15 - Razão e Proporção

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Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
RAZÃO 
O matemático grego Euclides apesentou o conceito de razão: “razão é uma relação de 
tamanho e grandeza da mesma espécie”. 
Existem razões especiais que são utilizadas no cotidiano como, por exemplo, densidade de um 
corpo, densidade demográfica, velocidade média e escala. 
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se de razão entre a e b (nessa ordem) o 
quociente, ou seja, o resultado da divisão, pode ser representada por a : b ou 
𝒂
𝒃
 . 
O número a (numerador) é chamado de antecedente, o número b (denominador) é o 
consequente. 
Exemplo: dados dois números 3 e 5, razão de 3 para 5 é 0,6, pode ser representada por 3 ∶
5 = 
3
5
 = 0,6 . 
 
Exercícios 
1) Sabe-se que o carro A, movido a gasolina, consumiu R$ 45,00 de combustível para 
percorrer determinado trecho. O carro B, movido a álcool, consumiu R$ 30,00 no 
mesmo trajeto. Qual a relação de consumo de combustível desses dois carros no 
mesmo percurso? 
 
2) Um agricultor colheu 240 Kg de batatas do tipo A, dos quais 12 kg eram de má 
qualidade. Ele colheu também 360 Kg de batatas do tipo B, dos quais 16 Kg eram 
inaproveitáveis. Qual dos tipos de batata traz mais vantagens para o agricultor? 
 
3) De acordo com as figuras, determine: 
 
 B 
A 
 
 4 cm 7 cm 
 
4 cm 7 cm 
 
a) A razão entre os perímetros dos quadrados A e B. 
b) A razão entre as áreas dos quadrados A e B. 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
 Razão e Proporção Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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PROPORÇÃO 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
Dadas duas frações com denominadores não nulos, para existir a proporção é necessário a 
igualdade entre as duas razões. Podemos representar uma proporção por: 
 
 
Sendo a e d chamados de extremos da proporção e b e c são chamados de meios. 
Lê-se a proporção desse modo: “a está para b assim como c está para d.” 
 
Propriedade Fundamental das Proporções 
Para verificar se a proporção 
𝒂
𝒂′
= 
𝒃
𝒃′
 é verdadeira, fazemos a multiplicação “em cruz” a qual 
deverá ser uma igualdade 𝒂 · 𝒃′ = 𝒂′ · 𝒃 . 
Exemplo: Verifique se as frações 
 3 
 4 
 e 
6 
 8 
 são proporcionais. 
 
Exercícios 
1) Calcule o valor de 𝑥 nas proporções abaixo: 
a) 
 2 
3
= 
𝑥
 6 
 b) 
 3𝑥+1 
 4𝑥−3 
=
 6 
5
 
 
2) Divida R$ 60,00 entre duas pessoas de modo que a primeira e a segunda recebam 
quantias proporcionais a 2 e 3. 
 
3) Calcule o valor de 𝑥 de modo que a fração 
 5+𝑥 
 8+𝑥 
= 
 3 
 4 
 . 
 
Proporção múltipla 
 Em determinadas sucessões numérica o valor desse quociente é chamado de fator ou 
constante de proporcionalidade. 
As sucessões podem ocorrer quando os números da primeira sucessão são diretamente ou 
inversamente proporcionais aos da segunda sucessão. 
Dados os números da sucessão 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆 são ditos diretamente proporcionais aos números 
da sucessão 𝒂′, 𝒃′, 𝒄′, 𝒅′, 𝒆′, quando: 
𝒂
𝒂′
= 
𝒃
𝒃′
 = 
𝒄
𝒄′
 = 
𝒅
𝒅′
 = 
𝒆
𝒆′
 , e inversamente 
proporcionais quando 𝒂 · 𝒂′ = 𝒃 · 𝒃′ = 𝒄 · 𝒄′ = 𝒅 · 𝒅′ = 𝒆 · 𝒆′ . 
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
 𝑜𝑢 𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐 ∶ 𝑑 
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Exemplo 1: Dadas as sequências numéricas: (2,3,5) e 𝑆2: (4,6,10), verifique se as sequências 
são diretamente proporcional. 
 
Exercícios 
1) Dadas as sequências numéricas A: (1,2,3) e B: (6,12,18). Verifique se a sequências são 
diretamente proporcionais e se existe o fator de proporcionalidade? 
 
