1 CalculoII PROVAUNIVESP_P3_GABARITO

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 4
o bimestre ano: 2018 | 1sem P3 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina MCA502 - Cálculo II 
 
Questão 1 (1,0 ponto) 
A temperatura de uma placa plana é dada por 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦) onde x e y são as coordenadas de um ponto 
genérico da placa. Um besouro anda sobre a placa seguindo uma trajetória 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) e 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡), onde t é o 
tempo em segundos. Sabe-se que quando 𝑡𝑡 = 5 o besouro está na posição (2,4) e que 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(5) = −1, 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(5) =2, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(2,4) = 3 e 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(2,4) = 2. Podemos afirmar: 
a) No instante t = 5 a temperatura no besouro está aumentando 2 unidades por segundo. 
b) No instante t = 5 a temperatura no besouro está diminuindo 2 unidades por segundo. 
c) No instante t = 5 a temperatura no besouro está aumentando 1 unidade por segundo. 
d) No instante t = 5 a temperatura no besouro está diminuindo 1 unidades por segundo. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 2 (1,0 ponto) 
A massa do retângulo 𝑅𝑅 = [2, 4]𝑋𝑋[0, 3] com densidade 𝛿𝛿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑦𝑦2 é: 
a) 18 
b) 54 
c) 9 
d) 6 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 3 (1,0 ponto) 
Calcule a massa do arco de hélice ℎ(𝑡𝑡) = (3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, 3𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 4𝑡𝑡), 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋
2
 com densidade 𝛿𝛿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 4𝑧𝑧. 
a) 10𝜋𝜋2 
b) 10𝜋𝜋 
c) 20𝜋𝜋2 
d) 15𝜋𝜋2 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 4 (1,0 ponto) 
A equação da reta tangente à curva 𝛾𝛾(𝑡𝑡) = (𝑡𝑡3, 5𝑡𝑡2, 𝑡𝑡) no ponto 𝛾𝛾(2) é: 
a) 𝑋𝑋(𝑐𝑐) = (8 − 12𝑐𝑐, 20 − 20𝑐𝑐, 2 + 𝑐𝑐), 𝑐𝑐 ∈ ℝ 
b) 𝑋𝑋(𝑐𝑐) = (8 + 12𝑐𝑐, 20 + 20𝑐𝑐, 2 + 𝑐𝑐), 𝑐𝑐 ∈ ℝ 
c) 𝑋𝑋(𝑐𝑐) = (8 − 12𝑐𝑐, 20 + 20𝑐𝑐, 2 + 𝑐𝑐), 𝑐𝑐 ∈ ℝ 
d) 𝑋𝑋(𝑐𝑐) = (8 + 12𝑐𝑐, 20 − 20𝑐𝑐, 2 + 𝑐𝑐), 𝑐𝑐 ∈ ℝ 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
CÓDIGO DA PROVA 
2 
 
Questão 5 (1,0 ponto) 
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 2𝑦𝑦𝚤𝚤 + 𝑥𝑥2𝚥𝚥 + 𝑥𝑥𝑧𝑧𝑘𝑘�⃗ 
sobre a trajetória 𝛾𝛾(𝑡𝑡) = (2𝑡𝑡, 3𝑡𝑡, 3𝑡𝑡) 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 3. 
a) 8 
b) 81 
c) 162 
d) 324 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 6 (1,0 ponto) 
Determine a equação do plano tangente à superfície S de equação 3𝑦𝑦𝑧𝑧 − 𝑥𝑥2𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑧𝑧2 = 3 no ponto (1,2,1). 
a) −5𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 − 3 = 0 
b) 5𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 + 3 = 0 
c) 5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 + 3 = 0 
d) −5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 + 3 = 0 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 7 (1,0 ponto) 
Calcule ∬ (𝑦𝑦2 − 3𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∧ 𝑑𝑑𝑧𝑧 + (8𝑦𝑦 − 𝑠𝑠7𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧 ∧ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 5𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑆𝑆 através da superfície S que é o bordo do 
elipsoide 𝑑𝑑
2
9
+ 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2
25
≤ 1 orientada com a normal que aponta para dentro. 
a) 60𝜋𝜋 
b) −200𝜋𝜋 
c) −240𝜋𝜋 
d) −36𝜋𝜋 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 8 (1,0 ponto) 
Calcule a massa da placa plana descrita por 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 9, 𝑦𝑦 ≥ 0, com densidade 𝛿𝛿 = 𝛿𝛿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2. 
a) 𝜋𝜋 
b) 3𝜋𝜋 
c) 9𝜋𝜋 
d) 18𝜋𝜋 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 9 (1,0 ponto) 
Calcule ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦 𝛾𝛾 , sendo 𝛾𝛾 a curva 
esboçada ao lado, ligando o ponto (-3, 0) ao ponto (3, 0). 
a) 1 
b) 6 
c) 𝜋𝜋 
d) -6 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
 
