Introdução à Teoria dos Grupos

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Introdu»c~ao Enxuta µa Teoria dos
Grupos
Neste cap¶³tulo, faremos uma primeira introdu»c~ao ao estudo dos grupos e de suas
propriedades gerais, estudo esse conhecido pelo nome de Teoria dos Grupos. No
prea^mbulo, faremos contato com os conceitos de semi-grupos e mon¶oides.
5.1 Semi-grupos, mon¶oides e grupos
De¯ni»c~ao 5.1 Seja A um conjunto n~ao vazio e seja ¤ uma opera»c~ao em A. A
estrutura alg¶ebrica (A; ¤) ¶e denominada um
1. semi-grupo se ¤ ¶e uma opera»c~ao associativa;
2. mon¶oide se ¤ ¶e uma opera»c~ao associativa e tem um elemento neutro e 2 A;
3. grupo se ¤ ¶e associativa, tem um elemento neutro e 2 A, e cada elemento
a 2 A ¶e invert¶³vel na opera»c~ao ¤.
Al¶em disso, em cada um dos casos 1, 2 e 3 acima, acrescenta-se o adjetivo comu-
tativo se ¤ ¶e tamb¶em comutativa. Assim, por exemplo, um semi-grupo comutativo
¶e um semi-grupo com opera»c~ao comutativa.
Um grupo abeliano ¶e um grupo comutativo.
Note que um grupo ¶e tamb¶em um mon¶oide e que um mon¶oide ¶e tamb¶em
um semi-grupo.
Exemplo 5.1 (N;+) ¶e um mon¶oide comutativo, mas n~ao ¶e um grupo, j¶a que
nenhum n¶umero natural n ¸ 1 ¶e invert¶³vel na adi»c~ao em N.
Exemplo 5.2 (Z;+) ¶e um grupo abeliano, de elemento neutro 0, sendo o ele-
mento inverso (inverso aditivo) de cada inteiro a 2 Z o seu oposto ¡a.
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Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 79
Exemplo 5.3 (O mon¶oide das transforma»c~oes de um conjunto A)
Seja A um conjunto n~ao vazio. Uma transforma»c~ao de A (ou em A) ¶e uma fun»c~ao
f :A! A.
SejaM(A) o conjunto de todas as transforma»c~oes em A, e seja ± a opera»c~ao
composi»c~ao de fun»c~oes, restrita a M(A).
Recordemo-nos que dadas duas fun»c~oes quaisquer g:X ! Y e h:Y ! Z, a
fun»c~ao composta de h e g (aten»c~ao para a ordem em que s~ao tomadas!) ¶e de¯nida
como sendo a fun»c~ao
' = h ± g:X ! Z
de¯nida por
'(x) = (h ± g)(x) = h(g(x)); 8x 2 X
Assim sendo, ¶e f¶acil ver que o conjunto M(A) ¶e fechado na opera»c~ao com-
posi»c~ao de fun»c~oes, e portanto podemos restringir a opera»c~ao ± ao conjuntoM(A).
Veremos a seguir que ((M(A); ±) ¶e um mon¶oide, n~ao comutativo quando A
tem ao menos dois elementos distintos. Veremos tamb¶em que os elementos in-
vert¶³veis deM(A) s~ao as fun»c~oes bijetoras de A em A (e que portanto, ((M(A); ±)
n~ao ¶e um grupo quando A possui (ao menos) dois elementos distintos).
Existe^ncia de elemento neutro da opera»c~ao ± em M(A).
Considere a aplica»c~ao identidade em A, IA:A! A, de¯nida por
IA(x) = x; 8x 2 A
IA ¶e o elemento neutro da opera»c~ao composi»c~ao em M(A):
Para cada f 2M(A),
(IA ± f)(x) = IA(f(x)) = f(x) e (f ± IA)(x) = f(IA(x)) = f(x); 8x 2 A
logo
IA ± f = f ± IA = f
Associatividade da composi»c~ao em M(A).
Dadas tre^s fun»c~oes quaisquer
f :X ! Y; g:Y ! Z e h:Z !W
temos
((h ± g) ± f)(x) = (h ± g)(f(x)) = h(g(f(x)))
e
(h ± (g ± f))(x) = h((g ± f)(x)) = h(g(f(x)))
8x 2 X, e portanto
(h ± g) ± f = h ± (g ± f)
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 80
Assim, a associatividade da composi»c~ao de fun»c~oes ¶e uma propriedade geral
que se aplica tamb¶em para as fun»c~oes pertencentes a M(A).
Se A possui dois elementos distintos, ± n~ao ¶e comutativa.
De fato, sejam a e b dois elementos distintos de A. Considere as transfor-
ma»c~oes constantes ca:A! A e cb:A! A, de¯nidas por
ca(x) = a e cb(x) = b; 8x 2 A
Ent~ao, para cada x 2 A,
(ca ± cb)(x) = ca(cb(x)) = ca(b) = a
e
(cb ± ca)(x) = cb(ca(x)) = cb(a) = b
ou seja,
ca ± cb = ca e cb ± ca = cb
e portanto ± n~ao ¶e comutativa em M(A).
Observa»c~ao 5.1 Para que se tenha f ±g6= g±f , sendo f; g 2M(A), ¶e su¯ciente
que se tenha (f±g)(x0)6= (g±f)(x0) para algum elemento x0 2 A. No entanto, no
caso das fun»c~oes ca e cb de¯nidas acima, veri¯camos que (ca±cb)(x)6= (cb±ca)(x),
para cada x 2 A.
Proposi»c~ao 5.1 Uma transforma»c~ao f 2 M(A) ¶e invert¶³vel se e somente se f ¶e
bijetora.
Demonstra»c~ao..
(somente se ou \)") Seja f 2 M(A) uma transforma»c~ao invert¶³vel. Ent~ao
existe uma fun»c~ao g 2M(A) tal que
f ± g = g ± f = IA
(g ¶e chamada transforma»c~ao inversa de A e ¶e denotada por g = f¡1).
Veremos ent~ao que a existe^ncia de g acarreta que f ¶e injetora e sobrejetora.
De fato,
8x; y 2 A; f(x) = f(y) ) g(f(x)) = g(f(y))
) (g ± f)(x) = (g ± f)(y)
) IA(x) = IA(y)
) x = y
Logo, f ¶e injetora.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 81
Al¶em disso, para cada y0 2 A,
y0 = IA(y0) = (f ± g)(y0) = f(g(y0)) = f(x0)
sendo x0 = g(y0).
Ou seja, para cada y0 2 A, existe x0 2 A tal que f(x0) = y0, e portanto f
¶e tamb¶em sobrejetora.
Assim sendo, se f 2 M(A) ¶e invert¶³vel ent~ao f ¶e injetora e sobrejetora,
portanto bijetora.
(se ou \(") Seja f 2 M(A) uma aplica»c~ao bijetora, isto ¶e, injetora e sobreje-
tora.
De¯namos uma transforma»c~ao g 2M(A) (candidata a fun»c~ao inversa de f)
do seguinte modo:
Para cada a 2 A, existe b 2 A tal que f(b) = a (pois f ¶e sobrejetora). Al¶em
disso, um tal elemento b ¶e ¶unico, pois f ¶e injetora: se b0 2 A e f(b0) = a
ent~ao f(b) = f(b0)) b = b0. De¯nimos a fun»c~ao g no ponto a por:
g(a) = b
Notemos ent~ao que, uma vez de¯nida a fun»c~ao g, para cada a 2 A e cada
b 2 A, s~ao equivalentes as igualdades f(a) = b e g(b) = a, ou seja
f(a) = b, g(b) = a
Temos ent~ao que f ± g = g ± f = IA. De fato:
Para cada x 2 A, sejam f(x) = ® e g(x) = ¯. Ent~ao teremos g(®) = x e
f(¯) = x. Logo,
(f ± g)(x) = f(g(x)) = f(¯) = x = IA(x)
e
(g ± f)(x) = g(f(x)) = g(®) = x = IA(x)
Se A tem ao menos dois elementos, (M(A); ±) n~ao ¶e um grupo.
De fato, se A tem ao menos dois elementos distintos a e b, as fun»c~oes ca e
cb de¯nidas acima n~ao s~ao sobrejetoras, portanto n~ao s~ao invert¶³veis na opera»c~ao
composi»c~ao em M(A).
Sendo assim a estrutura alg¶ebrica (M(A); ±), com A tendo ao menos dois
elementos distintos, ¶e um mon¶oide n~ao comutativo e n~ao ¶e um grupo.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 82
5.1.1 Problemas complementares
1. °^. . Seja A um conjunto n~ao vazio e seja ¤ uma opera»c~ao em A, com
elemento neutro e. Sendo a um elemento de A,
(a) dizemos que um elemento x 2 A ¶e um inverso µa direita de a, na
opera»c~ao ¤, se a ¤ x = e;
(b) dizemos que um elemento y 2 A ¶e um inverso µa esquerda de a, na
opera»c~ao ¤, se y ¤ a = e.
Prove que se ¤ ¶e associativa e a 2 A possui um inverso µa direita x e um
inverso µa esquerda y, ent~ao x = y, e portanto a ¶e invert¶³vel na opera»c~ao ¤.
2. Sejam f; g 2 M(A), sendo M(A) o mon¶oide das transforma»c~oes de um
conjunto n~ao vazio A (veja exemplo 5.3).
(a) °. . Mostre que se f ± g = IA ent~ao g ¶e injetora e f ¶e sobrejetora.
(b) °_. . Mostre que se g ¶e injetora entao existe uma transforma»c~ao ' 2
M(A) que ¶e inversa µa esquerda de g.
(c) °_. . Mostre que se f ¶e sobrejetora entao existe uma transforma»c~ao
à 2M(A) que ¶e inversa µa direita de f .
3. Considere o mon¶oide das transforma»c~oes do conjunto N dos n¶umeros nat-
urais, M(N), munido da opera»c~ao composi»c~ao (re¯ra-se ao exemplo 5.3).
Considere as transforma»c~oes f; g 2M(N), de¯nidas por
f(x) = x+ 1
e
g(x) =
½
0; se x = 0
x¡ 1; se x ¸ 1
(a) °. . Mostre que g ± f = IN, e portanto f ¶e uma transforma»c~ao inversa
µa direita de g (e g ¶e uma transforma»c~ao inversa µa esquerda de f).
