APOST -MAT-FINAN-CCONTAB-2015

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UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO 
UNINOVE 
 
 
 
 
 
Material de apoio 
Matemática Financeira 
5ª edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
 
 
 
 
 
 
 
Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva 
São Paulo, 2015 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 2 
 
ÍNDICE 
 
APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................... ...................................................03 
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA...............................................................................................04 
 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................. ...................................................04 
REGRA DE TRÊS SIMPLES ..................................................................................................................... ...................................................04 
 PORCENTAGEM ............................................................................................................................................ ...................................................05 
JUROS .................................................................................................................................................................... ...................................................09 
 JUROS SIMPLES............................................................................................................................................. ...................................................11 
DESCONTOS .SIMPLES... ........................................................................................................................... ...................................................19 
JUROS COMPOSTOS .................................................................................................................................... ...................................................23 
DESCONTOS COMPOSTOS ...........................................................................................................................................................................28 
OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS........................................................................................... ...................................................30 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO FLUXO DE CAIXA ............................................................................................................38 
CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA E PERPETUIDADE......................................................................................................................42 
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS .................................................................................... ...................................................47 
 POSTECIPADA ................................................................................................................................................ ...................................................47 
 ANTECIPADA........................................................................................................................................................................................................55 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO................................................................................................................................................................61 
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO-SFA./PRICE.............................................................................................................61 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE -SAC ................................................................ ...................................................73 
EXERCICIOS SUPLEMENTARES...............................................................................................................................................................76 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................................................................................88 
 ANEXO 1 - PEQUENO MANUAL HP 12C.....................................................................................90 
 
 
 
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ou quaisquer outros. 
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APRESENTAÇÃO 
 
 
Caro(a) aluno(a), 
 
 
Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam 
diante de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras 
específicas, diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e 
profissional. Esse universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será 
que conseguiremos dominar todas essa novidades e sobreviver a elas? 
 
 Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e 
linguagens e, assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas 
que seguem, oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a 
acadêmico. Não pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída., longe 
disso. Você só aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das 
ferramentas. No início lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a 
decodificá-las e a utilizá-las corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu 
vocabulário quanto de seu repertório de práticas. 
 
 O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o 
desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes 
aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como 
objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, os conceito da 
matemática financeira e suas aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil 
compreensão. 
 
 Vale salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e 
apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve 
como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui, 
em hipótese alguma, a pesquisa em livros específicos. 
 
 
 
O autor, 
 
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função 
do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do 
valor do dinheiro tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o objetivo da 
matemática financeira. 
 
 Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas 
operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o risco 
envolvido em várias operações de créditos. 
 
 Prejuízo (ou despesa): Emqualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento de 
juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como 
pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de 
despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira. 
 
 Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-o 
como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou 
simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a 
calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado. 
 
REGRA DE TRÊS 
 
Chamamos de regra de três simples os problemas nos quais figuram uma grandeza que é 
direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. 
 
 A regra de três simples trabalha com apenas duas grandezas. 
 
Exemplos: 
 
1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m? 
 
Resolução: (grandezas diretamente proporcionais) 
Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. 
Chamamos de x o valor que desejamos conhecer. 
Então dispomos em duas colunas: 
 Comprimento(m) Preço(R$) 
 6 15 
 8 x 
 
Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta voltada para 
ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma 
segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim: 
 
 6 15 
 8 x 
 
 Armamos à proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas: 
 
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 6 = 15 
 8 x 
 
 e determinamos o valor de x: 
 
 x = 8 . 15  x = 120  x = 20 
 6 6 
 
 Logo, o preço procurado é: R$ 20,00 
 
2) Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma 
obra? 
 
Resolução: (grandezas inversamente proporcionais) 
 
Então dispomos em duas colunas: 
 Operários Dias 
 6 10 
 20 x 
 
A coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com 
uma segunda seta vertical, de sentido contrário. Assim: 
 
 6 10 
 20 x 
Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operários (por ser uma grandeza 
inversamente proporcional à de número de dias): 
 20 10 
 6 x 
 Daí: 
 
 20 = 10 
 6 x 
 e determinamos o valor de x: 
 
 x = 6 . 10  x = 60  x = 3 
 20 20 
 
 Logo, serão necessários: 3 dias. 
 
PERCENTAGEM (%) 
 
Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como as relacionadas abaixo: 
 
“Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.” 
“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.” 
“A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.” 
“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em maio.” 
Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem. 
 
 
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Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma 
taxa. 
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. 
Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem. 
 No entanto, o principal, a percentagem e a taxa são elementos do cálculo percentual. 
 
Representando: 
O principal por P; 
A porcentagem por p; 
A taxa por i; 
Temos, genericamente: 
100
i
P
p

 
 
 
3) Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00? 
Resolução: 
Neste caso teremos que: 
 
 p 10 
 
800 100 
 
100p = 800 . 10 
100p = 8000 
 p = 8000/100 
 p = 80 Logo, a comissão é de R$ 80,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E X E R C I C I O S 
 
REGRA DE TRÊS 
 
1) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg? 
 R. R$ 37,50 
 
2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R. R$ 11,20 
 
3) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? 
R. R$ 1463,00 
 
4) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? R. 112 voltas 
 
5) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 
refrigerantes? R. 8 horas 
 
6) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8 operários para 
fazer o mesmo muro? R. 6 dias 
 
7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo 
conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? R. 40 dias 
 
8) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo 
trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? R. 10 kg 
 
9) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam 
essa casa? R. 90 dias 
 
10) Um ônibus, a uma velocidade media de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, 
aumentando a velocidade média para 80 km/h? R. 3 horas 
 
11) Trabalhando 5 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, 
nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 6 horas por dia? R. 20 dias 
 
12) Cinco máquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado serviço 
em 5 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria executado se forem utilizadas apenas três 
máquinas impressoras? R. 8,33 horas ou 8 horas e 20 minutos 
 
PORCENTAGEM 
13) Calcule as porcentagens: 
 
a) 8% de R$ 700,00 R p = 56 
b) 5% de R$ 4.000,00 R. p = 200 
c) 12% de R$ 5.000,00 R. p = 600 
d) 1,2% de R$ 40,00 R. p = 0,48 
 
14) Qual a taxa percentual que: 
a) 125 representa de 250? R. i = 50% 
b) 112 representa de 320? R. i = 35% 
c) 28 representa de 80? R. i = 35% 
d) 352 representa de 1800? R. i = 19,55% 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. PauloSergio P. da Silva 8 
15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já incluídos R$ 
120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado 
de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente ás taxas 
de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem á 
vista. Então é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem: (R. c) 
 
a) R$ 3.672,00 b) R$ 3.780,00 c) R$ 3.792,00 d) R$ 3.900,00 
 
16) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos funcionários 
ausentes? R. i = 3% 
 
