EngProdComp 2017 MCA502CalculoII P2 GABARITO
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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Produção/ 
Engenharia de Computação 
bimestre:\u2003\u200b4\u200bo\u200b bimestre ano: \u200b 2018 | 1sem P2 
\u25cf Preencha atentamente o cabeçalho de\u200b TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA\u200b que você utilizar. 
\u25cf Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina MCA502 - Cálculo II 
 
\u25cf O aluno deve trazer o resumo teórico em formato impresso. O material está disponível no ava. 
 
Questão 1\u200b \u200b(1,0 ponto) 
A temperatura de uma placa plana é dada por onde x e y são as coordenadas de um ponto(x, )T = T y 
genérico da placa. Um besouro anda sobre a placa seguindo uma trajetória e , onde t é o(t)x = x y = y (t) 
tempo em segundos. Sabe-se que quando o besouro está na posição (2,4) e que t = 5 \u2212 ,dt
dx (5) = 1 dt
dy (5) = 2
, e . Podemos afirmar:\u2202x
\u2202T (2, )4 = 3 \u2202y
\u2202T (2, )4 = 2 
a) No instante t = 5 a temperatura no besouro está aumentando 2 unidades por segundo. 
b) No instante t = 5 a temperatura no besouro está diminuindo 2 unidades por segundo. 
c) No instante t = 5 a temperatura no besouro está aumentando 1 unidade por segundo. 
d) No instante t = 5 a temperatura no besouro está diminuindo 1 unidades por segundo. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 2\u200b \u200b(1,0 ponto) 
A massa do retângulo com densidade é:R = 2, 4[ ] X 0, 3[ ] \u3b4 (x, )y = y2 
a) 18 
b) 54 
c) 9 
d) 6 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 3\u200b \u200b(1,0 ponto) 
Calcule a massa do arco de hélice com densidade .0\u2264t\u2264h (t) = (3cost, 3sent, 4t) , 2
\u3c0 z\u3b4 (x, , )y z = 4 
a) 0\u3c01 2 
b) 0\u3c01 
c) 0\u3c02 2 
d) 5\u3c01 2 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 4\u200b \u200b(1,0 ponto) 
A equação da reta tangente à curva no ponto é: \u3b3 (t) = t , t ,( 3 5 2 t) (2)\u3b3 
a) s\u2208RX (s) = (8 2s, 20 0s, 2 )\u2212 1 \u2212 2 + s , 
b) s\u2208RX (s) = (8 2s, 20 0s, 2 )+ 1 + 2 + s , 
c) s\u2208RX (s) = (8 2s, 20 0s, 2 )\u2212 1 + 2 + s , 
d) s\u2208RX (s) = (8 2s, 20 0s, 2 )+ 1 \u2212 2 + s , 
1 
 
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 5\u200b \u200b(1,0 ponto) 
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial yi j zkF
\u2192
(x, , )y z = 2
\u2192
+ x2
\u2192
+ x
\u2192
 
sobre a trajetória .2t, 3t, 3t)\u3b3 (t) = ( \u2264t\u226430 
a) 8 
b) 81 
c) 162 
d) 324 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 6\u200b \u200b(1,0 ponto) 
Determine a equação do plano tangente à superfície S de equação no ponto .yz y z3 \u2212 x2 \u2212 x 2 = 3 (1, , )2 1 
a) x y z\u2212 5 \u2212 2 + 4 \u2212 3 = 0 
b) x y z5 \u2212 2 + 4 + 3 = 0 
c) x y z5 + 2 + 4 + 3 = 0 
d) x y z\u2212 5 + 2 + 4 + 3 = 0 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 7\u200b \u200b(1,0 ponto) 
Calcule através da superfície S que é o bordo do elipsoide(y x)dy\u2227dz 8y )dz\u2227dx 5zdx\u2227dy \u222c S 2 \u2212 3 + ( \u2212 e7z + 
 orientada com a normal que aponta para dentro.\u22641 9
x2 + y
2
+ z
2
25 
a) 0\u3c06 
b) 00\u3c0\u2212 2 
c) 40\u3c0\u2212 2 
d) 6\u3c0\u2212 3 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 8\u200b \u200b(1,0 ponto) 
Calcule a massa da placa plana descrita por , com densidade \u22649, y\u22650x2 + y2 . \u3b4 = \u3b4 (x, )y = \u221ax2 + y2 
a) \u3c0 
b) \u3c03 
c) \u3c09 
d) 8\u3c01 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 9\u200b \u200b(1,0 ponto) 
Calcule , sendo a curvaosy dx xyseny dy \u222b
 
