Conceito Intuitivo de Limites

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Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
Conceito intuitivo de Limites 
 
Dada uma função 𝑓: 𝐴 → ℝ, 𝐴 ⊂ ℝ, o seu gráfico cartesiano nos mostra como variam os 
valores de 𝑓(𝑥) (ordenada ou imagem), enquanto 𝑥 varia em 𝐴 ⊂ ℝ. O gráfico é um 
instrumento importante e nos permite identificar propriedades da função 𝑓. Com o estudo de 
limites encontramos mais recursos para conhecer o comportamento de funções e para a 
construção de gráficos. 
 
Exemplo: 
 
Seja 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, vamos analisar como são os valores (imagem) de 
𝑓(𝑥), quando fazemos 𝑥 se aproximar, por exemplo, de 2. A aproximação de 𝑥 à 2, pode ser 
feita por uma sequência de valores menores que 2; dizemos à esquerda de dois e, por uma 
sequência de valores maiores que 2; dizemos à direita de 2. 
 
 atribuindo valores menores que 2, cada vez mais próximos de 2 na 𝑓(𝑥), temos: 
𝑥 1,8 1,95 1,99 1,999 𝑥 → 2− 
𝑓(𝑥) 2,6 2,9 2,98 2,998 𝑓(𝑥) → 3 
 
 
 atribuindo valores maiores que 2, cada vez mais próximos de 2 na 𝑓(𝑥), temos: 
𝑥 2,2 2,05 2,005 2,001 𝑥 → 2+ 
𝑓(𝑥) 3,4 3,1 3,01 3,002 𝑓(𝑥) → 3 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
 1 - Limites Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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As duas tabelas mostram que, quando 𝑥 tende a 2, a sequência de valores de 𝑓(𝑥) tende a 3 e, 
podemos encontrar valores da função muito muito próximos de 3, basta substituirmos valores 
para 𝑥 cada vez mais próximos de 2, portanto, o limite da função quando 𝑥 tende a 2 é 3, por 
substituição; nas tabelas provamos que os valores de 𝑓(𝑥) se aproximam de 3, então, podemos 
usar a seguinte notação: lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 3 , pois os limites laterais lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 3 e 
 lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 são iguais, portanto existe o limite da função em determinado ponto se, e 
somente se, os limites laterais forem iguais nesse mesmo ponto. 
 
 
 
 
Definição de Limites 
 
 
Dizemos que 𝐿 ∈ ℝ é o limite da função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑥0 ∈ ℝ, se e somente se, o limite 
da função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑥0 pela esquerda for igual ao limite da função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 
tende a 𝑥0 pela direita e ambos iguais a 𝐿. 
 
Se lim
𝑥→𝑥0+
𝑓(𝑥) = 𝑳 e lim
𝑥→𝑥0−
𝑓(𝑥) = 𝑳 então lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑳 
 
É importante entende que para o cálculo do limite não interessa o que ocorre com a função no 
ponto 𝑥 = 𝑥0, mas com os valores da função nas “vizinhanças” de 𝑥 = 𝑥0. 
 
Exemplos: 
 
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1) Calcule o lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) , sendo 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
 
Verificando os limites laterais: 
 
𝑥 2,1 2,001 2,0001 𝑥 → 2+ 
 𝑓(𝑥) 4,41 4,004001 4,0004 𝑓(𝑥) → 4 
 
 
𝑥 1,9 1,99 1,999 𝑥 → 2− 
 𝑓(𝑥) 3,61 3,9601 3,996001 𝑓(𝑥) → 4 
 
 
Os limites laterais são iguais lim
𝑥→2+
𝑥2 = lim
𝑥→2−
𝑥2 ∴ ∃ lim
𝑥→2
𝑥2, então temos: 
 
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2
𝑥2 = 22 = 4 
 
 Dizemos que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é contínua quando 𝑥 → 2, pois 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
𝑓(2) = 22 = 4 
 
 
Sempre que ocorrer lim
𝑥⟶𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) dizemos que a função é contínua em 𝑥 = 𝑥0. 
 