17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia: 
 
 
 R$ 367,20 x 4 
 ou 
 R$ 1.080,00 à vista 
 
 
Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagará a mais quantos por cento? R. 36% 
 
18) Represente a taxa de porcentagem do ingrediente sabão do desinfetante PINHO CHEIRO: 
R. 7% 
 DESINFETANTE PINHO CHEIRO 
Água 47g 
Álcool 12g 
Sabão 7g 
Óleo pinho 34g 
TOTAL 100g 
 
19) Numa pesquisa sobre a preferência de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o resultado 
obtido foi o seguinte: 
PREFERENCIA NÚMERO DE PESSOAS 
Azul 11 
Branco 9 
Preto 1 
Verde 10 
Amarelo 14 
Vermelho 5 
 
Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada ? 
R. 22%; 18%; 2%; 20%; 28%; 10%. 
 
20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa percentual dos 
estudantes ausentes? R. i = 5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 9 
JUROS (J) 
 
 É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a 
partir de dois pontos de vista: 
 
- de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, 
etc. 
 
- de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc. 
 
Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital próprio 
ou de terceiros. 
 
Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P) 
 
 É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação 
financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou 
simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros. 
Taxa (i) 
 
 É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado 
em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como por 
exemplo: 
- taxa de inflação; 
- taxa real de juros; 
- taxa acumulada; 
- taxa unitária; 
- taxa percentual; 
- taxa over; 
- taxa equivalente; 
- taxa nominal, entre outras. 
- 
Prazo ou Tempo ou Períodos (n) 
 
 É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para 
produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um 
exemplo: 
- período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc. 
- período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. 
Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15 dias, 
um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de como 
estão sendo tratados nos problemas. 
 
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S) 
 
 É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira 
após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J). 
 
Assim temos: M = C + J 
 
Partindo da fórmula acima, temos que: J = M – C e C = M - J 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 10 
Exemplo 01: 
 
Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi 
o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ? 
 
Solução algébrica: 
J = 78,25 C= 1.568,78 M = ? 
M = C + J 
M = 1,568,78 + 78,25 
M = R$ 1.647,03 
 
 
Exemplo 02: 
 
Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 e 
que gerou um montante de R$ 1.380,75 ? 
 
 
Solução algébrica: 
C = 1250,18 M= 1380,75 J= ? 
J = M - C 
J = 1380,75 – 1250,18 
J = R$ 130,57 
 
 
Exemplo 03: 
 
Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o rendimento 
deste investimento foi de R$ 378,25 ? 
 
Solução algébrica: 
M= 1500,00 J=378,25 C= ? 
C = M - J 
C = 1500,00 – 378,25 
C = R$ 1.121,75 
 
 
Regimes de Capitalização 
 
 São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em 
Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial, respectivamente. 
 
Exemplo 04: 
 
Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor 
acumulado no final de cada período pelo regime de capitalização simples ? 
Solução algébrica: 01 
Regime de Capitalização Simples 
n Capital aplicado(R$) Juros de cada período Montante 
1 1000,00 1000 . 0,1= 100 1000 + 100 = 1100,00 
2 1000,00 1000 . 0,1 =100 1100 + 100 = 1200,00 
3 1000,00 1000 . 0,1 =100 1200 + 100 = 1300,00 
Solução pela HP-12C 
 
1568,78 ENTER 
 
78,25 + 
 R$ 1.647,03 
Solução pela HP-12C 
 
1380,75 ENTER 
 
1250,18 - 
 
 R$ 130,57 
Solução pela HP-12C 
 
1500 ENTER 
 
378,25 - 
 
 R$ 1.121,75 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 11 
JUROS SIMPLES 
 
Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime de 
juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou 
seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros. 
 
Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples: 
 
 J= PV . i . n 
 
Colocando o PV em evidência, teremos: 
 
 PV = J 
 i.n 
 
Colocando o n em evidência, teremos: 
 
 n = J 
 PV.i 
 
Colocando o i em evidência, teremos: 
 
 i = J ou i = FV - 1 
 PV.n PV 
 
 
Exemplo 05: 
Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao 
mês. 
 
Solução algébrica: 
 
J = 1250 . 0,055 . 5 
J = R$ 343,75 
 
 
 
 
 
Exemplo 06: 
 
Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao 
mês ? 
 
Solução algébrica: 
J= 342,96 
PV = 342,96 
 0,025 . 11 
 
PV = 342,96 = R$ 1.247,13 
 0,275 
 
Solução pela HP-12C 
 
1250,00 ENTER 
 
0,055 X 
 
5 X 
R$ 343,75 
 
 
 
 
 
 R$ 1.121,75 Solução pela HP-12C 
 
342,96 ENTER 
 
0,025 ENTER 
 
11X ÷ 
R$ 1.247,13 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 12 
 
Exemplo 07: 
Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre 
uma prestação de R$ 537,17. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ? 
 
Solução algébrica: 
i = 2,14 
 537,17 . 1 
i = 2,14 = 0,003984.... 
 537,17 
i = 0,003984 . 100 
i = 0,3984% ao dia 
imensal = 0,3984 . 30 
imensal = 11,95% 
 
 
Exemplo 08: 
Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45 
com uma taxa de 1,5% ao mês ? 
Solução algébrica: 
n = ? PV = R$ 967,74 i = 1,5% ao mês J= R$ 226,45 
n = 226,45 = 226,45 
 967,74 . 0,015 14,52 
 
n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias 
 
 
 
 OBSEVAÇÃO: 
 
- A parte inteira 15 representa os 15 meses. 
-A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmos 
os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18). 
 
 
Exemplo 09: 
André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses Almir resolveu cobrar sua dívida. André 
efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? 
Qual foi a taxa mensal de juros? 
Solução algébrica: 
PV = 15,00 
FV = 23,75 
N = 6 meses 
i(ac) = ? 
imensal = ? 
 
 
 
 
 
 
 
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) 
Solução pela HP-12C 
2,14 ENTER 
 
537,17 ENTER 
 
1 
 
100 30 
11,95% ao mês 
 
 
X 
X 
X 
 
Solução pela HP-12C 
 
226,45 
 
967,74 
 
0,015 
 
15,60meses 
 
 
ENTER 
X 
ENTER 
 
 
 
i(ac) = 23,75 - 1 . 100 
 15 
 
 
i(ac) = { 1,5833 – 1 } . 100 
 
i(ac) = 0,5833 . 100 
i(ac) = 58,33% a. p. ou ao semestre 
imensal = 58,33 / 6 
imensal = 9,72% ao mês 
 
 
 
 
Solução pela HP-12C 
 
15 
 
23,75 
 
 
 58,33 a . p. 
 
