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Profª Lilian Brazile 1 LOGARITMO Sendo 𝑎 e 𝑏, chama-se logaritmo de 𝑎 na base 𝑏, o número 𝑥 𝑎 ⟹ logaritmando, 𝑎 > 0 log𝑏 𝑎 = 𝑥 ↔ 𝑏 𝑥 = 𝑎 𝑏 ⟹ base, 𝑏 > 0 e 𝑏 ≠ 1 Exemplos: 1) log3 81 = 𝑥 3𝑥 = 81 3𝑥 = 34 𝑥 = 4 𝑆 = {4} 2) log1 4 2√2 = 𝑥 ( 1 4 ) 𝑥 = 2√2 ( 1 22 ) 𝑥 = 2 · 2 1 2 (2−2)𝑥 = 2 3 2 2−2𝑥 = 2 3 2 −2𝑥 = 3 2 −4𝑥 = 3 𝑥 = − 3 4 𝑆 = {− 3 4 } Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial Logaritmo e Função Logarítmica Profª Lilian Brazile forma logarítmica forma exponencial Profª Lilian Brazile 2 Consequências da definição: o log𝑏 1 = 0 ↔ 𝑏 0 = 1 Exemplo: log2 1 = 𝑥 ↔ 2 0 = 1 o log𝑏 𝑏 = 1 ↔ 𝑏 1 = 𝑏 Exemplo: log3 3 = 1 ↔ 3 1 = 3 o 𝑏log𝑏 𝑎 = 𝑎 Exemplo: 3log3 9 = 3𝑦 𝑦 = log3 9 3𝑦 = 9 3𝑦 = 32 𝑦 = 2 Substituindo: 3log3 9 = 32 3log3 9 = 9 𝑆 = {9} Propriedades dos Logaritmos: o Logaritmo do Produto: log(𝑥 · 𝑦) = log 𝑥 + log 𝑦 Exemplo: log3(3 · 81) = log3 3 + log3 81 I + I I I log3 3 = 1 I I log3 81 = 𝑥 Profª Lilian Brazile 3 3𝑥 = 81 3𝑥 = 34 𝑥 = 4 voltando... I + I I log3(3 · 81) = log3 3 + log3 81 log3(3 · 81) = 1 + 4 log3(3 · 81) = 5 𝑆 = {5} o Logaritmo do Quociente: log ( 𝑥 𝑦 ) = log 𝑥 − log 𝑦 Exemplo: log2 ( 512 64 ) = log2 512 − log2 64 2𝑥 = 512 2𝑥 = 64 2𝑥 = 29 2𝑥 = 26 𝑥 = 9 𝑥 = 6 Logo log2 ( 512 64 ) = log2 512 − log2 64 = 9 − 6 = 3 𝑆 = {3} o Logaritmo de Potência: log 𝑥𝑦 = 𝑦 · log 𝑥 Exemplo: 1) log 32, sendo log 2 = 𝑎. log 32 = log 25 = 5 · log 2 = 5 · 𝑎 Profª Lilian Brazile 4 2) Sabendo que log 𝑎 = 8, log 𝑏 = 2 e log 𝑐 = 1, calcule log ( 𝑎3 𝑏2𝑐4 ). log ( 𝑎3 𝑏2𝑐4 ) = log 𝑎3 − log 𝑏2𝑐4 = log 𝑎3 − (log 𝑏2 + log 𝑐4) = = log 𝑎3 − log 𝑏2 − log 𝑐4 = 3. log 𝑎 − 2. log 𝑏 − 4. log 𝑐 = = 3.8 − 2.2 − 4. 1 = 24 − 4 − 4 = 16 Logaritmo Decimal; chama-se de logaritmo decimal de 𝑏, o logaritmo de 𝑏 na 𝑏𝑎𝑠𝑒 10 e indica-se por log10 𝑏 = log 𝑏 . Exemplo: log10 0,01 log10 0,01 = 𝑥 10𝑥 = 0,01 10𝑥 = 10−2 𝑥 = −2 𝑆 = {−2} Logaritmo Natural; chama-se de logaritmo natural de 𝑏, o logaritmo de 𝑏 na 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 e indica-se por log𝑒 𝑏 = ln 𝑏 , onde 𝑒 ≅ 2,71828. Exemplo: log𝑒 5 Profª Lilian Brazile 5 FUNÇÃO LOGARITMICA Dado um número real 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 denominamos função logarítmica, para qualquer 𝑥 real, a função: 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 ou 𝐟(𝐱) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 . Existem dois tipos diferentes de gráficos para as funções logarítmicas: 