Integral
4 pág.

Integral

Pré-visualização1 página
COMPLEMENTOS 2 - APLICAÇÕES DA INTEGRAL
COMPRIMENTO: FORMA CARTESIANA
1. Calcule o comprimento de uma circunferência de raio R: (resp.: L = 2\ufffdR)
2. Em cada caso, a curva 
 é dada na forma cartesiana. Calcule L (
) ; o comprimento do arco 
.
(a) 
 : y = 1\ufffd ln (senx) ; \ufffd=6 \ufffd x \ufffd \ufffd=4: (resp.: L = ln[2 +p3)(p2\ufffd 1)])
(b) 
 : y =
x3
12
+
1
x
; 1 \ufffd x \ufffd 2: (resp.: L = 13=12)
(c) 
 : y = 23
\ufffd
1 + x2
\ufffd3=2
; 0 \ufffd x \ufffd 3: (resp.: L = 21)
(d) 
 : x =
y3
2
+
1
6y
; 1 \ufffd y \ufffd 3: (resp.: L = p6(2 + ln 3))
(e) 
 : y =
p
x (1\ufffd x=3) ; 0 \ufffd x \ufffd 3: (resp.: L = 2p3)
(f) 
 : (y + 1)2 = (x\ufffd 4)3 ; 5 \ufffd x \ufffd 8: (resp.: L = 80p10\ufffd 13p13)
COMPRIMENTO: FORMA PARAMÉTRICA
1. Calcule o comprimento de uma circunferência de raio R; na forma parametrizada. (resp.: L = 2\ufffdR)
2. Considerando a parametrização x = a cos3 t e y = a sen3 t; 0 \ufffd t \ufffd 2\ufffd; calcule o comprimento da
hipociclóide de equação x2=3 + y2=3 = a2=3: (resp.: L = 6a)
3. Calcule a distância percorrida por uma partícula entre os instantes t = 0 e t = 4, se sua posição
P (x; y) no instante t vem dada por: x = 12 t
2 e y = 13 (2t+ 1)
3=2 : (resp.: L = 12)
4. Em cada caso, calcule o comprimento do arco 
 indicado:
(a) 
 : x = t3; y = t2; \ufffd1 \ufffd t \ufffd 3: (resp.: L = 127 (85
p
85 + 13
p
13\ufffd 16))
(b) 
 : x = et cos t; y = et sen t; 0 \ufffd t \ufffd 1: (resp.: L = p2(e\ufffd 1))
(c) 
 : x = 2 (1\ufffd sen t) ; y = 2 (1\ufffd cos t) ; 0 \ufffd t \ufffd \ufffd: (resp.: L = 2\ufffd)
(d) 
 : x = t cos t; y = t sen t; 0 \ufffd t \ufffd \ufffd=4: (resp.: L = \ufffd2
p
1 + \ufffd2)
(e) 
 : x = cos (2t) ; y = sen2 t; 0 \ufffd t \ufffd \ufffd: (resp.: L = 2p5)
(f) 
 : x = 12 t
2 + t; y = 12 t
2 \ufffd t; 0 \ufffd t \ufffd 1: (resp.: L = 1\ufffd
p
2
2 ln(
p
2\ufffd 1))
COORDENADAS POLARES
1. Localize no plano cartesiano os seguintes pontos dados em coordenadas polares (r; \ufffd) e, em seguida,
determine suas coordenadas cartesianas:
(a) A(2; \ufffd=4) (b) B(2; 3\ufffd=2) (c) C(3; \ufffd=6) (d) D(1;\ufffd\ufffd=4)
(e) E(2; 5\ufffd=6) (f) F (\ufffd1;\ufffd\ufffd=4) (g) G (\ufffd2; 7\ufffd=6) (h) H (\ufffd3; 13\ufffd=6)
2. Determine as coodenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas (x; y) são:
(a) (1=2; 1=2) (b) (\ufffd=2; \ufffd=2) (c) (\ufffdp2=2;p2=2) (d) (3; 3p3)
(e) (\ufffd1;\ufffd1) (f) (1;p3) (g) (\ufffdp7; 3) (h) (0;\ufffd4)
3. Passe para a forma polar r = f (\ufffd) as seguintes curvas, descritas na forma cartesianas:
(a) xy = 2 (b) x2 + y2 \ufffd 3y = 0 (c) 3x2 + 5y2 = 15
(d) x+ 1 = 0 (e) x2 \ufffd y2 = 1 (f) y2 \ufffd 4x = 0:
4. Passe para forma cartesiana F (x; y) = 0 as seguintes curvas, dadas na forma polar r = f (\ufffd) : Esboce
gra…camente as curvas.
(a) r = 2 + sen 2\ufffd (b) r = sen 2\ufffd (c) r =
4
1 + cos \ufffd
(d) r = a cos \ufffd (e) r = 5
(f) r = 5 + 2 cos \ufffd (g) r = 3 sec \ufffd (h) r = 1 +
p
2 cos \ufffd (i) r = 2 tan \ufffd (j) r = \ufffd
(k) r2 = 23a
2 cos \ufffd (l) r = 1=\ufffd (m) r =
4
1\ufffd cos \ufffd (n) r = 2 sen \ufffd (o) \ufffd =
\ufffd
2
:
5. Determine, caso exista, a interseção entre os seguintes pares de curvas:
(a) r = 2 e r = 4 cos \ufffd (b) r = 1 + cos \ufffd e r = 1=3 (1\ufffd cos \ufffd)
(c) r2 = 4 sen 2\ufffd e r = 2
p
2 cos \ufffd (d) \ufffd = \ufffd=4 e r = 2 cos \ufffd
COMPRIMENTO E ÁREA EM COORDENADAS POLARES
As curvas em coordenadas polares aqui consideradas são descritas por uma equação do tipo r = f (\ufffd),
sendo a função f e sua derivada primeira contínuas, e o angulo \ufffd varia no intervalo [\ufffd1; \ufffd2].