6 
 
 9,72% ao mês 
ENTER 
% 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 13 
Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias, 
onde tenhamos que: 
FV = PV + J e J = PV . i . n 
Assim teremos: 
 
FV = PV ( 1 + i . n) 
 
Exemplo 10: 
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pós-fixado de 90 
dias, a uma taxa de 1,45% ao mês? 
 
Solução algébrica: 
n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ 84.975,59 i = 1,45% ao mês FV= ? 
FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3) 
FV = 84.975,59(1 + 0,0435) 
FV = 84.975,59(1,0435) 
FV = R$ 88.672,03 
 
 
 
 
 
 
 
Capital (C) ou Valor Presente (PV) 
 
A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do Montante 
ou Valor Futuro (FV). 
 
Assim teremos: FV = PV(1 + i . n) 
Colocando PV em evidência: 
 
 PV = FV 
 (1 + i . n) 
 
Exemplo 11: 
Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 
3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês. 
 
 Solução algébrica: 
 
PV = 84.248,00 
 (1 + 0,0177 . 3) 
 
PV = 84.248,00 = 84.248,00 
 (1 + 0,0531 ) 1,0531 
 
PV = R$ 80.000,00 
 
 
 
 
Solução pela HP-12C 
 
84975,59 
 
1,45 
 
3 
 
R$ 88.672,03 
ENTER 
% 
X + 
Solução pela HP-12C 
 
84248 
 
1 
 
0,0177 
 
3 
R$ 80.000,00 
ENTER 
ENTER 
ENTER 
X
x 
+  
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 14 
E X E R C Í C I O S 
 
1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5 meses, 
sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R. J = R$ 875,00 
 
2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine a 
taxa correspondente. R. i = 2,5% 
 
3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. 
Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. ianual = 17,655% 
 
4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de 
5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = 16 trim 
 
5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias? 
R. PV = R$ 2827,38 
 
6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3 anos ? 
 R. J = R$ 525,00 
 
7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à 
taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$ 9834,51 
 
8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias. Calcular a 
taxa mensal de juros. R. i = 5,73555 a m. 
 
9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual ganha? 
R. i = 48% aa 
 
10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimento 
deste investimento foi de R$ 148,50 ? R. PV = R$ 221,50 
 
11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre uma 
prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira? 
R. i = 21,1% am. 
 
12) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00 ? 
R. PV = R$ 5000,00 
 
13) Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao 
mês. R. J = R$ 343,75 
 
14) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. 
Determine o juro obtido. R. J = R$ 1800,00 
 
15) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 é aplicado à juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8% 
a.s. Obtenha os Juros e o Montante. R. J = R$ 1680,00; FV = R$ 8680,00 
 
16) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% 
a.m.? R. PV = R$ 30000,00 
 
17) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$150.000,00, pelo prazo de 18 
meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês? R. J = R$ 108000,00 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 15 
18) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$ 108.000,00, à taxa de 
juros simples de 4% ao mês? R. PV = R$ 150000,00 
 
19) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 280.000,00, durante 15 meses, à 
taxa de juros simples de 3% ao mês? R. FV = R$ 406000,00 
 
20) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$ 23.600,00, no prazo de 6 meses, à taxa de 
juros simples de 3% ao mês? R. PV = R$ 20000,00 
 
21) Que tempo de aplicação foi necessário, para que R$ 20.000,00, se transforme à taxa de 3% ao 
mês, em R$ 23.600,00? R. n = 6 meses 
 
22) (EPCAR) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador pode pagar 20% de 
entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 3 meses. 
Admitindo-se o regime de jurossimples comerciais, a taxa de juros anual cobrada na venda a prazo 
é de: R. (b) 
 
a) 94% 
b) 96% 
c) 98% 
d) 100% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 16 
Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros – Taxas equivalentes 
 
 Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período da 
taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente . 
Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período 
de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento. 
 
Exemplo 12: 
Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de 
rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ? 
 
Solução algébrica: 
PV = 15.000,00 
i = 28% ao ano 
n = 92 dias 
J = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros Exato e Comercial 
 
Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário, 
ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como, por exemplo: 
Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias. 
No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo assim, 
um ano comercial vai ter sempre 360 dias. 
 
Exemplo 13: 
 
Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com a 
taxa de 48% ao ano. Pede-se: 
 a) Determinar os juros exato 
 b) Determinar os juros comercial 
 
Solução algébrica: 
PV = R$ 14.500 
i = 48% ao ano 
 
a) Jexato = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 800,88 
 365 
b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 812,00 
 360 
 
Opção1: transformando a taxa 
J = 15000 . 0,28 . 92 
 360 
J = 15000 . 0,000778 . 92 
J = R$ 1.073,33 
Opção2: transformando o prazo 
J = 15000 . 0,28 . 92 
 360 
J = 15000 . 0,28 . 0,255556 
J = R$ 1.073,33 
Opção3: transformando o produto 
J = 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00 
 360 360 
J = R$ 1.073,33 
 
Solução pela HP – 12C 
 
15000 
 
0,28 
 
92 
 
360 
 
R$ 1.073,33 
ENTER 
X 
X 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE e 
JUROS EXATO E COMERCIAL 
Considerar o ano comercial (360 dias) 
 
1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros 
simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato 
(365 dias). R. Jcom = R$ 3240,00 e Jex = R$ 3195,61 
 
2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/01 sendo quitada em 17/05 do mesmo 
ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial. 
R. Jex = R$ 199,50 e Jcom = R$ 202,27 
 
3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para: 
a) 7 dias; R. 0,77% 
b) 29 dias; R. 3,22% 
c) 1 mês; R. 3,33% 
d) 32 dias; R. 3,56% 
e) 1 trimestre; R. aprox. 10% 
f) 45 dias; R. 5% 
g) 1 semestre; R. aprox. 20% 
 
4) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo 
de 32 dias. R. J = R$ 821,18 
 
5) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês. 
R. J = R$ 268,33 
 
6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês. 
R. i22dias = 2,24% 
 
Solução pela HP-12C 
 
14500 
 
0,48 
 
42 
 
365 
 
R$ 800,88 
 
14500 
 
0,48 
 
42 
 
360 
 
R$ 812,00 
ENTER 
X 
X
x 
X
+ 
 
X 
ENTER 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 18 
7) Calcule a taxa mensal proporcional a: 
 
a) 9% ao trimestre b)24% ao semestre c) 0,04% ao dia d)30% ao ano. 
R. a) 3% ao mês; b) 4% ao mês; c) 1,2% ao mês; d) 2,5% ao mês 
 
8) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro 
obtido. R$ 500,00 
 
9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 
dias, à taxa de 36% ao ano. R. R$ 15.725,00 
 
 
10) Uma aplicação de valor inicial de R$ 4.000,00 foi feita por um período de 72 dias, pelo regime 
de juros simples, sob a taxa de 9% ao mês. Podemos afirmar que o valor do Juro Exato e o valor do 
Montante final são: R. (c) 
 
a) R$ 946,67 e R$ 4946,67 
b) R$ 946,67 e R$ 4864,00 
c) R$ 864,00 e R$ 4864,00 
d) R$ 946,67 e R$ 8644,00 
e) R$ 360,00 e R$ 4864,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 19 
DESCONTOS 
 
 É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado 
antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, 
em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode 
levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento. O Banco naturalmente, 
libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. Podemos classificar os 
tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto (método exponencial). 
 
Desconto Racional ou Real Simples - “ desconto por dentro” 
 
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valor 
de resgate) do papel. O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou 
de resgate) e o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros 
simples. 
Vamos aplicar as seguintes fórmulas: 
 
Para calcular o desconto racional simples: 
 
 DRS = VN – VL 
 
 
O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte 
fórmula: 
 
 DRS = VN . i . n 
 ( 1 + i . n ) 
 
 Para calcular o valor líquido: 
 
 VL = VN - DRS . 
 
O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula: 
 
 
 VL = VN . 
 ( 1 + i . n ) 
 
Exemplo 01: 
 
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa 
de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido? 
 
Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; 
 i = 2,5% ao mês; DRS = ? 
 
DRS = 25000,00 . 0,025 . 2 
 ( 1 + 0,025 . 2 ) 
DRS= 1250 
 1,05 
DRS = R$ 1190,48 
Solução pela HP-12C 
25000 ENTER 
0,025 X 2 X 
1 ENTER 
0,025 ENTER 
2 X +  
CHS 
25000,00 + 
R$ 23.809,52 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 20 
VL = VN - DRS 
VL = 25000 – 1190,48 
VL = R$ 23.809,52 
 
Desconto Bancário ou Comercial - “ desconto por fora ” 
 
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor nominal (ou 
valor de face) do papel. Na prática o que é utilizado é o desconto por fora. O valor do desconto é 
obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo 
prazo a decorrer até o vencimento do título. 
Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula: 
 
 DBS = VN . i . n e VL = VN – DBS 
 
 
OBS.: CASO A DÍVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS 
 
Exemplo 02: 
 
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa 
de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido? 
 
Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; 
 i = 2,5% ao mês; DBS = ? 
DBS = 25000,00 . 0,025 . 2 
DBS = R$ 1250,00 
VL = 25000 – 1250,00 
VL = R$ 23.750,00 
 
Exemplo 03: 
 
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de 
despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041% ao dia 
sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria 
tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção? 
 
Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; 
 id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%; 
i = 2,8% ao mês(empréstimo) 
VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ? 
ONDE: 
D = despesas 
DIOF = despesas com IOF 
Dadm = despesas administrativas 
VL = VN – DBS – DIOF - Dadm 
DBS = VN . id . n 
DBS = 25000 . 0,025 . 2 = R$ 1250,00 
Dadm = 25000 . 0,01 = R$ 250,00 
DIOF = 25000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50 
Solução pela HP-12C 
25000 ENTER 
0,025 X 2 X 
CHS 
25000 + 
R$ 23.750,00 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 21 
VL = 25000 – 1250 – 250 – 61,50 
VL= R$ 23.438,50 
Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa desta 
operação será: 
i = FV - PV 
 FV . n 
i = 25000 – 23.438,50 = 1561,50 = 3,12 % ao mês 
 25.000(2) 50.000 
A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção. 
 
Operações com um conjunto de títulos 
 
Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô de 
títulos ou duplicatas. 
 
Exemplo 04: 
Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa 
de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ? 
Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento) 
A 2.500,00 25 dias 
B 3.500,00 57 dias 
C 6.500,00 72 dias 
Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título. 
Solução algébrica: 
a)Duplicata A: 
DBS = 2500 . 0,03 . 25 = R$ 62,50 
 30 
b)Duplicata B: 
DBS = 3500 . 0,03 . 57 = R$ 199,50 
 30 
c)Duplicata C: 
DBS = 6500 . 0,03 . 72 = R$ 468,00 
 30 
Valor líquido = 12500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$ 11.770,00 
 
E X E R C Í C I O S 
 
1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 
90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R. DBS = R$ 225,00 
 
2) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada numa operação a 120 dias cujo valor 
nominal é de R$ 1000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 ? R. i = 3% 
 
3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o 
borderô a seguir: 
 
a) 6.000 15 dias 
b) 3.500 25 dias 
c) 2.500 45 dias 
R. VL = R$ 11.768,00 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 22 
4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um 
banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. 
R. VL = R$ 29408,00 
5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% ao 
mês. R. VL = R$ 4461,11 
Duplicatas Valor (R$) Prazo (vencimento) 
X 800,00 13 dias 
Y 1350,00 29 dias 
Z 2430,00 53 dias 
 
6) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, 
tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor pago pelo título? 
R. VL = R$ 2.740,00 
 
7) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, 
sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês. Neste caso, de 
quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 5.300,00 
 
8) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo o valor nominal é de R$ 2.040,00, 4 meses antes de 
seu vencimento. Qual o valor que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no 
mercado é de 5% ao mês? R. VL = R$ 1.700,00 
 
9) João deve a um banco R$ 190.000,00 de um título, que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor 
de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal 
atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do 
novo título será de: R. VL = R$ 235.600,00 
 
10) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada dever 
ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual o valor nominal do título? 
R. VN = R$ 3.000,00 
 
11) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando uma taxa 
de 5% ao mês, obtenha o valor nominal. R. VN = R$ 4.000,00 
 
12) Você possui uma duplicata cujo o valor de face é de R$ 150,00. essa duplicata foi descontada 3 
meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual à taxa de desconto? R. i = 2,1% 
 
13) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00, 
que sofreu um DCS de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. R. n = 92 dias 
 
14) Um título de R$ 2000,00 será descontado a 12% ao mês, 2 meses antes do vencimento. 
Determinar o valor atual (ou valor de resgate), considerando: 
a) Desconto simples bancário. R. R$ 1.520,00 
b) Desconto simples racional. R. R$ 1612,90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 23 
JUROS COMPOSTOS 
 
 Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros 
sobre juros. 
 