(b) °^. . Veri¯que que f e g s~ao transforma»c~oes n~ao invert¶³veis e que, por-
tanto, nem f possui uma transforma»c~ao inversa µa direita, nem g possui
uma transforma»c~ao inversa µa esquerda.
(c) °. . Mostre que f tem uma in¯nidade de transforma»c~oes inversas µa
esquerda. [Sugest~ao: Altere g, rede¯nindo g(0).]
(d) °. . Mostre que g tem (exatamente) duas transforma»c~oes inversas µa
direita. [Sugest~ao: Mostre que se h ¶e uma inversa µa direita de g,
ent~ao: (a) h(0) = 0 ou h(0) = 1; (b) para cada x 2 N, x ¸ 1, tem-se
h(x) ¸ 1 e portanto h(x) = x+ 1.]
4. °^. . Mostre que o conjunto constitu¶³dodas tre^s permuta»c~oes
I =
µ
1 2 3
1 2 3
¶
; ¾ =
µ
1 2 3
2 3 1
¶
e ¿ =
µ
1 2 3
3 1 2
¶
munido da opera»c~ao de composi»c~ao, constitui um grupo.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 83
5. °^. . Dadas as permuta»c~oes
f1 =
µ
1 2 3 4 5
3 4 2 1 5
¶
e f2 =
µ
1 2 3 4 5
4 2 5 1 3
¶
calcule
(a) f 21 = f1 ± f1 (b) f31 = f 21 ± f1 (c) f 41 = f 31 ± f1
(d) f¡12 (e) f1 ± f¡12 (f) f 22
6. °. . Seja (A; ¤) um mon¶oide no qual a equa»c~ao a ¤ x = b tem solu»c~ao,
8a; b 2 A. Mostre que (A; ¤) ¶e um grupo.
5.2 Grupos e suas Propriedades Elementares
Abrimos esta se»c~ao, rede¯nindo o conceito de grupo.
De¯ni»c~ao 5.2 Uma estrutura alg¶ebrica (G; ¤) ¶e um grupo se satisfaz as seguin-
tes propriedades:
(G1) ¤ ¶e uma opera»c~ao associativa, isto ¶e, 8x; y; z 2 G, tem-se
(x ¤ y) ¤ z = x ¤ (y ¤ z)
(G2) ¤ tem elemento neutro, isto ¶e, existe e 2 G tal que
x ¤ e = e ¤ x = x
para cada x 2 G.
(G3) cada elemento de G ¶e invert¶³vel na opera»c~ao ¤, ou seja, para cada x 2 G,
existe x0 2 G (chamado inverso de x na opera»c~ao ¤), tal que
x ¤ x0 = x0 ¤ x = e
Observa»c~ao 5.2 Recordamos que, conforme os teoremas 3.1 e 3.2 do cap¶³tulo 4,
sendo (G; ¤) um grupo,
1. Existe um ¶unico elemento e 2 G, elemento neutro da opera»c~ao ¤ em G.
2. Para cada x 2 G, existe um ¶unico elemento x0 2 G, elemento inverso de x
relativamente µa opera»c~ao ¤.
3. Se x e y s~ao elementos de G, de inversos x0 e y0, respectivamente, ent~ao
y0 ¤ x0 ¶e o inverso de x ¤ y em G.
Recordamos tamb¶em que se ¤ ¶e uma opera»c~ao comutativa, o grupo (G; ¤) ¶e
chamado de grupo abeliano.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 84
Observa»c~ao 5.3 Recordamos tamb¶em que, sendo (G; ¤) um grupo, as seguintes
conven»c~oes notacionais s~ao habitualmente adotadas:
opera»c~ao ¤ denomina»c~ao especial elemento neutro elemento inverso
do grupo de x 2 G
+ grupo aditivo 0 (zero) ¡x (oposto de x)
¢ grupo multiplicativo 1G ou 1 ou e x¡1
Lembramos ainda que, convencionalmente, grupos aditivos s~ao sempre abe-
lianos. Em outras palavras, n~ao ¶e de bom senso denotar por + uma opera»c~ao n~ao
comutativa.
Proposi»c~ao 5.2 Sendo (G; ¤) um grupo
1. Valem em G as leis do cancelamento: 8a; b; c 2 G,
a ¤ b = a ¤ c) b = c
b ¤ a = c ¤ a) b = c
2. Sendo a e b elementos de G, as equa»c~oes
a ¤ x = b e y ¤ a = b
tem, cada uma delas, uma ¶unica solu»c~ao em G.
Demonstra»c~ao.. Sejam a; b e c elementos de G, seja e 2 G o elemento neutro de
¤, e seja a0 2 G o elemento inverso de a na opera»c~ao ¤.
1. Se a ¤ b = a ¤ c ent~ao
a0 ¤ (a ¤ b) = a0 ¤ (a ¤ c))
(a0 ¤ a) ¤ b = (a0 ¤ a) ¤ c)
e ¤ b = e ¤ c
logo b = c.
Analogamente, b ¤ a = c ¤ a) b = c.
2.
a ¤ x = b , a0 ¤ (a ¤ x) = a0 ¤ b
, (a0 ¤ a) ¤ x = a0 ¤ b
, e ¤ x = a0 ¤ b
, x = a0 ¤ b
o que demonstra a existe^ncia (x = a0 ¤ b) e unicidade da solu»c~ao da equa»c~ao
a ¤ x = b.
Analogamente, a equa»c~ao y ¤ a = b possui uma ¶unica solu»c~ao, a saber
y = b ¤ a0.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 85
Observa»c~ao 5.4 No monoide multiplicativo (Z12; ¢) n~ao s~ao v¶alidas as leis do
cancelamento: 3 ¢ 2 = 3 ¢ 6 = 6, mas 26= 6.
Al¶em disso, a equa»c~ao 3 ¢ x = 6 tem 3 solu»c~oes em Z12, a saber 2; 6 e 10.
Por outro lado, a equa»c~ao 3 ¢ x = 2 n~ao tem solu»c~ao em Z12.
5.2.1 Bons exemplos de grupos
Como primeiros exemplos de grupos, lembremo-nos de que se (A;+; ¢) ¶e um anel,
ent~ao (A;+) ¶e um grupo abeliano, chamado o grupo aditivo do anel A.
Alem disso, se (K;+; ¢) ¶e um corpo, temos o grupo multiplicativo (K¤; ¢)
dos elementos n~ao nulos do corpo K.
O grupo S(A) das permuta»c~oes de um conjunto A
De¯ni»c~ao 5.3 Sendo A um conjunto n~ao vazio, chama-se permuta»c~ao em A (ou
de A) toda fun»c~ao bijetora f :A! A.
Denotaremos o conjunto das permuta»c~oes em A por S(A). Note que S(A)
¶e um subconjunto de M(A), o conjunto das transforma»c~oes de A, explorado no
exemplo 5.3.
Al¶em disso, S(A) ¶e fechado na opera»c~ao composi»c~ao de fun»c~oes, isto ¶e,
dadas duas transforma»c~oes f; g 2 S(A) tem-se f ± g 2 S(A), pois a composi»c~ao
de fun»c~oes bijetoras ¶e uma fun»c~ao bijetora. De fato,
f; g 2 S(A) ) f e g s~ao fun»c~oes bijetoras de A em A
) f e g s~ao fun»c~oes invert¶³veis na opera»c~ao ± em M(A)
) f ± g ¶e fun»c~ao invert¶³vel na opera»c~ao ± em M(A)
) f ± g ¶e fun»c~ao bijetora de A em A
) f ± g 2 S(A)
Assim, a opera»c~ao ± deM(A) pode ser restringida ao conjunto S(A). Como
a aplica»c~ao identidade IA est¶a em S(A), e como ± ¶e associativa, (S(A); ±) ¶e um
mon¶oide.
Al¶em disso, se f 2 S(A) e g ¶e a transforma»c~ao inversa de f , ent~ao g ¶e
tamb¶em invert¶³vel, com inversa g¡1 = f , e portanto g ¶e bijetora, ou seja g 2 S(A).
Logo, cada elemento de S(A) ¶e invert¶³vel em S(A) na opera»c~ao composi»c~ao.
Portanto (S(A); ±) ¶e um grupo, denominado grupo das permuta»c~oes de A
ou grupo sim¶etrico de A.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 86
Finalmente, chamamos a aten»c~ao para o fato de que se A tem ao menos
tre^s elementos distintos, entao (S(A); ±) n~ao ¶e um grupo abeliano.
De fato, suponhamos que A possui tre^s elementos a, b e c, distintos dois a
dois. Considere as transforma»c~oes f e g de A em A de¯nidas por
f(x) =
8<
:
a; se x = b
b; se x = a
x; se x6= a e x6= b
g(x) =
8<
:
a; se x = c
c; se x = a
x; se x6= a e x6= c
Como f ± f = IA e g ± g = IA, temos que f; g 2 S(A).
Agora,
(f ± g)(a) = f(g(a)) = f(c) = c
e
(g ± f)(a) = g(f(a)) = g(b) = b
e portanto f ± g6= g ± f .
Como visto no cap¶³tulo 3, se A ¶e um conjunto com 3 ou mais elementos,
ent~ao o grupo S(A), das permuta»c~oes de A, ¶e n~ao abeliano. Assim Sn ¶e n~ao
comutativo se n ¸ 3.
De¯ni»c~ao 5.4 (Ordem de um grupo) Sendo (G; ¤) um grupo, dizemos que a
ordem de G ¶e igual a n, e denotamos
jGj = n
se G ¶e um conjunto ¯nito de n elementos. Por exemplo, jSnj = n!.
Se G ¶e um conjunto in¯nito, dizemos que G tem ordem in¯nita e denotamos
jGj =1. Por exemplo, a ordem do grupo aditivo (Z;+) ¶e in¯nita.
O grupo Sn das permuta»c~oes de n elementos
Considere o grupo S(A) do exemplo 5.2.1, no caso em que A = fx1; : : : ; xng,
com n ¸ 1.
