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Teoria das estruturas Questão AVA Aberta

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Teoria das Estruturas - Questões AVA
Página 1 de 44 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
Questão Aberta do AVA 
Calcule os pontos de máximos e mínimos para o cortante e o momento fletor no ponto 10 
e trace também as linhas de influência, demonstrando como chegou nos resultados, 
considerando a carga permanente e o Trem–Tipo representados na figura abaixo: 
Figura 1 – Representação da estrutura com a carga permanente onde cada ponto esta numeração de 1 até 17. 
Figura 2 – Trem – Tipo 
RESOLUÇÃO 
Cálculo do grau de estabilidade. 
𝒈 = 𝟑𝒎 − 𝑽𝒆 − 𝑽𝒊 {
𝒎 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔 = 𝟗 
𝑽𝒆 = 𝒗í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐𝒔 = 𝟕 
𝑽𝒊 = 𝒗í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐𝒔 = 𝟐𝟎
𝒈 = 𝟑 × 𝟗 − 𝟕 − 𝟐𝟎 = 𝟎 
𝒈 = 𝟎 ⇒ 𝑬𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒊𝒔𝒐𝒔𝒕á𝒕𝒊𝒄𝒂 
Página 2 de 44 
 Linhas de influência do esforço cortante a esquerda do ponto 10.
 Para a carga permanente (utiliza-se todo o gráfico de linhas de influência para o
cálculo) 

Figura 3
Figura 4
Cálculo dos deslocamentos do diagrama de linhas de influência. 
𝟏
𝟔
=
−∆𝟏
𝟏
=
∆𝟐
𝟒
⇒ {
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
∆𝟐=
𝟒
𝟔
=
𝟐
𝟑
∆𝟐
𝟒
=
−∆𝟑
𝟑
⇒ {∆𝟑=
−𝟑𝒙(
𝟐
𝟑
)
𝟒
= −𝟎, 𝟓 
∆𝟑
𝟓
=
∆𝟒
𝟐
⇒ {∆𝟒=
𝟐(−𝟎, 𝟓)
𝟓
= −𝟎, 𝟐 
Observação: Para o cálculo do cortante devido a carga permanente, multiplica-se as 
cargas permanentes pelo seu deslocamento na linha de influência; e as 
cargas distribuídas uniformes pela área de projeção do respectivo 
carregamento. 
Deve-se utilizar para o cálculo, tanto a parte negativa, quanto a positiva do 
gráfico de linhas de influência. 
Cálculo das áreas 
Área 1: (Trapézio) 
𝑨𝟏 =
(∆𝟒 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 
Área 2: (Triângulo) 
Página 3 de 44 
𝑨𝟐 =
∆𝟑 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟎, 𝟓) × 𝟑
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟓 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟐 × 𝟖
𝟐
=
(𝟐 𝟑⁄ ) × 𝟖
𝟐
=
𝟖
𝟑
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
∆𝟏 × 𝟏
𝟐
=
(− 𝟏 𝟔⁄ ) × 𝟏
𝟐
=
−𝟏
𝟏𝟐
Área 5: (Trapézio) 
𝑨𝟓 =
(∆𝟏 − 𝟏)
𝟐
× 𝟓 =
(− 𝟏 𝟔⁄ ) − 𝟏
𝟐
× 𝟓 =
−𝟖, 𝟕𝟓
𝟑
Área 6: (Retângulo) 
𝑨𝟔 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑
O cortante do lado esquerdo da estrutura terá o seguinte valor: 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟓𝟎. 𝑨𝟑 + 𝟓𝟎. 𝑨𝟒 + 𝟑𝟎(𝑨𝟓 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟎𝟎. ∆𝟏
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎.
𝟖
𝟑
+ 𝟓𝟎.
−𝟏
𝟏𝟐
+ 𝟑𝟎 (
−𝟖, 𝟕𝟓
𝟑
− 𝟑) + 𝟏𝟎𝟎. (
−𝟏
𝟔
) 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵
⇒ 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒅𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂
 Para a carga móvel (ponto de mínimo)
a) Situada no trecho 1 ao 4 (ponto de mínimo)
 Maior carga posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita
para esquerda.
Figura 5
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
∆𝟑
𝟓
=
𝒚𝟏
𝟑, 𝟓
 ⇒ 
−𝟎, 𝟓
𝟓
=
𝒚𝟏
𝟑, 𝟓
⇒ 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓
Página 4 de 44 
 
 
∆𝟑
𝟑
=
𝒚𝟐
𝟏, 𝟓
 ⇒ 
−𝟎, 𝟓
𝟑
=
𝒚𝟐
𝟏, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟏 × 𝟑, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟑𝟓) × 𝟑, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟔𝟏𝟐𝟓 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(𝒚𝟏 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟏𝟑𝟏𝟐𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟑 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟎, 𝟓) × 𝟑
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Área 5: (Retângulo) 
𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝑨𝟑 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟐 + 𝟑𝟓. 𝟎 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟔𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟎, 𝟏𝟑𝟏𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟐𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟎, 𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
direita para esquerda 
 
 
Figura 6 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
 
 
Página 5 de 44 
 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
∆𝟒 × 𝟐
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐) × 𝟐
𝟐
= −𝟎, 𝟐 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(∆𝟒 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟑 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟎, 𝟓) × 𝟑
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Área 5: (Retângulo) 
𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟏 + 𝟐𝟓. ∆𝟑 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟐 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟓)
+ 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟐𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟐, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
direita para esquerda 
 
