Matrizes Determinantes e Sistemas lineares

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Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof. Sulimar 
 
 1 
MATRIZES - DEFINIÇÕES 
Definição: Matriz m x n (lê-se: m por n) é toda tabela retangular de m.n números dispostos em 
m linhas e em n colunas. 
Representamos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou de colchetes. 
Exemplos: 
a) 










1328711
69401
7510320
 
b)






2122
4366
 
Indicamos uma Matriz por letra maiúscula e um elemento qualquer da matriz por letra 
minúscula munida de dois índices: o primeiro denota a linha em que está o elemento e o 
segundo, a coluna à qual o elemento pertence. 
Convencionando que as linhas sejam numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda 
para a direita, podemos representar uma matriz A, do tipo m x n, da seguinte forma: 
A = 






















mnmjmmm
inijiii
nj
nj
nj
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa







321
321
33333231
22232221
11131211
 
Em notação abreviada, essa matriz pode ser escrita do seguinte modo: 
A = (aij) mxn ou A = (aij), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n 
 
Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m × n. 
Exemplos: 
A = 












01
43
31
Matriz de ordem 3 x 2. C = 






 30
70
 Matriz de ordem 2 x 2. 
B = 





 
302
125 Matriz de ordem 2 x 3. 
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 2 
Lei de formação de uma matriz: podemos construir uma matriz especificando sua lei de 
formação. 
Exemplo 1: Construa a matriz A = (aij)3x3, definida por: 
 
 (-1)i+j, se i ≠ j 
aij = 
 0 , se i = j 
 
A = 













011
101
110
 
Exemplo 2: Construa a matriz B = (bij)2x3, definida por: bij = i + j 
B = 






543
432 
Existem algumas matrizes que, por apresentarem características especiais, merecem algum 
destaque. Vejamos a seguir algumas delas. 
Matiz quadrada: É a matriz na qual o número de linhas é igual ao número de colunas. Assim 
toda matriz de tipo n x n é denominada matriz de ordem n, matriz quadrada n x n ou, 
simplesmente matriz n. 
Exemplos: 
A = 






37
51 é matriz quadrada de ordem 2. C =  2 é matriz quadrada de ordem 1 
B = 










003
471
322
é matriz quadrada de ordem 3. 
Numa matriz quadrada A = (aij) de ordem n destacamos os elementos: 
aij tais que i = j, que constituem a diagonal principal de A. 
aij tais que i + j = n + 1, que constituem a diagonal secundária de A. 
 
Exemplo: 
A = 












13141516
1211109
5678
4321
matriz de ordem 4, logo n = 4 
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 3 
Na matriz A temos que os elementos a11 = 1, a22 = 7, a33 = 11 e a44 = 13, assim a diagonal 
principal é composta pelos elementos 1, 7, 11 e 13. 
Pela definição da diagonal secundária temos que os elementos a14 = 4, a23 = 6, a32 =10 e a14 = 
16, assim a diagonal secundária é formada pelos elementos 4, 6, 10 e 16. 
Matriz Diagonal: É a matriz quadrada de ordem n ≥ 2, que tem nulos todos os elementos que 
não pertencem à diagonal principal. 
 Exemplos: 
A = 












5000
0400
0030
0002
 Matriz diagonal de ordem 4. 
B = 










300
050
001
 Matriz diagonal de ordem 3. 
Matriz Identidade: É a matriz diagonal de ordem n onde todos os elementos pertencentes à 
diagonal principal são iguais a 1, e é indicada por In. 
Exemplos: 
I2 = 






10
01 Matriz Identidade de ordem 2. 
I3 = 










100
010
001
 Matriz identidade de ordem 3. 
 
