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13-Logaritmo e Função Logarítmica

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Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
LOGARITMO 
Sendo 𝑎 e 𝑏, chama-se logaritmo de 𝑎 na base 𝑏, o número 𝑥 
 𝑎 ⟹ logaritmando, 𝑎 > 0 
 log𝑏 𝑎 = 𝑥 ↔ 𝑏
𝑥 = 𝑎 
 𝑏 ⟹ base, 𝑏 > 0 e 𝑏 ≠ 1 
 
 
Exemplos: 
1) log3 81 = 𝑥 
3𝑥 = 81 
3𝑥 = 34 
𝑥 = 4 
𝑆 = {4} 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) log1
4
2√2 = 𝑥 
(
1
4
)
𝑥
= 2√2 
(
1
22
)
𝑥
= 2 · 2
1
2 
(2−2)𝑥 = 2
3
2 
2−2𝑥 = 2
3
2 
 −2𝑥 =
3
2
 
 −4𝑥 = 3 
 𝑥 = −
3
4
 
𝑆 = {−
3
4
} 
 
 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
 Logaritmo e Função Logarítmica Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
forma 
logarítmica 
 
forma 
exponencial 
 
Profª Lilian Brazile 2 
 Consequências da definição: 
 
o log𝑏 1 = 0 ↔ 𝑏
0 = 1 
Exemplo: log2 1 = 𝑥 ↔ 2
0 = 1 
 
o log𝑏 𝑏 = 1 ↔ 𝑏
1 = 𝑏 
Exemplo: log3 3 = 1 ↔ 3
1 = 3 
 
o 𝑏log𝑏 𝑎 = 𝑎 
Exemplo: 3log3 9 = 3𝑦 
 𝑦 = log3 9 
 3𝑦 = 9 
 3𝑦 = 32 
 𝑦 = 2 
 Substituindo: 3log3 9 = 32 
 3log3 9 = 9 
 𝑆 = {9} 
 
 
 Propriedades dos Logaritmos: 
 
o Logaritmo do Produto: log(𝑥 · 𝑦) = log 𝑥 + log 𝑦 
Exemplo: log3(3 · 81) = log3 3 + log3 81 
 I + I I 
I log3 3 = 1 
I I log3 81 = 𝑥 
Profª Lilian Brazile 3 
3𝑥 = 81 
3𝑥 = 34 
 𝑥 = 4 
 
voltando... I + I I 
log3(3 · 81) = log3 3 + log3 81 
log3(3 · 81) = 1 + 4 
log3(3 · 81) = 5 
𝑆 = {5} 
 
o Logaritmo do Quociente: log (
𝑥
𝑦
) = log 𝑥 − log 𝑦 
Exemplo: log2 (
512
64
) = log2 512 − log2 64 
 2𝑥 = 512 2𝑥 = 64 
 2𝑥 = 29 2𝑥 = 26 
 𝑥 = 9 𝑥 = 6 
 
Logo log2 (
512
64
) = log2 512 − log2 64 = 9 − 6 = 3 
𝑆 = {3} 
 
o Logaritmo de Potência: log 𝑥𝑦 = 𝑦 · log 𝑥 
Exemplo: 
1) log 32, sendo log 2 = 𝑎. 
 log 32 = log 25 = 5 · log 2 = 5 · 𝑎 
 
 
Profª Lilian Brazile 4 
2) Sabendo que log 𝑎 = 8, log 𝑏 = 2 e log 𝑐 = 1, calcule log (
𝑎3
𝑏2𝑐4
). 
log (
𝑎3
𝑏2𝑐4
) = log 𝑎3 − log 𝑏2𝑐4 = log 𝑎3 − (log 𝑏2 + log 𝑐4) = 
 = log 𝑎3 − log 𝑏2 − log 𝑐4 = 3. log 𝑎 − 2. log 𝑏 − 4. log 𝑐 = 
 = 3.8 − 2.2 − 4. 1 = 24 − 4 − 4 = 16 
 
 Logaritmo Decimal; chama-se de logaritmo decimal de 𝑏, o logaritmo de 𝑏 na 𝑏𝑎𝑠𝑒 10 
e indica-se por log10 𝑏 = log 𝑏 . 
 
Exemplo: 
log10 0,01 
log10 0,01 = 𝑥 
10𝑥 = 0,01 
10𝑥 = 10−2 
𝑥 = −2 
𝑆 = {−2} 
 
 Logaritmo Natural; chama-se de logaritmo natural de 𝑏, o logaritmo de 𝑏 na 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 e 
indica-se por log𝑒 𝑏 = ln 𝑏 , onde 𝑒 ≅ 2,71828. 
Exemplo: 
log𝑒 5 
 
 
 
 
 
Profª Lilian Brazile 5 
FUNÇÃO LOGARITMICA 
 
Dado um número real 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 denominamos função logarítmica, para qualquer 𝑥 real, a 
função: 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 ou 𝐟(𝐱) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 . 
 
Existem dois tipos diferentes de gráficos para as funções logarítmicas: 
 
 1º caso: 𝑎 > 1 ⟹ Crescente 
Exemplos: 𝑦 = log2 𝑥, 𝑦 = log3 𝑥, 𝑦 = log7
3
𝑥, etc. 
 