Questão 10 (1,0 ponto) 
Sobre a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −8𝑥𝑥2 − 4𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 7 é correto afirmar: 
a) (0,0) é seu único ponto crítico e é um ponto de máximo local. 
b) (0,0) é seu único ponto crítico e é um ponto de mínimo local. 
c) (0,0) é seu único ponto crítico e não é nem ponto de máximo nem de mínimo local. 
d) (1,1) é seu único ponto crítico e não é nem ponto de máximo nem de mínimo local. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
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GABARITO 
 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 4
o bimestre P3 
 
Disciplina: MCA502 - Cálculo II 
 
Questão 1 
Alternativa C: 𝑑𝑑𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡) = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡)) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡) + 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡)) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡)⇒ 
 𝑑𝑑𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑑𝑑
(5) = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(2,4) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(5) + 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(2,4) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(5) = 3 ∙ (−1) + 2 ∙ 2 = 1 
Assim no instante t = 5 a temperatura no besouro está aumentando 1 unidades por segundo. 
 
Questão 2 
Alternativa A: Massa ∬ 𝛿𝛿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝑅𝑅 ∫ ∫ 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥3042 = ∫ 13 𝑦𝑦3|3042 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 9𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1842 
 
Questão 3 
Alternativa A: Massa = ∫ 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑐𝑐 = ∫ ‖ℎ′(𝑡𝑡)‖𝜋𝜋0ℎ 𝛿𝛿�ℎ(𝑡𝑡)�𝑑𝑑𝑡𝑡 
ℎ(𝑡𝑡) = (3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, 3𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 4𝑡𝑡)) ⇒ℎ′(𝑡𝑡) = (−3𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, 4) 
‖ℎ′(𝑡𝑡)‖ = �9𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑡𝑡 + 9𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑡𝑡 + 16 = √25 = 5 
e também 𝛿𝛿�ℎ(𝑡𝑡)� = 4𝑧𝑧 = 16𝑡𝑡 
Massa= ∫ 5 ∙𝜋𝜋20 16𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 = 40𝑡𝑡2|𝜋𝜋20 = 10𝜋𝜋2 
 
Questão 4 
Alternativa B: 𝛾𝛾(𝑡𝑡) = (𝑡𝑡3, 5𝑡𝑡2, 𝑡𝑡)⇒ 𝛾𝛾(2) = (8, 20, 2) 
𝛾𝛾′(𝑡𝑡) = (3𝑡𝑡2, 10𝑡𝑡, 1) 
e 
𝛾𝛾′(2) = (12, 20, 1) 
A reta tangente é 𝑋𝑋(𝑐𝑐) = (8, 20, 2) + 𝑐𝑐(12, 20, 1) = (8 + 12𝑐𝑐, 20 + 20𝑐𝑐, 2 + 𝑐𝑐), 𝑐𝑐 ∈ ℝ 
 
Questão 5 
Alternativa D: Sendo 𝛾𝛾(𝑡𝑡) = (2𝑡𝑡, 3𝑡𝑡, 3𝑡𝑡) 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 3 
temos 𝛾𝛾′(𝑡𝑡) = (2, 3, 3) 
𝜏𝜏 = � 2𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑧𝑧𝑑𝑑𝑧𝑧
𝛾𝛾
= � (6𝑡𝑡 ∙ 2 + 4𝑡𝑡2 ∙ 3 + 2𝑡𝑡 ∙ 3𝑡𝑡 ∙ 3)𝑑𝑑𝑡𝑡 = � (12𝑡𝑡 + 30𝑡𝑡2)𝑑𝑑𝑡𝑡 = (6𝑡𝑡2 + 10𝑡𝑡3)|30 =3030 = 54 + 270 = 324 
 
