ECT1303-2015.1-Aula5-Resolucao_Equacoes - Introdução e Método da Bisseção

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UFRN 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Escola de Ciências e Tecnologia 
Raízes de Equações Transcendentais 
Parte I: Resolução gráfica, método 
da bisseção e da falsa posição 
ECT1303 – Computação Numérica 
• Manter o telefone celular sempre 
desligado/silencioso quando estiver em 
sala de aula; 
• Nunca atender o celular na sala de aula. 
Motivação 
• Problema: 
 A velocidade de uma paraquedista pode ser descrtia pela 
seguinte equação: 
𝑣 =
𝑔𝑚
𝑐
(1 − 𝑒−
𝑐
𝑚 𝑡) 
onde g é a aceleração da gravidade, m a massa do 
paraquesits, t o tempo e c a constante de arrasto do 
paraquedas. 
• Pergunta: Qual o valor da constante de arrasto do 
paraquedas c para que o paraquedista aintija uma 
velocidade V em um tempo T? 
• Tente isolar c na equação 
 
 
 
 
 
Raízes de Equações Algébricas 
• Achar a raiz de uma função 𝑓(𝑥) significa achar um 
número 𝑥 = 𝜉 tal que 𝒇 𝝃 = 𝟎 
 
• Algumas funções podem ter suas raízes calculadas 
analiticamente, porém outras são de difícil solução 
(algumas funções transcendentes, por exemplo) ou de 
solução desconhecida (polinômios de ordem maior que 4, 
ou uma função simples como 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥), sendo 
necessário, nestes casos, a solução por métodos 
numéricos 
• Através de análise crítica sobre o problema, inferir: 
– Intervalos de confiança onde espera-se que a solução (soluções) seja 
encontrada; 
– Grau de precisão para a solução, no caso em que uma aproximação 
deve ser encontrada; 
– Possíveis problemas que venham a ocorrer usando determinado 
método numérico. 
Raízes de Equações Algébricas 
Etapas importantes na resolução de 
problemas usando métodos numéricos 
 
 
0102)( 51  ppf
Isolamento de raízes 
• Se uma função contínua 𝑓(𝑥) assume valores de sinais 
opostos entre o intervalo [𝑎, 𝑏], então a função possui pelo 
menos uma raiz neste intervalo (Teorema de Bolzano) 
– Consequência do Teorema do valor intermediário: se 𝑓(𝑥) 
for contínua em [𝑎, 𝑏] então ∀𝑑 ∈ 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑏 , ∃𝑐 ∈
𝑎, 𝑏 | 𝑓 𝑐 = 𝑑 
• Se a derivada da função preservar o sinal dentro do intervalo, 
ou seja, se a função for estritamente crescente ou 
estritamente decrescente, a raiz será única 
• Pode-se estimar o intervalo [𝑎, 𝑏] pelo esboço do gráfico da 
função ou pela construção de tabelas para análise da 
variação do sinal da função 
Isolamento de raízes por esboço do 
gráfico ou Tabela de valores 
• Dada a função f(𝑥), o ponto 𝑓 𝜉 = 0 é 
exatamente o ponto onde a função cruza o eixo 𝑥 
 
 
 
 
 
• Também é possível determinar o valor através de 
uma tabela de valores (como?) 
 
 
 
 
 
y 
x 
a 
b 
x0 
Podemos usar 
o Scilab!!! 
Tabela de Valores e Gráfico 
• Encontrar o ponto em que a função cruza o eixo X 
 
 
 
 
Podemos usar um papel milimetrado para plotar o gráfico 
da função em vários pontos! 
p f(p) 
15 5.10 *10-5 
16 2.05 *10-5 
17 0.53 *10-5 
18 -0.24 *10-5 
19 -0.62 *10-5 
0102)( 51  ppf
15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20
-1
0
1
2
3
4
5
6
x 10
-5
Tabela de Valores e Gráfico 
• E se quisermos encontrar uma solução mais precisa: 
 
 
 
 
p f(p) 
17.1 0.48 *10-5 
17.2 0.33 *10-5 
17.3 0.24 *10-5 
17.4 0.16 *10-5 
17.5 0.08*10-5 
 