Matriz linha e matriz coluna: São matrizes que possuem apenas uma linha ou apenas uma 
coluna. Assim: 
 Toda matriz do tipo 1 x n é denominada matriz linha. 
 Toda matriz do tipo m x 1 e denominada matriz coluna. 
Exemplos: 
a) 
 6542
 é matriz linha 1 x 4. 
b) 










5
0
3
é matriz coluna 3 x 1. 
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 4 
Matriz transposta: É aquela que obtemos trocando, ordenadamente, as linhas pelas colunas de 
uma matriz A de tipo m x n. A nova matriz, de tipo n x m, é denominada matriz transposta de A 
e é indicada por At. 
Exemplo: 
Se A = 










98
76
54
, então At = 






975
864 
 
Matriz Nula: Quando todos os seus elementos são nulos (Zero). Indicamos uma matriz nula do 
tipo m x n por 0mxn ou, simplesmente por 0. 
Exemplos. 
A = 










00
00
00
é matriz nula, 03x2 
Igualdade e desigualdade de matrizes: Duas matrizes A e B, de mesma ordem, são iguais entre 
si se, e somente se, os elementos de mesma posição são iguais. 
Indicamos A = B 
A negação de A = B é escrita A ≠ B e significa que se A e B são de mesma ordem, existe pelo 
menos um elemento de A que difere do elemento de mesma posição de B. 
Exemplo: 
Determinar x e y de modo que A = B 
a) A = 








23
12
y
x , B = 





 
13
122 x 
 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
Adição de matrizes: Para adicionar uma matriz A, a uma matriz B, ambas de mesma ordem, 
basta somar os elementos de mesmos índices. 
Ex: 






14
72 + 






105
23 = 






119
95 
 
 
Matriz Oposta: Dada uma matriz A, a matriz oposta de A, indicada por – A é a matriz que 
satisfaz a condição A + (– A) = 0 
a11 = b11  2 = 2 
a12 = b12  x + 1 = 2x – 1  x = 2 
a21 = b21  3 = 3 
a22 = b22  y + 2 = 1  y = – 1 
 
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 5 
Ex: Se A = 






 31
52 então – A = 





 
31
52 , pois 






 31
52 + 





 
31
52 = 






00
00 
 
Subtração de matrizes: Dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, a matriz A + (– B) é 
denominada diferença entre A e B. 
Ex: 










447
532
216
– 










833
621
114
= 












414
111
102
 
 
Produto de um número por uma Matriz: Basta multiplicar o número por todos os elementos 
da matriz. 
Ex: (- 3). 












31
42
02
= 












93
126
06
 
 
Produto de matrizes: O produto A.B é uma nova matriz que só existe se o número de colunas 
da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. A matriz produto terá o número de 
linhas igual da matriz A e o número de colunas igual da matriz B. 
Os elementos da matriz C = A.B será a soma dos produtos da linha i de A pelos 
correspondentes elementos j de B. 
Exemplos: 
a) Se A = 










65
43
12
e B = 






 2510
087 
 Existe A.B, 
pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B; o produto A.B será 
uma matriz do tipo 3 x 3. 
A.B = 













)2.(60.55.68.510.67.5
)2.(40.35.48.310.47.3
)2.(10.25.18.210.17.2= 













127095
84461
22124
 
 Existe B.A, 
pois o número de colunas de B é igual ao número de linhas de A: o produto B.A será 
uma matriz do tipo 2 x 2. 
B.A = 








6).2(4.51.105).2(3.52.10
6.04.81.75.03.82.7 =






1825
3938 
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 6 
b) Se A = 






40
13 e B = 





 
573
262 
 Existe A.B, 
pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B; o produto A.B será 
uma matriz do tipo 2 x 3. 
A.B = 








5.4)2.(07.46.03.42.0
5.1)2.(37.16.33.12.3 = 





 
202812
1259 
 Não existe 
B.A, pois o número de colunas de B é diferente do número de linhas de A. 
Como você deve ter observado, mesmo quando os produtos A.B e B.A de duas matrizes A e B 
estão definidos, pode ocorrer que A.B ≠ B.A. Ou seja, o produto de matrizes não possui a 
propriedade comutativa. Se A e B são tais que A.B = B.A, então dizemos que as matrizes 
comutam. 
EX: 
Dadas, as matrizes A = 