Neste caso particular, denotamos S(A) = Sn e o grupo (Sn; ±) passa a ser
chamado grupo das permuta»c~oes de n elementos ou grupo sim¶etrico de grau n.
Para cada fun»c~ao f 2 Sn, isto ¶e, para cada fun»c~ao bijetora
f : fx1; : : : ; xng ! fx1; : : : ; xng
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 87
temos
f(x1) = xi1 ; f(x2) = xi2; : : : ; f(xn) = xin
para certos ¶³ndices i1; : : : ; in dentre 1; : : : ; n, sendo fi1; : : : ; ing = f1; : : : ; ng.
Denotamos uma tal permuta»c~ao f por
f =
µ
x1 x2 : : : xn
xi1 xi2 : : : xin
¶
O n¶umero de permuta»c~oes de n elementos, ou seja, o n¶umero de elementos
de Sn, ¶e precisamente n! (leia-se \n fatorial"), sendo
n! =
½
1; se n = 0
n ¢ (n¡ 1)!; se n ¸ 1
Para n ¸ 2, n! = n ¢ (n¡ 1) ¢ ¢ ¢ 2 ¢ 1.
A t¶abua do grupo (S3; ±)
Para simpli¯car as nota»c~oes, em lugar de tre^s elementos gen¶ericos x1; x2 e x3,
tomaremos os n¶umeros 1; 2 e 3, e assim olharemos o grupo S3 como sendo o
grupo das permuta»c~oes de f1; 2; 3g.
jS3j = 3! = 3 ¢2 ¢1 = 6, sendo S3 constitu¶³do das seguintes seis permuta»c~oes
I =
µ
1 2 3
1 2 3
¶
; f1 =
µ
1 2 3
2 1 3
¶
; f2 =
µ
1 2 3
3 2 1
¶
f3 =
µ
1 2 3
1 3 2
¶
; f4 =
µ
1 2 3
2 3 1
¶
; f5 =
µ
1 2 3
3 1 2
¶
A t¶abua do grupo S3, isto ¶e, a t¶abua da opera»c~ao ± em S3, ¶e dada abaixo:
± I f1 f2 f3 f4 f5
I I f1 f2 f3 f4 f5
f1 f1 I f5 f4 f3 f2
f2 f2 f4 I f5 f1 f3
f3 f3 f5 f4 I f2 f1
f4 f4 f3 f1 f2 f5 I
f5 f5 f2 f3 f1 I f4
Para calcular a permuta»c~ao composta de duas permuta»c~oes de S3, podemos
proceder como nos exemplos abaixo:
f1 ± f3 =
µ
1 2 3
2 1 3
¶
±
µ°1 2 3
1 3 2
¶
=
µ°1 2 3
2 3 1
¶
= f4
Introduc»~ao Enxuta µa Teoriados Grupos 88
f4 ± f5 =
µ
1 2 3
2 3 1
¶
±
µ
1 2 °3
3 1 2
¶
=
µ
1 2 °3
1 2 3
¶
= I = f5 ± f4
em que, como exemplo, na composi»c~ao f4 ± f5, observamos que
(f4 ± f5)(°3 ) = f4(f5(°3 ) = f4(2) = 3 .
Justi¯caremos o procedimento usado acima para compor as permuta»c~oes
apenas observando que
escrevendo f1 =
µ
1 2 3
2 1 3
¶
queremos dizer
f1(1) = 2
f1(2) = 1
f1(3) = 3
e
escrevendo f3 =
µ
1 2 3
1 3 2
¶
queremos dizer
f3(1) = 1
f3(2) = 3
f3(3) = 2
e assim, conforme assinalado acima, indicando elementos por c¶³rculos, sublinhados
e quadrados,
(f1 ± f3)(°1 ) = f1(f3(°1 ) = f1(1) = 2
bem como tamb¶em
(f4 ± f5)(°3 ) = f4(f5(°3 ) = f4(2) = 3
Observe tamb¶em que para inverter uma permuta»c~ao, dada na forma tabular,
basta permutar suas duas linhas, isto ¶e, copi¶a-la de \cabe»ca para baixo", e ent~ao
reordenar as colunas segundo a reordena»c~ao dos elementos da primeira linha, como
nos seguintes exemplos em S3:
f¡14 =
µ
1 2 3
2 3 1
¶¡1
=
µ
2 3 1
1 2 3
¶
=
µ
1 2 3
3 1 2
¶
= f5
bem como
f¡13 =
µ
1 2 3
1 3 2
¶¡1
=
µ
1 3 2
1 2 3
¶
=
µ
1 2 3
1 3 2
¶
= f3
Certi¯que-se de que voce^ sabe calcular as entradas da t¶abua do grupo S3
dada acima!
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 89
5.2.2 Problemas Complementares
1. Seja G = fa1; a2; : : : ; ang um grupo abeliano. Mostre que sendo x =
a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ an, ent~ao x2 = e.
2. Sejam (G; ¤) e (G0;tu) dois grupos. De¯ne-se o produto direto dos grupos
G e G0 como sendo o grupo (G £ G0; ±), sendo ± a opera»c~ao em G £ G0
de¯nida por (a; b) ± (c; d) = (a ¤ c; btu d), 8(a; b); (c; d) 2 G£G0.
Mostre que (G £ G0; ±) ¶e de fato um grupo, de elemento neutro (e; e0),
sendo e e e0 os elementos neutros de G e G0, respectivamente. Note que se
jGj = m e jG0j = n ent~ao jG£G0j = mn = jGj ¢ jG0j.
3. Mostre que cada uma das estruturas alg¶ebricas dadas abaixo ¶e um grupo.
Classi¯que cada grupo como sendo abeliano ou n~ao.
Nota. Em cada um dos itens abaixo voce^ dever¶a mostrar:
(1o) que ¢ (ou ±) ¶e de fato uma opera»c~ao no conjunto G dado, isto ¶e, que
x 2 G e y 2 G) x ¢ y( ou x ± y) 2 G
(2o) que a opera»c~ao de¯nida em G ¶e associativa e possui elemento neutro
em G;
(3o) que cada elemento x 2 G possui um elemento inverso na opera»c~ao
dada e que esse inverso ¶e um elemento de G.
(a) °^. . (G; ¢), sendo
G = fX 2M(2;R) j detX6= 0g
e ¢ ¶e a opera»c~ao multiplica»c~ao de matrizes.
[Sugest~ao simpli¯cadora: Admita, a priori, que a multiplica»c~ao de ma-
trizes ¶e associativa].
(b) °. . (G; ±), sendo
G = ffa;b j a; b 2 R e a6= 0g
em que, para cada a 2 R, a6= 0, e cada b 2 R, fa;b ¶e a fun»c~ao R! R
de¯nida por
fa;b(x) = ax+ b
e ± ¶e a opera»c~ao composi»c~ao de fun»c~oes.
[Sugest~ao simpli¯cadora: Admita, a priori, que a composi»c~ao de fun»c~oes
¶e associativa].
(c) °. . (S1; ¢), sendo
S1 = fz 2 C j z = cos µ + isen µ; µ 2 Rg
e ¢ ¶e a multiplica»c~ao de n¶umeros complexos.
[Sugest~ao simpli¯cadora: Admita, a priori, que a multiplica»c~ao de
n¶umeros complexos (veja se»c~ao 4.5.2) ¶e associativa].
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 90
(d) °. . (G; ¢), sendo
G = fa+ b
p
2 j a; b 2 Q; a6= 0 ou b6= 0g
sendo ¢ a multiplica»c~ao de n¶umeros reais.
[Sugest~ao simpli¯cadora: Use o fato de que a multiplica»c~ao de n¶umeros
reais ¶e comutativa e associativa].
5.3 Subgrupos
De¯ni»c~ao 5.5 Sejam (G; ¤) um grupo e H um subconjunto de G. Dizemos que
H ¶e um subgrupo de G se
1. H ¶e fechado na opera»c~ao ¤, isto ¶e,
8a; b 2 G; a 2 H e b 2 H ) a ¤ b 2 H
2. A estrutura algebrica (H; ¤) ¶e um grupo.
Exemplo 5.4 Considere (Z12;+), o grupo aditivo do anel dos inteiros m¶odulo 12,
e seu subconjunto H = f0; 3; 6; 9g. Ent~ao H ¶e fechado na adi»c~ao de Z12, como
se pode constatar pela seguinte t¶abua:
+ 0 3 6 9
0 0 3 6 9
3 3 6 9 0
6 6 9 0 3
9 9 0 3 6
Como se ve^, se a; b 2 H ent~ao a+ b = a+ b est¶a em H. Al¶em disso, ¶e f¶acil
ver que (H;+) ¶e tamb¶em um grupo | a adi»c~ao de H ¶e associativa, visto que ¶e
restri»c~ao da adi»c~ao em Z12 |, de elemento neutro 0, sendo os opostos (inversos
aditivos) de 3; 6 e 9 iguais a 9; 6 e 3, respectivamente.
Proposi»c~ao 5.3 Sejam (G; ¤) um grupo e H um subgrupo de G.
1. Se eG e eH s~ao os elementos neutros de ¤ em G e em H, respectivamente,
ent~ao eG = eH .
2. Para cada x 2 H, sejam x0 e bx os elementos inversos de x em G e em H,
respectivamente. Ent~ao x0 = bx.
Demonstra»c~ao.. Sejam eG; eH ; x
0 e bx como no enunciado.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 91
1. Como eG ¶e o elemento neutro de ¤ em G, e eH 2 G, temos
eG ¤ eH = eH
Por outro lado, sendo eH o elemento neutro de ¤ em H,
eH ¤ eH = eH
Logo, eG ¤ eH = eH ¤ eH . Pelas leis do cancelamento em G (proposi»c~ao
5.2), eG = eH .
2. Por hip¶otese,
x ¤ x0 = eG e x ¤ bx = eH
Pelo item 1, demonstrado acima, eG = eH , logo
x ¤ x0 = x ¤ bx
de onde, pelas leis do cancelamento em G, x0 = bx, .