 
Figura 7 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 
 
Cálculo do deslocamento y3 
 
∆𝟑
𝟓
=
𝒚𝟑
𝟎, 𝟓
 ⇒ 
−𝟎, 𝟓
𝟓
=
𝒚𝟑
𝟎, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 
Página 6 de 44 
 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟑 × 𝟎, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟎𝟓) × 𝟎, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(𝒚𝟑 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(∆𝟑 + 𝒚𝟐)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Área 5: (Retângulo) 
𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
Área 6: (Triângulo) 
𝑨𝟔 =
𝒚𝟐 × 𝟏, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐𝟓) × 𝟏, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. ∆𝟒 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟏 + 𝟑𝟓. ∆𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟐)
+ 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 Carga de 40kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita 
 
 
Figura 8 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 
 
Página 7 de 44 
 
𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟒 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟑 × 𝟎, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟎𝟓) × 𝟎, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(𝒚𝟑 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(∆𝟑 + 𝒚𝟐)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Área 5: (Retângulo) 
𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
Área 6: (Triângulo) 
𝑨𝟔 =
𝒚𝟐 × 𝟏, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐𝟓) × 𝟏, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. ∆𝟑 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟏 + 𝟑𝟓. ∆𝟒 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟓)+ 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟐) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟐, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita 
 
 
Figura 9 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 
Página 8 de 44 
 
 
𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟓 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
∆𝟒 × 𝟐
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐) × 𝟐
𝟐
= −𝟎, 𝟐 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(∆𝟒 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟑 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟎, 𝟓) × 𝟑
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Área 5: (Retângulo) 
𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟐 + 𝟐𝟓. ∆𝟑 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟏 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟓)
+ 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟏, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita 
 
 
Figura 10 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 
 
𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟓 
 
Página 9 de 44 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟏 × 𝟑, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟑𝟓) × 𝟑, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟔𝟏𝟐𝟓 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(𝒚𝟏 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟑 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟎, 𝟓) × 𝟑
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Área 5: (Retângulo) 
𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝟎 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟐 + 𝟑𝟓. ∆𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟔𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟓, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
b) Situada no trecho do 7 ao 10(ponto de mínimo) 
 
 Carga posicionada sobre o maior deslocamento 
 
 
Figura 11 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 
 
𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟓 
 
Cálculo do deslocamento y4 
 
Página 10 de 44 
 
∆𝟏
𝟏
=
𝒚𝟒
𝟒, 𝟓
 ⇒ 
−𝟏
𝟔
=
𝒚𝟒
𝟒, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟒 = −𝟎, 𝟕𝟓 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
∆𝟑 × 𝟖
𝟐
=
(−𝟎, 𝟓) × 𝟖
𝟐
= −𝟐 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝒚𝟒 × 𝟔
𝟐
=
(−𝟎, 𝟕𝟓) × 𝟔
𝟐
= −𝟐, 𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟒 − 𝟏)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟕𝟓 − 𝟏)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟏, 𝟑𝟏𝟐𝟓 
 
Área 4: (Retângulo) 
𝑨𝟒 = −𝟏 × 𝟑 = −𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟓𝟎. 𝑨𝟐 + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. (−𝟏) + 𝟐𝟓. (−𝟏) + 𝟑𝟓. (−𝟏) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟐) + 𝟓𝟎(−𝟐, 𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟑𝟏𝟐𝟓 − 𝟑) − 𝟒𝟎 − 𝟐𝟓 − 𝟑𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
c) Trem-Tipo fora da estrutura(ponto de mínimo) 
 
 
Figura 12 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
∆𝟑 × 𝟖
𝟐
=
(−𝟎, 𝟓) × 𝟖
𝟐
= −𝟐 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Página 11 de 44 
 
Área 3: (Retângulo) 
𝑨𝟑 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟐 − 𝟑 − 𝟑) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵 ⇒ 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 
 
Cortante mínimo à esquerda do ponto 10 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑵 − 𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟓𝟏𝟗 𝒌𝑵 
 
 Para a carga móvel (ponto de máximo - trecho 5 ao 7) 
 
 Carga de 40 kNsituada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita 
 
 
Figura 13 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
Cálculo dos deslocamentos 
 
∆𝟐
𝟒
=
𝒚𝟔
𝟐, 𝟓
=
𝒚𝟕
𝟐, 𝟓
=
𝒚𝟖
𝟏
=
𝒚𝟓
𝟏
 ⇒ {
𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 =
𝟏, 𝟐𝟓
𝟑
𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 =
𝟏
𝟔
 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
∆𝟐 × 𝟒
𝟐
=
(
𝟐
𝟑
) × 𝟒
𝟐
=
𝟒
𝟑
 
 
Área 2: (Trapézio) 
Página 12 de 44 
 
𝑨𝟐 =
(∆𝟐 + 𝒚𝟕)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(
𝟐
𝟑
+
𝟏,𝟐𝟓
𝟑
)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
𝒚𝟕 × 𝟐, 𝟓
𝟐
=
(
𝟏,𝟐𝟓
𝟑
) × 𝟐, 𝟓
𝟐
=
𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓
𝟑
 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟑 + 𝟏𝟓(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟒𝟎. ∆𝟐 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟔 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎 (
𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓
𝟑
) + 𝟏𝟓 (
𝟒
𝟑
+ 𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟒𝟎.
𝟐
𝟑
+ 𝟐𝟓.
𝟏, 𝟐𝟓
𝟑
+ 𝟑𝟓.
𝟏
𝟔
 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟏, 𝟏𝟒𝟓𝟖 𝒌𝑵 
 
