Aula5_Análise_Combinatória

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Notas de aula de Estatística_Prof. Rodrigo Mello 1 
Fatorial 
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo 
símbolo n!) como sendo: 
 
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .3.2.1 
 
Para n = 0 , teremos: 0! = 1. 
Para n = 1 , teremos: 1! = 1 
Exemplos: 
 
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 
b) 4! = 4.3.2.1 = 24 
c) observe que 6! = 6.5.4! 
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 
e) 10! = 10.9.8.7.6.5! 
f ) 10! = 10.9.8! 
 
Princípio fundamental da contagem 
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira 
etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras 
diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de 
ocorrer o acontecimento é dado por: 
 
T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
 
Exemplo 1: Carlos abriu o armário e viu que tinha 5 camisas, 4 calças e 2 tênis 
disponíveis para uso. De quantas maneiras diferentes Carlos poderia se vestir? 
 
Sol.: 5 possibilidades x 4 possibil. x 2 possibil. = 40 maneiras diferentes 
 Camisa Calça Tênis 
 
Exemplo 2: O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão 
codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. (a) Qual o número 
máximo de veículos que poderá ser licenciado, podendo-se repetir letras e 
algarismos (caso comum)? (b) sem poder repetir tanto letras quanto algarismos? 
 
Solução: 
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ. 
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos 
(de 0 a 9), podemos concluir que: 
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(a) para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 
2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos 
facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então 
afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 
26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país 
existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que 
ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os 
veículos. 
 
(b) para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como não pode haver repetição, 
para a 2ª teremos 25 alternativas, e para 3ª, 24 alternativas. Com relação aos 
algarismos, temos 10 alternativas para a 1ª posição, 9 para 2ª, 8 para 3ª e 7 para 
4ª posição. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser 
licenciados será igual a: 26.25.24.10.9.8.7 que resulta em 78.624.000 placas 
diferentes. 
 
Permutações simples 
 
Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados 
com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus 
elementos. 
 
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: 
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 
 
O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, 
isto é 
 
Pn = n! onde n! = n.(n-1).(n-2)... 3 . 2 . 1 
 
Exemplos: 
 
a) Permutação de 6 elementos: P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 permutações diferentes 
 
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um 
banco retangular de cinco lugares. 
 
 P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 formas distintas de ocuparem os lugares 
 
� Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma 
palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Obs.: no caso de 
ANAGRAMAS, não se discrimina o ‘ç’ do ‘c’, ou o ‘a’ do ‘á’, ‘â’, ‘ã’ etc. 
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Exemplo: Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e 
IER. 
 
Permutações com Elementos Repetidos 
 
Se entre os n elementos de um conjunto, há um certo elemento que se repete r1 
vezes, um outro que se repete r2 vezes, outro que se repete r3 vezes e assim 
sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: 
1 2 3( , , ,...)
1 2 3
!
! ! !...
r r r
n
n
r r r
P =
 
Ex. 1:Determine o número de anagramas que podem ser gerados a partir da 
palavra MATEMÁTICA.(lembre-se de não considerar o acento) 
 
Solução: 
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas 
vezes, a letra A três, e a letra T duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, 
r1=2 (duas repetições), r2=3 (três repetições) e r3=2 (duas repetições). Assim, 
podemos calcular: 
 
1 2 3( , , ,...)
1 2 3
! 10! 3628800 151200
! ! !... 2!3!2! 2.6.2
r r r
n
n
r r r
P = = = =
 
 
Resposta: 151200 anagramas. 
 
Ex. 2:Determine o número de anagramas que podem ser gerados a partir da 
palavra (a) PARALELO (b) CONSTITUIÇÃO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COMBINAÇÃO 
 
� Suponha que temos um conjunto com n objetos. 
� Uma combinação destes n objetos tomados de r a r é qualquer subconjunto 
com r elementos. 
� Assim, uma combinação de r elementos é qualquer agrupamento ou seleção 
de r objetos dentre os n possíveis, sem considerar a ordem em que eles estão. 
� Na combinação, quando formamos agrupamentos com r elementos, (r < n), os 
grupos com r elementos são distintos entre si apenas pela espécie. 
 
Exemplos: 
(a) Quantas combinações podem ser feitas a partir das letras a, b, c e d, 
tomadas 3 a 3 (ou seja, em grupos de 3)? 
 