 
 
 
lim
𝑥→2+
𝑥2 = 4 
 
lim
𝑥→2−
𝑥2 = 4 
 
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2) Representar graficamente a função ℎ(𝑥) = 𝑥 + 2 e calcular lim
𝑥→2
 ℎ(𝑥). 
Verificando 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎) 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 
𝑓(2) = 2 + 2 
𝑓(2) = 4 
 
lim
𝑥⟶2
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→2
𝑥 + 2 = 2 + 2 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Continuidade de Funções 
 
Uma função 𝑓(𝑥) é contínua no ponto 𝑥 = 𝑥0 se, e somente se, o limite da função 𝑓(𝑥) quando 
𝑥 tende a 𝑥0 é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja: 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎) . 
Para que uma função 𝑓(𝑥) seja contínua em 𝑥 = 𝑥0, é necessário que exista o limite da função 
definida em um ponto. 
𝑥 ℎ(𝑥) 
0 2 
1 3 
2 4 
3 5 
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A expressão “no ponto 𝑥 = 𝑥0” quer dizer “no ponto do gráfico de abscissa (valor da variável 𝑥) 
igual a 𝑥0”. 
De modo geral, o gráfico de uma função contínua em um intervalo real é representado por uma 
curva que não apresenta ponto de descontinuidade, isto é, não possui saltos e nem furos. 
Exemplos gráficos: 
 
Função Contínua Função Descontínua Função Descontínua 
 em 𝑥 = 0 (Salto) em 𝑥 = 3 (Furo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) lim
𝑥⟶3
𝑥 + 1 = 3 + 1 = 4 
2) lim
𝑥⟶1
(2𝑥 + 5) = 2 · 1 + 5 = 2 + 5 = 7 
3) lim
𝑥→−3
 2𝑥 + 4 = lim
𝑥→−3
2𝑥 + lim
𝑥→−3
4 = 2(−3) + 4 = −6 + 4 = −2 
4) lim
𝑥→2
 4𝑥2 + 3𝑥 − 1 = lim
𝑥→2
4𝑥2 + lim
𝑥→2
3𝑥 − lim
𝑥→2
1 = 4 · 22 + 3 · 2 − 1 = 4 · 4 + 6 − 1 =
16 + 5 = 21 
5) lim
𝑥→2
 (𝑥 + 3) · (𝑥 − 5) = lim
𝑥→2
 (𝑥 + 3) · lim
𝑥→2
 (𝑥 − 5) = (2 + 3) · (2 − 5) = 5 · (−3) =
−15 
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6) lim
𝑥→−2
3𝑥+2
𝑥+1
=
lim
𝑥→−2
3𝑥+2
lim
𝑥→−2
𝑥+1
=
3(−2)+2
−2+1
=
−6+2
−1
=
−4
−1
= +4 
7) lim
𝑥→1
2𝑥3+4
𝑥+2
=
lim 
𝑥→1
2𝑥3+4
lim
𝑥→1
 𝑥+2
=
2·13+4
1+2
=
2·1+4
3
=
2+4
3
=
6
3
= 2 
 
Descontinuidade de Funções 
 
1) Calcular o lim
𝑥→1
√𝑥 − 1
𝑥−1
 . 
 
Verificando os limites laterais: 
 
𝑥 0,9 0,999 ... 𝑥 → 1− 
 𝑓(𝑥) 0,513167 0,5001250 ... 𝑓(𝑥) → 0,5 
 
𝑥 1,9 1,99 ... 𝑥 → 1+ 
 𝑓(𝑥) 3,61 3,9601 ... 𝑓(𝑥) → 0,5 
 
 
Os limites laterais são iguais lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) ∴ ∃ lim
𝑥→1
𝑓(𝑥). 
 
Verificando 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎) : 
𝑓(𝑥) =
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
 
𝑓(1) =
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
 
𝑓(1) = 
√1 − 1
1 − 1
= [
 0 
0
] 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) =
1
2
 
 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) =
1
2
 
 
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 Logo, 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
 √
𝑥 − 1
𝑥−1
= 
√1 − 1
1−1
= [
 0 
0
] ∴ ∄ o valor da função para x=1; a função não é 
definida para x=1. 
[
 0 
0
] é uma indeterminação, sem significado como resultado de uma divisão. 
As tabelas mostram que os limites laterais são iguais, mas como não ocorre o lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) =
𝑓(1), dizemos que a função 𝑓(𝑥) = √
𝑥 − 1
𝑥−1
, não é contínua em 𝑥 = 1, então calculamos 
da seguinte maneira: procura-se fatorar o numerador e o denominador e também, se 
necessário, simplificar para eliminar os fatores iguais. 
 
lim
𝑥→1
 
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
 
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
 
(√𝑥 + 1)
(√𝑥 + 1)
= lim
𝑥→1
 
𝑥 + √𝑥 − √𝑥 − 1
(𝑥 − 1) (√𝑥 + 1)
= 
= lim
𝑥→1
 
𝑥 − 1
(𝑥 − 1) (√𝑥 + 1)
= lim
𝑥→1
 
 1
√𝑥 + 1
=
 1 
 1 + 1 
=
 1 
2
 
∴ lim
𝑥→1
 
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
=
 1 
2
 
 
 
Quando os limites laterais são diferentes, ∄ lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) 
 
O cálculo do Limite de uma função é calcular seu valor numérico no ponto considerado, 
caso não ocorra como resultado um número real, o cálculo do limite, quando existir, 
pode ser calculado com a aplicação de alguma “técnica” matemática, como por 
exemplo, fatoração, racionalização, divisão de polinômios etc. 
 