 Carga de 25kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita 
 
 
 
Figura 14 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 =
𝟏, 𝟐𝟓
𝟑
 ∴ 𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 =
𝟏
𝟔
 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟏 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟓 × 𝟏
𝟐
=
(
𝟏
𝟔
) × 𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟏𝟐
= 𝑨𝟒(á𝒓𝒆𝒂 𝟒) 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(∆𝟐 + 𝒚𝟓)
𝟐
× 𝟑 =
(
𝟐
𝟑
+
𝟏,𝟐𝟓
𝟑
)
𝟐
× 𝟑 = 𝟏, 𝟔𝟐𝟓 = 𝑨𝟑(á𝒓𝒆𝒂 𝟑) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟒) + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟕 + 𝟐𝟓. ∆𝟐 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟔 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎 (
𝟏
𝟏𝟐
+
𝟏
𝟏𝟐
) + 𝟏𝟓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓 + 𝟏, 𝟔𝟐𝟓) + 𝟒𝟎.
𝟏, 𝟐𝟓
𝟑
+ 𝟐𝟓.
𝟐
𝟑
+ 𝟑𝟓.
𝟏, 𝟐𝟓
𝟑
 
 
Página 13 de 44 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 Carga de 35 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita 
 
 
Figura 15 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 =
𝟏, 𝟐𝟓
𝟑
 ∴ 𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 =
𝟏
𝟔
 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟏 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟔 × 𝟐, 𝟓
𝟐
=
(
𝟏,𝟐𝟓
𝟑
) × 𝟐, 𝟓
𝟐
=
𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓
𝟑
 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(∆𝟐 + 𝒚𝟔)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(
𝟐
𝟑
+
𝟏,𝟐𝟓
𝟑
)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟐 × 𝟒
𝟐
=
(
𝟐
𝟑
) × 𝟒
𝟐
=
𝟒
𝟑
 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟖 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟕 + 𝟑𝟓. ∆𝟔 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎.
𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓
𝟑
+ 𝟏𝟓 (𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓+
𝟒
𝟑
) + 𝟒𝟎.
𝟏
𝟔
+ 𝟐𝟓.
𝟏, 𝟐𝟓
𝟑
+ 𝟑𝟓.
𝟐
𝟑
 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟕 𝒌𝑵 
 
Observação: Não é necessário posicionar o Trem-Tipo vindo da direita para a esquerda, 
pois encontraremos os mesmos resultados. 
 
 
 
 
 
Página 14 de 44 
 
 
 
 
 Trem-Tipo situado fora da estrutura, com carga de multidão dentro da estrutura 
 
 
Figura 16 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
∆𝟐 × 𝟖
𝟐
=
(
𝟐
𝟑
) × 𝟖
𝟐
=
𝟖
𝟑
 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎.
𝟖
𝟑
 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵 ⇒ 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 
 
Cortante máxima à esquerda do ponto 10 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝑵 − 𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟒, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝑵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 15 de 44 
 
 Linhas de influência do esforço cortante à direita do ponto 10. 
 
 Para a carga permanente (utiliza-se todo o gráfico de linhas de influência para o 
cálculo) 
 
 
Figura 17 
 
Cálculo dos deslocamentos do diagrama de linhas de influência. 
 
𝟏
𝟏𝟎
=
∆𝟔
𝟑
=
∆𝟕
𝟐
=
∆𝟖
𝟓
=
∆𝟓
𝟑
 ⇒ {
∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟔= 𝟎, 𝟑
∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓
 
 
∆𝟓
𝟔
=
∆𝟒
𝟏
=
∆𝟑
𝟒
 ⇒ {
∆𝟑= −𝟎, 𝟐
∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓
 
 
∆𝟑
𝟒
=
∆𝟐
𝟑
 ⇒ {∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 
 
∆𝟐
𝟓
=
∆𝟏
𝟐
 ⇒ {∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 
 
∆𝟖
𝟖
=
∆𝟗
𝟓
 ⇒ {∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Trapézio) 
𝑨𝟏 =
(∆𝟏 + ∆𝟐)
𝟐
× 𝟑 =
(𝟎, 𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟏𝟓)
𝟐
× 𝟑 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟓 
 
Área 1’: (Triângulo) 
𝑨𝟏′ =
𝟑 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟑 × 𝟎, 𝟏𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 
 
 
Página 16 de 44 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟖 × ∆𝟑
𝟐
=
𝟖 × (−𝟎, 𝟐)
𝟐
= −𝟎, 𝟖 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
𝟏 × ∆𝟒
𝟐
=
𝟏 × 𝟎, 𝟎𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 
 
Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(∆𝟓 + ∆𝟒)
𝟐
× 𝟓 =
(𝟎, 𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟓)
𝟐
× 𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟓 
 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
𝟑 × ∆𝟓
𝟐
=
𝟑 × 𝟎, 𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟒𝟓 
 