03
21 e B = 






53
26 vamos efetuar os produtos A.B e B.A e verificar 
se as matrizes são comutáveis. 
A.B = 








5.02.33.06.3
5.22.13.26.1 = 






618
1212 
B.A = 








0.52.33.51.3
0.22.63.21.6 = 






618
1212 
Como observado os produtos A.B e B.A são iguais, então as matrizes A e B são comutáveis. 
Equação Matricial: Através do produto de matrizes, verificamos que dadas duas matrizes A e B, 
nós conseguimos determinar o produto dessas matrizes, desde que o número de colunas da 
matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B, agora nós podemos determinar uma 
matriz X tal que A.X = B. Para isso vamos ter que usar a resolução de sistemas na resolução: 
Ex: 
Resolver a equação matricial A.X = B, onde A = 






 63
32 e B = 






 134
35 
Inicialmente devemos descobrir o tipo da matriz X: 
O numero de linhas da matriz X deve ser igual ao número de colunas da matriz A. 
O número de colunas da matriz X deve igual ao número de colunas da matriz B. 
 A . X = B 
 2 x 2 2 x 2 2 x 2 
Substituindo X = 






dc
ba em A.X = B 
Logo a matriz X deve ser do tipo 2 x 2 
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 7 






 63
32 . 






dc
ba = 






 134
35 








dbca
dbca
6363
3232 = 






 134
35  
 2a + 3c = 5 (1) 
– 3a + 6c = – 4 (2) 
 2b + 3d = 3 (3) 
– 3b + 6d = 13 (4) 
Resolvendo o sistema formado pelas 
equações 1 e 2: 
 2a + 3c = 5 (1) 
– 3a + 6c = – 4 (2) 
Multiplicando a equação 1 por 3 e a 
equação 2 por 2, temos: 
 6a + 9c = 15 
– 6a + 12c = – 8 
Somando as duas equações: 
21c = 7 
c = 
3
1
 
Substituindo na equação 1: 
2a + 3. 
3
1
 = 5 
2a + 1 = 5 
2a = 4 
a = 2 
 
 
Resolvendo o sistema formado pelas 
equações 3 e 4: 
 2b + 3d = 3 (3) 
– 3b + 6d = 13 (4) 
Multiplicando a equação 3 por – 2 
 – 4b – 6d = – 6 
– 3b + 6d = 13 
Somando as duas equações: 
– 7b = 7 
b = – 1 
Substituindo na equação 3: 
2. (–1) + 3d = 3 
– 2 + 3d = 3 
3d = 5 
d = 
3
5
 
 
 
Descobrindo os valores de a, b, c e d, sabemos agora qual é a matriz X. 
X = 







 
3
5
3
1
12 
 
Matrizes Inversíveis: Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se existe a matriz B tal 
que A.B = In. 
Se A é inversível, a matriz B (que é única) tal que A.B = B.A = In é denominada inversa de A e é 
indicada por A-1. 
Exemplo: 
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 8 
Verificar se A é inversível, sendo A = 






57
23 
Se A é inversível, então existe uma matriz B, tal que: 
A . B = I2 






57
23
. 






dc
ba
= 






10
01
 








dbca
dbca
5757
2323
= 






10
01
 
 
 
 3a + 2c = 1 (1) 
 7a + 5c = 0 (2) 
 3b + 2d = 0 (3) 
 7b + 5d = 1 (4) 
Resolvendo o sistema formado pelas 
equações 1 e 2: 
3a + 2c = 1 (1) 
7a + 5c = 0 (2) 
Multiplicando a equação 1 por 5 e a 
equação 2 por (–2), temos: 
 15a + 10c = 5 
–14a – 10c = 0 
Somando as duas equações: 
a = 5 
Substituindo na equação 1: 
3.5 + 2c = 1 
2c = – 14 
c = – 7 
 