 O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil 
para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é 
conhecido por cálculo exponencial de juros. 
 
FÓRMULAS: 
 Para calcular o Montante: 
 
 
 FV = PV( 1 + i )
nMontante para taxa em meses consecutivos – ( Obs.: n sempre igual a 1) 
 
 FV = PV( 1 + i )
n 
.
 
( 1 + i )
n 
. ( 1 + i )
n 
..... 
 
 
 Para calcular o Capital: 
 
PV = FV 
 ( 1 + i )
n
 
 
 Para calcular a Taxa em período quebrado: 
 
 
 FV 
QQ/QT
 
 
 
 i = - 1 . 100 
 PV 
 
 
Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada) 
 QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado) 
 
 Taxa acumulada: 
 
 iac = FV - 1 
 PV 
 
 Para calcular o prazo : 
 
 n = LN (FV/ PV) 
 LN(1 + i) 
 
 
Onde: LN = Logaritmo neperiano 
Para calcular os juros : 
 
 J = PV[(1 + i )
n
 – 1] 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 24 
Exemplo 01: 
 
Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. 
 
Solução algébrica: 
 
FV = 5000(1 + 0,04)
5 
FV = 5000(1,04)
5 
FV = 5000(1,2166529)
 
FV = R$ 6.083,26 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 02: 
 
Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ? 
 
Solução algébrica: 
PV = FV = 14000 
 ( 1 + i ) 
n 
(1,15)
6
 
 
PV = 14000
 
 = R$ 6.052,59
 
 2,31306
 
 
 
 
Exemplo 03: 
 
A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para 
pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal 
cobrada pela loja ? 
 
Dados: 
i = ? 
PV = R$ 10.210,72 
FV = R$ 14.520,68 
n = 276 dias 
 
Solução algébrica: 
 
i = 14.520,68 
30/276 
 - 1 . 100
 
 10.210,72 
 
 i = {(1,422101...)
0,108696...
 – 1} . 100 
 i = {0,039018...} . 100
 
i = 3,90% ao mês 
 
 
 
Solução pela HP-12C 
 
5000 
 
4 
 
5 
 
 
R$ 6.083,26 
CHS PV 
i 
n 
FV
V 
Solução pela HP-12C 
 
14000 
 
15 
 
6 
 
 
R$ 6.052,59 
CHS FV 
i 
n 
PV
V 
Solução pela HP-12C 
 
10210,72 
 
14520,68 
 
276 
 
30 
 
 
3,90% ao mês 
CHS PV 
i 
n 
FV
V 
ENTER 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 25 
Exemplo 04: 
Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 
41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ? 
Dados: 
n = ? i = 3% ao mês 
PV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33 
Solução algébrica: 
 
 LN 41.524,33 
 
 24278,43 
n = 
 LN ( 1 + 0,03) 
 
 n = LN(1,710338) 
 LN(1,03) 
 n = 0,536691... 
 0,029559... 
 
n = 18,156731... meses 
 
Exemplo 05: 
Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% 
ao mês. 
Dados: 
PV = R$ 1.000,00? 
i = 10% ao mês 
n = 5 meses 
J = ? 
Solução algébrica: 
J= 1000[(1 + 0,10)
5
 – 1] 
J= 1000[(1,10)
5
 – 1] 
J= 1000[1,61051 – 1] 
J= 1000[0,61051 ] 
J= R$ 610,51 
 
Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros 
 
As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se 
adotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir: 
1 ano exato = 365 ou 366 dias; 
1 ano = 360 dias; 
1 semestre = 180 dias; 
1 trimestre = 90 dias; 
1 mês comercial = 30 dias; 
1 mês exato = 29 ou 31 dias; 
1 quinzena = 15 dias. 
Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo 
n = QQ (Quanto eu Quero) , sempre considerando o prazo em dias. 
 QT (Quanto eu Tenho) 
Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV): 
 
 FV = PV (1 + i )
QQ/QT
 
Solução1 pela HP-12C 
 6 
 
41524,33 
 
24278,43 LN 
 
 
1,03 LN 
 
 
18,156731.. meses 
 
g 
g 
ENTER 
 
f 
Solução 2 pela HP-12C 
 
41524,33 
 
24278,43 
 
3 
 
 
 
19 meses 
FV 
PV 
i 
n 
CHS 
Solução pela HP-12C 
 
1000 
 
10 
 
5 
 
 1.610,51 
 
 R$ 610,51 
 
PV 
FV 
i 
n 
CHS 
RCL PV + 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 26 
Exemplo 06: 
Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, 
para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos. 
Dados: 
PV = R$ 13.500,00 
i =25% ao ano 
n = 92 dias 
FV = ? 
 
Solução algébrica: 
 
FV = 13500(1 + 0,25)
92/360
 
FV = 13500(1,25)
0,255556
 
FV = 13500(1,058683) 
FV = R$ 14.292,22 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S 
 
1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindo-se 
uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$ 22824,27 
 
2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor 
resgatado foi de R$ 98.562,25. R.PV = 88296,69 
 
3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45 
com uma taxa de 0,98% ao mês ? R. n = 55,32 aprox. 56 
 
4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 
4.489,64 durante um ano? R. i = 5% am. 
 
5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% ao 
mês durante 7 meses. R. J = R$ 209,38 
 
6) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com 
uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses. 
R. PV = R$ 1253,46 
 
7) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ? 
R. J = R$ 875,97 
 
8) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, 
para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 11411,43 
 
9) Determinar o capital que, aplicado por 7 mesesa juros efetivos de 4% ao mês, rende R$ 
10.000,00. R. PV = R$ 31652,40 
 
10) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único 
pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano? 
R. n = 5 anos 
OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias. 
As perguntas: 
Qual é o prazo que eu Quero? 
Qual é o prazo que eu Tenho ? 
Solução pela HP-12C 
 
13500 
 
1 0,25 
 
92 360 
 
 R$ 14.292,22 
ENTER 
ENTER + 
ENTER  
y
x
 X 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 27 
 
11) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de 2,5% 
ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período? 
R. FV = R$ 2802,32 
 
12) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a 
tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco. 
BANCO X Y Z 
Taxa 2% ao mês 2% ao trim 2,5% ao mês 
Prazo 2 bimestre 2 trimestre 3,5 meses 
 
a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco 
 R. FVx = R$ 32.472,96; FVy = R$ 31.212,00 e FVz = R$ 32.742,07 
b) Qual é a melhor opção? 
 