Área 6: (Trapézio) 
𝑨𝟔 =
(𝟏 + ∆𝟔)
𝟐
× 𝟕 =
(𝟏 + 𝟎, 𝟑)
𝟐
× 𝟕 = 𝟒, 𝟓𝟓 
 
Área 7: (Triângulo) 
𝑨𝟕 =
𝟐 × ∆𝟕
𝟐
=
𝟐 × (−𝟎, 𝟐)
𝟐
= −𝟎, 𝟐 
 
Área 8: (Trapézio) 
𝑨𝟖 =
(∆𝟕 + ∆𝟖)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 
 
Área 9: (Trapézio) 
𝑨𝟗 =
(∆𝟖 + ∆𝟗)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 
 
Área 10: (Triângulo) 
𝑨𝟏𝟎 =
𝟓 × ∆𝟗
𝟐
=
𝟓 × (−𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓)
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟏′) + 𝟓𝟎(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟑𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓 + 𝑨𝟔) + 𝟓𝟎(𝑨𝟖 + 𝑨𝟗) + 𝟑𝟎. 𝑨𝟏𝟎
+ 𝟏𝟎𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟔) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(𝟎, 𝟑𝟏𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟐𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟓) + 𝟑𝟎(𝟎, 𝟖𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟒, 𝟓𝟓)
+ 𝟓𝟎(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟑𝟎. (−𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟎𝟎(𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟑) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟏, 𝟖𝟐𝟓 𝒌𝑵 
⇒ 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒅𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 17 de 44 
 
 Para a carga móvel (ponto de mínimo) 
 
a) Situada no trecho do 13 ao 17 
 
 Maior carga posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita. 
 
Figura 18 
 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
Cálculo dos deslocamentos 
 
∆𝟖
𝟓
=
𝒚𝟐
𝟑, 𝟓
=
𝒚𝟏
𝟑
 ⇒ {
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓
𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓
 
 
∆𝟖
𝟖
=
𝒚𝟑
𝟔, 𝟓
 ⇒ {𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟑
𝟐
=
𝟑 × (−𝟎, 𝟐)
𝟐
= −𝟎, 𝟖 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟎, 𝟓 × 𝒚𝟏
𝟐
=
𝟎, 𝟓 × (−𝟎, 𝟎𝟓)
𝟐
= −𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟏 + ∆𝟖)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 
 
Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(∆𝟖 + 𝒚𝟑)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟔𝟕𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓 
 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
𝟔, 𝟓 × 𝒚𝟑
𝟐
=
𝟔, 𝟓 × (−𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓)
𝟐
= −𝟏, 𝟑𝟐𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓 
 
Página 18 de 44 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟓𝟎. 𝑨𝟐 + 𝟓𝟎. 𝑨𝟓 + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟖 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟐 + 𝟑𝟓. 𝑨𝟕 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 − 𝟏, 𝟑𝟐𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟔𝟕𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟓)
+ 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟐) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟕𝟏, 𝟏𝟒𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 Carga de 25 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita 
 
Figura 19 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟕 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟑
𝟐
=
𝟑 × (−𝟎, 𝟐)
𝟐
= −𝟎, 𝟖 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
∆𝟕 × 𝟐
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐) × 𝟐
𝟐
= −𝟎, 𝟐 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(∆𝟕 + ∆𝟖)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 
 
Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(∆𝟖 + ∆𝟗)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
∆𝟗 × 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) × 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟑 + 𝟐𝟓. ∆𝟖 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟐 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟓)
+ 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟓𝟖, 𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 
Página 19 de 44 
 
 Carga de 35 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita 
 
Figura 20 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟕 
 
Cálculo do deslocamento y4 
 
∆𝟖
𝟖
=
𝒚𝟒
𝟑, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟒 = −𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟑
𝟐
=
𝟑 × (−𝟎, 𝟐)
𝟐
= −𝟎, 𝟖 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝒚𝟐 × 𝟑, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟑𝟓) × 𝟑, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟐 + ∆𝟖)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 
 
Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(∆𝟖 + 𝒚𝟒)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟔𝟏𝟕𝟏𝟖𝟕𝟓 
 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
𝒚𝟒 × 𝟑, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) × 𝟑, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟗 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟑 + 𝟑𝟓. ∆𝟖 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 − 𝟏, 𝟔𝟏𝟕𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓)
+ 𝟐𝟓(−𝟎,𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟒𝟔, 𝟐𝟒𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 
Página 20 de 44 
 
 Carga de 40 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita 
para esquerda 
 
 
Figura 21 
 
 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟕 
 
𝒚𝟒 = −𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟑
𝟐
=
𝟑 × (−𝟎, 𝟐)
𝟐
= −𝟎, 𝟖 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝒚𝟐 × 𝟑, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟑𝟓) × 𝟑, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟐 + ∆𝟖)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 
 
Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(∆𝟖 + 𝒚𝟒)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟔𝟏𝟕𝟏𝟖𝟕𝟓 
 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
𝒚𝟒 × 𝟑, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) × 𝟑, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟖 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟑 + 𝟑𝟓. ∆𝟗 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 − 𝟏, 𝟔𝟏𝟕𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟓)
+ 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟒𝟕, 𝟏𝟕𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 
Página 21 de 44 
 
 
 
 Carga de 25 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita 
para esquerda 
 
 
Figura 22 
 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟕 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟑
𝟐
=
𝟑 × (−𝟎, 𝟐)
𝟐
= −𝟎, 𝟖 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
∆𝟕 × 𝟐
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐) × 𝟐
𝟐
= −𝟎, 𝟐 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(∆𝟕 + ∆𝟖)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 
 
Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(∆𝟖 + ∆𝟗)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 
 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
∆𝟗 × 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) × 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟐 + 𝟐𝟓. ∆𝟖 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟓)
+ 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟔𝟑, 𝟖𝟏𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 
Página 22 de 44 
 
 Carga de 35 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita 
para esquerda 
 
 
Figura 23 
 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟕 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟑
𝟐
=
𝟑 × (−𝟎, 𝟐)
𝟐
= −𝟎, 𝟖 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟎, 𝟓 × 𝒚𝟏
𝟐
=
𝟎, 𝟓 × (−𝟎, 𝟎𝟓)
𝟐
= −𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟏 + ∆𝟖)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 
 
Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(∆𝟖 + 𝒚𝟑)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟔𝟕𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓 
 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
𝒚𝟑 × 𝟔, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) × 𝟔, 𝟓
𝟐
= −𝟏, 𝟑𝟐𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟕 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟐 + 𝟑𝟓. ∆𝟖 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 − 𝟏, 𝟑𝟐𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟔𝟕𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟐)
+ 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟔𝟗, 𝟔𝟒𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 
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b) Trem-Tipo situado fora da estrutura, com a carga de multidão dentro da estrutura 
 
 
 
Figura 24 
 
 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟑
𝟐
=
𝟖 × (−𝟎, 𝟐)
𝟐
= −𝟎, 𝟖 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟏𝟑 × ∆𝟖
𝟐
=
𝟏𝟑 × (−𝟎, 𝟓)
𝟐
= −𝟑, 𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟑, 𝟐𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟐𝟎𝟐, 𝟓 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟏, 𝟖𝟐𝟓 𝒌𝑵 
⇒ 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒅𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 
 
Cortante mínimo à direita do ponto 10 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟏, 𝟖𝟐𝟓 𝒌𝑵 − 𝟐𝟎𝟐, 𝟓 𝒌𝑵 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟓𝟎, 𝟔𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 24 de 44 
 
 Para a carga móvel (ponto de máximo) 
 
a) Situação no trecho do 10 ao 13 
 
 Carga de 40 kN situada no ponto de maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita 
 
Figura 25 
 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
Cálculo dos deslocamentos 
 
∆𝟓
𝟔
=
𝒚𝟓
𝟒, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 
 
∆𝟓
𝟑
=
𝒚𝟔
𝟏, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 
 
𝟏
𝟏𝟎
=
𝒚𝟕
𝟖, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝒚𝟓 × 𝟒, 𝟓
𝟐
=
𝟎, 𝟐𝟐𝟓 × 𝟒, 𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟓𝟎𝟔𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟓 + ∆𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(𝟎, 𝟐𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟑)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟑𝟕𝟓 
 
 
 
Página 25 de 44 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
∆𝟓 × 𝟑
𝟐
=
𝟎, 𝟑 × 𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟒𝟓 
 
Área 5: (Trapézio) 
𝑨𝟓 =
(𝟏 + 𝒚𝟕)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(𝟏 + 𝟎, 𝟖𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝟓 
 
Área 6: (Triângulo) 
𝑨𝟔 =
𝒚𝟕 × 𝟖, 𝟓
𝟐
=
𝟎, 𝟖𝟓 × 𝟖, 𝟓
𝟐
= 𝟑, 𝟔𝟏𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝟏 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟔 + 𝟑𝟓. ∆𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟓𝟎𝟔𝟐𝟓 + 𝟑, 𝟔𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟑𝟗𝟑𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎 + 𝟐𝟓(𝟎, 𝟏𝟓)
+ 𝟑𝟓(𝟎, 𝟑) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟐𝟑, 𝟔𝟓𝟔𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 Carga de 25 kN situada no ponto de maior deslocamento 
 
 
Figura 26 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟒 
 
Cálculo do deslocamento 
 
𝟏
𝟏𝟎
=
𝒚𝟖
𝟕
 ⇒ 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟕 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟔 
 
Página 26 de 44 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟔 × ∆𝟓
𝟐
=
𝟔 × 𝟎, 𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟗 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
𝟑 × ∆𝟓
𝟐
=
𝟑 × 𝟎,𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟒𝟓 
 
Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(𝟏 + 𝒚𝟖)
𝟐
× 𝟑 =
(𝟏 + 𝟎, 𝟕)
𝟐
× 𝟑 = 𝟐, 𝟓𝟓 
 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
𝒚𝟖 × 𝟕
𝟐
=
𝟎, 𝟕 × 𝟕
𝟐
= 𝟐, 𝟒𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟕 + 𝟐𝟓. 𝟏 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟔 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟗 + 𝟐, 𝟒𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟐, 𝟓𝟓) + 𝟒𝟎(𝟎, 𝟖𝟓) + 𝟐𝟓 + 𝟑𝟓(𝟎, 𝟏𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎𝟔, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 27 de 44 
 
 Carga de 35 kN situada no ponto de maior deslocamento 
 
 
Figura 27 
 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟒 
 
𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟕 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟎 
 
Cálculo do deslocamento 
 
𝟏
𝟏𝟎
=
𝒚𝟗
𝟓, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟗 = 𝟎, 𝟓𝟓 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟔 × ∆𝟓
𝟐
=
𝟔 × 𝟎, 𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟗 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(∆𝟓+𝒚𝟔)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(𝟎, 𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
𝒚𝟔 × 𝟏, 𝟓
𝟐
=
𝟎, 𝟏𝟓 × 𝟏, 𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟓 
 