O comprimento L e a área A (D) são calculados, respectivamente, pelas fórmulas:
L =
Z \ufffd2
\ufffd1
q
f (\ufffd)2 + f 0 (\ufffd)2d\ufffd e A (D) = 12
Z \ufffd2
\ufffd1
f (\ufffd)2 d\ufffd:
Abaixo ilustramos a situação geométrica.
2
1. Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
(a) r = 3 cos \ufffd; 0 \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd2 (b) r = 2 sec \ufffd; 0 \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd3 (c) r = 1\ufffd cos \ufffd; 0 \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd2
(d) r = \ufffd=3; 0 \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd2 (e) r = jsen \ufffdj ; 0 \ufffd \ufffd \ufffd 2\ufffd (f) r = 3 cos2( \ufffd2); 0 \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd2
(g) r = a\ufffd2; 0 \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd2 (h) r = a sen3( \ufffd3); 0 \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd2 (i) r = sen \ufffd + cos \ufffd; 0 \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd2
2. Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo:
(a) r2 = a2 cos 2\ufffd (b) r = a (2\ufffd cos \ufffd) (c) r = 2a sen \ufffd
(d) r = a (1 + cos 2\ufffd) (e) r2 = 1\ufffd cos \ufffd (f) r2 = 2a2 cos2 (\ufffd=2)
3. Em cada caso, esboce gra…camente a região D e calcule a área A (D) :
(a) D é interior ao círculo r = a e exterior à cardióide r = a (1\ufffd cos \ufffd). (resp.: A(D) = a2(2\ufffd \ufffd=4))
(b) D é delimitada pelas curvas r = 2; \ufffd = \ufffd=4 e \ufffd = \ufffd=2: (resp.: A(D) = \ufffd=2)
(c) D é interior à cardióide r = a (1 + sen \ufffd) e exterior ao círculo r = a sen \ufffd: (resp.: A(D) = 5\ufffda2=4))
(d) D é comum aos círculos r = 2a cos \ufffd e r = 2a sen \ufffd: (resp.: A(D) = a2(\ufffd1 + \ufffd=2))
(e) D é interior à leminiscata r2 = 8 cos 2\ufffd e exterior ao círculo r = 2: (resp.: A(D) = 43 (3
p
3\ufffd \ufffd))
(f) D é interior ao círculo r = 3 cos \ufffd e exterior à cardióide r = 1 + cos \ufffd: (resp.: A(D) = \ufffd)
(g) D é delimitada pela rosácea de 4 pétalas r = a jsen 2\ufffdj (resp.: A(D) = a2\ufffd)
(h) D é interior ao círculo r = cos \ufffd e exterior à cardióide r = 1 + sen \ufffd: (resp.: A(D) = 1 + \ufffd=4)
(i) D é interior ao círculo r = sen \ufffd e exterior à cardióide r = 1\ufffd cos \ufffd: (resp.: A(D) = 1 + \ufffd=4)
VOLUME DE REVOLUÇÃO
1. Em cada caso, esboce a região D delimitada palas curvas dadas e, em seguida, calcule o volume do
sólido 
; gerado pela rotação da região D em torno do eixo indicado.
3
(a) y = x4 \ufffd 2x2; y = 2x2; x \ufffd 0; eixo y: (resp.: vol(
) = 32\ufffd=3)
(b) y = x2 \ufffd 4x; y = 0; eixo x: (resp.: vol(
) = 512\ufffd=15)
(c) y =
p
x; y = 0; x = 4; eixo x = 4: (resp.: vol(
) = 256\ufffd=15)
(d) x2 + y2 = 1; eixo x = 2: (resp.: vol(
) = 4\ufffd2)
(e) y =
p
x; y = 0; x = 4; eixo y = 2: (resp.: vol(
) = 40\ufffd=3)
(f) y = x; y = 0; x = 2; eixo y: (resp.: vol(
) = 16\ufffd=3)
(g) y = x2; y = 4\ufffd x2; eixo x: (resp.: vol(
) = (30:1)\ufffd=3)
(h) xy = 1; y = 0; x = 1 e x = 2; eixo x: (resp.: vol(
) = \ufffd=2)
2. Calcule o volume de uma esfera de raios R: (resp.: vol(
) = 43\ufffdR
3)
3. Uma região D do plano xy é delimitada pelo triângulo de vértices (0; 0) ; (h; 0) e (h; r), sendo h e
r números positivos. Calcule o volume do sólido resultante da rotação da região D em torno do eixo
x(resp. \ufffdr2h=3). E se a rotação fosse em torno do eixo y? (resp.: vol(
) = 2\ufffdrh2=3)
4. Qual o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região do plano xy delimitada
pela parábola y = x2; pelo eixo x e pelas retas y = 2x\ufffd 1 e y = x+ 2? (resp.: vol(
) = 13\ufffd=6)
5. É feito um orifício de raio 2
p
3 pelo centro de um sólido esférico de raio R = 4. Calcule o volume da
porção retirada do sólido. (resp.: vol(
) = 224\ufffd=3)
6. Calcule o volume de um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio da
base superior r: (resp.: vol(
) = \ufffdh=3(R2 + r2 + rR))
7. Calcule o volume de uma calota determinada em uma esfera de raio r por um plano cuja distância
ao centro da esfera é h, h < r: (resp.: vol(
) = 2\ufffdR3=3 + \ufffdh3=3\ufffd \ufffdr2h)
4