\u3b3
c 2 \u2212 2 2 \u3b3 
esboçada ao lado, ligando o ponto (-3, 0) ao ponto 
(3, 0). 
a) 1 
b) 6 
c) \u3c0 
d) -6 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
 
Questão 10\u200b \u200b(1,0 ponto) 
Sobre a função é correto afirmar:\u2212 y yf (x, )y = 8x2 \u2212 4 2 + x \u2212 7 
2 
 
 
a) (0,0) é seu único ponto crítico e é um ponto de máximo local. 
b) (0,0) é seu único ponto crítico e é um ponto de mínimo local. 
c) (0,0) é seu único ponto crítico e não é nem ponto de máximo nem de mínimo local. 
d) (1,1) é seu único ponto crítico e não é nem ponto de máximo nem de mínimo local. 
e) Nenhuma das anteriores. 
3 
 
 
GABARITO 
 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre:\u2003\u200b4\u200b
o\u200b bimestre P2 
 
Disciplina: MCA502 - Cálculo II 
 
Questão 1 
Alternativa C: \u200b\u21d2(x y )· (t) (x y )· (t)dt
dT (t) = \u2202x
\u2202T (t) , (t) dt
dx + \u2202y
\u2202T (t) , (t) dt
dy 
 · ·2dt
dT (5) = \u2202x
\u2202T (2, )4 \u2022 dt
dx (5) + \u2202y
\u2202T (2, )4 \u2022 dt
dy (5) = 3 (\u2212 )1 + 2 = 1 
Assim no instante t = 5 a temperatura no besouro está aumentando 1 unidades por segundo. 
 
Questão 2 
Alternativa A: Massa \u3b4 A dydx y |3 0 dx dx 8\u222c R (x, )y d = \u222b
4
2
\u222b
3
0
y2 = \u222b
4
2
3
1 3 = \u222b
4
2
9 = 1 
 
Questão 3 
Alternativa A: Massa s h \u3b4 t= \u222b
 
h
\u3b4 (x, , )y z d = \u222b
\u3c0
0
\u2016 \u2032 (t)\u2016 (h )(t) d 
) \u200b\u21d2h (t) = (3cost, 3sent, 4t) \u2212 sent, 3cost, 4)h\u2032 (t) = ( 3 
h \u2016 \u2032 (t)\u2016 = \u221a9sen t cos t 62 + 9 2 + 1 = \u221a25 = 5 
e também z 6t\u3b4 (h )(t) = 4 = 1 
Massa ·16tdt 0t | 0 0\u3c0= \u222b
2
\u3c0
0
5 = 4 2 2
\u3c0 = 1 2 
 
Questão 4 
Alternativa B: \u200b\u21d2\u200b \u3b3 (t) = t , t ,( 3 5 2 t) \u3b3 (2) = (8, 20, 2) 
 \u3b3\u2032 (t) = 3t , 0t,( 2 1 1) 
e 
\u3b3\u2032 (2) = (12, 20, 1) 
A reta tangente é X (s) = s\u2208R(8, 20, 2) + s (12, 20, 1) = (8 2s, 20 0s, 2 )+ 1 + 2 + s , 
Questão 5 
Alternativa D: Sendo \u3b3 2t, 3t, 3t) (t) = ( \u2264t\u226430 
temos \u3b3\u2032 (t) = (2, 3, 3) 
ydx dy zdz t t 3 0 \u3c4 = \u222b
 
\u3b3
2 + x2 + x = \u222b
3
0
6t·2 t ·3 t·3t·3( + 4 2 + 2 ) d = \u222b
3
0
12t 0t( + 3 2) d = 6t( 2 + 10t3) | = 
4 70 24= 5 + 2 = 3 
 
