Resolução do Capítulo 06 - Franco Brunetti

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Capítulo 6 
 
ANÁLISE DIMENSIONAL – SEMELHANÇA 
 
Neste capítulo o leitor deverá compreender a utilidade da análise dimensional para a 
construção de leis da Física. O agrupamento de grandezas em números adimensionais facilita 
a análise empírica das funções que representam os fenômenos da natureza. 
O capítulo é dedicado à interpretação dos principais adimensionais utilizados na Mecânica 
dos Fluidos e à teoria dos modelos ou semelhança, de grande utilidade em análise 
experimental. 
 
Exercício 6.1 
 
Base FLT 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 1
12
2
1121
m
1
G
13
2
2
3
24
21
2
3
2
FLTN
FLW
FLM
TL
TFL
TFLTTFLQ
FTQ
TLQ
FL
FLp
FL
TFL
FF
TFLm
LTa
LV
LA
−
−
−
−−−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=ν
=μ
=×=
=
=
=τ
=
=γ
=ρ
=
=
=
=
=
 
 
 
Exercício 6.2 
 
( )
( )vazãodeecoeficient
nD
QQDn
ynoldsRedenúmeronDRe
nDnD
Dn
D,n,:Base
32
321
2
2
1
321
1
φ==π⇒ρ=π
ν=⇒
ν=ρ
μ=π⇒μρ=π
ρ
βββ
ααα 
 Base MLT 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 3212
22
222
12
1122
1
m
312
G
13
21
2122
2232
3
2
2
3
2
TMLLTMLTN
TMLW
TMLLMLTM
TL
TMLTLMLT
MTQ
MLTTMLTQ
TLQ
TML
TMLLMLTp
TMLLMLT
ML
MLTF
Mm
LTa
LV
LA
−−−
−
−−
−
−−−−
−
−−−
−
−−
−−−−
−−−−
−
−
−
=×=
=
=×=
=ν
=×=μ
=
=×=
=
=τ
=×=
=×=γ
=ρ
=
=
=
=
=
 
( )omanométricecoeficient
Dn
gH
Dn
H
HDn
22
B
22
B
3B
321
3 Ψ==ρ
γ=π⇒γρ=π δδδ
 
Exercício 6.3 
 
( ) ( ) 0f0h,g,,pf
)h,g,(fp
=π→=ρ
ρ=
 
 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] Lh
TLg
TFL
FLp
12
24
2
=
=
=ρ
=
−
−
−
 
Como só existe um adimensional, ele será uma constante. 
ghCpC
gh
p ρ=⇒=ρ=π 
 
 
Exercício 6.4 
 ( )
g
CTgTTg
2
1;
2
1012
0
TLTTLLTg
0g,,Tf
2
1
2
1
212
21
12221222121
l
ll
l
l
=⇒==π
=α−=α⇒=+α−
=α+α
=π→=π→=π
=
−
+α−α+αα−αααα
 
 
Exercício 6.5 
 ( )
( ) ( ) 0f0p,,D,Qf
p,,DfQ
=π→=ρ
ρ=
 
Como só existe um adimensional, ele será uma constante. 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 2
24
13
FLp
TFL
LD
TLQ
−
−
−
=
=ρ
=
=
 
 
 
m = n – r = 4 – 3 = 1 
D,p,:Base
134rnm
ρ
=−=−=
 
( ) ( )
012
0324
0
TLF
TLLFLTFLQDp
1
321
21
12324
13224
132121
321321
=−α
=+α+α−α−
=α+α
=π
=ρ=π
−α+α+α−α−α+α
−αα−α−ααα
 
 
2
1
2
2
1
22
1
2
1
pD
QQDp ρ=ρ=π −− 
 
ρ=
pCDQ 2 
 
Exercício 6.6 
 ( )
( ) ( )
( ) 25212
2
2
1
2
1
12
1
21
1121211212121
hCg2tghghQ
2tgh2
h2htg2A2htg2bh2
b
2
tg
2
bhAvAQ
ghvvhg
2
1;
2
1
012
01
TLLTLTLvhg
0h,g,vf
=α×π=
α=×
α
=⇒α=⇒=α→=→=
π=⇒=π
−=α−=α
⎭⎬
⎫
=−α−
=+α+α
=π→=π→=π
=
−−
−α−+α+α−αα−ααα
 
Exercício 6.7 
 ( )
( ) ( ) 0f0H,Q,,Nf
H,Q,fN
BB
BB
=π→=γ
γ=
 
Como só existe um adimensional, ele será uma constante. 
 