Resolvendo o sistema formado pelas 
equações 3 e 4: 
 3b + 2d = 0 (3) 
 7b + 5d = 1 (4) 
Multiplicando a equação 3 por – 5 e a 
equação 4 por 2 
 – 15b – 10d = 0 
 14b + 10d = 2 
Somando as duas equações: 
– b = 2  b = – 2 
Substituindo na equação 3: 
3 (– 2) + 2d = 0 
– 6 + 2d = 0 
2d = 6  d = 3
Descobrindo os valores de a, b, c e d, sabemos agora qual é a matriz B = A-1. 
Então A = 






57
23 é inversível e A
-1 = 








37
25 é a sua inversa, tal que: 






57
23 . 








37
25 = 






10
01
 
Agora se A fosse a matriz 






12
24 , para existir B = 






dc
ba , tal que A.B = I2, deveríamos ter: 






12
24 . 






dc
ba = 






10
01
 
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 9 
Efetuando o produto da matriz A pela matriz B, chegamos aos sistemas de equações abaixo: 
4a + 2c = 1 (1) 4b + 2d = 0 (3) 
2a + c = 0 (2) 2b + d = 1 (4) 
 4a + 2c = 1 4b + 2d = 0 
– 4a – 2c = 0 – 4b – 2d = 0 
Somando as equações somando as equações 
0a + 0b = 1 0b + 0d = 1 
0 = 1 0 = 1 
O sistema formado por (1) e (2) é impossível 
O sistema formado por (3) e (4) é impossível 
Portanto, não existe B tal que A.B = I2 
Observações: 
1. Nenhuma matriz nula é inversível. 
2. Toda matriz Identidade é inversível e igual a sua inversa. 
3. Uma matriz quadrada não-inversível é chamada singular 
 
Determinantes: Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de 
colunas (ou seja, é do tipo nxn). 
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. 
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: 
 Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares. 
 Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas 
as coordenadas dos seus vértices. 
 
Determinantes de matriz de ordem 1: 
Dada, a matriz A = [a11]. 
Neste caso, definimos o determinante de A da seguinte forma: 
det A = 
A
 = a11 
Ou seja, o determinante de uma matriz que contém apenas um elemento é o próprio elemento. 
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que 
não têm o significado de módulo. 
Exemplos: A = 
 5
 det A =
A
= – 5 B = 
 8
 det B =
B
= 8 
Determinantes de matriz de ordem 2: 
Dada, a matriz A = 






2221
1211
aa
aa de ordem 2, por definição o determinante associado a matriz A, 
é dado por: 
det A = 
2221
1211
aa
aa = a11 . a22 – a12 . a21 
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 10 
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto 
dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Exemplos: 
Se A = 






54
32 então, det A = 
54
32 = 2.5 – 3 . 4 = 10 – 12 = – 2  det A = – 2 
Se B = 






85
14 então, det B = 
85
14 = – 4 . 8 – 5 . 1 = – 32 – 5 = – 37  det B = – 37 
Se C = 






63
32 então, det C = 
63
32 = 2 . 6 – 3.3 = 12 – 9 = 3  det C = 3 
Determinantes de matriz de ordem 3: 
Regra de Sarrus: 
Podemos obter o determinante de uma matriz de ordem 3 utilizando uma regra prática muito 
simples, chamada Regra de Sarrus. 
Considere a matriz A = 










333231
232221
131211
a a a
a a a
a a a
. Em primeiro lugar, vamos repetir as duas primeiras 
colunas de A a direita da matriz: 










3231333231
2221232221
1211131211
|
|
|
aaaaa
aaaaa
aaaaa
 
Em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz e os elementos das 
duas diagonais paralelas à principal, somando os resultados: 
a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 
Multiplicamos agora os elementos da diagonal secundária e as diagonais paralelas a ela, 
somando os resultados: 
a13 . a22 . a31 + a11 . a23 . a32 + a12 . a21 . a33 
Por fim, subtraímos o primeiro número encontrado pelo último, obtendo: 
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – (a13 . a22 . a31 + a11 . a23 . a32 + a12 . a21 . a33) 
Exemplo: 
Calcular o determinante da matriz A = 