Observa»c~ao 5.5 As propriedades enunciadas na proposi»c~ao 5.3 podem n~ao ser
v¶alidas se a estrutura (G; ¤) n~ao ¶e um grupo. Por exemplo, podemos de¯nir o
conceito de sub-mon¶oide de um mon¶oide (M; ¤), como sendo um subconjunto S
de M , tal que S ¶e fechado na opera»c~ao ¤ e (S; ¤) ¶e tamb¶em um mon¶oide. Nesse
caso, o elemento neutro de ¤ em S pode n~ao coincidir com o elemento neutro de
¤ em M .
Para ver isto, consideremos o mon¶oide multiplicativo (Z20; ¢), sendo ¢ a mul-
tiplica»c~ao do anel (Z20;+; ¢). Como sabemos, Z20 = f0; 1; 2; : : : ; 18; 19g, sendo 1
o elemento neutro da multiplica»c~ao em Z20.
Consideremos agora o subconjunto de Z20, S = f0; 5; 10; 15g. Pela tabela
de multiplica»c~ao
¢ 0 5 10 15
0 0 0 0 0
5 0 5 10 15
10 0 10 0 10
15 0 15 10 5
observamos que
1. S ¶e fechado na opera»c~ao multiplica»c~ao, \herdada" de Z20.
2. eS = 5 ¶e o elemento neutro da multiplica»c~ao de S.
Como a multiplica»c~ao de Z20 ¶e associativa, (S; ¢) ¶e um mon¶oide. Embora sub-
conjunto do mon¶oide Z20, S tem elemento neutro eS = 5, diferente do elemento
neutro de ¢ em Z20.
Notamos ainda que 15 ¶e invert¶³vel em S, pois 15 ¢ 15 = 5 = eS, n~ao sendo
por¶em invert¶³vel em Z20, j¶a que mdc (20; 15)6= 1.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 92
Proposi»c~ao 5.4 Sejam (G; ¤) um grupo e H um subgrupo de G. Seja e 2 G o
elemento neutro de ¤. Para cada a 2 G, seja a0 o inverso de a na opera»c~ao ¤.
Ent~ao
H ¶e um subgrupo de G se, e somente se, satisfaz µas seguintes condi»c~oes:
1. e 2 H
2. 8a; b 2 G, se a 2 H e b 2 H ent~ao a ¤ b 2 H
3. 8a 2 G, se a 2 H ent~ao a0 2 H.
Demonstra»c~ao.. Suponhamos que H ¶e subgrupo de G. Ent~ao, pela de¯ni»c~ao de
subgrupo, de¯ni»c~ao 5.5, H ¶e fechado na opera»c~ao ¤ de G. Logo, o item 2 acima
¶e satisfeito. Pela proposi»c~ao 5.3, o elemento neutro e de ¤ em G est¶a em H, pois
eH = eG = e, logo temos o item 1.
Al¶em disso, se a 2 H e ba ¶e seu inverso em H, na opera»c~ao ¤, ent~ao, pela
proposi»c~ao 5.3, ba = a0, logo a0 2 H, e assim temos o item 3.
Logo, se H ¶e subgrupo de G ent~ao valem as condi»c~oes 1, 2 e 3.
Reciprocamente, suponhamos que H ½ G satisfaz 1, 2 e 3. Ent~ao, pelo
item 2, ¤ ¶e uma opera»c~ao em H, associativa pois j¶a o era em G. Como e 2 H
(item 1), ¤ possui elemento neutro em H. Pelo item 3, cada elemento a 2 H tem
um inverso a0, tamb¶em em H, relativamente µa opera»c~ao ¤.
Logo, pelas condi»c~oes 1, 2 e 3, H ¶e subgrupo de G.
Proposi»c~ao 5.5 Seja (G; ¤) um grupo de elemento neutro e. Para cada a 2 G,
seja a0 2 G seu inverso na opera»c~ao ¤. Seja H um subconjunto de G. Ent~ao
H ¶e subgrupo de G ,
½
(1) H6= ¿, e
(2) Se a; b 2 H ent~ao a ¤ b0 2 H
Demonstra»c~ao..
()) Se H ¶e um subgrupo de G, ent~ao e 2 H, logo H 6= ¿. Al¶em disso, se
a; b 2 H, ent~ao, pela proposi»c~ao 5.4, b0 2 H. Logo a; b0 2 H, e como H ¶e
fechado na opera»c~ao ¤, temos a ¤b0 2 H.
(() Suponhamos agora que H ¶e um subconjunto de G, satisfazendo (1) e (2).
Sendo H 6= ¿, tome um elemento x 2 H. Por (2), temos x ¤ x0 2 H, logo
e 2 H.
Sendo a um elemento qualquer de H, como e 2 H, temos, por (2), e ¤ a0 2
H, logo a0 2 H.
Finalmente, se a; b 2 H, ent~ao b0 2 H, conforme acabamos de demonstrar,
e ent~ao, novamente por (2), a¤ (b0)0 2 H (sendo (b0)0 o elemento inverso de
b0 em G, que ¶e b), logo a ¤ b 2 H.
Assim, H satisfaz as condi»c~oes 1, 2 e 3 da proposi»c~ao 5.4, e portanto ¶e
subgrupo de G.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 93
Em vista da observa»c~ao 5.3, para a proposi»c~ao 5.5, temos as seguintes adap-
ta»c~oes notacionais para grupos aditivos e para grupos multiplicativos:
1. Sejam (G;+) um grupo (abeliano) e H um subconjunto n~ao vazio de G.
Ent~ao, H ¶e um subgrupo de G se, e somente se, 8a; b 2 H, tem-se a¡b 2 H
(a¡ b signi¯ca a+ (¡b)).
2. Sejam (G; ¢) um grupo e H um subconjunto n~ao vazio de G. Ent~ao, H ¶e
um subgrupo de G se, e somente se, 8a; b 2 H, tem-se ab¡1 2 H.
Exemplo 5.5 (O grupo dos elementos invert¶³veis de um anel)
Se (A;+; ¢) ¶e um anel com unidade 1A, o conjunto UA dos seus elementos in-
vert¶³veis formam um grupo multiplicativo:
1. 1A 2 UA
2. Se a e b s~ao elementos invert¶³veis do anel A, ent~ao b¡1 tamb¶em ¶e invert¶³vel e,
como o produto de elementos invert¶³veis ¶e invert¶³vel, temos que ab¡1 2 UA
Logo, pela proposi»c~ao 5.5, UA ¶e de fato um grupo.
Exemplo 5.6 No caso do anel (Zm;+; ¢), denotamos por Um o grupo UZm dos
seus elementos invert¶³veis. Pela proposi»c~ao 4.6, temos
Um = fa j mdc (a;m) = 1g
Assim, por exemplo, o grupo multiplicativo dos elementos invert¶³veis de Z20 ¶e o
grupo de ordem 8, U20 = f1; 3; 7; 9; 11; 13; 17; 19g.
Exemplo 5.7 Consideremos agora o grupo multiplicativo UM(2;R) das matrizes
invert¶³veis do anel M(2;R), exemplo 4.3.
UM(2;R) ¶e habitualmente denotado por GL(2;R).
Conforme vimos no exemplo 4.3,
UM(2;R) = GL(2;R) = fX 2M(2;R) j detX6= 0g
Consideremos agora o subconjunto de GL(2;R),
H =
½µ
a b
¡b a
¶ ¯¯¯
¯ a6= 0 ou b6= 0
¾
Mostraremos que H ¶e subgrupo de GL(2;R), aplicando a proposi»c~ao 5.5.
Notemos primeiramente que se X =
¡
a b
¡b a
¢
, com a; b 2 R, e com a6= 0 ou
b6= 0, ent~ao detX = a2+ b2 > 0, e portanto X ¶e invert¶³vel, logo X 2 GL(2;R).
Portanto, H ½ GL(2;R) e, obviamente, H6= ¿, pois, por exemplo, ¡ 1 1
¡1 1
¢ 2 H.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 94
Tomemos agora, X =
¡
a b
¡b a
¢
e Y =
¡
c d
¡d c
¢
, ambos em H (isto ¶e, com
a2 + b2 6= 0 e c2 + d2 6= 0).
Um c¶alculo simples nos d¶a
Y ¡1 =
µ
c=(c2 + d2) ¡d=(c2 + d2)
d=(c2 + d2) c=(c2 + d2)
¶
Logo,
XY ¡1 =
µ
a b
¡b a
¶µ
c=(c2 + d2) ¡d=(c2 + d2)
d=(c2 + d2) c=(c2 + d2)
¶
=
µ
(ac+ bd)=(c2 + d2) (¡ad+ bc)=(c2 + d2)
(¡bc+ ad)=(c2 + d2) (bd+ ac)=(c2 + d2)
¶
=
µ
® ¯
¡¯ ®
¶
sendo ® = (ad+ bc)=(c2 + d2) e ¯ = (¡ad+ bc)=(c2 + d2).
Al¶em disso, ®6= 0 ou ¯6= 0, pois
®2 + ¯2 = det(XY ¡1)
= (detX)(det Y ¡1)
= (detX)(det Y )¡1
=
a2 + b2
c2 + d2
> 0
Portanto, se X 2 H e Y 2 H ent~ao XY ¡1 2 H.
Logo, pela proposi»c~ao 5.5, H ¶e subgrupo de GL(2;R).
5.3.1 Problemas Complementares
1. Veri¯que, em cada um dos itens abaixo, se H ¶e subgrupo de G.
(a) H =
n¡
cos µ sen µ
¡sen µ cos µ
¢ ¯¯¯
µ 2 R
o
, (G; ¤) = (GL(2;R); ¢).
(b) H = fz 2 C j jzj = 1g, (G; ¤) = (C¤; ¢), sendo C¤ = C ¡ f0g e ¢ a
multiplica»c~ao em C.
(c) H = f0; 3; 6; 9; 12g, (G; ¤) = (Z15;+).
(d) H = fa + bp2 j a; b 2 Q; e a + bp2 6= 0g, (G; ¤) = (R¤; ¢), sendo
R¤ = R¡ f0g.
(e) H = fa + b 3p2 j a; b 2 Q; e a + b 3p26= 0g, (G; ¤) = (R¤; ¢), sendo
R¤ = R¡ f0g.