 2º caso: 0 < 𝑎 < 1 ⟹ Decrescente 
Exemplos: 𝑦 = log1
2
𝑥, 𝑦 = log1
3
𝑥, 𝑦 = log2
5
𝑥, etc. 
 
Para construir os gráficos das funções logarítmicas, vamos construir uma tabela. Atribuiremos 
para a variável 𝑦 alguns valores e encontraremos os respectivos valores para a variável 𝑥. 
 
As funções logarítmicas sempre passam pelo ponto (1,0). 
 
As funções exponenciais e logarítmicas são funções inversas e seus gráficos são simétricos em 
relação à 1ª Bissetriz (Bissetriz dos Quadrantes Ímpares ⟹ 𝑦 = 𝑥). 
 
Exemplos: 
 
1) Construa o gráfico da função logarítmica: 𝑦 = log2 𝑥. 
 
Como 𝑎 = +2 (número maior que 1) então a função é crescente. 
Vamos escolher alguns valores para 𝑦. Escolhendo 𝑦 = −2 , 𝑦 = −1 , 𝑦 = 0 , 𝑦 = 1 
e 𝑦 = 2 , temos: 
 
 
 
 
Profª Lilian Brazile 6 
1) para 𝑦 = −2 
 𝑦 = log2 𝑥 
 −2 = log2 𝑥 
 𝑥 = 2−2 
 𝑥 =
1
22
 
 𝑥 =
1
4
 
2) para 𝑦 = −1 
𝑦 = log2 𝑥 
−1 = log2 𝑥 
𝑥 = 2−1 
𝑥 =
1
2
 
3) para 𝑦 = 0 
 𝑦 = log2 𝑥 
 0 = log2 𝑥 
 𝑥 = 20 
 𝑥 = 1 
 
4) para 𝑦 = 1 
𝑦 = log2 𝑥 
1 = log2 𝑥 
𝑥 = 21 
𝑥 = 2 
 
5) para 𝑦 = 2 
 𝑦 = log2 𝑥 
 2 = log2 𝑥 
 𝑥 = 22 
 𝑥 = 4 
 
 
 
Logo, a função passa pelos pontos 
(
1
4
, −2), (
1
2
, −1), (1,0), (2,1) e 
(4,2). 
 
Colocando os valores encontrados 
em uma tabela, temos: 
 
 
 
𝒙 𝒚 
1
4
 
−2 
1
2
 
−1 
1 0 
2 1 
4 2 
O gráfico da função 𝑦 = log2 𝑥 é: 
Profª Lilian Brazile 7 
 
 
 
 
 
2) Construa o gráfico da função logarítmica: 𝑦 = log1
2
𝑥. 
Como 𝑎 = +
1
2
 (número maior que zero e menor que 1) então a função é decrescente. 
Vamos escolher alguns valores para 𝑦. Escolhendo 𝑦 = −2 , 𝑦 = −1 , 𝑦 = 0 , 𝑦 = 1 
e 𝑦 = 2 , temos: 
 
1) para 𝑦 = −2 
 𝑦 = log1
2
𝑥 
 −2 = log1
2
𝑥 
 𝑥 = (
1
2
)
−2
 
 𝑥 = 22 
 𝑥 = 4 
 
2) para 𝑦 = −1 
 𝑦 = log1
2
𝑥 
 −1 = log1
2
𝑥 
 𝑥 = (
1
2
)
−1
 
 𝑥 = 2 
 
 
Profª Lilian Brazile 8 
3) para 𝑦 = 0 
 𝑦 = log1
2
𝑥 
 0 = log1
2
𝑥 
 𝑥 = (
1
2
)
0
 
 𝑥 = 1 
 
 
4) para 𝑦 = 1 
 𝑦 = log1
2
𝑥 
 1 = log1
2
𝑥 
 𝑥 = (
1
2
)
1
 
 𝑥 =
1
2
 
 
5) para 𝑦 = 2 
 𝑦 = log1
2
𝑥 
 2 = log1
2
𝑥 
 𝑥 = (
1
2
)
2
 
 𝑥 =
1
4
 
 
 
 
 
Logo, a função passa pelos pontos (4, −2), 
(2, −1), (1,0), (
1
2
, 1) e (
1
4
, 2). 
 
Colocando os valores encontrados em uma 
tabela, temos: 
 
 
 
 
𝒙 𝒚 
4 −2 
2 −1 
1 0 
1
2
 
1 
1
4
 
2 
 
 
 
Profª Lilian Brazile 9 
O gráfico da função 𝑦 = log1
2
𝑥 é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Lilian Brazile 10 
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule os logaritmos: 
a) log3 81 = 𝑥 
b) log1
2
 √4
3
= 𝑥 
c) log1,5 (
4
9
) = 𝑥 
 
2) Construa o gráfico das seguintes funções logarítmicas: 
a) 𝑦 = log4 𝑥 
b) 𝑦 = log3 𝑥 
c) 𝑦 = log5 𝑥 
d) 𝑦 = log5 𝑥 
e) 𝑦 = log1
3
𝑥 
f) 𝑦 = log1
4
𝑥 
g) 𝑦 = log1
5
𝑥

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