2) Calcule a constante de proporcionalidade das sequências de números C: (1, 4, 9, 32) e 
F: (-2, -4, -9, -32) e indique se as sequências são diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
 
 
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, 
velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. As grandezas são muito 
utilizadas em situações de comparação e podem ser classificadas em: 
 diretamente proporcionais; são aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a 
variação de outra numa mesma razão, por exemplo, se uma dobra a outra também 
dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é dividida em duas partes iguais a outra 
também é dividida à metade. 
Exemplo: Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço se seis cadernos custarão R$ 16,00. 
Observe que se dobramos o no. De cadernos também dobramos o valor dos cadernos, 
conforme demostra a tabela 
 
 
 
 
 
 
 
 inversamente proporcional; é quando as operações inversas são utilizadas nas 
grandezas, por exemplo, se se dobrarmos uma das grandezas temos que dividir a outra 
por dois, se triplicarmos uma delas devemos dividir a outra por três e assim 
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sucessivamente. A velocidade e o tempo são consideradas grandezas inversas, pois ao 
aumentarmos a velocidade de um automóvel em determinado trajeto o tempo para 
concluir o percurso será reduzido e, se diminuirmos a velocidade o tempo gasto será 
maior. 
Exemplo: Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se 
forem usadas vasilhas de 3 litros cada, quantas serão necessárias? 
 
Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui, o número de vasilhas 
aumenta no intuito de encher o tanque. 
 
Exercícios 
1) Para percorrer 300 km, um carro gastou 30 litros de combustível. Nas mesmas 
condições, quantos quilômetros o carro percorrerá com 60 litros? E com 120 litros? 
 
2) A proporção entre as massas de alumínio 𝑀𝑎𝑙 e de oxigênio 𝑀𝑜 na substância óxido de 
alumínio é de 9 para 8. Calcule as massas de alumínio e de oxigênio contidas em 51 𝑔 
de óxido de alumínio. 
 
3) Um carro faz um trajeto conforme segue a tabela abaixo. Justifique se as grandezas 
são inversamente ou diretamente proporcionais. 
 
 
Tempo (horas) Velocidade (km/h) 
1 90 
2 45 
3 30 
 
 
 
 
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Regra de Três Simples 
Encontramos no nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. 
Podemos definir grandeza como tudo aquilo que pode ser medido ou contado, como por 
exemplo: massa, comprimento, volume, tempo e velocidade. 
Também é muito utilizada para a conversão de graus para radianos no estudo do ciclo 
trigonométrico, como por exemplo: 
 
180𝑜 π rad 
 𝑥 
 3 𝜋 
 4 
 rad 
360𝑜 2π rad 
 𝑥 
 3 𝜋 
 4 
 rad
 
Exemplo 1: Um carro faz 80 km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse carro 
gataria para percorre 300 km? 
Exemplo 2: Uma obra é construída em 30 dias por 6 operários. Em quanto tempo essa obra 
será construída por 12 operários? 
 
Exercícios 
1) Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de 18 toneladas. Em um 
bimestre esse produtor irá produzir quantas toneladas de frangos? 
 
2) Para encher um tanque de 10 mil litros, leva-se 4 horas. Qual o tempo necessário para 
abastecer esse tanque com 2.500 litros? 
 
3) A 60 km/h faço o percurso entre duas cidades em 2 horas. Trafegando a 80 km/h qual 
o tempo estimado para percorrer o mesmo trajeto? 
 
4) Uma medicação demora 6 horas para ser ministrado em um paciente com 12 gotas por 
minuto. Se o número de gotas fosse igual a 18, qual seria o tempo parao término da 
medicação? 
 
5) Transforme de radianos para graus: 
 
a) 
𝜋
 4 
 𝑟𝑎𝑑 b) 
 5 𝜋 
 3 
 𝑟𝑎𝑑 c) 
𝜋
 8 
 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
 
 
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Regra de Três Composta 
Utilizamos regra de três composta quando temos mais de duas grandezas. 
Exercícios 
1) Para esvaziar um compartimento com 700 𝑚3 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas. 
Se o compartimento tivesse 500 𝑚3 de capacidade, ao utilizar 5 ralos, quantas horas 
seriam necessárias para esvaziá-lo? 
 
2) Se 6 impressoras iguais produzem 1.000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 
3 dessas impressoras produziram 2.000 desses panfletos?