2º) 2º multiplicar o termo obtido no quociente por todos os termos do divisor e 
adicionar o produto assim obtido com os sinais trocados ao dividendo. 
3º) observar o grau do resto parcial, se o resto ainda não apresentar grau menor do 
que o divisor, repetir o processo, até obter um resto nulo ou de grau menor do 
que o divisor. 
 
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Exemplos: 
 
1) (6𝑥4 − 5𝑥3 + 12𝑥2 − 4𝑥 + 3) ÷ (3𝑥2 − 𝑥 + 1) 
 
6𝑥4 − 5𝑥3 + 12𝑥2 − 4𝑥 + 3 | 3𝑥2 − 𝑥 + 1 
 → 
6𝑥4
3𝑥2
= 2𝑥2 
 
2𝑥2 · (3𝑥2 − 𝑥 + 1) = 6𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥2 
 
 
 6𝑥4 − 5𝑥3 + 12𝑥2 − 4𝑥 + 3 | 3𝑥2 − 𝑥 + 1 
−6𝑥4 + 2𝑥3 − 2𝑥2 2𝑥2 
 −3𝑥3 + 10𝑥2 − 4𝑥 + 3
 → 
−3𝑥3
 3𝑥2
= −𝑥 
 
−𝑥. (3𝑥2 − 𝑥 + 1) = −3𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 
 
 6𝑥4 − 5𝑥3 + 12𝑥2 − 4𝑥 + 3 | 3𝑥2 − 𝑥 + 1 
−6𝑥4 + 2𝑥3 − 2𝑥2 2𝑥2 − 𝑥
 −3𝑥3 + 10𝑥2 − 4𝑥 + 3
 +3𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 
 +9𝑥2 − 3𝑥 + 3
 → 
+9𝑥2
 3𝑥2
= +3 
 
+3. (3𝑥2 − 𝑥 + 1) = +9𝑥2 − 3𝑥 + 3 
 
 6𝑥4 − 5𝑥3 + 12𝑥2 − 4𝑥 + 3 | 3𝑥2 − 𝑥 + 1 
−6𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥2 2𝑥2 − 𝑥 + 3
 −3𝑥3 + 10𝑥2 − 4𝑥 + 3
 +3𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 
 +9𝑥2 − 3𝑥 + 3
 −9𝑥2 + 3𝑥 − 3 
0
 
 
∴ 
 6𝑥4 − 5𝑥3 + 12𝑥2 − 4𝑥 + 3 
3𝑥2 − 𝑥 + 1
= 2𝑥2 − 𝑥 + 3 
ou 
(2𝑥2 − 𝑥 + 3)(3𝑥2 − 𝑥 + 1) = 6𝑥4 − 5𝑥3 + 12𝑥2 − 4𝑥 + 3 
 
 
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2) (5𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 3): (𝑥 − 1) 
 
5𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 | 𝑥 − 1 
 → 
5𝑥3
𝑥
= 5𝑥2 
 
5𝑥2. (𝑥 − 1) = 5𝑥3 − 5𝑥2 
 
 
 5𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 | 𝑥 − 1 
−5𝑥3 + 5𝑥2 5𝑥2 
 +2𝑥2 + 2𝑥 − 3
 → 
+2𝑥2
𝑥
= +2𝑥 
 
2𝑥. (𝑥 − 1) = 2𝑥2 − 2𝑥 
 
 
 5𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 | 𝑥 − 1 
−5𝑥3 + 5𝑥2 5𝑥2 + 2𝑥
 +2𝑥2 + 2𝑥 − 3
 −2𝑥2 + 2𝑥 
 +4𝑥 − 3
 → 
+4𝑥
𝑥
= +4 
 
4. (𝑥 − 1) = 4𝑥 − 4 
 
 5𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 | 𝑥 − 1 
−5𝑥3 + 5𝑥2 5𝑥2 + 2𝑥 + 4
 +2𝑥2 + 2𝑥 − 3
 −2𝑥2 + 2𝑥 
 +4𝑥 − 3
 −4𝑥 + 4 
 +1
 
 
∴ (5𝑥2 + 2𝑥 + 4)(𝑥 − 1) + 1 = 5𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 3