EngComp e Prod 2018 1 Calculo II MCA502 P4 GABARITO

Prévia do material em texto

1 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
 
curso: Engenharia de Computação/ Engenharia de Produção bimestre: 4º bimestre ano: 2018 | 2sem 
CÓDIGO DA PROVA 
P4 
 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina: MCA502 – Cálculo II 
 
• É permitido o uso de formulário impresso. Não é permitido o uso de calculadora. 
 
Questão 1 (2 pontos) 
Calcule a massa do arco de hélice ℎ(𝑡𝑡) = (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 𝑡𝑡), 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2 𝜋𝜋 com densidade 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 8𝑧𝑧. 
 
a) 4√2𝜋𝜋2 
b) 16√2𝜋𝜋2 
c) 8√2𝜋𝜋2 
d) 16𝜋𝜋2 
e) Nenhuma das outras alternativas. 
 
Questão 2 (2 pontos) 
A temperatura de uma placa plana é dada por 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), em que x e y são as coordenadas de um ponto 
genérico da placa. Um besouro anda sobre a placa seguindo uma trajetória 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) e 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡), em que t é o 
tempo em segundos. Sabe-se que quando 𝑡𝑡 = 3 o besouro está na posição (5,4) e que 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(3) = −7, 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(3) =3, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(5,4) = 3 e 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(5,4) = 6. Podemos afirmar: 
 
a) No instante t = 3 a temperatura no besouro está aumentando 3 unidades por segundo. 
b) No instante t = 3 a temperatura no besouro está diminuindo 2 unidades por segundo. 
c) No instante t = 3 a temperatura no besouro está aumentando 39 unidades por segundo. 
d) No instante t = 3 a temperatura no besouro está diminuindo 1 unidade por segundo. 
e) Nenhuma das outras alternativas. 
 
 
Questão 3 (3 pontos) 
Calcule ∫ (1 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦))𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 𝛾𝛾 , sendo 𝛾𝛾 a curva 
esboçada ao lado, ligando o ponto (-3, 𝜋𝜋 ) ao ponto (1, 0). 
 
 
 
Questão 4 (3 pontos) 
Calcule ∬ (𝑧𝑧2 − 2𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∧ 𝑑𝑑𝑧𝑧 + (6𝑦𝑦 + 𝑠𝑠3𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧 ∧ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + (2𝑥𝑥𝑧𝑧 − 4𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑆𝑆 através da superfície S que é o bordo 
do paralelepípedo cujos vértices são os oito pontos (0,0,0) , (2,0,0), (2,3,0), (0,3,0), (0,0,1), (2,0,1), (2,3,1) e 
(0,3,1) orientada com a normal que aponta para dentro. 
2 
 
GABARITO 
curso: Engenharia de Computação/ Engenharia de Produção bimestre: 4º bimestre P4 
 
Questão 1 
Alternativa B. 
Massa = ∫ 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑐𝑐 = ∫ ‖ℎ′(𝑡𝑡)‖2𝜋𝜋0ℎ 𝛿𝛿�ℎ(𝑡𝑡)�𝑑𝑑𝑡𝑡 
ℎ(𝑡𝑡) = (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 𝑡𝑡)) ⇒ℎ′(𝑡𝑡) = (−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, 1). 
‖ℎ′(𝑡𝑡)‖ = √𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑡𝑡 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑡𝑡 + 1 = √2 e também 𝛿𝛿�ℎ(𝑡𝑡)� = 8𝑧𝑧 = 8𝑡𝑡 
Massa = ∫ √2 ∙2𝜋𝜋0 8𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 = 4√2𝑡𝑡2|2𝜋𝜋0 = 16√2𝜋𝜋2. 
 
Questão 2 
Alternativa E. 
𝑑𝑑𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡) = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(𝑥𝑥(𝑡𝑡),𝑦𝑦(𝑡𝑡)) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡) + 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(𝑥𝑥(𝑡𝑡),𝑦𝑦(𝑡𝑡)) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡)⇒ 
 𝑑𝑑𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑑𝑑
(3) = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(5,4) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(3) + 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(5,4) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(3) = 3 ∙ (−7) + 6 ∙ 3 = −3 
Assim, no instante t = 3 a temperatura no besouro está diminuindo 3 unidades por segundo. 
 
Questão 3 – ANULADA (redistribuir os pontos entre as outras questões) 
Como a equação da curva não é fornecida, não conseguimos aplicar a definição de integral de linha. 
O campo é conservativo. Vamos obter sua função potencial: 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1 + 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦) ⇒ 𝜑𝜑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 − cos (𝑥𝑥𝑦𝑦) + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦) ⇒ 𝜑𝜑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −cos (𝑥𝑥𝑦𝑦) + ℎ(𝑥𝑥) 
Comparando ambas as expressões, concluímos que 𝜑𝜑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 − cos (𝑥𝑥𝑦𝑦) é uma função potencial. 
� 2𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥2𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥2𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 
𝛾𝛾
= 𝜑𝜑(1,0) − 𝜑𝜑(−3,𝜋𝜋) = 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐0 − (−3 − cos(−3𝜋𝜋)) = 1 − 1 − (−3 + 1) 
 = 2 
 
Questão 4 
Vamos aplicar o Teorema de Gauss. Lembre-se que neste teorema a normal à superfície deve apontar para 
fora. Como no enunciado a normal está para dentro vai aparecer um sinal de “-“. 
 𝐼𝐼 = ∬ (𝑧𝑧2 − 2𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∧ 𝑑𝑑𝑧𝑧 + (6𝑦𝑦 + 𝑠𝑠3𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧 ∧ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + (2𝑥𝑥𝑧𝑧 − 4𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑆𝑆 = − ∭ (𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷�⃗�𝐹𝑉𝑉 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = 
−∭ (𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
+ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
+ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧𝑉𝑉
)𝑑𝑑𝑑𝑑 = −∭ (−2 + 6 + 2𝑥𝑥 − 4)𝑑𝑑𝑑𝑑 = −∫ ∫ ∫ 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧 = −∫ ∫ 𝑥𝑥2|20𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧 =3010203010𝑉𝑉 = −� � 4𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧 = −4 ∙ 1 ∙ 3 = −123
0
1
0
 
disciplina: MCA502 – Cálculo II