ECT1303-2015.1-Aula6,7-Resolucao_Equacoes - Métodos de Newton e da Secante

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UFRN 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Escola de Ciências e Tecnologia 
Resolução de Equações 
Método de Newton e 
Método da Secante 
ECT1303 – Computação Numérica 
• Manter o telefone celular sempre 
desligado/silencioso quando estiver em 
sala de aula; 
• Nunca atender o celular na sala de aula. 
MÉTODO DA BISSECÇÃO 
Método de Newton 
Método de Newton 
O método de Newton é um 
dos métodos mais utilizados 
na resolução de equações 
não-lineares. 
 
Sir Isaac Newton (1642-1727) 
é um dos mais célebres 
matemáticos de todos os 
tempos. 
Método de Newton (interpretação gráfica) 
Seja f(x) uma função em 
que deseja-se obter uma 
raiz. 
 
Conhecendo-se um valor 
x0 próximo à raiz, pode-se 
aproximar a função por 
uma reta tangente à f(x) 
em x0 . 
Método de Newton 
Método de Newton 
Método de Newton 
Como obter a reta 
tangente à f(x) no ponto 
(x0, f(x0))? 
1. Obter a equação da 
reta tangente à f(x). 
2. Achar o ponto x1 que 
a reta cruza o eixo x. 
Método de Newton 
Método de Newton (Série de Taylor) 
• Seja uma equação f(x) = 0 a ser resolvida. 
• A partir de um valor inicial x0 para a solução, buscamos 
encontrar uma correção h tal que: 
 
• Utilizando o desenvolvimento de Taylor ao redor de x0, 
temos: 
0)( 0  hxf
...
!3
)('''
!2
)(''
)(')(0
3
0
2
0
00 
hxfhxf
hxfxf
Método de Newton 
• Negligenciando os termos de ordem superior ou igual 
a 2: 
 
 
• A correção é, em princípio, a quantidade que devemos 
adicionar a x0 para anular a função f(x). 
 
 
• Esta correção não é perfeita. Por quê? 
hxfxf )(')(0 00 
Estimativa 
da correção: 
)('
)(
0
0
xf
xf
h 
)('
)(
0
0
00
xf
xf
xhxx 
Descrição do método 
1. Analisar a função para determinar um valor de 
x0 próximo a raiz. 
2. Encontrar a derivada de f(x). 
3. Calcular estimativas consecutivas para a raiz 
usando a expressão: 
 
 
4. Repetir o passo 3 até que se tenha obtido a 
precisão desejada. 
xk1  xk 
f (xk)
f '(xk)
Exercício 
Ex: Ache a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + ln⁡(𝑥) para o erro 
relativo 𝜀 = 0,1⁡(ou seja): 
 
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1⁡
< 𝜀 
Quadro 
Se 
 
Então 
653,0
)648,0(
)648,0(
648,02 


f
f
x
x
xxf
1
2)( 
𝑥0 = 0,5 
648,0
3
443,0
5,0
)5,0(
)5,0(
5,01 




f
f
x
)ln()( 2 xxxf 
1,0007.0
653,0
648,0653,0


Plotando o Gráfico, podemos ver que a raiz está no 
intervalo [0,1; 0,7]. Podemos fazer 𝑥0 = 0,5 
1,0228.0
648,0
5,0648,0


Continua… 
Parou! 
Método de Newton 
• Exercício: Ache uma aproximação da raiz da função 
𝑓 𝑥 = 10𝑥 + 𝑥3 + 2 com um erro absoluto de 𝛿 < 0,01 
– Dica: 𝑎 = 𝑒ln⁡(𝑎) 
Resp: −1,27 
 
• Exercício: Achar a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 10 com 
uma precisão de 2 casas decimais. 
Algoritmo 
Problemas com o método de Newton 
Problemas com o método de Newton 
• Raízes próximas a pontos de inflexão 
f(x) 
x x1 x0 x2 
Problemas com o método de Newton 
• Buscas perto de pontos de mínimos ou máximos locais 
f(x) 
x 
x1 x0 x2 x3 x4 
Problemas com o método de Newton 
• Chute inicial longe da raiz 
f(x) 
x 
x1 x0 
Problemas com o método de Newton 
• Derivada igual a zero 
f(x) 
x x1 x0 
Problemas com o método de Newton 
• Derivada próxima de zero 
f(x) = x10 - 1 
x 
x0 0,5 
x1 51.65 
x2 46.48 
x3 41.83 
x4 37.65 
x5 33.89 
x6 30.50 
x7 27.45 
x8 24.70 
x9 22.23 
x10 20.01 
x27 3.337 
x28 3.003 
x36 1.299 
x37 1.178 
x39 1.023 
x40 1.002 
x41 1.000023 
x42 1.0000000025 
x43 1 
Problemas com o método de Newton 
• Derivada próxima de zero 
x0 0,5 
x1 51.65 
x2 46.48 
x3 41.83 
x4 37.65 
x5 33.89 
x6 30.50 
x7 27.45 
x8 24.70 
x9 22.23 
x10 
 