 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] LH
TLQ
FL
FLTN
B
13
3
1
B
=
=
=γ
=
−
−
−
 
 
2
1
2
2
1
1
3
2
=α
−=α
−=α
 
BH,Q,:Base
134rnm
γ
=−=−=
 
( ) ( )
01
0133
01
TLF
FLTLTLFLNHQ
2
321
1
1213231311
1321313
B
3
B
21
=−α−
=+α+α+α−
=+α
=π
=γ=π
−α−+α+α+α−+α
−αα−α−ααα
 
 
BB QHCN γ= 
 
Exercício 6.8 
( )
( )
( )
( )Mach
c
v
v
ccLv
1
0
0
012
014
0
Froude
Lg
vFr
v
LgLgv
2
1
0
022
014
0
Euler
Lv
FEu
Lv
FFLv
2
2
1
02
04
01
ynoldsRevLRe
vL
Lv
1
1
1
012
024
01
LTLTLTLFcLv
LTLTLTLFgLv
FLTLTLFFLv
TFLLTLTLFLv
L,v,:Base
c,g,F,,L,v,:Grandezas
010
4
2
3
1
21
321
1
2
2
20
3
2
3
1
21
321
1
2222
221
2
2
3
1
21
321
1
111
1
2
3
1
21
321
1
132212141
1
321
4
232212141
1
321
3
32212141
1
321
2
232212141
1
321
1
=Μ⇒=ρ=π⇒
−=λ
=λ
=λ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−λ−λ
=+λ+λ+λ−
=λ
=⇒=ρ=π⇒
−=δ
=δ
=δ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−δ−δ
=+δ+δ+δ−
=δ
ρ=⇒ρ=ρ=π⇒−=β
−=β
−=β
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=β−β
=β+β+β−
=+β
μ
ρ=⇒ρ
μ=μρ=π⇒
−=α
−=α
−=α
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=+α−α
=−α+α+α−
=+α
=π⇒ρ=π
=π⇒ρ=π
=π⇒ρ=π
=π⇒μρ=π
ρ
μρ
−
−
−−−
−−−
−λλ−λλλ−λλλλ
−δδ−δδδ−δδδδ
ββ−βββ−ββββ
−αα−ααα−αααα
 
 
Exercício 6.9 
 ( )
( ) ( )4321 ,,,f0c,,,D,,v,Ff
c,,,D,,vfF
ππππ→=μρω
μρω=
 
 
1
1
1
2
3
1
−=α
−=α
−=α
 B
1
B
11 NHQ −−−γ=π⇒ 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 1
2
24
1
1
LTc
TFL
TFL
LD
T
LTv
FF
−
−
−
−
−
=
=μ
=ρ
=
=ω
=
=
 
 
( ) ( ) 213211321
321
321
321
321
241124
1
4
3
2
1
TLFFLLTTFL
cDv
Dv
Dv
FDv
α−αα+α+α−+ααα−α−
λλλ
δδδ
βββ
ααα
==π
ρ=π
μρ=π
ωρ=π
ρ=π
 
 
02
04
01
21
321
1
=α−α
=α+α+α−
=+α
 
 
 
É necessário observar que nos outros sistemas de equações a parte das incógnitas será a 
mesma, apenas mudando o símbolo e os coeficientes independentes das incógnitas 
dependerão da contribuição dos expoentes das variáveis independentes de cada adimensional. 
 