2. Sejam G um grupo e H1 e H2 dois subgrupos de G. Mostre que
(a) H1 \H2 ¶e subgrupo de G
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 95
(b) H1 [H2 ¶e subgrupo de G , H1 ½ H2 ou H2 ½ H1
3. Seja G um grupo ¯nito e seja H um subconjunto n~ao vazio de G. Mostre
que H ¶e subgrupo de G se e somente se H ¶e fechado na opera»c~ao de
G. [Sugest~ao: Mostre que, para cada elemento a 2 H, existe um inteiro
positivo n tal que an = e.] Mostre que esta propriedade n~ao se mant¶em se
G ¶e in¯nito.
4. Sejam G um grupo multiplicativo e seja H um subgrupo de G. Mostre que
se x 2 G, ent~ao xHx¡1 ¶e tamb¶em um subgrupo de G, sendo xHx¡1 =
fxhx¡1 j h 2 Hg.
5.4 Grupos C¶³clicos e seus Subgrupos
De¯ni»c~ao 5.6 (Pote^ncias de elementos de um grupo) Seja (G; ¤) um
grupo, de elemento neutro e. Para cada x 2 G, denotemos por x¡1 o inverso de
x em G.
Sendo a 2 G e n 2 Z, de¯ne-se a pote^ncia de base a e expoente n,
denotada por an, como sendo o elemento de G de¯nido por:
1. Se n = 0, an = a0 = e;
2. Para cada n 2 N, an+1 = an ¤ a;
3. Para cada n 2 N, a¡n = (an)¡1.
Note que, de acordo com a de¯ni»c~ao 5.6, an est¶a de¯nido para cada n natural,
pois est¶a de¯nido para n = 0 e, uma vez de¯nido para n = k, pelo item 2 est¶a
tamb¶em de¯nido para n = k+1. O item 3 estende a de¯ni»c~ao de an para valores
inteiros negativos de n.
Assim, por exemplo, sendo (G; ¤) um grupo de elemento neutro e, e sendo
a um elemento de G, pela de¯ni»c~ao 5.6,
a1 = a0 ¤ a = e ¤ a = a;
a2 = a1 ¤ a = a ¤ a;
a3 = a2 ¤ a = (a ¤ a) ¤ a (e denotamos a3 = a ¤ a ¤ a pois ¤ ¶e associativa)
Note tamb¶em que a¡1 tem duplo signi¯cado notacional, podendo ser tanto o
inverso de a, como a pote^ncia de base a e expoente ¡1 | sendo tudo a mesma
coisa pois, interpretado como pote^ncia, a¡1 ¶e o elemento inverso de a1 e a1 = a.
a¡2 = (a2)¡1 = (a ¤ a)¡1 = a¡1 ¤ a¡1
a¡3 = a¡1 ¤ a¡1 ¤ a¡1
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 96
Proposi»c~ao 5.6 Sejam (G; ¤) um grupo de elemento neutro e. Para cada x 2 G,
denotemos por x¡1 o inverso de x em G. Ent~ao, para quaisquer a; b 2 G, e
quaisquer m;n 2 Z, temos:
1. am ¤ an = am+n
2. (an)¡1 = a¡n
3. (am)n = amn
4. Se G ¶e um grupo comutativo, (a ¤ b)n = an ¤ bn
Demonstra»c~ao.. A demonstra»c~ao dos quatro itens ¶e deixada como exerc¶³cio. Sug-
est~ao: Prove cada item, primeiramente para n 2 N, por indu»c~ao sobre n (con-
siderando um valor ¯xo e gen¶erico para m, quando for o caso). Em seguida, prove
cada item para n < 0 fazendo, neste caso, n = ¡ jnj. Para isto, ser¶a necess¶ario
ainda provar o item 1, para m 2 N, por indu»c~ao sobre m.
De¯ni»c~ao 5.7 (M¶ultiplos de elementos de um grupo aditivo) Seja
(G;+) um grupo, de elemento neutro 0. Sendo a 2 G e n 2 Z, de¯ne-se o
m¶ultiplo de a com coe¯ciente n, denotado por na, como sendo o elemento
de G de¯nido por:
1. Se n = 0, na = 0a = 0;
2. Para cada n 2 N, (n+ 1)a = na+ a;
3. Para cada n 2 N, (¡n)a = ¡(na).
Assim, por exemplo, sendo G um grupo aditivo, se a 2 G, pela de¯ni»c~ao 5.7,
1a = (0 + 1)a = 0a+ a = 0 + a = a;
2a = (1 + 1)a = 1a+ a = a+ a;
3a = (2 + 1)a = 2a+ a = (a+ a) + a (e denotamos 3a = a+ a+ a pela
associatividade de +)
(¡1)a = ¡(1a) = ¡a
(¡2)a = ¡(2a) = ¡(a+ a) = ¡a+ (¡a) = ¡a¡ a
Abaixo enunciamos a vers~ao \aditiva" da proposi»c~ao 5.6.
Proposi»c~ao 5.7 Seja G um grupo aditivo. Para quaisquer a; b 2 G, e quaisquer
m;n 2 Z, temos:
1. (m+ n)a = ma+ na
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 97
2. ¡(na) = (¡n)a
3. (mn)a = m(na)
4. n(a+ b) = na+ nb
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 98
Proposi»c~ao 5.8
1. Seja (G; ¤) um grupo e seja a um elemento de G. O conjunto das pote^ncias
de base a e expoentes inteiros,
H = fan j n 2 Zg
¶e um subgrupo de G.
2. Seja G um grupo aditivo e seja a 2 G. O conjunto dos m¶ultiplos inteiros de
a,
K = fna j n 2 Zg
¶e um subgrupo de G.
Demonstra»c~ao.. Provamos o item 1 e deixamos o caso aditivo, item 2, como
exerc¶³cio. Sendo e o elemento neutro de G, temos que a0 = e, logo e 2 H.
Dados x; y 2 H, temos x = am e y = an, para certos inteiros m e n. Ent~ao,
pela proposi»c~ao 5.6,
x ¤ y¡1 = am ¤ (an)¡1 = am ¤ a¡n = am+(¡n) = am¡n
logo x ¤ y¡12 H.
Pela proposi»c~ao 5.5, H ¶e subgrupo de G.
De¯ni»c~ao 5.8 (Grupo c¶³clico) Seja (G; ¤) (ou (G;+)) um grupo e seja a 2 G.
O subgrupo de G,
H = fan j n 2 Zg (ou, respectivamente, H = fna j n 2 Zg)
¶e chamado grupo c¶³clico gerado por a. Tal grupo ¶e denotado por
H = hai
Assim,
hai = fam j m 2 Zg
ou, caso o grupo seja aditivo,
hai = fma j m 2 Zg
(Se existe b 2 G tal que G = hbi, G ¶e ele pr¶oprio um grupo c¶³clico, gerado por b).
Exemplo 5.8
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 99
1. (Z;+) ¶e um grupo c¶³clico pois, para cada n 2 Z, n = n ¢ 1, logo Z =
fn ¢ 1 j n 2 Zg = h1i.
2. (Zm;+) tamb¶em ¶e um grupo c¶³clico gerado por 1: se 8n 2 Zm, (n 2 Z),
n = n ¢ 1.
Proposi»c~ao 5.9 Seja G = hai um grupo c¶³clico ¯nito de ordem jGj = n. Ent~ao,
se G ¶e multiplicativo, teremos
G = fe; a; a2; : : : ; an¡1g
sendo aj 6= e para j = 1; : : : ; n¡ 1, e an = e.
No caso em que G ¶e um grupo aditivo, G = f0; a; 2a; : : : ; (n¡ 1)ag, sendo
(n¡ 1)a6= 0 e na = 0.
Demonstra»c~ao.. Sendo G = hai ¯nito, temos que o conjunto
P = fa; a2; a3; a4; : : :g = fam jm 2 Z;m > 0g
¶e ¯nito, por ser subconjunto de G.
Assim, existem expoentes inteiros positivos m1 e m2, com m1 < m2 e
am1 = am2 .
Logo, am2¡m1 = am2 ¢ a¡m1 = am2 ¢ (am1)¡1 = am1 ¢ (am1)¡1 = e.
Como m2 ¡ m1 > 0, conclu¶³mos que existe um inteiro positivo k tal que
ak = e.
Seja s o menor dos inteiros positivos k satisfazendo ak = e. Ent~ao as = e e
aj 6= e para j = 1; : : : ; s¡ 1. Mostraremos que G = fe; a; a2; : : : ; as¡1g.
De fato, seja x um elemento qualquer de G. Como G = hai, temos x = am,
para algum inteiro m.
Pelo teorema do algoritmo da divis~ao em Z, teorema 2.1, m = sq + r, para
certos inteiros q e r, com 0 · r < s. Logo
x = am = asq+r = (as)q ¢ ar = eq ¢ ar = e ¢ ar = ar
Como 0 · r · s¡ 1, temos x 2 fe; a; a2; : : : ; as¡1g.
Logo, G ½ fe; a; a2; : : : ; as¡1g e portanto, G = fe; a; a2; : : : ; as¡1g.
Os elementos do conjunto fe; a; : : : ; as¡1g s~ao distintos entre si, pois caso
contr¶ario teremos a¸ = e para algum inteiro positivo ¸, com ¸ < s.
Logo, jGj = s e portanto n = s. Assim sendo, G = fe; a; : : : ; an¡1g, sendo
an = e. Al¶em disso, aj 6= e para j = 1; : : : ; n¡ 1.
Proposi»c~ao 5.10 Todo subgrupo de um grupo c¶³clico ¶e tamb¶em c¶³clico. Mais
precisamente, se (G; ¤) ¶e um grupo c¶³clico gerado por a, e H ¶e um subgrupo de
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 100
G, ent~ao H = feg = hei (sendo e o elemento neutro de ¤) ou H = hasi, sendo s
o menor dos expoentes positivos n satisfazendo an 2 H.
No caso aditivo, isto ¶e, se ¤ = +, temos H = f0g = h0i ou H = hsai,
sendo s = minfn 2 Z j n > 0 e an 2 Hg.
Demonstra»c~ao.. (O caso aditivo ¶e deixado como exerc¶³cio)
Como G = hai = fam j m 2 Zg, temos que os elementos de H s~ao certas
pote^ncias de a.
Sendo H um subgrupo de G, podemos ter H = feg, caso em que H = hei.
