EngComp e Prod 2018 1 Calculo II MCA502 P1 GABARITO

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
 
curso: 
Engenharia de Computação/ 
Engenharia de Produção 
bimestre: 4º bimestre ano: 2018 | 2sem 
CÓDIGO DA PROVA 
P1 
 
 Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
 Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina: MCA502 – Cálculo II 
 
 É permitido o uso de formulário impresso. Não é permitido o uso de calculadora. 
 
Questão 1 (2 pontos) 
Sobre o campo vetorial �⃗�(𝑥,𝑦) = (
1
𝑦
− 2𝑥𝑦sen⁡(𝑥2𝑦))𝑖 + (
−𝑥
𝑦2
− 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥2𝑦))𝑗 é correto afirmar que: 
 
a) o campo não é conservativo, pois 𝑟𝑜𝑡�⃗� ≠ 0⃗⃗. 
b) 𝑟𝑜𝑡�⃗� = 0⃗⃗, mas o campo não é conservativo. 
c) o campo é conservativo e 𝜑(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑦
+ cos(𝑥2𝑦) é uma função potencial. 
d) o campo é conservativo e 𝜑(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑦
− cos(𝑥2𝑦) é uma função potencial. 
e) nenhuma das outras alternativas. 
 
 
Questão 2 (2 pontos) 
Calcule a massa do paralelepípedo [0, 2]𝑋[0, 3]𝑋[0, 1] com densidade 𝛿 = 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑧. 
 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 10. 
e) Nenhuma das outras alternativas. 
 
 
Questão 3 (3 pontos) 
Calcule ∫ 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 + (𝑐𝑜𝑠𝑧 + 𝑥2)𝑑𝑧⁡𝛾 , sendo 𝛾 a curva que é o bordo do retângulo de vértices (0,0,2), 
(2,0,2), (0,2,0), (2,2,0) percorrida de modo que a projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário. 
Obs: 𝛾 é formada por 4 segmentos de reta todos contidos no plano⁡𝑧 = ⁡−𝑦 + 2. 
 
 
Questão 4 (3 pontos) 
Calcule a massa do pedaço do cilindro 𝑥2+ 𝑦2 = 4 , 𝑦 ≥ 0,⁡acima do plano 𝑧 = −3 e abaixo da superfície 𝑧 =
8 − 𝑦, com densidade 𝛿 = 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦 . 
 
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GABARITO 
curso: 
Engenharia de Computação/ 
Engenharia de Produção 
bimestre: 4º bimestre P1 
 
Questão 1 
Alternativa C. 
Procuramos uma função 𝜑 = 𝜑(𝑥, 𝑦) que satisfaça: 
𝜕𝜑
𝜕𝑥
=
1
𝑦
− 2𝑥𝑦sen⁡(𝑥2𝑦) e 
𝜕𝜑
𝜕𝑦
=
−𝑥
𝑦2
−𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥2𝑦). Integrando a primeira em 𝑥 e a segunda em 𝑦 obtemos: 
𝜑(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑦
+ cos(𝑥2𝑦) + 𝑔(𝑦) e 𝜑(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑦
+ cos(𝑥2𝑦) + ℎ(𝑥). Comparando, concluímos que 
𝜑(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑦
+ cos(𝑥2𝑦) é uma função potencial. 
 
 
 
Questão 2 
Alternativa B. 
Massa = ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝐷 = ∭ 4𝑧𝑑𝑉𝐷 = ∫ ∫ ∫ 4𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ 2𝑧
2|
1
0
𝑑𝑦𝑑𝑥 =
3
0
2
0
1
0
3
0
2
0
∫ ∫ 2𝑑𝑦𝑑𝑥 =
3
0
2
0 
= ∫ 2𝑦|
3
0
𝑑𝑥 = ∫ 6𝑑𝑥 = 12
2
0
2
0
 
 
 
Questão 3 
𝑅𝑜𝑡�⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥𝑦 𝑥2 𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠𝑧
| = (0, −2𝑥, 0) ≠ 0⃗⃗, segue que o campo não é conservativo. 
Vamos aplicar o teorema de Stokes. 
Seja S o pedaço do plano ⁡𝑧 = ⁡−𝑦 + ⁡3 limitado pelos vértices do enunciado. A orientação coerente com o 
enunciado é aquela em que a normal aponta para cima. 
 Parametrização: 
 𝑥 = 𝑢 0 ≤ 𝑢 ≤ 2 
 𝑦 = 𝑣 0 ≤ 𝑣 ≤ 2 
 𝑧 = 2 − 𝑣 
 ⁡⁡⁡⁡𝑋𝑢⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (1,0,0) 
 𝑋𝑣⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0,1, −1) 
𝑋𝑢⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∧ 𝑋𝑣⃗⃗⃗⃗ ⃗ = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
1 0 0
0 1 −1
| = (0,1,1) 
 Esta é a orientação pedida. 
 
 ∫ 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 + (𝑐𝑜𝑠𝑧 + 𝑥2)𝑑𝑧⁡𝛾 = ∬ 𝑟𝑜𝑡�⃗� ∙ �⃗⃗�𝑑𝑆𝑆 = ∬ ⟨(0, −2𝑥, 0)|(0,1,1)⟩𝑑𝐴 =D 
 
= ∬ −2𝑥𝑑𝐴 = −∫ ∫ 2𝑢𝑑𝑣𝑑𝑢 = − ∫ 2𝑢𝑣 |
2
0
𝑑𝑢
2
0 = − ∫ 4𝑢𝑑𝑢
2
0
2
0
2
0D = −2𝑢
2|
2
0
= −8. 
 
disciplina: MCA502 – Cálculo II 
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Questão 4 
Massa = ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐷 = ∬ 2𝑦𝑑𝐴𝐷 
Parametrização: 
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 , pois ⁡𝑦 ≥ 0 
𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 −3 ≤ 𝑧 ≤ 8 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝑧 = 𝑧 𝑑𝐴 = 2𝑑𝑧𝑑𝜃 
∬ 2𝑦𝑑𝐴𝐷 = ∫ ∫ 4𝑠𝑒𝑛𝜃 ∙ 2𝑑𝑧𝑑𝜃 = ∫ 8𝑠𝑒𝑛𝜃 ∙ 𝑧|
8 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃
−3
𝑑𝜃 =
𝜋
0
8−2𝑠𝑒𝑛𝜃
−3
𝜋
0 
= ∫ (64𝑠𝑒𝑛𝜃 − 16𝑠𝑒𝑛2
𝜋
0 𝜃 + 24𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑𝜃 = ∫ (88𝑠𝑒𝑛𝜃 − 16(
1−𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
𝜋
0 ))𝑑𝜃 
 
(−88𝑐𝑜𝑠𝜃 − 8𝜃 + 4𝑠𝑒𝑛(2𝜃))|
𝜋
0
= 88 − 8𝜋 + 0 − (−88 −0 + 0) = 176 − 8𝜋