13) A loja MIX Ltda. vende um etrodoméstico por R$ 180,00 a unidade, sendo o pagamento feito 
em 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é de R$ 165,00. Qual a taxa mensal de 
juros cobrada no financiamento? R. i = 4,44% a.m 
 
14) Em 3 meses consecutivos, um fundo rendeu, respectivamente, 1,2%, 1,5% e 1,8%. Se o capital 
aplicado no início do primeiro mês foi de R$ 10.000,00, determine: 
 
a) o Montante no final do terceiro mês; R. FV = R$ 10.456,69 
b) a taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre. R. iac = 4,56% 
 
15) O quadro abaixo indica, em reais, as quantias que dois investidores A e B dispunham e as 
respectivas taxas a que estas quantias foram aplicadas a juros compostos. 
 
Investidor Capital Taxa 
A 100 000 100% ao ano 
B 100 000 60% ao semestre 
 
Depois de um ano, a soma, em reais, dos montantes desses dois investidores será: R. (b) 
 
a) 480.000 
b) 456.000 
c) 440.000 
d) 336.000 
e) 420.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 28 
 
DESCONTOS COMPOSTOS 
 
Desconto Racional Composto 
 
 O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou 
(VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto. 
 
 DRC = VN – VL 
 
 VL = VN .… 
 (1 + i)
n 
Exemplo 01: 
Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5000,00 considerando 
uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento. 
Dados: 
VN = 5000; i = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC ?; VL = ? 
 
Solução algébrica: 
VL = 5000 .…… 
 (1 + 0,035)
3
 
 VL = 5000 = 5000__ = R$ 4509,71 .…= … 
 (1,035)
3 
1,10872 
DRC = 5000 – 4509,71 = R$ 490,29 
 
 
Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos) 
 
O Desconto Bancário Composto praticamente só existe na teoria, já que o que é utilizado 
em nosso país é o desconto bancário simples. Considere um título de Valor Nominal (VN), com 
vencimento em um período (n), e um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a 
VN, quando aplicado por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos 
verificar: 
 
 DBC = VN – VL 
Onde: DBC = Desconto Bancário Composto 
 
VL = VN (1 - i)
n
 
Exemplo 02: 
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa 
de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido 
creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido. 
 Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 60dias (2 meses); 
 i = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ? 
VL = 25000(1- 0,025)
2
 
VL = 25000(0,975)
2 
VL = 25000 (0,950625) 
VL = R$ 23765,63 
DBC = 25000 – 23765,63 = R$ 1.234,38 
 
 
Solução pela HP-12C 
5000 FV 
3,5 i 
3 n 
PV 4509,71 
5000 + 
R$ 490,29 
Solução pela HP-12C 
 
25000 ENTER 
1 ENTER 
0,025 - 
2 Y
x 
 X 
23.765,63 
CHS 25000 + 
R$ 1.234,38 
FV 23795,35 
25000 - 
R$ 1204,64 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 29 
E X E R C Í C I O S 
 
1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa 
mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido deste título? 
R. VL = R$ 45.000,00 
 
2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00 
considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu 
vencimento. R. DRC = R$ 206,62 
 
3) Uma duplicata de R$ 17.000,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 1,5% 
ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido creditado na 
conta e o valor do Desconto Racional concedido. 
R. VL = R$ 16.257,39 e DRC = R$ 742,61 
 
4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses 
antes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. R. DRC = R$ 851,82 
 
5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do 
vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano, capitalizado mensalmente. R. DRC = 681,17 
 
6) Um título no valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 90 dias antes do vencimento à uma 
taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DRC? R. VL = R$ 23.907,89 e DRC = R$ 1.092,11 
 
7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do 
vencimento à taxa de juros de 3% ao mês. Calcular o valor líquido recebido e o DRC. 
R. VL = R$ 4. 712,98 e DRC = R$ 287,02 
 
8) Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título 
cujo valor nominal é de R$ 1.000,00. sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de desconto 
composto de 3% ao mês, ache o valor líquido e o desconto racional. R. VL=R$ 915,14 e DRC= R$ 84,86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 30 
OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS 
 
Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituição financeira 
representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco dias 
úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito. 
 A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela soma 
da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais. 
 
Taxas Equivalentes a Juros CompostosDuas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo 
capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento. 
 
 
 ieq = ( 1 + ic)
QQ/QT
 - 1 . 100 
 
 
Onde: 
ieq = taxa equivalente 
ic = taxa conhecida 
QQ = Quanto eu Quero 
QT = Quanto eu Tenho 
 
Exemplo 01: 
Calcular a equivalência entre as taxas: 
 
Taxa Conhecida Taxa equivalente para: 
a) 79,5856% ao ano 1 mês 
b) 28,59% ao trimestre 1 semestre 
c) 2,5% ao mês 105 dias 
d) 0,5 ao dia 1 ano 
e) 25% (ano comercial) 1 ano exato ( base 365 dias) 
 
Solução algébrica: 
 a) 
ieq = { ( 1 + ic)
QQ/QT
 - 1 } . 100 
ieq = { ( 1 + 0,7958)
30/360
 - 1 } . 100 
ieq = { ( 1 + 0,7958)
0,083333
 - 1 } . 100 
ieq = { 1,049997 - 1 } . 100 
ieq = { 0,049997 } . 100 
ieq = 5% ao mês 
 
 
Solução algébrica: Solução algébrica 
 c) 
 ieq = { ( 1 + 0,025)
105/30
 - 1 } . 100 
 ieq = { ( 1, 025)
3,5
 - 1 } . 100 
 ieq = { 1,090269 - 1 } . 100 
 ieq = { 0,090269 } . 100 
 ieq = 9,03 %ao período 
 
 
Solução algébrica: 
 b) 
ieq = { ( 1 + 0,2859)
180/90
 - 1 } . 100 
ieq = { ( 1 + 0,2859)
2
 - 1 } . 100 
ieq = { 1,653539 - 1 } . 100 
ieq = { 0,653539 } . 100 
ieq = 65,35% ao semestre 
 
 
Solução pela HP-12C - a) 
1,7958 
 
30 360 
 
1 100 
 
5% ao mês 
ENTER 
ENTER  Yx 
- X
x 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação 
 
Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras e 
comerciais). 
 Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há 
inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes: 
- Um correspondente ao “juro real” e outro correspondente a inflação. 
 