Se H 6= feg, existe um expoente inteiro `, ` 6= 0, tal que a` 2 H. Nesse
caso a` e a¡` (= (a`)¡1) est~ao ambos em H. Logo, aj`j 2 H, e assim existe um
expoente positivo n tal que an 2 H.
Consideremos o conjunto
S = fn 2 Z j n > 0 e an 2 Hg
S 6= ¿ (j`j 2 S) e S ½ N. Pelo princ¶³pio do menor inteiro, S possui um menor
elemento s. Mostraremos que H ¶e um grupo c¶³clico gerado por as.
Dado x 2 H, temos x = am para algum inteiro m. Sendo s > 0, pelo
algoritmo da divis~ao em Z, existem q; r 2 Z, tal que
m = sq + r; sendo 0 · r < s
Da¶³, r = m¡ sq, e ent~ao
ar = am¡sq = am ¤ a¡sq = am ¤ ((as)q)¡1
Como x = am 2 H e y = as 2 H, temos que ar = x ¤ y¡1 2 H. Logo,
r = 0, pois 0 · r < s e s ¶e o menor dos expoentes positivos n tal que an 2 H.
Assim, m = sq e ent~ao x = am = asq = (as)q 2 hasi.
Logo, H ½ hasi.
A inclus~ao contr¶aria tamb¶em se veri¯ca: como as 2 H, temos que (as)q 2
H, para cada q 2 Z, logo hasi ½ H.
Portanto H = hasi.
Corol¶ario 5.1
1. Todo subgrupo de (Z;+) ¶e c¶³clico. Ademais, se H ¶e subgrupo de Z, ent~ao
H = f0g = h0i ou H = hai = fma j m 2 Zg, sendo a o menor inteiro
positivo em H.
2. Todo subgrupo de (Zm;+) ¶e c¶³clico. Se H ¶e subgrupo de Zm, ent~ao H =
f0g = h0i ou H = hai, sendo a o menor dos inteiros positivos n tal que
n 2 H.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 101
Exemplo 5.9 Em vista do corol¶ario 5.1, podemos fazer uma lista completa dos
subgrupos de Z, sendo eles
H0 = h0i = f0g,
H1 = h1i = Z,
H2 = h2i = 2Z = f2m j m 2 Zg = f: : : ;¡4;¡2; 0; 2; 4; 6; : : :g,
H3 = h3i = 3Z = f3m j m 2 Zg = f: : : ;¡6;¡3; 0; 3; 6; 9; : : :g, etc.
Tamb¶em podemos fazer uma lista dos subgrupos de (Z12;+), os quais s~ao
H0 = h0i = f0g,
H1 = h1i = Z12,
H2 = h2i = f0; 2; 4; 6; 8; 10g,
H3 = h3i = f0; 3; 6; 9g,
H4 = h4i = f0; 4; 8g, e
H6 = h6i = f0; 6g.
O leitor poder¶a veri¯car que h5i = h7i = h11i = h1i = Z12, h8i = h4i, e
que h9i = h3i. Portanto, (Z12;+) tem exatamente 6 subgrupos.
5.4.1 Problemas Complementares
1. Demonstre a proposi»c~ao 5.6.
2. Determine os 4 subgrupos de (Z6;+). Determine tamb¶em os 6 subgrupos
de grupo (S3; ±). Note que jZ6j = jS3j = 6. (jGj denota a ordem (n¶umero
de elementos) do grupo G, conforme estabelecido no cap¶³tulo 3.)
3. Determine os subgrupos do grupo multiplicativo U20 (exemplo 5.6).
4. Sejam a e b inteiros, e considere os subgrupos hai e hbi de (Z;+). Mostre
que
hai ½ hbi , bja
5. Mostre que, sendo a, b e m inteiros, (m ¸ 2),
(a) se ajb ent~ao, como subgrupos de Zm, hbi ½ hai;
(b) se mdc (a;m) = 1, ent~ao hai = Zm;
(c) se mdc (a;m) = d, ent~ao hai = hdi.
(d) De posse das informa»c~oes acima, determine todos os subgrupos de
(Z36;+).
(e) Mostre que se (G; ¢) ¶e um grupo de ordem 2, ent~ao G ¶e c¶³clico.
(f) Mostre que se (G; ¢) ¶e um grupo de ordem 3, ent~ao G ¶e c¶³clico. [Sug-
est~ao: Sendo G = fe; a; bg, e o elemento neutro de G, pense sobre o
que poderia ser o elemento ab.]
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 102
(g) Sendo (G; ¢) um grupo de elemento neutro e, mostre que se x2 = e,
para cada x em G, ent~ao G ¶e abeliano.
[Sugest~ao: Note que x2 = e) x¡1 = x. Tome dois elementos quais-
quer a e b em G e comece escrevendo ab = (ab)¡1 = : : :]
5.5 Homomor¯smos de Grupos
FreqÄuentemente dois grupos, aparentemente diferentes, comportam-se como se
fossem um mesmo grupo. Considere por exemplo, os grupos aditivos G = Z3 =
f[0]; [1]; [2]g, e o subgrupo G0 = f0; 2; 4g de Z6. Neste exemplo, para a 2 Z,
denotamos por [a] e a as classes de congrue^ncia de a, m¶odulo 3 e m¶odulo 6,
respectivamente, para evitar confus~ao.
Estabelecendo-se a seguinte corresponde^ncia biun¶³voca entre G e G0,
[0] $ 0
[1] $ 4
[2] $ 2
notamos que tal corresponde^ncia preserva somas, ou seja, [1] + [1] = [2] corre-
sponde a 4 + 4 = 2, [1] + [2] = [0] corresponde a 4 + 2 = 0, [2] + [2] = [1]
corresponde a 2 + 2 = 4, etc., ou seja, a soma de elementos de G corresponde µa
soma dos elementos correspondentes em G0.
Neste caso, dizemos que G e G0 s~ao grupos isomorfos pois, embora com
\roupagens" diferentes, comportam-se como se fossem um s¶o grupo.
De¯ni»c~ao 5.9 Sejam (G; ¤) e (G0;tu) dois grupos. Uma fun»c~ao f :G ! G0 ¶e
chamada um isomor¯smo entre G e G0, se:
1. f ¶e uma fun»c~ao bijetora, e
2. 8x; y 2 G; f(x ¤ y) = f(x)tu f(y)
Um conceito b¶asico menos exigente que o de isomor¯smo ¶e o de homomor-
¯smo de grupos.
De¯ni»c~ao 5.10 Sejam (G; ¤) e (G0;tu). Uma fun»c~ao f :G! G0 ¶e chamada um
homomor¯smo de grupos, se:
f(x ¤ y) = f(x)tu f(y);8x; y 2 G
De¯ni»c~ao 5.11 Sendo f :G! G0 um homomor¯smo de grupos, dizemos que
1. f ¶e um monomor¯smo se f ¶e fun»c~ao injetora;
2. f ¶e um epimor¯smo se f ¶e fun»c~ao sobrejetora;
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 103
3. f ¶e um automor¯smo se f ¶e um isomor¯smo e (G; ¤) = (G0;tu).
(Obviamente, um isomor¯smo ¶e simultaneamente um monomor¯smo e um epi-
mor¯smo).
De¯ni»c~ao 5.12 Sendo f : (G; ¤)! (G0;tu) um homomor¯smo de grupos, de¯ne-
se o n¶ucleoou kernel do homomor¯smo f como sendo o conjunto
K = Ker(f) = fx 2 G j f(x) = e0g
sendo e0 o elemento neutro de G0.
Proposi»c~ao 5.11 Seja f : (G; ¤) ! (G0;tu) um homomor¯smo de grupos, e seja
e o elemento neutro de G. Ent~ao
f ¶e um monomor¯smo se, e somente se, Ker(f) = feg
Observa»c~ao 5.6 Se dois grupos (G; ¤) e (G0;tu) s~ao isomorfos, ou seja, se existe
um isomor¯smo de grupos f :G! G0, denotamos
(G; ¤) »= (G0;tu)
µAs vezes, denotamos simplesmente G »= G0.
Se queremos deixar expl¶³cito o isomor¯smo f entre G e G0, podemos denotar
G
f»= G0 ou (G; ¤)
f»= (G;tu)
Proposi»c~ao 5.12 Seja f : (G; ¤)! (G0;tu) um homomor¯smo de grupos.
1. Sendo eG e eG0 os elementos neutros de G e G
0, respectivamente, tem-se
f(eG) = eG0 ;
2. 8x 2 G, f(x¡1) = [f(x)]¡1;
3. Ker(f) ¶e subgrupo de G;
4. O conjunto Im(f) = f(G) = ff(x) j x 2 Gg ¶e subgrupo de G0;
5. Se H ¶e subgrupo de G ent~ao f(H) = ff(x) j x 2 Hg ¶e subgrupo de G0;
6. Se H = hai, ent~ao f(H) = hf(a)i.
Demonstra»c~ao..
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 104
1. Sendo a = f(eG), temos que
atu a = f(eG)tu f(eG) = f(eG ¤ eG) = f(eG) = a
Assim, atu a = a = atu eG0, logo a = eG0 , ou seja, f(eG) = eG0.
2. Para x 2 G, f(x)tu f(x¡1) = f(x ¤ x¡1) = f(eG) = eG0 . Logo, em G0, o
elemento inverso de f(x) ¶e f(x¡1), ou seja, [f(x)]¡1 = f(x¡1).
3. Primeiramente, observamos que eG 2 Ker(f), pois f(eG) = eG0 .
Em seguida, tomando x; y 2 Ker(f), temos f(x) = f(y) = eG0 . Logo,
f(x ¤ y¡1) = f(x)tu f(y¡1) = f(x)tu [f(y)]¡1 = eG0 tu (eG0)¡1 = eG0
logo x ¤ y¡1 2 Ker(f). Pela proposi»c~ao 5.5, Ker(f) ¶e subgrupo de G.
4. Primeiramente, observamos que eG0 2 Im(f), pois eG0 = f(eG).
Em seguida, tomando z; w 2 Im(f), temos z = f(a) e w = f(b) para
certos elementos a e b de G. Logo,
z tuw¡1 = f(a)tu [f(b)]¡1 = f(a)tu f(b¡1) = f(a ¤ b¡1)
e assim z tuw¡1 2 Im(f). Pela proposi»c~ao 5.5, Im(f) ¶e subgrupo de G0.