425
422
327
utilizando a Regra de Sarrus. 
425
422
327
 
25
22
27
 
det A = 7 . 2 . 4 + 2 . 4 . 5 + 3 . 2 . 2 – (3 . 2 . 5 + 7 . 4 . 2 + 2 . 2 .4) 
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 11 
det A = 56 + 40 + 12 – (30 + 56 + 16) 
det A = 108 – 102  det A = 6 
Menor complementar: Considere uma matriz A, de ordem 3: 
A =










333231
232221
131211
a a a
a a a
a a a
 
O menor complementar Dij , relativo ao elemento aij , é o determinante da matriz quadrada, de 
ordem 2, que se obtém de A retirando-se a linha i e a coluna j. 
 
 
Por exemplo: 
D12 = 
3331
2321
aa
aa



= 
3331
2321
aa
aa = a21 . a33 – a23 . a31 
Exemplo: Calcular o menor complementar relativo ao elemento a33 da matriz A abaixo: 
A = 












125
410
312
 a33 = 1 
O menor complementar é o determinante da matriz de ordem 2 retirando-se a terceira linha e 
a terceira coluna da matriz A. 
D33 = 
10
12  = 2 . 1 – (–1) . 0 = 2 
Cofator: Dada a matriz A = (aij)3, o cofator de aij é o número Aij que se obtém multiplicando-se 
(-1)i+j pelo menor complementar de aij ou seja: 
Aij = (-1)
i+j . Dij 
Exemplo: calcular o cofator do elemento a23 da matriz abaixo: 
A = 










325
124
112
 O elemento a23 = 1, eliminando a segunda linha e a terceira coluna, ficamos 
com a matriz 






25
12 e calculamos o seu menor complementar, que é o determinante da 
matriz de segunda ordem: D23 = 
25
12 = 2.2 – 1.5 = – 1 
Como o cofator é o produto de (-1)i+j. D23, então o cofator é: 
Aij = (–1)
i+j . Dij 
Aij = (–1)
5. (–1) = (–1) . (–1) = 1 
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 12 
 
 
 
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada n é o número que se obtém da 
soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) por seus respectivos cofatores. 
Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês. 
Exemplo: Calcular o determinante da matriz A. 
A = 










213
402
327
 
Segundo os elementos da 3º linha, temos: 
det A = 3 . (–1)4. 
40
32 + 1 . (–1)
5 . 
42
37 + 2 . (–1)
6 . 
02
27 = 
det A = 3 . 1 . (2 . 4 – 3 . 0) + 1 . (–1) . (7 . 4 – 3 . 2) + 2 . 1 . (7 . 0 – 2 . 2) = 
det A = 3. (8) – 1 . (22) + 2 . (– 4 ) 
det A = 24 – 22 – 8 
det A = – 6 
Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já 
conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só 
recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso 
desse teorema possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um 
determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª 
ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a 
exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros. 
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 13 
 
Propriedades dos determinantes: 
Os determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes 
propriedades: 
P1. Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa 
matriz é nulo. 
Exemplos: 
a)
391218
3123
0000
7894


= 0 b) 
701
302
1503


= 0 
 
P2. Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. 
Exemplo: 
3479
5312
8924
5312
= 0 (L1 = L2) 
 
P3. Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. 
Exemplo: 
623
412
241
= 0 (C3 = 2C1) 
 
P4. Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos 
correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. 
a) 
523
642
431
= 0 C1 + C2 = C3 b) 
5107
321
143
= 0 2L1 + L2 = L3 
 
P5. Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos 
elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas 
paralelas. 
Exemplo: 
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 14 
342
212
321
= 9 
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos: 
342.42
212.12
322.21



= 
3410
214
325
= 9 
 
P6. O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. 
Exemplo: 
det A = 
342
212
321
= 9 det At = 
323
412
221
= 9 
P7. Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o 
determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. 
Exemplo: 
123
112
321