1º caso: 𝑎 > 1 ⟹ Crescente Exemplos: 𝑦 = log2 𝑥, 𝑦 = log3 𝑥, 𝑦 = log7 3 𝑥, etc. 2º caso: 0 < 𝑎 < 1 ⟹ Decrescente Exemplos: 𝑦 = log1 2 𝑥, 𝑦 = log1 3 𝑥, 𝑦 = log2 5 𝑥, etc. Para construir os gráficos das funções logarítmicas, vamos construir uma tabela. Atribuiremos para a variável 𝑦 alguns valores e encontraremos os respectivos valores para a variável 𝑥. As funções logarítmicas sempre passam pelo ponto (1,0). As funções exponenciais e logarítmicas são funções inversas e seus gráficos são simétricos em relação à 1ª Bissetriz (Bissetriz dos Quadrantes Ímpares ⟹ 𝑦 = 𝑥). Exemplos: 1) Construa o gráfico da função logarítmica: 𝑦 = log2 𝑥. Como 𝑎 = +2 (número maior que 1) então a função é crescente. Vamos escolher alguns valores para 𝑦. Escolhendo 𝑦 = −2 , 𝑦 = −1 , 𝑦 = 0 , 𝑦 = 1 e 𝑦 = 2 , temos: Profª Lilian Brazile 6 1) para 𝑦 = −2 𝑦 = log2 𝑥 −2 = log2 𝑥 𝑥 = 2−2 𝑥 = 1 22 𝑥 = 1 4 2) para 𝑦 = −1 𝑦 = log2 𝑥 −1 = log2 𝑥 𝑥 = 2−1 𝑥 = 1 2 3) para 𝑦 = 0 𝑦 = log2 𝑥 0 = log2 𝑥 𝑥 = 20 𝑥 = 1 4) para 𝑦 = 1 𝑦 = log2 𝑥 1 = log2 𝑥 𝑥 = 21 𝑥 = 2 5) para 𝑦 = 2 𝑦 = log2 𝑥 2 = log2 𝑥 𝑥 = 22 𝑥 = 4 Logo, a função passa pelos pontos ( 1 4 , −2), ( 1 2 , −1), (1,0), (2,1) e (4,2). Colocando os valores encontrados em uma tabela, temos: 𝒙 𝒚 1 4 −2 1 2 −1 1 0 2 1 4 2 O gráfico da função 𝑦 = log2 𝑥 é: Profª Lilian Brazile 7 2) Construa o gráfico da função logarítmica: 𝑦 = log1 2 𝑥. Como 𝑎 = + 1 2 (número maior que zero e menor que 1) então a função é decrescente. Vamos escolher alguns valores para 𝑦. Escolhendo 𝑦 = −2 , 𝑦 = −1 , 𝑦 = 0 , 𝑦 = 1 e 𝑦 = 2 , temos: 1) para 𝑦 = −2 𝑦 = log1 2 𝑥 −2 = log1 2 𝑥 𝑥 = ( 1 2 ) −2 𝑥 = 22 𝑥 = 4 2) para 𝑦 = −1 𝑦 = log1 2 𝑥 −1 = log1 2 𝑥 𝑥 = ( 1 2 ) −1 𝑥 = 2 Profª Lilian Brazile 8 3) para 𝑦 = 0 𝑦 = log1 2 𝑥 0 = log1 2 𝑥 𝑥 = ( 1 2 ) 0 𝑥 = 1 4) para 𝑦 = 1 𝑦 = log1 2 𝑥 1 = log1 2 𝑥 𝑥 = ( 1 2 ) 1 𝑥 = 1 2 5) para 𝑦 = 2 𝑦 = log1 2 𝑥 2 = log1 2 𝑥 𝑥 = ( 1 2 ) 2 𝑥 = 1 4 Logo, a função passa pelos pontos (4, −2), (2, −1), (1,0), ( 1 2 , 1) e ( 1 4 , 2). Colocando os valores encontrados em uma tabela, temos: 𝒙 𝒚 4 −2 2 −1 1 0 1 2 1 1 4 2 Profª Lilian Brazile 9 O gráfico da função 𝑦 = log1 2 𝑥 é: Profª Lilian Brazile 10 EXERCÍCIOS 1) Calcule os logaritmos: a) log3 81 = 𝑥 b) log1 2 √4 3 = 𝑥 c) log1,5 ( 4 9 ) = 𝑥 2) Construa o gráfico das seguintes funções logarítmicas: a) 𝑦 = log4 𝑥 b) 𝑦 = log3 𝑥 c) 𝑦 = log5 𝑥 d) 𝑦 = log5 𝑥 e) 𝑦 = log1 3 𝑥 f) 𝑦 = log1 4 𝑥 g) 𝑦 = log1 5 𝑥
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