Sendo: 
C: capital inicial 
R: taxa real de juros 
I: taxa de inflação 
i: taxa aparente 
 
 Procurando entender melhor: os nomes das taxas se referem essencialmente ao poder de 
compra, ou seja, real e aparente se referem, portanto, à capacidade do dinheiro realmente ou 
aparentemente comprar. 
A taxa aparente é aquela que é apresentada pelo investimento, pelo aumento de salário, 
pelo crescimento do PIB, etc. Assim, um investimento que rende 20% ao ano tem uma taxa 
aparente de 20% ao ano. 
Por que aparente? Porque aparentemente, o valor inicialmente aplicado é capaz de comprar 
20% a mais. Mas isso é falso! 
Em uma aplicação financeira, percebemos apenas o aumento aparente. Para calcularmos a 
verdadeira rentabilidade é necessário calcularmos a taxa real. 
Desse modo, o cálculo da taxa Real tem como objetivo descontar a Inflação deste ganho 
aparente. 
Se a inflação, por exemplo, for de 8% ao ano, fica claro que sua capacidade de compra não 
aumentou em 20%. 
E aí vem a Matemática: De quanto aumentou sua capacidade de compra? O pensamento 
natural é subtrair as taxas. As pessoas pensam assim. Mas subtrair não resolve esse problema. 
Vejamos uma situação: 
Suponha que você tenha hoje R$ 1000,00 e que um produto A custe, hoje, R$ 1,00. Você investe 
esse dinheiro, e um ano depois, ele rende alegres 20%. Entretanto, a inflação nesse período, para 
esse produto, foi de 8%. Assim você está mais rico, com R$ 1200,00 no bolso, mas o produto está 
Solução algébrica 
d) 
ieq = { ( 1 + 0,005)
360/1
 - 1 } . 100 
ieq = { ( 1,005)
360
 - 1 } . 100 
ieq = { 6,022575 - 1 } . 100 
ieq = { 5,022575 } . 100 
ieq = 502,265% ao ano 
 
 
 
 
 
Solução algébrica 
e) 
ieq = { ( 1 + 0,25)
365/360
 - 1 } . 100 
ieq = { ( 1, 25)
1,013889
 - 1 } . 100 
ieq = { 1,253880 - 1 } . 100 
ieq = { 0,253880 } . 100 
ieq = 25,39% ao período 
 
 
 
Daí, 
 
 (1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 32 
mais caro e custa R$ 1,08. Qual foi o aumento do poder de compra desse produto, ou seja, quantos 
produtos a mais você poderá comprar? Para isso basta comparar o antes e o depois. Uma simples 
divisão é o suficiente. Antes poderia comprar 1000 produtos. Agora pode comprar 1200/8 = 1111 
produtos, aproximadamente. Assim, seu poder de compra aumentou em 11,1% aproximadamente. 
Conclusão: APARENTEMENTE você estava 20% mais rico. Mas, REALMENTE você está apenas 
11,1% mais rico! As aparências enganam, não? 
 No entanto, a diferença entre taxa real e aparente é: 
- Que uma taxa está sempre referida a um período. Taxa e tempo são inseparáveis. 
- Que a rentabilidade proporcionada pelos investimentos é afetada pela inflação, por exemplo. 
 Matematicamente isso acontece, ao analisar o impacto da inflação e da variação cambial no 
poder de compra das pessoas e empresas. 
EXEMPLOS PRÁTICOS (Neste exemplo, temos uma investigação que mostra como a variação 
cambial altera o poder de compra e qual é a relação disso com as taxas reais e aparente). 
O sonho de consumo dos adolescentes no próximo ano será o “MP 20” (aparelho eletrônico “ultra-
mega-moderno”). Para atender à procura, as importadoras precisarão reforçar seus estoques. 
Considere que a empresa R3I importava, em dólar, 24 aparelhos "MP 20" a um custo total de R$ 
36.000,00. Com a valorização do dólar em relação ao real, mesmo que o preço dos aparelhos não 
varie, em dólares, compram-se menos aparelhos dispondo-se da mesma quantia em reais. 
 
 Fonte: http://eduardo.tetera.com.br/2008/10/a-nota-de-um-dolar-apos-a-crise-financeira-mundial 
Considerando que no mês de Outubro a alta do dólar foi de 20% em relação ao real, e que o preço 
do “MP 20” em dólares não variou, responda às questões a seguir: 
a) O que significa a expressão “... a alta do dólar foi de 20% em relação ao real”. Por exemplo, se 1 
dólar valesse 1 real, e sofresse um aumento de 20%, um dólar passaria custar quantos reais? E com 
um real, quantos dólares eu compraria agora? 
Solução: Se 1 dólar valia 1 real, com a alta, temos 1 dólar valendo R$ 1,20. Com isso, com 1 real, 
eu consigo comprar: 
1,00/1,20 = 0,83 dólares. 
 
b) Considere ainda a relação de 1 dólar para 1 real. Uma pessoa tinha 1000 reais e comprou dólares 
antes do aumento. Outra pessoa tinha 1000 reais e comprou dólares depois do aumento. Quantos 
dólares cada uma comprou? 
Solução: 1000 x 1 = U$ 1000,00 e 0,83 x 1000 = U$ 833,33 respectivamente. 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 33 
c) Qual o novo custo (em reais) para a importadora de um “MP 20” após a alta do dólar 
mencionada? 
Solução: (36000/24) x 1.20 = R$ 1.800,00. 
 
d) Quantos aparelhos a menos a importadora poderá comprar com os mesmos R$ 36.000,00? 
Solução: 24/1,2 = 20  24 – 20 = 4 aparelhos a menos. 
 
Considerenos itens e, f, g e h que a empresa não repassará o aumento do dólar para o preço dos 
produtos. 
e) Se as vendas da empresam aumentarem em 40% durante um ano, qual o aumento real percentual 
da receita da empresa com a venda desse produto, considerando uma valorização de 20% do dólar 
em relação ao real. 
Solução: Observe que o preço para a importadora aumentou em 20%, apesar de não ter sido 
repassado para o cliente. Por outro lado, a importadora vende 40% a mais. Assim, entram 40% a 
mais de dinheiro, mas o produto está 20% mais caro, logo o ganho real para a importadora foi de 
1,40/1,20 = 1,1667 vezes, o que corresponde a 16,67%. 
Outra forma de pensar: 
Vendia 150.000 reais e comprava 100 aparelhos para revender. 
Agora eu vendo 40% a mais, logo vendo 210.000 reais. Mas o aparelho custa 1800, logo consigo 
comprar 116,67 aparelhos. Como o preço para o consumidor não aumentou, minha receita cresceu 
16,67%, em relação ao que vendia antes. 
 
f) Qual o fator de aumento das vendas, no item anterior? E qual foi o fator do aumento do dólar? 
Solução: 1,4 e 1,2 respectivamente. 
 