A prova dos demais itens ¶e deixada para o leitor.
Exemplo 5.10 Seja i a unidade imagin¶aria dos n¶umeros complexos e seja
G = f1; i;¡1;¡ig
¶E f¶acil ver que, sendo ¢ a multiplica»c~ao de n¶umeros complexos, (G; ¢) ¶e um grupo,
sendo i¡1 = ¡i.
Considere o grupo aditivo (Z4;+) dos inteiros m¶odulo 4, e a fun»c~ao
f :Z4 ! G
de¯nida por f(m) = im, 8m 2 Z.
Notemos primeiramente que f ¶e bem de¯nida, isto ¶e, m = n ) im = in.
De fato:
m = n ) m
4´
n
) 4j(m¡ n)
) m¡ n = 4q; para algum q 2 Z
) m = n+ 4q
logo,
im = in+4q = in ¢ i4q = in ¢ (i4)q = in ¢ 1q = in ¢ 1 = in
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 105
¶E f¶acil ver que f ¶e bijetora, pois f(0) = i0 = 1, f(1) = i1 = i, f(2) = i2 =
¡1 e f(3) = i3 = ¡i.
Al¶em disso, f ¶e um homomor¯smo de grupos, pois
f(m+ n) = f(m+ n) = im+n = im ¢ in = f(m) ¢ f(n)
Portanto, f ¶e um isomor¯smo entre (Z4;+) e (G; ¢).
Teorema 5.1 Sejam (G; ¤), (G0;tu) e (G00; ±) tre^s grupos. Ent~ao
1. A aplica»c~ao (fun»c~ao) identidade idG:G! G ¶e um isomor¯smo. Ou seja,
G
id»= G
2. Se f :G ! G0 ¶e um isomor¯smo ent~ao a aplica»c~ao inversa f¡1:G0 ! G ¶e
tamb¶em um isomor¯smo. Ou seja,
G
f»= G0 ) G0
f¡1»= G
3. Se f :G ! G0 e h:G0 ! G00 s~ao isomor¯smos, ent~ao h ± f :G ! G00 ¶e
tamb¶em um isomor¯smo. Ou seja,
G
f»= G0 e G0
h»= G00 ) G
h±f»= G00
5.5.1 Problemas Complementares
1. Veri¯que, em cada caso, se f ¶e um homomor¯smo de grupos:
(a) f :Z! Z, f(m) = km, (k 2 Z; k6= 0), sendo Z = (Z;+).
(b) f : (R¤; ¢)! (R;+), f(x) = x+ 1.
(c) f : (R¤; ¢)! (R;+), f(x) = log jxj.
(d) f :Z! Z£ Z, f(n) = (n; 0), sendo Z e Z£ Z grupos aditivos.
(e) f :Z£ Z! Z, f(m;n) = m¡ n, sendo Z e Z£ Z grupos aditivos.
(f) f : (Z;+)! (Q¤; ¢), f(x) = 2x.
2. Determine o kernel (n¶ucleo) e a imagem de cada homomor¯smo do problema
1.
3. Seja a um elemento (¯xado) de um grupo (G; ¢). Mostre que a aplica»c~ao
f :G! G, de¯nida por f(x) = a ¢ x ¢ a¡1, 8x 2 G, ¶e um isomomor¯smo.
4. Neste problema, estabeleceremos o Teorema de Cayley: Todo grupo G ¶e
isomorfo a um subgrupo do grupo das permuta»c~oes do conjunto G.
Sendo (G; ¤) um grupo, considere o conjunto
T (G) = fTg:G! G j g 2 G;Tg(x) = g ¤ x; 8x 2 Gg
A aplica»c~ao Tg ¶e uma transla»c~ao µa esquerda, em G, determinada pelo
elemento g.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 106
(a) Mostre que (T (G); ±) ¶e um grupo (o grupo das transla»c~oes esquerdas
em G). Veri¯que que T (G) ¶e subgrupo do grupo S(G) das permu-
ta»c~oes do conjunto G.
(b) Considere a aplica»c~ao f : (G; ¤) ! (S(G); ±), de¯nida por f(g) = Tg,
8g 2 G.
i. Mostre que f ¶e um monomor¯smo.
ii. Mostre que (G; ¤) »= (T (G); ±). Logo, todo grupo G ¶e isomorfo a
um subgrupo do grupo das permuta»c~oes do conjunto G.
iii. Ilustre o resultado do teorema de Cayley tomando como exemplo
o grupo aditivo Z4. Determine as permuta»c~oes do conjunto Z4
que constituem os elementos do grupo de transla»c~oes esquerdas
T (Z4).
iv. Mostre que se G ¶e um grupo ¯nito de n elementos, ent~ao G ¶e
isomorfo a um certo subgrupo do grupo Sn.
5. Seja G um grupo e seja Aut(G) o conjunto dos automor¯smos de G (iso-
mor¯smos de G em G).
(a) Mostre que (Aut(G); ±) ¶e um grupo (o grupo dos automor¯smos de
G).
(b) Mostre que Aut(Z) »= Z2. [Sugest~ao:Como grupo aditivo Z = h1i.
Note inicialmente que, sendo f :Z ! Z um automor¯smo, teremos
f(h1i) = hf(1)i = Z, logo f(1) tamb¶em ¶e gerador do grupo c¶³clico Z.
Deduza que ent~ao f(1) = §1 e que ent~ao f(m) = m (8m 2 Z) ou
f(m) = ¡m (8m 2 Z)].]
(c) Mostre que, sendo n ¸ 2, jAut(Zn)j = '(n), sendo ':N¤ ! N¤ a
fun»c~ao ¯ de Euler, de¯nida por
'(n) = n¶umero de inteiros positivos n~ao excedendo n, primos com
n
[Sugest~ao:Vale aqui sugest~ao an¶aloga µa do problema 5b, sendo que aqui
teremos f(1) gerador de Zn. Mostre ent~ao que sendo a um inteiro, a
¶e gerador do grupo c¶³clico Zn se e somente se a e n s~ao primos entre
si.] (por exemplo '(1) = '(2) = 1, '(3) = '(4) = 2, '(5) = 4,
'(6) = 2, '(7) = 6, '(8) = 4).
6. Seja G um grupo. Mostre que a aplica»c~ao f :G ! G, de¯nida por f(x) =
x¡1 (8x 2 G), ¶e um homomor¯smo se e somente se G ¶e abeliano.
5.6 Classes Laterais de um Subgrupo e o Teorema
de Lagrange
Um dos objetivos desta se»c~ao ¶e mostrar que se G ¶e um grupo ¯nito e H ¶e um sub-
grupo de G, ent~ao jHj divide jGj, resultado conhecido com teorema de Lagrange.
Assim, por exemplo, um grupo G de 10 elementos s¶o poder¶a vir a ter subgrupos
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 107
de 1, 2, 5 ou 10 elementos (sendo poss¶³vel que G tenha v¶arios subgrupos de 2
elementos).
Para demonstrar o teorema de Lagrange, s~ao introduzidas as classes laterais
do subgrupo H. No caso especial em que H ¶e subgrupo normal, assunto da
pr¶oxima se»c~ao, veremos que as classes laterais de H constituem os elementos do
grupo quociente de G por H.
De¯ni»c~ao 5.13 Sejam (G; ¤) um grupo e H um subgrupo de G. Para cada
elemento a 2 G, de¯ne-se a classe lateral direita de H, determinada por a,
como sendo o conjunto
H ¤ a = fh ¤ a jh 2 Hg
Analogamente, de¯nimos
a ¤H = fa ¤ h jh 2 Hg
como sendo a classe lateral esquerda de H, determinada por a.
Observa»c~ao 5.7 Se G ¶e um grupo abeliano, ent~ao H ¤ a = a ¤ H, 8a 2 G.
Por¶em, se G n~ao for abeliano, ¶e natural que possamos ter H ¤ a6= a ¤ H, para
certos elementos a de G.
No caso em que H ¤a = a¤H, para todo a 2 G, H ¶e chamado um subgrupo
normal de G.
Exemplo 5.11 Seja (G; ¤) = (Z12;+) e seja H = h3i = f0; 3; 6; 9g.
Quais s~ao as classes laterais direitas do subgrupo H? Para cada elemento
a 2 Z12 (a 2 Z), a classe lateral direita de H, determinada por a, ¶e de¯nida como
sendo o conjunto H + a = fh+ a jh 2 Hg.
Ent~ao temos:
H + 0 = H = f0; 3; 6; 9g
H + 1 = f1; 4; 7; 10g
H + 2 = f2; 5; 8; 11g
Veri¯ca-se tamb¶em que
H + 0 = H + 3 = H + 6 = H + 9
H + 1 = H + 4 = H + 7 = H + 10
H + 2 = H + 5 = H + 8 = H + 11
Assim, existem apenas tre^s classes laterais direitas de H em Z12, que s~ao as
classesH + 0, H + 1 e H + 2.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 108
Observa»c~ao 5.8 Se G ¶e um grupo e H ¶e um subgrupo de G, denotaremos por
G=H o conjunto das classes laterais direitas de H.
No exemplo acima,
G=H = Z12=H = fH;H + 1; H + 2g
ou seja,
G=H = ff0; 3; 6; 9g; f1; 4; 7; 10g; f2; 6; 8; 11gg
Alguns fatos observados no exemplo dado acima, bem como outros fatos
ainda n~ao claramente observados, s~ao enunciados no pr¶oximo
Teorema 5.2 Sejam (G; ¤) um grupo e H um subgrupo de G. Ent~ao
1. 8a; b 2 G, tem-se
H ¤ a = H ¤ b, a ¤ b¡1 2 H
Se G ¶e um grupo aditivo, temos: H + a = H + b, a¡ b 2 H.
2. 8a; b 2 G, se b 2 H ¤ a ent~ao H ¤ b = H ¤ a.
3. Duas classes laterais direitas de H s~ao iguais ou disjuntas. Isto ¶e,
8a; b 2 G;H ¤ a = H ¤ b ou H ¤ a \ H ¤ b = ¿
Em particular, H ¤ a = H , a 2 H.