 
 
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2) Representar graficamente a função 𝑔(𝑥) =
𝑥2−4
𝑥−2
 e calcular lim
𝑥→2
 𝑔(𝑥). 
 
Analisando o domínio da função, 𝑥 − 2 tem que ser diferente de zero, ou seja,𝑥 = 2 
não pertence a função 𝑔(𝑥). Assim, temos: 
 
𝑔(𝑥) =
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
=
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)
= 𝑥 + 2 
com 𝒙 ≠ 𝟐 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥⟶2
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→2
𝑥 + 2 = 2 + 2 = 4 
 
Neste exemplo notamos que a função 𝑔(𝑥) não é definida em 𝑥 = 2, mas existe 
lim
𝑥⟶2
 𝑔(𝑥). 
 
 Observação: Dos exemplos 2 e 3 podemos concluir: 
lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2
𝑥 + 2 = 4 
𝑥 𝑔(𝑥) 
0 2 
1 3 
2 4 
3 5 
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3) Dada a função 𝑓(𝑥) =
𝑥3+𝑥2−12𝑥
𝑥2−3𝑥
, determinar lim
𝑥→2
 𝑓(𝑥), lim
𝑥→0
 𝑓(𝑥) e lim
𝑥→3
 𝑓(𝑥). 
Inicialmente vamos simplificar a fração: 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥3 + 𝑥2 − 12𝑥
𝑥2 − 3𝑥
=
𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 12)
𝑥(𝑥 − 3)
=
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)
𝑥(𝑥 − 3)
= 𝑥 + 4 
 
Observação: A forma fatorada da expressão 𝑥2 + 𝑥 − 12 vem da resolução da equação:
 𝑥2 + 𝑥 − 12 = 0 
{
𝑎 = +1
𝑏 = +1
𝑐 = −12
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= +1 + 48
∆= +49
 
49
7
1
|
7
7 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
−1 ± √+49
2
=
−1 ± 7
2
 ⟹ {
𝑥1 =
−1 + 7
2
=
+6
2
= +3
𝑥2 =
−1 − 7
2
=
−8
2
= −4
 
 
Forma fatorada de uma equação do 2º grau: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
 
𝑥2 + 𝑥 − 12 = 1. (𝑥 − 3)(𝑥 − (−4)) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 4) 
 
 Assim, temos: 
lim
𝑥→2
 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2
 
𝑥3 + 𝑥2 − 12𝑥
𝑥2 − 3𝑥
= lim
𝑥→2
 𝑥 + 4 = 2 + 4 = 6 
 
lim
𝑥→0
 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0
 
𝑥3 + 𝑥2 − 12𝑥
𝑥2 − 3𝑥
= lim
𝑥→0
 𝑥 + 4 = 0 + 4 = 4 
 
lim
𝑥→3
 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3
 
𝑥3 + 𝑥2 − 12𝑥
𝑥2 − 3𝑥
= lim
𝑥→3
 𝑥 + 4 = 3 + 4 = 7 
 
 
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Propriedades dos Limites 
 
 Se existir o limite de uma função então esse limite é único, isto é, se 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏 e 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
 𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐 então 𝑳𝟏 = 𝑳𝟐 . 
 
 Se 𝒇(𝒙) = 𝒌 ∈ ℝ (constante) então 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒌 = 𝒌 . 
 
 Se 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏 e 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒈(𝒙) = 𝑳𝟐 então: 
1) O limite da soma de duas funções é a soma dos limites dessas funções: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
[𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒈(𝒙) = 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 
 
2) O limite da diferença de duas funções é a diferença dos limites dessas funções: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
[𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒈(𝒙) = 𝑳𝟏 − 𝑳𝟐 
 
3) O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas funções: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
[𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) . 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒈(𝒙) = 𝑳𝟏. 𝑳𝟐 
 
4) O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
[
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
] =
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙)
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒈(𝒙)
=
𝑳𝟏
𝑳𝟐
 
 
 Se 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝑳 então 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
 [𝒇(𝒙)]𝒏 = [ 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙)]
𝒏
= 𝑳𝒏 , para 𝑛 inteiro 
positivo. 
 
