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1 AVALIAÇÃO PRESENCIAL CADERNO DE PERGUNTAS curso: Engenharia de Computação/ Engenharia de Produção bimestre: 4º bimestre ano: 2018 | 2sem CÓDIGO DA PROVA P4 • Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. • Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de perguntas consigo. Boa prova! disciplina: MCA502 – Cálculo II • É permitido o uso de formulário impresso. Não é permitido o uso de calculadora. Questão 1 (2 pontos) Calcule a massa do arco de hélice ℎ(𝑡𝑡) = (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 𝑡𝑡), 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2 𝜋𝜋 com densidade 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 8𝑧𝑧. a) 4√2𝜋𝜋2 b) 16√2𝜋𝜋2 c) 8√2𝜋𝜋2 d) 16𝜋𝜋2 e) Nenhuma das outras alternativas. Questão 2 (2 pontos) A temperatura de uma placa plana é dada por 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), em que x e y são as coordenadas de um ponto genérico da placa. Um besouro anda sobre a placa seguindo uma trajetória 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) e 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡), em que t é o tempo em segundos. Sabe-se que quando 𝑡𝑡 = 3 o besouro está na posição (5,4) e que 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (3) = −7, 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (3) =3, 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 (5,4) = 3 e 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 (5,4) = 6. Podemos afirmar: a) No instante t = 3 a temperatura no besouro está aumentando 3 unidades por segundo. b) No instante t = 3 a temperatura no besouro está diminuindo 2 unidades por segundo. c) No instante t = 3 a temperatura no besouro está aumentando 39 unidades por segundo. d) No instante t = 3 a temperatura no besouro está diminuindo 1 unidade por segundo. e) Nenhuma das outras alternativas. Questão 3 (3 pontos) Calcule ∫ (1 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦))𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 𝛾𝛾 , sendo 𝛾𝛾 a curva esboçada ao lado, ligando o ponto (-3, 𝜋𝜋 ) ao ponto (1, 0). Questão 4 (3 pontos) Calcule ∬ (𝑧𝑧2 − 2𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∧ 𝑑𝑑𝑧𝑧 + (6𝑦𝑦 + 𝑠𝑠3𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧 ∧ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + (2𝑥𝑥𝑧𝑧 − 4𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑆𝑆 através da superfície S que é o bordo do paralelepípedo cujos vértices são os oito pontos (0,0,0) , (2,0,0), (2,3,0), (0,3,0), (0,0,1), (2,0,1), (2,3,1) e (0,3,1) orientada com a normal que aponta para dentro. 2 GABARITO curso: Engenharia de Computação/ Engenharia de Produção bimestre: 4º bimestre P4 Questão 1 Alternativa B. Massa = ∫ 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑐𝑐 = ∫ ‖ℎ′(𝑡𝑡)‖2𝜋𝜋0ℎ 𝛿𝛿�ℎ(𝑡𝑡)�𝑑𝑑𝑡𝑡 ℎ(𝑡𝑡) = (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 𝑡𝑡)) ⇒ℎ′(𝑡𝑡) = (−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, 1). ‖ℎ′(𝑡𝑡)‖ = √𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑡𝑡 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑡𝑡 + 1 = √2 e também 𝛿𝛿�ℎ(𝑡𝑡)� = 8𝑧𝑧 = 8𝑡𝑡 Massa = ∫ √2 ∙2𝜋𝜋0 8𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 = 4√2𝑡𝑡2|2𝜋𝜋0 = 16√2𝜋𝜋2. Questão 2 Alternativa E. 𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑡𝑡) = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 (𝑥𝑥(𝑡𝑡),𝑦𝑦(𝑡𝑡)) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑡𝑡) + 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 (𝑥𝑥(𝑡𝑡),𝑦𝑦(𝑡𝑡)) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑡𝑡)⇒ 𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 (3) = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 (5,4) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (3) + 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 (5,4) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (3) = 3 ∙ (−7) + 6 ∙ 3 = −3 Assim, no instante t = 3 a temperatura no besouro está diminuindo 3 unidades por segundo. Questão 3 – ANULADA (redistribuir os pontos entre as outras questões) Como a equação da curva não é fornecida, não conseguimos aplicar a definição de integral de linha. O campo é conservativo. Vamos obter sua função potencial: 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1 + 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦) ⇒ 𝜑𝜑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 − cos (𝑥𝑥𝑦𝑦) + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦) ⇒ 𝜑𝜑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −cos (𝑥𝑥𝑦𝑦) + ℎ(𝑥𝑥) Comparando ambas as expressões, concluímos que 𝜑𝜑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 − cos (𝑥𝑥𝑦𝑦) é uma função potencial. � 2𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥2𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥2𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 𝛾𝛾 = 𝜑𝜑(1,0) − 𝜑𝜑(−3,𝜋𝜋) = 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐0 − (−3 − cos(−3𝜋𝜋)) = 1 − 1 − (−3 + 1) = 2 Questão 4 Vamos aplicar o Teorema de Gauss. Lembre-se que neste teorema a normal à superfície deve apontar para fora. Como no enunciado a normal está para dentro vai aparecer um sinal de “-“. 𝐼𝐼 = ∬ (𝑧𝑧2 − 2𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∧ 𝑑𝑑𝑧𝑧 + (6𝑦𝑦 + 𝑠𝑠3𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧 ∧ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + (2𝑥𝑥𝑧𝑧 − 4𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑆𝑆 = − ∭ (𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷�⃗�𝐹𝑉𝑉 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = −∭ (𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 + 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 + 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑧𝑧𝑉𝑉 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = −∭ (−2 + 6 + 2𝑥𝑥 − 4)𝑑𝑑𝑑𝑑 = −∫ ∫ ∫ 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧 = −∫ ∫ 𝑥𝑥2|20𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧 =3010203010𝑉𝑉 = −� � 4𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧 = −4 ∙ 1 ∙ 3 = −123 0 1 0 disciplina: MCA502 – Cálculo II
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