17.6 0.67 *10-7 
 
17.7 -0.6 *10-6 
Raiz próxima de p = 17,6 
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x 10
-6
Isolamento de raízes por esboço do gráfico 
• Caso a função f(x) seja complexa (difícil), podemos tentar 
escrevê-la na forma 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 − 𝑕(𝑥) 
• Supondo f 𝜉 = 0 teremos 
 𝑔 𝜉 − 𝑕 𝜉 = 0 ⇒ 𝑔 𝜉 = 𝑕 𝜉 
• Dessa forma, podemos traçar os gráficos das funções 
𝑔 𝑥 e 𝑕 𝑥 e o ponto de interseção destes irá nos 
fornecer a raiz da função 𝑓 𝑥 
g(x) 
h(x) 
x 
y 

Exemplo 
• Ex 1: trace o gráfico e determine um intervalo que 
contenha raízes de 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2 
Quadro 
Solução 
– Ex 1: 
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2) = 𝑔 𝑥 − 𝑕(𝑥) 
g 𝑥 = 𝑒𝑥 
𝑕 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 
 
 
 
 
 
 
Raiz no intervalo [0,5; 1,5] 
 
Como checar se o intervalo 
realmente contem raiz? 
• Exercício 1: trace o gráfico e determine um intervalo que 
contenha raízes das seguintes funções: 
– 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 
– 𝑓 𝑥 = 𝑥 + log 𝑥 
– 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
 
 
 
Exercício 
Análise Gráfica 
• Métodos gráficos são limitados! 
– Precisão da solução é pequena, limitada à análise visual 
– Difícil sistematização usando o computador 
• São importantes para visualizarmos intervalos de 
localização das raízes. 
 
 
 
MÉTODO DA BISSECÇÃO 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Teorema de Bolzano 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. Se 
f(a)f(b) < 0, então f(x) tem pelo menos uma raiz em (a,b) 
 
 
a b 
f(b) 
f(a) 
0 
f(x) 
x 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Descrição do Método: 
 
 
1. Encontrar um intervalo [a,b] que contenha a raiz 
2. Seccionar o intervalo no seu ponto médio 
 
 
3. Se x for uma solução aceitável para o valor da 
raiz, pare. 
4. Senão, use o Teorema para verificar se a raiz 
está em [a,x] ou em [x,b]. Redefina o intervalo 
[a,b] e volte ao passo 1. 
Critérios de parada 
• Procedimentos iterativos 
– Para quando atingir um determinado critério 
• Existem vários tipo de critérios de parada: 
– Analise do valor da função: 𝑓 𝑥 < 𝜀 
• Perigoso! Ex: 𝑥5 − 32 = 0 ou 𝑥0,1 − 2 = 0 
 
– Erro absoluto: 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 < 𝜀 
 
– Erro relativo: 
𝑥𝑘−𝑥𝑘−1
𝑥𝑘
< 𝜀 
 
– Número máximo de iterações (Por que?) 
Erro Relativo 
– Um dos critérios mais utilizados. O algoritmo deve parar quando 
estimações sucessivas estão “próximas o suficiente entre si”. 
 
Seja xk+1 a estimativa do valor da raiz na iteração (K+1) e xk a 
estimativa na iteração anterior (K) 
O algoritmo deve parar uma vez que xk+1 coincida em pelo 
menos p algarismos significativos com xk! 
p = Precisão desejada 
2 
Método da Bissecção 
• Exemplo: Achar a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 10 
 no intervalo [2,3] com o critério de parada sendo o erro 
absoluto < 0,1 
 
Solução 
0172)3()2(  ff
5,22/)32(0 x 25,22/)5,22(1 x
40,0)125,2(125,22/)25,22(2  fx
OK! 
A raiz está no intervalo 2; 2,5 
𝐸 = 2,5 − 2 = 0,5 < 0,2? Continua 
A raiz está no intervalo 2; 2,25 
𝐸 = 2,25 − 2,5 = 0, 25 < 0,2? Continua 
A raiz está no intervalo 2,125; 2,25 
E = 2,125 − 2,25 = 0, 125 < 0,1? Continua! 
062,52)5,2()2(  ff 039,12)25,2()2(  ff
04,02)125,2()2(  ff
Solução 
– Portanto, a raiz da função se encontra no intervalo 
[2,125; 2,1875] 
– Se deserjamro dar apenas um valor, damos o do ultimo x obtido 
– Como foi pedido uma precisão de 1 casa decimal, devemos 
arredondar a resposta para 1 casa decimal 
 
 
1875,22/)25,2215,2(3 x
A raiz está no intervalo 2,125; 2,2325 
E = 2,125 − 2,1875 = 0, 0625 < 0,1? Parou! 
046,04,0)1875,2()125,2(  ff
x = 2,2 
Exercício 
• Exercício 1: Calcular a raiz de 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + ln (𝑥) com o 
erro relativo 𝜖 ≤ 0,05 (isto nos dará uma precisão de 
quantos algarismos significativos?) 
 