= – 4 Multiplicando C1 por 2: 
126
114
322

= 2(– 4) = – 8 
P8. Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda 
de sinal. 
123
112
321

= – 4 Trocando as posições de L1 e L2: 
123
321
112 
= 4 
P9. Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos 
nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. 
Exemplos: 
a)
cfe
bd
a
0
00
= a . b . c b) = 
z
iy
hgx
00
0
= x . y . z 
 
P10. Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos 
nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por: 










2
)1(
1
nn . Exemplos: 
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 15 
xb
a0 = – a.b 
zyc
xb
a
0
00
= – a . b . c 
jigd
hfco
eb
a
00
000
= a . b . c . d 
P11. Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, det (A.B) = det A . det B. Como:A . A-1 = I, det A-1 = 
Adet
1
 
Exemplo:
 
Se A = 






34
46 então det A = 2 
A-1 = 








32
25,1 então det A
-1 = 
2
1
 
 
P12. Se K 

R, então det (K . A) = K
n . det A 
Exemplo: 
Se A = 






34
46 então det A = 2 
3 . A = 






912
1218 
det 3 . A = 18 
Verifica-se que a propriedade é verdadeira: 
det (K . A) = Kn . det A 
18 = 32 . 2 
18 = 9 . 2 
18 = 18 
Obs. K é o número que foi multiplicado a matriz A e n é a ordem da matriz A. 
K = 3 
N = 2 
 
 
 
 
 
 
 
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 16 
 
 
 
"Sabedoria é saber o que fazer; 
habilidade é saber como fazer; 
virtude é fazer." 
(David S. Jordan) 
SISTEMAS LINEARES 
Equação Linear: 
É toda equação que possuem variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 +...+ 
anxn = b, em que a1, a2, a3,..., são os coeficientes reais e o termo independente é representado 
pelo número real b. 
Exemplos: 
x + y + z = 20 
2x –3y + 5z = 6 
4x + 5y – 10z = –3 
x – 4y – z = 0 
Sistema Linear: 
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear 
com p equações e n incógnitas. 
Exemplos: 
Sistema linear com duas equações e duas variáveis. 
x + y = 3 
x – y = 1 
 
Sistema linear com duas equações e três variáveis. 
2x + 5y – 6z = 24 
x – y + 10z = 30 
 
Sistema linear com três equações e três variáveis. 
x + 10y – 12z = 120 
4x – 2y – 20z = 60 
–x + y + 5z = 10 
 
Solução de um sistema linear 
Dado o sistema: 
x + y = 3 
x – y = 1 
 
Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações 
do sistema linear. Observe: 
x = 2 e y = 1 
 
2 + 1 = 3  3 = 3 
2 – 1 = 1 1 = 1 
 
Dado o sistema: 
2x + 2y + 2z = 20 
2x – 2y + 2z = 8 
2x – 2y – 2z = 0 
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 17 
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três 
equações do sistema linear. Veja: 
 
2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20 
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8 
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0 
Classificação de um sistema linear: 
 
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele. 
 
SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução. 
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções. 
SI – Sistema Impossível – não possui solução. 
Resoluções de sistemas lineares 
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Para transformar 
um sistema linear em outro mais simples, equivalente ao primeiro, podemos efetuar as 
seguintes operações: 
1. Trocar duas equações de posição; 
2. Multiplicar ou dividir as equações do sistema por um número diferente de zero; 
3. Adicionar uma equação à outra, termo a termo, multiplicada ou dividida por um número 
diferente de zero. 
Vamos resolver o sistema de equações lineares 2 X 2 
2x + 3y = 16 multiplicando por 2 4x + 6y = 32 
5x – 2y = 2 multiplicando por 3 15x – 6y = 6 
 
Somando as equações: 19x = 38  x = 2, substituindo o valor de x em qualquer equação do 
sistema, encontramos o valor de y. 
2(2) + 3y = 16  4 + 3y = 16  3y = 12  y = 4 
Assim a solução do sistema é: (x = 2 e y = 4) 
 