 
012
04
0
21
321
1
=−β−β
=β+β+β−
=β
 
 
 
 
012
024
01
21
321
1
=+δ−δ
=−δ+δ+δ−
=+δ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D,v,:Base
437rnm
ρ
=−=−=
 
Vale lembrar que se existir esta base, deverá ser preferida, 
pois, pode conduzir a alguns adimensionais conhecidos. 
deve-se lembrar que no lugar de D, pode ser qualquer grandeza 
de equação dimensional L. 
F 
L 
T 
2
Dv
FEu2
Dv
FFDv1
2
223
22
221
11
−=α
ρ
=⇒−=α
ρ
=ρ=π−=α −−−
 
F 
L 
T 1
1
0
2
3
1
−=β
⇒=β
=β
 
v
D
v
DDv
2
110
2
ω=π
ω=ωρ=π −
 
F 
L 
T 1
1
1
2
3
1
−=δ
⇒−=δ
−=δ
 
μ
ρ=
ρ
μ=μρ=π −−−
vDRe
vD
Dv 1113
 
F 
L 
T 1
0
0
2
3
1
−=λ
⇒=λ
=λ
 
c
vM
v
ccDv 0104
=
=ρ=π −
 
012
014
0
21
321
1
=−λ−λ
=+λ+λ+λ−
=λ
( ) 0MRe,,
v
D,Euf0c,,,D,,v,Ff =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ω→=μρω 
 
Exercício 6.10 
 ( )
( )
( )
α=π
μ
ρ=⇒μρ=π
ρ=⇒ρ=π
ρ
αμρ=
βββ
ααα
3
321
2
22
321
1
ynoldsRevLReLv
Euler
Lv
FEuFLv
L,v,:Base
,v,,,LfF
 
 
 
Exercício 6.11 ( ) ( ) 0Eu,Frf0g,,,L,v,Ff =→=μρ 
 
000.1
1
10
1
16,3
11k)2(
h
km1585016,3v16,3v
v
v
16,3
11
10
1kkk)1(
)protótipodoardoespropriedad
masmesascomolaboratóridoaroondo(sup1k;1k;
10
1k
)2(kkkkEuEu
Lv
FEu
)1(kkkFrFr
Lg
vFr
22
F
mp
p
m
gLv
gL
2
L
2
vFpm22
gL
2
vpm
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×=
=×==
==×==
===
=→=→
ρ
=
=→=→=
ρ
ρ
 
 
Exercício 6.12 
 
μ
Δ
μ
Δ
ρμ
ρΔ =⇒=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
μ
ρ=
ρ
Δ=ρ=
ρ
k
kk
k
k
k
k
k
kkkk
kkk
vD
Re
v
p
Dv
F
Eu
:ensionaisdimA
D,v,:Base
Dp
v
D
vp
Dv
2
vp
222
 
s
m9,42,3
4,6
8,9v
4,6
8,9v
v
v
8,9
4,6
104,6
108,9
11k mp
p
m
4
4v
=×==⇒==
×
×
×=
−
− 
 
 
Exercício 6.13 
 
( )
000.1
1
10
1
16,3
11k)3(
rpm37912016,3n
n
n
16,3
10
1
16,3
1
k
k
k)1(
s
m37,2
16,3
5,7v
v
v
16,3
11
10
1kkk)2(
)protótipodoáguaàigualelomoddoáguaaondo(sup1k;1k;
10
1k)3(kkkkEuEu
Dv
FEu
)2(kkkFrFr
Dg
vFr
)1(kkk
v
Dn
v
Dn
0Eu,Fr,
v
nDf0F,g,n,D,v,f
22
F
m
p
m
D
v
n
m
p
m
gDv
gD
2
D
2
vFpm22
gD
2
vpm
2
Dnv
p
pp
m
mm
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×=
=×=→====
==→==×==
===
=→=→
ρ
=
=→=→=
=→=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛→=ρ
ρ
ρ
 
 
Exercício 6.14 
 
cm30215b
m325,1
comPlaca
L2L
L
L
5,0
2,0
1,0
k
k
k
2,0
30
6k;1,0
10
10k;
2,1
000.1k
kkkvLvLRe
kkkk
Lv
FEu
L,v,:Base
mp
p
m
v
L
v5
6
Lv2
2
L
2
vF221
=×=
=×=
=⇒====
=====
=⇒ν=μ
ρ==π
=⇒ρ==π
ρ
ν
−
−
νρ
ν
ρ
l
 