• Exercício 2: Utilize o método da bisseção para calcular 
5. 
Método da Bissecção 
• Observações importantes: 
– Esta equação possui duas 
raízes! 
– E Raízesmultiplas (tangentes 
ao eixo x)? 
 
Método da Bissecção 
• Observações importantes: 
– O método da Bissecção é um método iterativo que fornece uma 
resposta aproximada com precisão desejada. 
– Método da Bissecção pertence a classe dos métodos 
intervalares. 
– Com quantos algarismos significativos devo calcular a sequencia 
de soluções x1, x2, x3, ... ? 
• Depende da precisão exigida; aconselha-se usar 2 ou 3 algarismos a mais 
do que a precisão 
 
• Vantagens 
– O método sempre converge para uma solução 
– Simples, não exige maiores conhecimentos sobre a função 𝑓(𝑥) 
que se deseja achar a raiz 
• Desvantagens 
– O esforço computacional do método da bisseção cresce 
demasiadamente quando se aumenta a exatidão da raiz 
desejada 
• Deve ser usado apenas para diminuir o intervalo que 
contém a raiz para posterior aplicação de outro método, 
como o método das cordas ou o método de Newton, por 
exemplo 
Características da Bisseção 
Método da Bissecção - Algoritmo 
Método da Bissecção 
• Exercício: uma gamela (barril serrado ao meio ao longo da 
altura) de comprimento 𝐿 e secção transversal semicircular 
com raio 𝑟, cheia de água até uma distancia 𝑕 do topo tem 
volume dado por: 
𝑣 = 𝐿[0.5𝜋𝑟2 − 𝑟2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑕
𝑟
− 𝑕 𝑟2 − 𝑕2 0.5] 
Suponha que 𝐿 = 10 𝑚, 𝑟 = 1 𝑚 e 𝑣 = 12.4 𝐿 e calcule a 
profundidade da água na gamela. Qual a precisão que devemos 
utilizar? 
 
Resp: em torno de 0.83 𝑚 
 
Método da falsa posição 
• É semelhante ao método da bisseção, mas com uma 
aceleração de convergência (em geral) 
• O intervalo [a,b] não é dividido ao meio, mas sim em 
partes proporcionais a razão −𝑓(𝑎)/𝑓(𝑏) 
 
 
 
 
 
• Alguma situação em que convergiria mais lento que 
bisseção? 
 
 
𝑏 
𝑎 
𝑥 
𝑓(𝑥) 
Método da falsa posição 
• Por semelhança de triângulos: 
𝒙 = 𝒂 −
(𝒃 − 𝒂)𝒇(𝒂)
𝒇 𝒃 − 𝒇(𝒂)
 
𝑏 
𝑎 
𝑥 
𝑓(𝑥) 
𝒃 − 𝒂
𝒇 𝒃 − 𝒇(𝒂)
=
𝒙 − 𝒂
𝟎 − 𝒇(𝒂)
 
−𝒇(𝒂)(𝒃 − 𝒂)
𝒇 𝒃 − 𝒇(𝒂)
= 𝒙 − 𝒂 
Método da falsa posição 
• Exemplo: Achar a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 10 
 no intervalo [2,3] com o critério de parada sendo o erro 
absoluto < 0,2 utilizando o método da falsa posição 
 
Estudo Extra-Classe 
Livro Neide Franco: 
• Leitura: Capítulo 3, seções 3.1 e 3.2 
• Exercícios: 3.1 e 3.2 
• Exercícios complementares: 3.28 ao 3.30 
 
Livro Chapra: 
• Leitura: Capítulo 5, seções 5.1 e 5.2 
• Exercícios: 5.1 a 5.17 que envolvam método da bissecção