Área 5: (Trapézio) 
𝑨𝟓 =
(𝟏 + 𝒚𝟗)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(𝟏 + 𝟎, 𝟓𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = 𝟑, 𝟒𝟖𝟕𝟓 
 
Página 28 de 44 
 
Área 6: (Triângulo) 
𝑨𝟔 =
𝒚𝟗 × 𝟓, 𝟓
𝟐
=
𝟎, 𝟓𝟓 × 𝟓, 𝟓
𝟐
= 𝟏, 𝟓𝟏𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟖 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟕 + 𝟑𝟓. 𝟏 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟗 + 𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 + 𝟏, 𝟓𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟓 + 𝟑, 𝟒𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(𝟎, 𝟕) + 𝟐𝟓(𝟎, 𝟖𝟓)
+ 𝟑𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎𝟓, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 
b) Situação no trecho do 10 ao 13 
 
 Carga de 40 kN situada no ponto de maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
direita para a esquerda 
 
 
 
Figura 28 
 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟒 
 
𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟕 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟎 
 
𝒚𝟗 = 𝟎, 𝟓𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟏 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟔 × ∆𝟓
𝟐
=
𝟔 × 𝟎, 𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟗 
Página 29 de 44 
 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(∆𝟓+𝒚𝟔)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(𝟎, 𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
𝒚𝟔 × 𝟏, 𝟓
𝟐
=
𝟎, 𝟏𝟓 × 𝟏, 𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟓 
 
Área 5: (Trapézio) 
𝑨𝟓 =
(𝟏 + 𝒚𝟗)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(𝟏 + 𝟎, 𝟓𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = 𝟑, 𝟒𝟖𝟕𝟓 
 
Área 6: (Triângulo) 
𝑨𝟔 =
𝒚𝟗 × 𝟓, 𝟓
𝟐
=
𝟎, 𝟓𝟓 × 𝟓, 𝟓
𝟐
= 𝟏, 𝟓𝟏𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝟏 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟕 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟖 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟗 + 𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 + 𝟏, 𝟓𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟓 + 𝟑, 𝟒𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎 + 𝟐𝟓(𝟎, 𝟖𝟓)
+ 𝟑𝟓(𝟎, 𝟕) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎𝟕, 𝟐𝟓𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 Carga de 25 kN situada no ponto de maior deslocamento 
 
 
 
Figura 29 
 
 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟒 
 
𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟕 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟎 
 
Página 30 de 44 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟔 × ∆𝟓
𝟐
=
𝟔 × 𝟎, 𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟗 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
𝟑 × ∆𝟓
𝟐
=
𝟑 × 𝟎, 𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟒𝟓 
 
Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(𝟏 + 𝒚𝟖)
𝟐
× 𝟑 =
(𝟏 + 𝟎, 𝟕)
𝟐
× 𝟑 = 𝟐, 𝟓𝟓 
 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
𝒚𝟖 × 𝟕
𝟐
=
𝟎, 𝟕 × 𝟕
𝟐
= 𝟐, 𝟒𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟔 + 𝟐𝟓. 𝟏 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟕 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟗 + 𝟐, 𝟒𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟐, 𝟓𝟓) + 𝟒𝟎(𝟎, 𝟏𝟓) + 𝟐𝟓 + 𝟑𝟓(𝟎, 𝟖𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎𝟑, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 31 de 44 
 
 Carga de 35 kN situada no ponto de maior deslocamento 
 
 
Figura 30 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟒 
 
𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟕 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟎 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝒚𝟓 × 𝟒, 𝟓
𝟐
=
𝟎, 𝟐𝟐𝟓 × 𝟒, 𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟓𝟎𝟔𝟐𝟓 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟓 + ∆𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(𝟎, 𝟐𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟑)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟑𝟕𝟓 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
∆𝟓 × 𝟑
𝟐
=
𝟎, 𝟑 × 𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟒𝟓 
Área 5: (Trapézio) 
𝑨𝟓 =
(𝟏 + 𝒚𝟕)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(𝟏 + 𝟎, 𝟖𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝟓 
Área 6: (Triângulo) 
𝑨𝟔 =
𝒚𝟕 × 𝟖, 𝟓
𝟐
=
𝟎, 𝟖𝟓 × 𝟖, 𝟓
𝟐
= 𝟑, 𝟔𝟏𝟐𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. ∆𝟓 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟔 + 𝟑𝟓. 𝟏 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟓𝟎𝟔𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 + 𝟑, 𝟔𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(𝟎, 𝟑)
+ 𝟐𝟓(𝟎, 𝟏𝟓) + 𝟑𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟐𝟎, 𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓 𝒌𝑵 
Página 32 de 44 
 
c) Trem-Tipo situado fora da estrutura, com a carga de multidão dentro da estrutura 
 
 
Figura 31 
 
 
∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑
∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓
}
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓
 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟗 × ∆𝟓
𝟐
=
𝟗 × 𝟎, 𝟑
𝟐
= 𝟏, 𝟑𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
𝟏 × 𝟏𝟎
𝟐
= 𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟏, 𝟑𝟓 + 𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟒𝟕, 𝟓 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟏, 𝟖𝟐𝟓 𝒌𝑵 
⇒ 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒅𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 
 
Cortante mínimo à direita do ponto 10 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟒𝟕, 𝟓 𝒌𝑵 + 𝟓𝟏, 𝟖𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟗𝟗, 𝟑𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 
 
Página 33 de 44 
 
 Linhas de influência para o momento fletorno ponto 10. 
 