 
N8,1
33,8
15
33,8
F
F
F
F
33,85,02,0
2,1
000.1k mp
p
m22
F ===⇒==××= 
 
Exercício 6.15 
 omanométricecoeficient
Dn
gH
vazãodeecoeficient
nD
Q
22
B
3
=Ψ
=φ
 
m79
316,0
25H
H
H
316,0
1
333,1422,0
k
kk
k)2(
rpm844.2
422,0
200.1n
n
n
422,0
333,1
1
k
k
k)1(
1k;333,1
15
20
D
D
k;1k
)2(kkk
)1(kkk
p
p
m
B
B
B
B
B22
g
2
D
2
n
H
p
p
m
33
D
Q
n
g
p
m
DQ
2
D
2
nHpm
3
DnQpm
==→==×==
==→====
=====
=→Ψ=Ψ
=→φ=φ
 
 
Exercício 6.16 
 
s
m106,9
247.1
05,04,2
247.1
Dv
247.1
Dv
247.1Re
8,125,8
8,127,10
000.1500.1
000.1Re
:elinearmentdoInterpolan
7,10
4,2800
102,49
v
p
Eu
2
5pp
p
p
pp
p
p
2
3
2
pp
p
p
−×=×==ν⇒=ν
=⇒−
−=−
−
=×
×=ρ
Δ=
 
 
 
Exercício 6.17 
 
( )
s
m5,735,2v
v
v5,2
4,01
1
kk
k
k)2(
4,0
50
20
D
Dk;1k;1k
)2(kkkkReRe
)1(kkkkEuEu
0vDRe;
Dv
FEuf0,D,v,,Ff
1
2
1
D
v
2
1
D
Dvpm
2
D
2
vFpm
22
=×=→==×==
=====
=→=
=→=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
μ
ρ=ρ=→=μρ
ρ
μ
μρ
ρμ
ρ
 
 
Para bombas: 
Traçado o gráfico de F1 = f(v1), obtém-se, com v1 = 7,5 m/s, F1=260 N. 
N260FF:Logo
F
F
14,05,21k)1(
12
2
1
F
==
==××=
 
 
Exercício 6.18 
 
( )C90aágua1053,3353,0353,0
2
1707,0k
707,01
2
1kkk
kkkvLRe
kkk
Lg
vFr
ensionaisdimA
L,v:base,L,g,v
o7
m
p
m
gLv
Lv
gL
2
v
2
−
ν
ν
×=ν⇒=ν
ν⇒=×=
=×==
=→ν=
=→=
→ν
 
 
Exercício 6.19 
 
f(N, g, ρ, v, L) = 0 
Aplicando o Teorema π e usando como base ρ, v, L, obtém-se: 
23221 Lv
Ne
v
Lg
ρ
=π=π 
Pela figura: 
23221 Lv
N
v
Lg
ρ
=→π=π 
kW5,2
000.1
12000.1105,0vgLN 33 =××××=ρ= 
 
Exercício 6.20 
 
s
m106
8
108,4
88
1
4
1
2
1k
2
11
4
1kkk
kkk
Lg
vFr
kkkvLRe
2
6
5
p
m
p
m
gLv
gL
2
v
2
Lv
−−
ν
ν
×=×=ν=ν→ν
ν==×=
=×==
=→=
=→ν=
 
 
Exercício 6.21 
 
Q08,5
15,0
60
500.3
Q
nD
Q
33
=
×
==φ 
Ψ=
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
×Ψ=×Ψ=
φ=××φ=φ=
=×=====
=
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
==Ψ
8125,7
8,9
3,0
60
750.1
g
Dn
H
7875,03,0
60
750.1DnQ
m3,015,02D2Derpm750.1
2
500.3
2
n
n:protótipooPara
H128,0
15,0
60
500.3
H8,9
Dn
gH
2
2
2
p
2
p
pB
33
ppp
mp
m
p
B
2
2
B
22
B
 
Com essas expressões é possível construir a tabela a seguir e, portanto, as curvas da bomba. 
Q(m3/s) 0 5x10-3 10x10-3 15x10-3 20x10-3 
HB(m) 25 24 23 20 14 
φ 0 0,0254 0,0508 0,0762 0,1016 
ψ 3,20 3,07 2,94 2,56 1,79 
Qp(m3/s) 0 20x10-3 40x10-3 60x10-3 80x10-3 
HBp 25 24 23 20 14 
 
 
Exercício 6.22 
 
N700.3
27
10
27
F
F
F
F
27373,11k
s
m2,5
73,1
9
73,1
v
v
v
v
73,113k
kkk
Lg
vFr
kkkk
Lv
FEu
5
1
2
2
122
F
1
2
2
1
v
gL
2
v
2
2
L
2
vF22
===⇒==××=
===⇒==×=
=⇒=
=⇒ρ= ρ
 
 
Exercício 6.23 
Se a perda de carga de (5) a (7) é a mesma nas duas situações, como é função de v2, deve-se 
entender que a vazão nas duas situações deve ser a mesma, logo, kQ = 1. 
( )
( ) m164318HzH
m184338HzH
kkk
k
1kkkkkkk
k
1kkkk
7,1p72B
7,1p71B
4
3
BHn
3
4
n
3
2
n
2
nBHg
2
D
2
nBHg
3
n
D
3
DnQ
=+++=′+=
=+++=+=
=→==→=
=→=
 
rpm158.3
092,1
450.3
092,1
n
n
n
n
092,1
16
18k
1
2
2
1
4
3
n
===
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 
 
Exercício 6.24 
 
( )
768,0
5,101
78
N
N
kW7810100108,91500.8QHN)b
s
L8,914,327Q27Q
Q
Q
2731kkk
s
L5,3Qm1,11
9
100
9
H
H
H
H
9
1
31
k
kk
k)a
B
B
33
B
21
2
133
DnQ
2
1B
2B
2B
1B
22
g
2
D
2
n
BH
===η
=××××=γ=
=×==⇒==×==
=⇒===⇒==×==
−−
 
 
Exercício 6.25 
 
A curva representa Eu = f(Re). Quando o efeito da viscosidade torna-se desprezível, o Eu não 
varia mais com Re e, portanto, Eu = constante. 
Essa situação acontece para 4105Re ×≅ , onde .3Eu ≅ Logo: 
N75,005,01013F3
Dv
F3Eu
s
m10
05,0
10105
D
105v105vD
22
22
544
4
=×××=→=
ρ
→=
=××=ν×=→×=ν
−
 
 
Exercício 6.26 
 ( )
mm9,5m109,5
10100
2,1
102
102,0
p102
QD
102
pD
Q
pDD
Q
pD
D
Q
ensionaisdimA
D,,:Base
D,,,pfQ
3
32
3
2
2
22
2
2
1
2
2
2
1
=×=××
×=Δ
ρ
×=
×=Δ
ρ=Δ
ρν
ν=π
π
ρν
Δ=π
ν=π
νρ
ρνΔ=
−
−
−
−
−
 
 
 
 
Exercício 6.27 
 
a) 
 
 
 
 
 
1024
1
16
1
4
11kkkk
4
1
16
1kkkk
1k;
16
1k;1k)e
s
N500.151010106vLQ
106105,2
1010
510
v
L
5,0
10
105
v
Lg)c
v
L1
L
vLv
v
LggLv
vL
Q
QLv)b
2
2
LvGQ
vgL
2
v
gL
2442
1G
4
1
7
3
242
3
222
2
3
323
321
3
22
321
2
2
G
1G
321
1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××==
==→=
===
=××××=γπ=
×=π⇒×=×
×=μ
γ=π′
=×==π
μ
γ=π=π′→γ
μ=π→μγ=π
=π→γ=π
γ=π→γ=π
γ
γ
−
−
−
δδδ
βββ
ααα
 
 
Exercício 6.28 
 ( )
( ) kW500.7101075,010NNW75,0
6,3
6,375,0FvN
N
N
10
1
100
1
10
11kkkk)c
h
km6,3
10
36
10
v
v
v
v
10
1
100
1kkk
kkkk
kkk)b
L
A
;
v
Lg;
Lv
NL,v,:Base
A,L,g,v,fN)a
377
mpm
p
m
7
23
2
L
3
vN
p
m
p
m
gLv
2
L
3
vN
gL
2
v
2
fr
322231
fr
=××=×=⇒=×==
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×==
===⇒====
=
=
=π=πρ=π⇒ρ
ρ=
−
ρ
ρ 
[ ]
[ ]
[ ] 3
2
1
G
FL
LTg
FTQ
−
−
−
=γ
=
=
 
[ ]
[ ]
[ ] TFL
LL
LTv
2
1
−
−
=μ
=
=