Combinações: {a,b,c} {a,b,d} {a,c,d} {b,c,d} ou simplesmente: 
 abc abd acd bcd 
 
Observe que abc, acb, bac, bca, cab, cba soa combinações iguais, isto é, cada 
uma representa o mesmo conjunto {a,b,c}, não importa a ordem em que os 
elementos estão dispostos. 
 
� Assim, o número de combinações de n objetos, tomados r a r, é dado por: 
 
!
, ( )! !
n
n r
n r r
C =
−
 
 
� Para o exemplo (a) temos: n = 4 (nº total de elementos) e r = 3 (cada grupo tem 
3 elementos), assim: 
 
Solução: 4
!3!.1
!3.4
!3)!.34(
!4)3,4( ==
−
=C combinações 
 
(b) De um grupo de 8 pessoas, quantas comissões podem ser formadas com 
3 delas? 
 
Solução: 56
2.3!.5
!5.6.7.8
!3)!.38(
!8)3,8( ==
−
=C combinações 
 
(c) Suponha um grupo com 9 homens e 8 mulheres. 
1. Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas? 
2. Quantas comissões de 6 pessoas, onde 4 pessoas deverão ser homens, 
podem ser formadas? 
3. Quantas comissões de 8 pessoas, onde 5 pessoas deverão ser homens, 
podem ser formadas, se a mulher X participa, mas a mulher Y não, e se os 
homens A, B e C não participam, mas o homem D sim? 
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(c2) Homens: H = 9 
 Mulheres: M = 8; Total de pessoas = 17 = n 
nº de pessoas em cada comissão = 6 = r 
 
Logo, temos uma combinação de 17 pessoas tomadas de 6 em 6: 
 
17! 17! 355687428096000(17,6) (17 6)!6! 11!6! 39916800 . 720C = = =− = 12.376 comissões 
 
Obs.: este cálculo pode ser feito de duas formas (1) através das expansões dos 
fatoriais e depois simplificações (“cortes” do numerador com denominador);ou (2) 
usando diretamente a calculadora: 
 
Digite: 
17! ÷ 11! ÷ 6! 
17 � 2ndf � n! � ÷ � 11 � 2ndf � n! � ÷ � 6 � 2ndf � n! 
 
ou 17! ÷ (11! . 6!) 
17 � 2ndf � n! � ÷ � ( � 11 � 2ndf � n! � x � 6 � 2ndf � n! � ) 
 
 
 
(c1) Homens: H = 9 
 Mulheres: M = 8 
 
 H H H H M M . 
 
 
 C(9,4) . C(8,2) 
 
Logo, temos uma combinação de 9 homens tomados de 4 em 4 e uma 
combinação de 8 mulheres tomadas de 2 em 2. Ou seja, 9 homens “disputando” 4 
lugares e 8 mulheres “disputando” 2 lugares. Assim, temos:9! 9!(9, 4) 126(9 4)!4! 5!4!C = = =− e 
8! 8!(8, 2) 28(8 2)!2! 6!2!C = = =− , logo: 
 
Resposta: C(9,4) . C(8,2) = 126 . 28 = 3.528 comissões 
 
 
 
 
 
 
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(c3) Homens: H = 9 
 Mulheres: M = 8 
 
Número de Homens que irão disputar os lugares nesta comissão: 
 D A,B,C 
H = 9 - 1 - 3 = 5 homens 
 
Número de Mulheres que irão disputar os lugares nesta comissão: 
 X Y 
M = 8 - 1 - 1 = 6 mulheres 
 
 D H H H H X M M . 
 
 C(5,4) . C(6,2) 
 
Logo, temos uma combinação de 5 homens tomados de 4 em 4 e uma 
combinação de 6 mulheres tomadas de 2 em 2. Ou seja, 5 homens “disputando” 4 
lugares e 6 mulheres “disputando” 2 lugares. Assim, temos: 
 
5! 5!(5,4) 5(5 4)!4! 1!4!C = = =− e 
6! 6!(6,2) 15(6 2)!2! 4!2!C = = =− , logo: 
 
Resposta: C(5,4) . C(6,2) = 5 . 15 = 75 comissões 
 
 
(d) Suponha um grupo com 7 homens e 8 mulheres. 
1. Quantas comissões de 7 pessoas podem ser formadas? 
2. Quantas comissões de 7 pessoas, onde 3 pessoas deverão ser homens, 
podem ser formadas? 
3. Quantas comissões de 9 pessoas, onde 5 pessoas deverão ser mulheres, 
podem ser formadas, se as mulheres X e Y participam, mas a mulher Z 
não, e se os homens A e B não participam, mas os homens C e D sim?