 Para a carga permanente (utiliza-se todoo gráfico de linhas de influência para o 
cálculo) 
 
 
Figura 32 
 
Cálculo dos deslocamentos do diagrama de linhas de influência. 
 
∆𝟐
𝟓
=
∆𝟏
𝟐
 ⇒ {∆𝟏= −𝟎, 𝟔 
 
∆𝟒
𝟒
=
∆𝟐
𝟑
 ⇒ {∆𝟐= −𝟏, 𝟓𝟎 
 
∆𝟓
𝟔
=
∆𝟒
𝟏
=
∆𝟑
𝟒
 ⇒ {
∆𝟑= 𝟐, 𝟎
∆𝟒= −𝟎, 𝟓
 
 
𝐭𝐠 𝟒𝟓° =
∆𝟓
𝟑
 ⇒ {∆𝟓= −𝟑 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Trapézio) 
𝑨𝟏 =
(∆𝟏 + ∆𝟐)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟔 − 𝟎, 𝟏𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟑, 𝟏𝟓 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
∆𝟐 × 𝟑
𝟐
=
−𝟏, 𝟓 × 𝟑
𝟐
= −𝟐, 𝟐𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟑 × 𝟖
𝟐
=
𝟐 × 𝟖
𝟐
= 𝟖 
 
Área 4: (Triângulo) 
Página 34 de 44 
 
𝑨𝟒 =
∆𝟒 × 𝟏
𝟐
=
−𝟎, 𝟓 × 𝟏
𝟐
= −𝟎, 𝟐𝟓 
 
Área 5: (Trapézio) 
𝑨𝟓 =
(∆𝟒 + ∆𝟓)
𝟐
× 𝟓 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟑)
𝟐
× 𝟓 = −𝟖, 𝟕𝟓 
 
Área 6: (Triângulo) 
𝑨𝟔 =
∆𝟓 × 𝟑
𝟐
=
−𝟑 × 𝟑
𝟐
= −𝟒, 𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓 + 𝑨𝟔) + 𝟓𝟎(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟏𝟎𝟎. ∆𝟒 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(−𝟑, 𝟏𝟓 − 𝟐, 𝟐𝟓 − 𝟖, 𝟕𝟓 − 𝟒, 𝟓) + 𝟓𝟎(𝟖 − 𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟏𝟎𝟎(−𝟎, 𝟓) 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟐𝟐𝟐 𝒌𝑵 
 
 
 Para a carga móvel (ponto de mínimo) 
 
a) Situada no trecho de 7 ao 10 
 
 Carga de 40 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita. 
 
 
Figura 33 
 
 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
Cálculo dos deslocamentos. 
 
∆𝟓
𝟔
=
𝒚𝟏
𝟏, 𝟓
=
𝒚𝟐
𝟑
=
𝒚𝟑
𝟒, 𝟓
 ⇒ {
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓
𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓
𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓
 
 
∆𝟓
𝟑
=
𝒚𝟒
𝟏, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓 
 
 
 
 
Página 35 de 44 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × (−𝟏, 𝟓)
𝟐
= −𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟏, 𝟓 × 𝒚𝟏
𝟐
=
𝟏, 𝟓 × (−𝟎, 𝟕𝟓)
𝟐
= −𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟏 + ∆𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟕𝟓 − 𝟑)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = −𝟖, 𝟒𝟑𝟕𝟓 
 
Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(∆𝟓 + 𝒚𝟒)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟑 − 𝟏, 𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟑, 𝟑𝟕𝟓 
 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
𝒚𝟒 × 𝟏, 𝟓
𝟐
=
(−𝟏, 𝟓) × 𝟏, 𝟓
𝟐
= −𝟏, 𝟏𝟐𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟓 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟑 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟐 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 − 𝟏, 𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟖, 𝟒𝟑𝟕𝟓 − 𝟑, 𝟑𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟑) + 𝟐𝟓(−𝟐, 𝟐𝟓)
+ 𝟑𝟓(−𝟏, 𝟓) 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟑𝟖𝟒, 𝟑𝟕𝟓 − 𝟏𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓 − 𝟏𝟐𝟎 − 𝟓𝟔, 𝟐𝟓 − 𝟓𝟐, 𝟓 = −𝟕𝟗𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 𝒌𝑵. 𝒎 
 
 
 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita. 
 
 
 
Figura 34 
 
 
 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓
𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 
Página 36 de 44 
 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × (−𝟏, 𝟓)
𝟐
= −𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝒚𝟐 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟏, 𝟓) × 𝟑
𝟐
= −𝟐, 𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟐 + ∆𝟓)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟏, 𝟓 − 𝟑)
𝟐
× 𝟑 = −𝟔, 𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
∆𝟓 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟑) × 𝟑
𝟐
= −𝟒, 𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟒 + 𝟐𝟓. ∆𝟓 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟑 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟐, 𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟔, 𝟕𝟓 − 𝟒, 𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟏, 𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟑) + 𝟑𝟓(−𝟐, 𝟐𝟓) 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟕𝟗𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita. 
 