g) Dividindo esses fatores, obtemos um novo fator. Qual é a relação desse fator, com a taxa 
encontrada no item d? 
Solução: 1,40/1,20 = 1,1667. Fator que representa o ganho real. 
 
h) Qual foi a taxa aparente do aumento da receita pela venda dos aparelhos “MP 20”? Considerando 
a desvalorização do real, qual a taxa real do aumento da receita? 
Solução: A taxa aparente do aumento de receita é de 40% no período. A taxa real foi de 
16,67% no mesmo período. 
i) Se a empresa resolvesse aumentar o preço dos produtos em 10% para o consumidor aqui no 
Brasil, para minimizar a alta do dólar, qual seria o novo aumento real percentual da receita? 
Solução: Se os produtos aumentaram 10%, a receita, para a importadora com esse produto crescerá 
10%. Logo teremos: (1,40 x 1,1)/1,20 = 1,2833 vezes mais vendas, o que dá um aumento real de 
28,33%. 
OUTRO EXEMPLO PRÁTICO: Um banco oferece uma aplicação na qual a taxa de juros 
efetiva corresponde a 12% ao ano. Considerando-se que no mesmo período fora registrada uma 
inflação de 5%, podemos afirmar que a taxa de 12% oferecida pelo banco não foi a taxa real de 
remuneração do capital, mas sim uma taxa aparente, pois os preços nesse período foram 
reajustados. 
Para descobrirmos a taxa de juros real, devemos aplicar o capital à taxa de 12% e corrigir 
monetariamente o mesmo capital usando o índice inflacionário do período. Feitos esses cálculos 
basta realizar a comparação entre os valores obtendo a taxa real de rendimento. Supondo um capital 
de R$ 150,00, determine a taxa real de acordo com as condições demonstradas. 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 34 
Montante da aplicação referente à taxa de juros de 12% 
150 (1,12) = 168 
Montante da correção do índice inflacionário correspondente a 5% 
150 (1,05) = 157,5 
Observe que o ganho real foi de 168 – 157,5 = R$ 10,50 em relação ao valor corrigido de acordo 
com o índice inflacionário. Portanto, a taxa real pode ser dada pela seguinte divisão: 
10,5 / 157,5 = 0,066 = 6,6%  A taxa real foi de 6,6%. 
Exemplo 01: 
Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do período 
for 11,9% ? 
Resolução: 
i = ? R = 9%ao ano I = 11,9% 
 
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 
(1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119) 
(1 + i) = (1,09) . (1,119) 
(1 + i) = 1,22 
 i = 1,22 - 1 
 i = 0,22 . 100 → i = 22% ao ano 
 
Exemplo 02: 
Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for 
11,9% ? 
Resolução: 
i = 22% ao ano R = ? I = 11,9% 
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 
(1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119) 
 (1,22) = (1+ R) . (1,119) 
 1,22 = (1 + R) 
 1,119 
 1,09 = (1 + R) 
 1,09 – 1 = R 
 0,09 = R 
 R = 0,09 . 100 → R = 9% ao ano 
 
Exemplo 03: 
Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real for 
no período 9% ? 
Resolução: 
I = ? R = 9%ao ano i = 22% ao ano 
 
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 
(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I) 
 (1,22) = (1,09) . (1 + I) 
 1,22 = (1 + I) 
 1,09 
 1,119 = (1 + I) 
 1,119 – 1 = I 
 0,119 = I 
 I = 0,119 . 100 → I = 11,9% ao ano 
Resolução pela HP 12C: 
 1,22 CHS FV 
 1,09 PV 
 1 n 
 i 11,9 
Resolução pela HP 12C: 
 1,22 CHS FV 
 1,119 PV 
 1 n 
 i 9 
 
Resolução pela HP 12C: 
 1,09 ENTER 
 1,119 X 
 1 - 
 100 X 22 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 35 
Taxa Acumulada de juros com Taxas Variáveis 
 
 É normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, 
atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral. 
 A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positiva ou negativas, 
nesse caso podemos exemplificar as taxa positiva como do tipo 4%; 2% e 15% e a taxas negativa 
como do tipo -2%; -3,5% e -1,7%, etc. 
Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representada (1+ i) e a taxa 
negativa (1 –i). assim teremos a seguinte fórmula genérica: 
 
 iac = [(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )– 1] . 100 
 
 
Exemplo 04 
Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte sequencia de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% E 6,5%. 
Resolução: 
iac = [(1+ 0,05) (1+ 0,03) (1-0,015) (1-0,02) (1+0,065)-1] . 100 
iac = [(1,05) (1,03) (0,985) (0,98) (1,065)-1] . 100 
iac = [1,1118...- 1] . 100 
iac = 11,18% ao período 
 
 
 
 
 
Taxa Média de Juros 
 
 Imagine o conjunto de taxas (4%; 2% e 15%) neste exemplo, 3 é a quantidade de 
elementos deste conjunto de taxas. Temos a seguinte fórmula genérica: 
 
 ime ={[(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )]
1/n 
 - 1} . 100 
 
onde n = número de taxas analisadas 
 
Exemplo 05 
Com base nos dados a seguir calcular a taxa média. 
Dados: IGP-M/FGV (Jan/2001) = 0,62% 
 IGP-M/FGV (Fev/2001) = 0,23% 
 IGP-M/FGV (Mar/2001) = 0,56% 
 IGP-M/FGV (Abr/2001) = 1,00% 
 IGP-M/FGV (Mai/2001) = 0,86% 
 
 
Resolução: 
im = {[(1+ 0,0062)(1+ 0,0023)(1+ 0,0056)(1+ 0,01)(1+ 0,0086)]
1/5
 – 1} . 100 
im ={[(1,0062)(1,0023)(1,0056)(1,01)(1,0086)]
1/5
 – 1} . 100 
im = {[1,033113...]
0,2– 1} . 100 
im = {0,006536} . 100 
im = 0,6536%ao mês 
 
 
 
Resolução pela HP 12C: 
 1,05 ENTER 
 1,03 X 
 1 ENTER 0,015 - X 
 1 ENTER 0,02 - X 
1,065 X 
1 - 100 X 
 11,18% 
Resolução pela HP 12C: 
 1,0062 ENTER 
 1,0023 X 
 1,0056 X 
 1,01 X 
 1,0086 X 
 5 1/X Y
X
 
 1 - 100 X 
 0,65% ao mês 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 36 
E X E R C I C I O S 
 
1) Determinar a taxa: 
a) anual equivalente a 2% ao mês R. 26,82% 
b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99% 
c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57% 
d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09% 
 
2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de juros 
reais quando a inflação