10 - Função do 2º Grau

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FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma função do segundo grau é uma função polinomial de grau 2 (expoente da variável 𝑥), e 
tem a forma 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são os coeficientes, com 𝑎 ≠ 0, 𝑥 é a variável 
independente e 𝑦 é a variável dependente. Podemos usar também a notação 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 . 
O gráfico de toda função do segundo grau é uma parábola que pode ter concavidade para cima 
ou para baixo, que pode cruzar o eixo 𝑥 em dois pontos, ou em um ponto ou em nenhum 
ponto do plano cartesiano. 
 
 
Para a construção gráfica da função do 2º grau, vamos utilizar os seguintes passos: 
 
 Concavidade; 
 
o Se o coeficiente 𝑎 for um número positivo, a função função tem concavidade 
voltada para cima. 
 
𝑎 > 0 
 
 
 
 
o Se o coeficiente 𝑎 for um número negativo, a função tem concavidade voltada 
para baixo. 
 
 𝑎 < 0 
 
 
 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
 10 – FUNÇÃO DO 2º GRAU Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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 Zero da função (pontos que cruzam o eixo 𝑥); pontos que possuem ordenadas zero, ou 
seja, 𝑦 = 0 . Substituindo na função, temos: 
 
 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
0 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
 
Resolver a equação do 2º grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 utilizando a Fórmula de Bháskara: 
 
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 e 𝑥 =
 −𝑏±√∆ 
2𝑎
 
 
 
 
 
 
O valor do discriminante ∆ indica a quantidade de zeros da função: 
 
 
 
o Se ∆ > 0 (valores positivos); a função tem dois zeros reais diferentes (a 
parábola cruza o eixo 𝑥 em dois pontos: 𝑥1 e 𝑥2). Pontos: (𝑥1, 0) e (𝑥2, 0). 
 
 
o Se ∆ = 0 (valores nulos); a função tem dois zeros reais iguais (a parábola cruza 
o eixo 𝑥 em um único ponto: 𝑥1 = 𝑥2). Ponto: (𝑥1 = 𝑥2, 0), 
 
 
o Se ∆< 0 (valores negativos); a função não tem zeros reais (a parábola não cruza 
o eixo 𝑥 em nenhum ponto), 
 
 
 
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 Esboço; rascunho do gráfico da função. 
 
 
 𝑎 > 0 𝑎 < 0 
 
∆> 0 
 
 
 
 
 
 𝑎 > 0 𝑎 < 0 
 
∆= 0 
 
 
 
 
 
 𝑎 > 0 𝑎 < 0 
 
∆< 0 
 
 
 
 
 Coordenadas do Vértice da Parábola; lembrando que o vértice é um ponto, e pode ser 
o valor de máximo ou de mínimo da parábola. Para calcular as coordenadas do vértice 
de uma parábola, temos que utilizar as seguintes fórmulas: 
 
 
𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎
 e 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎
 sendo 𝑉 = (𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) 
 
 
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o Ponto Máximo ou Ponto de Mínimo de uma Função 
 
 Se o coeficiente 𝑎 for um número positivo, a função tem ponto de 
mínimo que é o vértice da parábola. 
 
𝑎 > 0 ⟹ ponto de mínimo 
 
 
 
 Se o coeficiente 𝑎 for um número negativo, a função tem ponto de 
máximo que é o vértice da parábola. 
 
𝑎 < 0 ⟹ ponto de máximo 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Construa o gráfico da função do 2º grau: 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 2. 
 
Como 𝑎 = +1 (número positivo, ou seja, 𝑎 > 0) então a função tem concavidade 
voltada para cima. 
 
A função cruza o eixo 𝑥 em 𝑦 = 0 : 
0 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 
 
 {
𝑎 = +1
𝑏 = −1
𝑐 = −2
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= +1 + 8
∆= +9
 ∆> 0 ⟹ Dois zeros reais diferentes 
 
 
 
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𝑥1 =
+1 + 3
2
=
+4
2
= +2 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
+1 ± √+9
2
=
+1 ± 3
2
= 
𝑥2 =
+1 − 3
2
=
−2
2
= −1 
 
Logo, os zeros da função são os pontos (−1,0) e (2,0). 
 