Determinantes e resoluções de sistemas lineares n x n 
O estudo de determinantes constitui outra forma de resolver sistemas n x n, com a vantagem 
de permitir que os sistemas sejam analisados quanto à sua solução a partir do determinante 
da sua matriz incompleta. O método de resolver um sistema por determinantes é conhecido 
como regra de Cramer, por ter sido divulgado pelo matemático suíço Gabriel Cramer (1704-
1752). 
Esse método só pode ser utilizado, em sistemas cujas matrizes incompletas possuem 
determinantes não-nulos. 
Utilizaremos o sistema do exemplo anterior para demonstrar a solução usando a regra de 
Cramer. 
2x + 3y = 16 
5x – 2y = 2 
Associamos o sistema as suas matrizes: 
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 18 
A: Matriz incompleta (formado pelos coeficientes das incógnitas x e y). 
Ax: Matriz que se obtém substituindo em A os coeficientes de x pelos termos independentes. 
Ay: Matriz que se obtém substituindo em A os coeficientes de y pelos termos independentes. 
Assim os valore de x e y são dados por: 
x = 
A
Ax
det
det
 
x = 
25
32
22
316


= 
19
38


= 2 
y = 
A
Ay
det
det 
y = 
25
32
25
162

= 
19
76


= 4 
 
A regra de Cramer é válida também para sistemas lineares 3 x 3, 4 x 4, ..., cujo determinante da 
matriz incompleta não seja nulo. 
 
Exemplo: resolver o sistema: 
x + 2y + 3z = 2 
2x – y + z = – 1 
– 2x – 3y + 3z = – 11 
 
det A = 
332
112
321


= – 40 det Ax = 
3311
111
322


= – 40 
 
det Ay = 
3112
112
321


= – 80 det Az = 
1132
112
221


= 40 
 
x = 
A
Ax
det
det
= 
40
40


= 1 y = 
A
Ay
det
det = 
40
80


= 2 
 
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof. Sulimar 
 
 19 
 
z = 
A
Az
det
det
= 
40
40

= – 1 
 
Resolução de sistemas lineares – Método de Gauss (escalonamento) 
Existem certos sistemas simplificados em que é mais fácil efetuar substituições para resolvê-
los. Nesta categoria, encaixam-se os sistemas com matrizes onde todos os elementos abaixo 
da diagonal principal são iguais a zero. Veja o exemplo: 
x + y + z = 8 
 y + 4z = 13 
 2z = 6 
 
2z = 6  z = 3 
Substituindo o valor de z na 2º equação: 
Y + 4.3 = 13  y = 13 – 12  y = 1 
Substituindo na 1º equação os valores encontrados de y e z: 
x + 1 + 3 = 8  x = 8 – 4  x = 4 
Assim a solução do sistema é: S = (4,1,3) 
O método do escalonamento consiste em transformar a matriz de qualquer sistema em uma 
matriz onde todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam iguais a zero e com isso 
resolver a ultima equação e depois vir substituindo nas equações anteriores. 
Para isso devemos fazer as transformações necessárias, não esquecendo que devemos usar a 
matriz ampliada do sistema. As transformações que podem ser efetuadas de forma a 
encontrar um sistema equivalente ao inicial são as seguintes: 
1. Trocar duas equações entre si, que na matriz ampliada, corresponde a trocar duas 
linhas entre si. 
2. Multiplicar uma equação por um número não nulo, que na matriz ampliada, 
corresponde a multiplicar uma linha pelo número. 
3. Substituir uma equação pela soma dela com outra equação, que na matriz ampliada, 
corresponde a somar a uma linha outra linha. Cuidado: a outra equação deve ser 
mantida! 
 
 
Todos os elementos da diagonal principal da matriz incompleta 
são iguais a zero, assim se resolve facilmente o sistema, a 
partir da solução da última equação: