EngComp e Prod 2018 1 Calculo II MCA502 P3 GABARITO

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
 
curso: 
Engenharia de Computação/ 
Engenharia de Produção 
bimestre: 4º bimestre ano: 2018 | 2sem 
CÓDIGO DA PROVA 
P3 
 
 Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
 Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina: MCA502 – Cálculo II 
 
 É permitido o uso de formulário impresso. Não é permitido o uso de calculadora. 
 
Questão 1 (2 pontos) 
Sobre a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 definida em ]−
𝜋
2
,
𝜋
2
[ 𝑋 ]−
𝜋
2
,
𝜋
2
[ é correto afirmar: 
 
a) (0,0) é seu único ponto crítico e é um ponto de máximo local. 
b) (0,0) é seu único ponto crítico e é um ponto de mínimo local. 
c) (0,0) é seu único ponto crítico e não é nem ponto de máximo nem de mínimo local. 
d) 𝑓 não possui pontos críticos no domínio definido no enunciado. 
e) nenhuma das outras alternativas. 
 
Questão 2 (2 pontos) 
Calcule a massa da placa plana descrita por 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 ≥ 0, com densidade 𝛿 = 𝛿(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2. 
 
a) 𝜋 
b) 
2𝜋
3
 
c) 
𝜋
2
 
d) 2𝜋 
e) Nenhuma das outras alternativas. 
 
 
Questão 3 (3 pontos) 
Calcule ∫ 3𝑒3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑥 − 𝑒3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦 𝛾 , sendo 𝛾 a curva esboçada 
abaixo, ligando o ponto (-3, 0 ) ao ponto (3, 0). 
 
 
 
 
 
Questão 4 (3 pontos) 
Calcule a massa do pedaço do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4 , 𝑦 ≥ 0, acima do plano 𝑧 = 0 e abaixo da superfície 
𝑧 = 8 − 𝑥, com densidade 𝛿 = 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦2. 
 
GABARITO 
curso: 
Engenharia de Computação/ 
Engenharia de Produção 
bimestre: 4º bimestre P3 
 
 
Questão 1 
Alternativa A. 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 ⇒ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = −𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = −𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = −𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 . 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = −𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = 0 . 
 
Logo, o único ponto crítico no domínio considerado é (0,0). 
 
 
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑥2
(𝑥, 𝑦) = 
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑦2
(𝑥, 𝑦) = −𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 ⇒
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑥2
(0,0) =
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑦2
(0,0) = −1. 
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 ⇒
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
(0,0) = 0 
 
Segue que, 𝐷 = |
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑥2
(0,0)
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
(0,0)
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
(0,0)
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑦2
(0,0)
| = |
−1 0
0 −1
| = 1 > 0. 
 
Como 𝐷 = 1 > 0 e 
𝜕𝑒𝑓
𝜕𝑥2
(0,0) = −1 < 0, segue que (0,0) é ponto de máximo local. 
 
 
Questão 2 
Alternativa D. 
Massa = ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝐷 = ∬ (𝑥
2 + 𝑦2)𝑑𝐴𝐷 . 
Vamos usar coordenadas polares no cálculo da integral dupla. 
Parametrização: 
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 , (𝑦 ≥ 0, 𝑥 ≥ 0) 
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 
Jacobiano = 𝑟. 
∬ (𝑥2 + 𝑦2 )𝑑𝐴𝐷 = ∫ ∫ 𝑟
2 ∙ 𝑟𝑑𝑧𝑑𝜃 = ∫
1
4
𝑟4|
2
0
𝑑𝜃 =
𝜋
2
0
2
0
𝜋
2
0 
= ∫ 4
𝜋
2
0 𝑑𝜃 = 4 ∙
𝜋
2
= 2𝜋 . 
 
 
disciplina: MCA502 – Cálculo II 
Questão 3 
Como a equação da curva não é fornecida, não conseguimos aplicar a definição de integral de linha. 
O campo é conservativo. Vamos obter sua função potencial: 
𝜕𝜑
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = 3𝑒3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 ⇒ 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑒3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑔(𝑦) 
𝜕𝜑
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = −𝑒3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 ⇒ 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑒3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 + ℎ(𝑥) 
Comparando ambas as expressões, concluímos que 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑒3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 é uma função potencial. 
∫ 3𝑒3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑥 − 𝑒3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦 𝛾 = 𝜑(3,0) − 𝜑(−3,0) = 𝑒
9𝑐𝑜𝑠0 − 𝑒 −9𝑐𝑜𝑠0 = 𝑒9 − 𝑒 −9 
 
 
Questão 4 
Massa = ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐷 = ∬ 𝑦
2𝑑𝐴𝐷 . 
Parametrização: 
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 , pois 𝑦 ≥ 0 
𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 0 ≤ 𝑧 ≤ 8 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑧 = 𝑧 𝑑𝐴 = 2𝑑𝑧𝑑𝜃 
∬ 𝑦2𝑑𝐴𝐷 = ∫ ∫ 4𝑠𝑒𝑛
2𝜃2𝑑𝑧𝑑𝜃 = ∫ 8𝑠𝑒𝑛 2𝜃 ∙ 𝑧|
8 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃
0
𝑑𝜃 =
𝜋
0
8−2𝑐𝑜𝑠𝜃
0
𝜋
0 
= ∫ (64𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝜋
0 − 16𝑠𝑒𝑛
2𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 )𝑑𝜃 = ∫ (
64(1−𝑐𝑜𝑠2𝜃 )
2
−
𝜋
0 16𝑠𝑒𝑛
2𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝜃 = 
 
(32𝜃 − 16𝑠𝑒𝑛2𝜃 −
16
3
𝑠𝑒𝑛 3𝜃)) |
𝜋
0
= 32𝜋 − 0 + 0 = 32𝜋