Vamos encontrar as coordenadas do vértice: 𝑉 = (𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) 
 
𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎
=
−(−1)
2.1
= +
1
2
 
 
𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎
=
−(+9)
4.1
= −
9
4
 
 
𝑉 (+
1
2
, −
9
4
) 
 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 é: 
 
 
 
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2) Construa o gráfico da função 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9. 
 
Como 𝑎 = −1 (número negativo, ou seja, 𝑎 < 0) então a função tem concavidade 
voltada para baixo. 
 
A função cruza o eixo 𝑥 em 𝑦 = 0 : 
0 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 
−𝑥2 + 6𝑥 − 9 = 0 
 
 {
𝑎 = −1
𝑏 = +6
𝑐 = −9
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= +36 − 36
∆= 0
 ∆= 0 ⟹ Dois zeros reais iguais 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
−6 ± √0
−2
=
−6 ± 0
−2
 
 
𝑥1 = 𝑥2 =
−6
−2
= +3 
 
Logo, o zero da função é o ponto (3,0)., sendo este ponto também é o vértice da 
parábola 𝑉(3,0) 
 
 
Neste caso, vamos ter que encontrar outros dois pontos da parábola no plano 
cartesiano, para isso, vamos escolher dois valores para 𝑥. Escolhendo 𝑥 = 2 e 𝑥 = 4 , 
na função, temos: 
 
𝑥 = 2 
𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 
𝑦 = −(2)2 + 6. (2) − 9 
𝑦 = −4 + 12 − 9 
 𝑦 = −1 
 𝑥 = 4 
 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 
𝑦 = −(4)2 + 6. (4) − 9 
𝑦 = −16 + 24 − 9 
 𝑦 = −1 
 𝑃1(2, −1) 𝑃2(4, −1) 
 
 Logo, a parábola passa pelos pontos (2, −1) e (4, −1). 
 
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O gráfico da função 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Construa o gráfico da função: 𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2. 
 
Como 𝑎 = +3 (número positivo, 𝑎 > 3) então a função tem concavidade voltada para 
cima. 
 
A função cruza o eixo 𝑥 em 𝑦 = 0 : 
0 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 
3𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0 
 
 {
𝑎 = +3
𝑏 = +4
𝑐 = +2
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= +16 − 24
∆= −8
 ∆< 0 ⟹ Não existem zeros reais 
 
 
Logo, a parábola não cruza o eixo 𝑥. 
 
 
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Vamos encontrar as coordenadas do vértice: 
 
𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎
=
−(+4)
2.3
=
−4
6
= −
2
3
 
𝑉 (−
2
3
, +
2
3
) 
𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎
=
−(−8)
4.3
=
+8
12
= +
2
3
 
 
Neste caso, vamos ter que encontrar outros dois pontos da parábola no plano 
cartesiano, para isso, vamos escolher dois valores para 𝑥. Escolhendo 𝑥 = −1 e 𝑥 = 0 , 
substituindo na função temos: 
 𝑥 = −1 
 𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 
𝑦 = 3. (−1)2 + 4. (−1) + 2 
𝑦 = 3.1 − 4 + 2 
𝑦 = 3 − 4 + 2 
𝑦 = 1 
 
𝑥 = 0 
𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 
𝑦 = 3. (0)2 + 4. (0) + 2 
𝑦 = 3.0 + 0 + 2 
𝑦 = 0 + 0 + 2 
𝑦 = 2 
 Logo, a parábola passa pelos pontos (−1,1) e (0,2). 
 
O gráfico da função 𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 é: 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
 
1) Construa o gráfico das seguintes funções do 2º grau: 
 
a) 𝑥2 − 10𝑥 + 9 = 0 
 
b) 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 
 
c) 𝑥2 + 𝑥 + 3 = 0 
 
d) −𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 
 
e) 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 
 
f) 𝑥2 − 5𝑥 + 10 = 0 
 
g) 𝑥2 + 3𝑥 + 7 = 0 
 
h) 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 
 
i) 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0 
 
j) 4𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 0 
 
k) 2𝑥2 − 6𝑥 − 80 = 0 
 
l) 3𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0