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 Se 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝑳 então 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
√𝒇(𝒙)
𝒏 = √ 𝐥𝐢𝐦𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙)𝒏 = √𝑳
𝒏
, observadas as 
condições de existência para raízes de índice par (𝐿 ≥ 0). 
 
 Se 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝑳 > 0 então: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝐥𝐨𝐠𝒃[𝒇(𝒙)] = 𝐥𝐨𝐠𝒃 [ 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇(𝒙)] = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑳 , 𝒃 > 0 e 𝒃 ≠ 𝟏. 
 
 Limite Trigonométrico Fundamental: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝟎
 
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
= 𝟏 
Exemplos: 
1) lim
𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
4𝑥
= lim
𝑥⟶0
1
4
.
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
=
1
4
. 1 =
1
4
 
 
2) lim
𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑠𝑒𝑛 5𝑥
= lim
𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑥
𝑠𝑒𝑛 5𝑥
𝑥
= lim
𝑥⟶0
3
3
5
5
.
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑥
𝑠𝑒𝑛 5𝑥
𝑥
= lim
𝑥⟶0
3 . 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
3𝑥
5 . 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
5𝑥
=
3 . 1
5 . 1
=
3
5
 
 
 
3) lim
𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛 6𝑥
𝑥
= lim
𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛 6𝑥
𝑥
.
6
6
= lim
𝑥⟶0
6 . 𝑠𝑒𝑛 6𝑥
 6𝑥
= 6.1 = 6 
 
 
4) lim
𝑥⟶0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1
𝑥2
= lim
𝑥⟶0
(cos 𝑥 − 1)
𝑥2
 .
(cos 𝑥+ 1)
(cos 𝑥+ 1)
= lim
𝑥⟶0
 
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 12
𝑥2(cos 𝑥+ 1)
= lim
𝑥⟶0
 
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 1
𝑥2(cos 𝑥+ 1)
= 
= lim
𝑥⟶0
 
– 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 
𝑥2(cos 𝑥 + 1)
= lim
𝑥⟶0
 
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 
𝑥2
 .
−1
(cos 𝑥 + 1)
= 1.
−1
𝑐𝑜𝑠 0 + 1
= 1.
−1
1 + 1
= 1 .
−1
2
= −
1
2
 
 
5) lim
𝑥⟶0
 
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= lim
𝑥⟶0
 
𝑥
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= lim
𝑥⟶0
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
=
1
1
= 1 
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6) lim
𝑥⟶0
𝑡𝑔 𝑥
𝑥
= lim
𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
= lim
𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
.
1
𝑥
= lim
𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
.
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
= 1.
1
𝑐𝑜𝑠 0
= 1.
1
1
= 1 
 
7) lim
𝑥⟶0
𝑥
𝑡𝑔 𝑥
= lim
𝑥⟶0
𝑥
𝑥
𝑡𝑔 𝑥
𝑥
= lim
𝑥⟶0
1
𝑡𝑔 𝑥
𝑥
= lim
𝑥⟶0
𝑥
𝑡𝑔 𝑥
= lim
𝑥⟶0
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
= lim
𝑥⟶0
𝑥 .
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
= 
= lim
𝑥⟶0
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= lim
𝑥⟶0
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
=
𝑐𝑜𝑠 0
1
=
1
1
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO 
 
1) Calcule o limite das funções abaixo: 
 
a) lim
𝑥→2
 (𝑥 + 1) 
 
b) lim
𝑥→
𝜋
2
 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
c) lim
𝑥→2
(
𝑥
3
+ 1) 
 
d) lim
𝑥→0
𝑒𝑥 
 
e) lim
𝑥→3
𝑥2+3𝑥
𝑥+1
 
 
f) lim
𝑥→2
𝑥−2
3
 
 
g) lim
𝑥→10
4 
 
h) lim
𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3
 
 
i) lim
𝑥→−5
𝑥2+5𝑥
𝑥+5
 
 
j) lim
𝑥→8
√𝑥+1−3
𝑥−8
 
 
k) lim
𝑥→2
 
 1 
 𝑥 
 − 
1
 2 
 
𝑥2−4
 
 
l) lim
𝑥→3
𝑥2−6𝑥+9
𝑥−3
 
 
m) lim
𝑥→0
𝑥3+𝑥2+2𝑥
𝑥3+3𝑥
 
 
 
 
Respostas: 
 
a) 3 
 
b) 1 
 
c) 
5
3
 
 
d) 1 
 
e) 
9
2
 
 
f) 0 
 
g) 4 
 
h) 6 
 
i) -5 
 
j) 
1
6
 
 
k) − 
1
16
 
 
l) 0 
 
m) 
2
3