Questão 6 
Alternativa E: A superfície S é a superfície de nível 3 da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑦𝑦𝑧𝑧 − 𝑥𝑥2𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑧𝑧2. 
O gradiente de 𝑓𝑓 num ponto genérico é dado por ∇𝑓𝑓����⃗ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (−2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑧𝑧2,− 𝑥𝑥2 + 3𝑧𝑧, 3𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥𝑧𝑧). 
No ponto (1,2,1) obtemos ∇𝑓𝑓����⃗ (1,2,1) = (−5, 2, 4), que é perpendicular à S e ao seu plano tangente no ponto. 
Assim o plano terá equação −5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 + 𝑑𝑑 = 0. 
Como (1,2,1) é um ponto do plano −5 + 4 + 4 + 𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑 = −3, logo o plano é −5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 − 3 = 0. 
 
 
4 
 
Questão 7 
Alternativa B: 
Pelo Teorema de Gauss vale: 
𝐼𝐼 = ∬ (𝑦𝑦2 − 3𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∧ 𝑑𝑑𝑧𝑧 + (8𝑦𝑦 − 𝑠𝑠7𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧 ∧ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 5𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑆𝑆 = − ∭ (𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷�⃗�𝐹𝑉𝑉 )𝑑𝑑𝑑𝑑 == −∭ (𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑 + 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑 + 𝜕𝜕𝑅𝑅𝜕𝜕𝑧𝑧𝑉𝑉 )𝑑𝑑𝑑𝑑 
O sinal de menos na frente da integral tripla é devido à orientação “para dentro”. 
𝐼𝐼 = −� (−3 + 8 + 5)𝑑𝑑𝑑𝑑 = −10𝑑𝑑𝑐𝑐𝑉𝑉(𝑑𝑑) = −10 ∙ 43 .𝜋𝜋. 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐 = −10 ∙ 43 .𝜋𝜋. 3 ∙ 1 ∙ 5 = −200𝜋𝜋𝑉𝑉 
 
Questão 8 
Alternativa C: 
Massa = ∬ 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑𝐷𝐷 = ∬ �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑑𝑑𝐷𝐷 
Vamos usar coordenadas polares no cálculo da integral dupla 
Parametrização: 
𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝜋𝜋 , (𝑦𝑦 ≥ 0) 
𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 3 
Jacobiano = 𝑟𝑟 
∬ �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑑𝑑𝐷𝐷 = ∫ ∫ 𝑟𝑟 ∙ 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑧𝑧𝑑𝑑𝑟𝑟 = ∫ 13 𝑟𝑟3|30𝑑𝑑𝑟𝑟 =𝜋𝜋030𝜋𝜋0 = ∫ 9𝜋𝜋0 𝑑𝑑𝑟𝑟 = 9𝜋𝜋. 
 
Questão 9 
Alternativa B: 
Como a equação da curva não é fornecida, não conseguimos aplicar a definição de integral de linha. 
O campo é conservativo. Vamos obter sua função potencial: 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦2 ⇒ 𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦2 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −2𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦2 ⇒ 𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦2 + ℎ(𝑥𝑥) 
Comparando as duas expressões, concluímos que 𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦2 é uma função potencial 
� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑥𝑥− 2𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦
𝛾𝛾
= 𝜕𝜕(3,0) − 𝜕𝜕(−3,0) = 3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐0 − (−3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐0) = 6 
 
Questão 10 
Alternativa A: 
𝜕𝜕𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑥𝑥
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −16𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 0 
𝜕𝜕𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑦𝑦
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −8𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 0 
Logo o único ponto crítico é (0,0) 
 𝜕𝜕
𝑒𝑒𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑑𝑑2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −16, 
𝜕𝜕𝑒𝑒𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1 
e 𝜕𝜕𝑒𝑒𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑑𝑑2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −8 
segue que 𝐷𝐷 = � 𝜕𝜕𝑒𝑒𝑓𝑓𝜕𝜕𝑑𝑑2 (0,0) 𝜕𝜕𝑒𝑒𝑓𝑓𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑 (0,0)
𝜕𝜕𝑒𝑒𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑
(0,0) 𝜕𝜕𝑒𝑒𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑑𝑑2
(0,0) � = �−16 11 −8� = 128 − 1 = 127 > 0 
Como 𝜕𝜕
𝑒𝑒𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑑𝑑2
(0,0) = −16 < 0 e 𝐷𝐷 = 127 > 0, segue que (0,0) é ponto de máximo local.