Questão 6 
Alternativa E: A superfície S é a superfície de nível 3 da função .yz y zf (x) = 3 \u2212 x2 \u2212 x 2 
O gradiente de num ponto genérico é dado por .f \u2212 xy ,\u2212 x z, 3y xz)\u2207f
\u2192
(x, , )y z = ( 2 \u2212 z2 2 + 3 \u2212 2 
No ponto obtemos , que é perpendicular à S e ao seu plano tangente no (1, , )2 1 \u2212 , 2, 4)\u2207f
\u2192
(1, , )2 1 = ( 5 
ponto. Assim o plano terá equação .x y z\u2212 5 + 2 + 4 + d = 0 
Como é um ponto do plano , logo o plano é .(1, , )2 1 \u21d2d \u2212\u2212 5 + 4 + 4 + d = 0 = 3 x y z\u2212 5 + 2 + 4 \u2212 3 = 0 
4 
 
 
 
Questão 7 
Alternativa B: Pelo Teorema de Gauss vale: 
 (y x)dy\u2227dz 8y )dz\u2227dx 5zdx\u2227dy \u2212I = \u222c S 2 \u2212 3 + ( \u2212 e7z + = (DivF )dV =\u2212 ( )dV\u222d
 
V
\u2192
= \u222d V \u2202x
\u2202P + \u2202y
\u2202Q + \u2202z
\u2202R 
O sinal de menos na frente da integral tripla é devido à orientação \u201cpara dentro\u201d. 
\u2212 V \u2212 0V ol \u2212 0· .\u3c0.a·b·c \u2212 0· .\u3c0.3·1·5 \u2212 00\u3c0I = \u222d V (\u2212 )3 + 8 + 5 d = 1 (V ) = 1 3
4 = 1 3
4 = 2 
 
Questão 8 
Alternativa C: Massa = \u3b4 A dA \u222c D (x, )y d = \u222c
 
D\u221ax2 + y2 
Vamos usar coordenadas polares no cálculo da integral dupla 
Parametrização: 
 , )cos\u3b8x = r \u2264\u3b8\u2264\u3c00 y\u22650( 
 sen\u3b8y = r \u2264r\u226430 
Jacobiano = r 
dA ·rdzd\u3b8 r |3 0 d\u3b8\u222c D\u221ax2 + y2 = \u222b
\u3c0
0
\u222b
3
0
r = \u222b
\u3c0
0
3
1 3 = 
.d\u3b8 \u3c0= \u222b
\u3c0
0
9 = 9 
 
Questão 9 
Alternativa B: Como a equação da curva não é fornecida, não conseguimos aplicar a definição de integral de 
linha. 
O campo é conservativo. Vamos obter sua função potencial: 
osy \u21d2\u3c6 cosy (y)\u2202x
\u2202\u3c6 (x, )y = c 2 (x, )y = x 2 + g 
\u2212 xyseny \u21d2\u3c6 cosy (x)\u2202y
\u2202\u3c6 (x, )y = 2 2 (x, )y = x 2 + h 
Comparando as duas expressões, concluímos que é uma função potencialcosy\u3c6 (x, )y = x 2 
osy dx xyseny dy cos0\u222b
 
\u3b3
c 2 \u2212 2 2 = \u3c6 (3, )0 \u2212 \u3c6 (\u2212 , )3 0 = 3 \u2212 (\u2212 cos0)3 = 6 
 
Questão 10 
Alternativa A: \u2212 6x\u2202f\u2202x (x, )y = 1 + y = 0 
\u2212 y \u21d2x\u2202f\u2202y (x, )y = 8 + x = 0 = y = 0 
Logo o único ponto crítico é 0, )( 0 
 \u2212 6,\u2202 f
e
\u2202x2 (x, )y = 1 
\u2202 fe
\u2202x\u2202y (x, )y = 1 
e 
\u2212 \u2202 f
e
\u2202y2 (x, )y = 8 
segue que 28 27D = ||
\u2202 fe
\u2202x2 (0, )0 
\u2202 fe
\u2202x\u2202y (0, )0 
\u2202 fe
\u2202x\u2202y (0, )0 
\u2202 fe
\u2202y2 (0, )0 
|
| = \u2212 6 1 1 | 1 \u2212 8 | = 1 \u2212 1 = 1 > 0 
Como e , segue que (0,0) é ponto de máximo local.\u2212 6\u2202 f
e
\u2202x2 (0, )0 = 1 < 0 27D = 1 > 0 
 
 
 
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