4. Se H ¶e um subgrupo ¯nito, ent~ao, para cada a 2 G, o n¶umero de elementos
da classe lateral direita H ¤ a (que denotaremos tamb¶em por jH ¤ aj) ¶e
precisamente o n¶umero de elementos de H. Ou seja, jH ¤aj = jHj, 8a 2 G.
5. A reuni~ao de todas as classes laterais direitas de H ¶e igual a G. Simbolica-
mente, [
a2G
H ¤ a = G
Demonstra»c~ao.. Sejam a e b elementos de G.
1. ()) Sendo e o elemento neutro de G, temos que a = e ¤ a 2 H ¤ a
Se H ¤ a = H ¤ b ent~ao como a 2 H ¤ a, temos a 2 H ¤ b, logo
a = h ¤ b, para algum h 2 H, e ent~ao a ¤ b¡1 = h 2 H.
(() Suponhamos agora que a ¤ b¡1 2 H. Ent~ao temos:
i. H ¤ a ½ H ¤ b:
Tome x 2 H ¤ a. Temos x = h ¤ a, para algum h 2 H.
Da¶³,
x = h¤a = (h¤a)¤ e = (h¤a)¤ (b¡1 ¤ b) = (h¤ (a¤ b¡1))¤ b
Como h ¤ (a ¤ b¡1) 2 H, deduzimos que x 2 H ¤ b.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 109
ii. H ¤ b ½ H ¤ a:
Como a¤b¡1 2 H, temos tamb¶em b¤a¡1 2 H, pois b¤a¡1 =
(a ¤ b¡1)¡1.
Tome agora x 2 H ¤ b. Ent~ao x = h ¤ b, para algum h 2 H.
Da¶³,
x = h¤ b = (h¤ b)¤ e = (h¤ b)¤ (a¡1 ¤a) = (h¤ (b¤a¡1))¤a
Logo, como h ¤ (b ¤ a¡1) 2 H, temos x 2 H ¤ a.
2. Suponhamos que b 2 H ¤ a. Ent~ao b = h ¤ a, para algum h 2 H, e
portanto h = b ¤ a¡1, de onde deduzimos que b ¤ a¡1 2 H. Da¶³, pelo item
1, H ¤ a = H ¤ b.
3. Para provar que H ¤a e H ¤b s~ao iguais ou disjuntas, suponhamos que H ¤a
e H ¤ b n~ao s~ao disjuntas.
Ent~ao existe x 2 G tal que x 2 H ¤ a \ H ¤ b. Ent~ao x = h ¤ a = h0 ¤ b,
para certos elementos h; h0 2 H.
Da¶³, a¤b¡1 = h¡1¤h0. Logo, a¤b¡1 2 H e ent~ao, pelo item 1, H¤a = H¤b.
4. Considere a aplica»c~ao f :H ! H ¤ a, de¯nida por f(h) = h ¤ a, 8h 2 H.
Provemos que f ¶e bijetora.
f ¶e claramente sobrejetora, pois cada elemento de H ¤ a ¶e da forma h ¤ a,
para algum h 2 H, logo da forma f(h) para algum h 2 H.
f ¶e injetora, pois se f(h1) = f(h2) ent~ao h1 ¤ a = h2 ¤ a e ent~ao, pelo
cancelamento em G, h1 = h2.
Assim, f estabelece uma corresponde^ncia biun¶³voca (fun»c~ao bijetora) entre
H e H ¤ a. Se H for ¯nito, teremos ent~ao jHj = jH ¤ aj.
5. Para cada elemento x 2 G, temos x 2 H¤x, logo x 2 Sx2GH¤x. Portanto
G ½ Sx2GH ¤ x
Por outro lado, x ¤H ½ G, para cada x 2 G. Logo Sx2GH ¤ x ½ G.
Assim, G =
S
x2GH ¤ x.
Observa»c~ao 5.9 Observemos novamente as classes laterais do exemplo 5.11, em
que (G; ¤) = (Z12;+) e H = h3i = f0; 3; 6; 9g.
Observa-se imediatamente que jH + aj = jHj = 4, 8a 2 Z12, e que duas
classes laterais H + a e H + b, com a e b em Z12, s~ao iguais ou disjuntas.
Observe por exemplo, que H + 0 = H + 3 = H + 6 = H + 9 = H, j¶a que
0; 3; 6 e 9 s~ao os elementos de H.
Por outro lado, j¶a teria sido poss¶³vel prever que H + 1 = H + 4, pois
1 ¡ 4 = ¡3 = 9 2 H. Igualmente, podemos a¯rmar que H + 11 = H + 5, pois
11¡ 5 = 6 2 H.
Note ainda que, como H +1 = f1; 4; 7; 10g, temos ent~ao H +1 = H +4 =
H + 7 = H + 10.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 110
Teorema 5.3 (Teorema de Lagrange) Sejam G um grupo ¯nito, H um sub-
grupo de G e G=H o conjunto das classes laterais direitas de H em G.
Ent~ao jHj divide jGj. Mais precisamente,
jG=Hj = jGjjHj
Demonstra»c~ao.. Sendo G um grupo ¯nito, temos que existe um n¶umero ¯nito
de classes laterais direitas de H, j¶a que a reuni~ao de todas elas ¶e igual a G.
Suponhamos ent~ao que existem s classes laterais direitas de H, s ¸ 1, duas a
duas distintas, ou seja,
G=H = fH ¤ x1; : : : ; H ¤ xsg
para certos elementos x1; : : : ; xs de G, sendo as classes H¤x1; : : : ;H ¤xs distintas
entre si.
Como classes laterais distintas s~ao tamb¶em disjuntas, teremos
G = H ¤ x1 [ ¢ ¢ ¢ [ H ¤ xs
e, al¶em disso,
jGj = jH ¤ x1j+ ¢ ¢ ¢+ jH ¤ xsj
Sendo por¶em jH ¤ xkj = jHj, para cada k, 1 · k · s, temos
jGj = jHj+ ¢ ¢ ¢+ jHj| {z }
s termos
= s ¢ jHj
Logo,
jGj
jHj = s = jG=Hj
Teorema 5.4 (Rec¶³proca do teorema 5.3 para grupos c¶³clicos)
Seja G = hai um grupo c¶³clico ¯nito de ordem n. Ent~ao para cada inteiro positivo
d, divisor de n, existe um (¶unico) subgrupo Hd de G, com jHdj = d. Explicita-
mente, Hd = han=di.
No caso aditivo, sendo n=d = m, Hd = hmai.
Exemplo 5.12 Seja G = hai um grupo c¶³clico multiplicativo e suponhamos jGj =
12.
Ent~ao, pelo teorema 5.9, G = fe; a; a2; a3; : : : ; a10; a11g, sendo a12 = e.
Os divisores de 12 s~ao 1; 2; 3; 4; 6 e 12.
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 111
Os subgrupos cujas ordens s~ao tais divisores s~ao, respectivamente
H1 = ha12=1i = hei = feg
H2 = ha12=2i = ha6i = fe; a6g
H3 = ha12=3i = ha4i = fe; a4; a8g
H4 = ha12=4i = ha3i = fe; a3; a6; a9g
H6 = ha12=6i = ha2i = fe; a2; a4; a6; a8; a10g
H12 = ha12=12i = hai = G
5.6.1 Problemas Complementares
1. Determine as classes laterais de H = h5i em (Z15;+).
2. Considere o grupo S3 das permuta»c~oes de A = f1; 2; 3g. Sendo
H =
½µ
1 2 3
1 2 3
¶
;
µ
1 2 3
2 3 1
¶
;
µ
1 2 3
3 1 2
¶¾
;
veri¯que que H ¶e subgrupo de S3 e determine suas classes laterais direitas
em S3.
3. Determine as classes laterais de H = 4Z = h4i em (Z;+).
4. Mostre que se (G; ¤) ¶e um grupo ¯nito e jGj = p, com p primo, ent~ao
(a) os ¶unicos subgrupos de G s~ao G e feg.
(b) G ¶e um grupo c¶³clico.
5. Mostre que se G ¶e um grupo que possui exatamente dois subgrupos ent~ao
jGj ¶e um n¶umero primo. [Sugest~ao:Se G possui exatamente dois subgrupos,
eles s~ao G e feg, sendo G6= feg. Considere a 2 G, a6= e e o subgrupo
H = hai. Como H 6= feg, temos H = G, logo G ¶e c¶³clico. Pelo teorema
5.4, p¶agina 110, para cada inteiro positivo d, divisor de jGj, existe um
subgrupo de G de ordem d. Agora use o fato de que G possui apenas dois
subgrupos.]
6. Mostre que todo grupo de ordem 4 ¶e abeliano. [Sugest~ao:Para cada elemento
a 2 G, a6= e, tem-se, pelo resultado do problema 9, o(a) j 4, logo o(a) = 2
ou 4. Considere as duas possibilidades: (1a) existe a 2 G tal que o(a) = 4;
(2a) 8a 2 G; a6= e, tem-se o(a) = 2.]
7. Mostre que todo grupo de ordem 4 ¶e isomorfo a Z4 ou a Z2 £ Z2. [Sug-
est~ao:Seja (G; ¢) um grupo de ordem 4. Se G ¶e c¶³clico, G = hai, ent~ao
G = fe; a; a2; a3g, sendo a4 = e. Neste caso, a aplica»c~ao f :G ! Z4,
f(an) = n, ¶e um isomor¯smo. Se G n~ao ¶e c¶³clico, pelo resultado do proble-
ma 6, G = fe; a; b; cg, sendo a2 = b2 = c2 = e, e neste caso G ¶e tamb¶em
abeliano. Construa as t¶abuas dos grupos (G; ¢) e (Z2 £ Z2;+). Mostre
ent~ao que (G; ¢) »= (Z2 £ Z2;+), comparando as t¶abuas dos dois grupos.]
Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 112
8. Mostre que todo grupo G de ordem jGj · 5 ¶e abeliano.
9. Seja G um grupo ¯nito de elemento neutro e. Ent~ao
(a) 8a 2 G, o(a) divide jGj
(b) 8a 2 G, ajGj = e.
(c) 8a 2 G, a6= e, am = e) jGj jm.