20.01 
Problemas com o método de Newton 
• Derivada próxima de zero 
x0 0,5 
x1 51.65 
x2 46.48 
x3 41.83 
x4 37.65 
x5 33.89 
x6 30.50 
x7 27.45 
x8 24.70 
x9 22.23 
x10 20.01 
Exemplo do comportamento de Circuito RLC 
• Saída de circuito RLC 
f(t) 
t 
Máximo local 
f’(t) ≈ 0 
Chute longe da raiz 
Método da Secante 
Método da Secante 
• Problema com o método de 
Newton: 
 Cálculo da derivada da 
função 
• Solução: 
 Aproximar a derivada no 
ponto (x1, f(x1)) pelo 
coeficiente angular da reta 
secante que passa pelos 
pontos (x1, f(x1)) e (x0, f(x0)) 
Método da Secante 
• A derivada no ponto (x1, f(x1)) 
é estimada por: 
• A nova estimativa x2 para 
a raiz de f(x) será: 
Nota: São necessárias duas 
aproximações iniciais para usar 
o método das secantes. 
Método da Secante 
Descrição do Método: 
 
 1. Analisar a função para determinar dois valores, 
x0 e x1, próximos à raiz. 
2. Calcular estimativas consecutivas para a raiz 
usando a expressão: 
 
3. Repetir o passo 2 até que se tenha obtido a 
precisão desejada. 
 
Qual a diferença para Falsa Posição? 
Exemplo 
Encontre o juro JA usando o método das secantes com 3 casas 
decimais de precisão. 
Resolução 
 
 
 
 
Resolução 
A solução desejada é 
obtida arredondando-
se J2 para três casas 
decimais: 
JA = 0,122 = 12,2% 
• Método da Secante também convergiu com apenas 
duas iterações! 
 
 
Secante 
• Ex: Determine a raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥 com erro 
absoluto de ⁡𝛿 < 0.05 
 
Solução 
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥 
Intervalo com uma raiz: 𝑓 0 = 1 e 𝑓 1 = −0. 632, portanto existe 
uma raiz no intervalo [0,1] 
𝑥0 = 0⁡𝑒⁡𝑥1 = 1 
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓 𝑥1 𝑥0 − 𝑥1
𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥1)
= 1 −
−0.632 ∙ −1
1 + 0.632
= 0.613 
|𝑥2 − 𝑥1| = 0.4 > 0.05 Continua… 
𝑓 𝑥2 = 𝑓 0.6127 = −0.071 
𝑥3 = 𝑥2 −
𝑓 𝑥2 𝑥1 − 𝑥2
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2)
= 0.613 −
−0.071 ∙ (1 − 0.613)⁡
−0.632 + 0.071
= 0.564 
𝑥3 − 𝑥2 = 0.049 < 0.05Parou! 
 
Secante 
• Ex: Determine a primeira raiz positiva da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
cos 1 + 𝑥2 − 1fazendo 3 iterações (o gráfico de tal função se 
encontra abaixo). Podemos fazer 𝑥0 = 1 e 𝑥1 = 3? E 𝑥0 = 1.5 e 
𝑥1 = 2.5? 
 
Método da Secante- Algoritmo 
Exercício 
 - Use o Método de Newton e o Método da Secante para 
encontrar a raiz quadrada de 2 com 3 casas decimais de 
precisão. 
- Compare o número de iterações necessárias em cada 
método. 
Comparação entre os métodos 
• O método da bisseção é bastante simples por não 
exigir o conhecimento da derivada da equação em 
questão, e sempre converge, porém possui uma 
convergência lenta 
• O método da falsa posição também converge sempre 
e mais rapidamente que o método da bisseção 
• O método de Newton é o que apresenta a 
convergência mais rápida, porém exige o 
conhecimento da derivada analítica da função em 
questão (sinal da derivada primeira e segunda 
constante no intervalo para garantir convergência) 
• O método da Secante é menos rápido que o de 
Newton, e também não garante a convergência. 
Porém, não exige o conhecimento da derivada 
analítica da função em questão 
Exercício 
V 
R 
h 
No projeto do tanque esférico de raio R = 3m da figura abaixo, 
deseja-se saber a profundidade da água h para que o tanque 
armazene 30m3 de água. Para tal, use um método numérico 
com a precisão adequada. 
3
]3[2 hRhV