Figura 35 
 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓
𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
∆𝟐 × 𝟖
𝟐
=
(−𝟏, 𝟓) × 𝟖
𝟐
= −𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
Página 37 de 44 
 
𝑨𝟐 =
𝒚𝟑 × 𝟒, 𝟓
𝟐
=
(−𝟐, 𝟐𝟓) × 𝟒, 𝟓
𝟐
= −𝟓, 𝟎𝟔𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟑 + ∆𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟐, 𝟐𝟓 − 𝟑)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟑, 𝟗𝟑𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
∆𝟓 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟑) × 𝟑
𝟐
= −𝟒, 𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝟎 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟒 + 𝟑𝟓. ∆𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟓, 𝟎𝟔𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟑, 𝟗𝟑𝟕𝟓 − 𝟒, 𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟏, 𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟑) 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟖𝟐𝟐, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 
b) Situada no trecho do 7 ao 10 
 
 Carga de 40 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
direita paraesquerda. 
 
 
Figura 36 
 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓
𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
∆𝟐 × 𝟖
𝟐
=
(−𝟏, 𝟓) × 𝟖
𝟐
= −𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝒚𝟑 × 𝟒, 𝟓
𝟐
=
(−𝟐, 𝟐𝟓) × 𝟒, 𝟓
𝟐
= −𝟓, 𝟎𝟔𝟐𝟓 
 
 
 
Página 38 de 44 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟑 + ∆𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟐, 𝟐𝟓 − 𝟑)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟑, 𝟗𝟑𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
∆𝟓 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟑) × 𝟑
𝟐
= −𝟒, 𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟓 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟒 + 𝟑𝟓. 𝟎 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟓, 𝟎𝟔𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟑, 𝟗𝟑𝟐𝟓 − 𝟒, 𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟑) + 𝟐𝟓(−𝟏, 𝟓) 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟖𝟑𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
direita para esquerda. 
 
 
Figura 37 
 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓
𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × (−𝟏, 𝟓)
𝟐
= −𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝒚𝟐 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟏, 𝟓) × 𝟑
𝟐
= −𝟐, 𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟐 + ∆𝟓)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟏, 𝟓 − 𝟑)
𝟐
× 𝟑 = −𝟔, 𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
∆𝟓 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟑) × 𝟑
𝟐
= −𝟒, 𝟓 
Página 39 de 44 
 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟑 + 𝟐𝟓. ∆𝟓 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟒 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟐, 𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟔, 𝟕𝟓 − 𝟒, 𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟐, 𝟐𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟑) + 𝟑𝟓(−𝟏, 𝟓) 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟕𝟗𝟖, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
direita para esquerda. 
 
Figura 38 
 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓
𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × (−𝟏, 𝟓)
𝟐
= −𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟏, 𝟓 × 𝒚𝟏
𝟐
=
𝟏, 𝟓 × (−𝟎, 𝟕𝟓)
𝟐
= −𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟏 + ∆𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟕𝟓 − 𝟑)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = −𝟖, 𝟒𝟑𝟕𝟓Área 4: (Trapézio) 
𝑨𝟒 =
(∆𝟓+𝒚𝟒)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟑 − 𝟏, 𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟑, 𝟑𝟕𝟓 
 
Área 5: (Triângulo) 
𝑨𝟓 =
𝒚𝟒 × 𝟏, 𝟓
𝟐
=
(−𝟏, 𝟓) × 𝟏, 𝟓
𝟐
= −𝟏, 𝟏𝟐𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟐 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟑 + 𝟑𝟓. ∆𝟓 
 
Página 40 de 44 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 − 𝟏, 𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟖, 𝟒𝟑𝟕𝟓 − 𝟑, 𝟑𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟏, 𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟐, 𝟐𝟓)
+ 𝟑𝟓(−𝟑) 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟑𝟖𝟒, 𝟑𝟕𝟓 − 𝟏𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓 − 𝟔𝟎 − 𝟓𝟔, 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟓 = −𝟕𝟖𝟐, 𝟖𝟏𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 
c) Trem-Tipo situado fora da estrutura, com a carga de multidão dentro da estrutura 
 
 
 
Figura 39 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓
𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟐
𝟐
=
𝟖 × (−𝟏, 𝟓)
𝟐
= −𝟔 
 
Área 2: (Triângulo) 
𝑨𝟐 =
𝟗 × ∆𝟓
𝟐
=
𝟗 × (−𝟑)
𝟐
= −𝟏𝟑, 𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) 
 
𝑴 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟏𝟑, 𝟓) 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟗𝟕𝟓 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟐𝟐𝟐 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒇𝒍𝒆𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒗𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 
 
Momento fletor mínimo no ponto 10 da estrutura 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟐𝟐𝟐 𝒌𝑵 − 𝟗𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟏𝟏𝟗𝟕 𝒌𝑵 
 
 
 
 
 
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 Para a carga móvel (ponto de máximo) 
 
a) Situada no trecho de 4 ao 7 
 
 Carga de 40 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita. 
 
 
 
Figura 40 
 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
Cálculo dos deslocamentos. 
 
∆𝟑
𝟒
=
𝒚𝟔
𝟐, 𝟓
=
𝒚𝟓
𝟏
=
𝒚𝟕
𝟐, 𝟓
=
𝒚𝟖
𝟏
 ⇒ {
𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 = 𝟏, 𝟐𝟓
𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟓𝟎
 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟒 × ∆𝟑
𝟐
=
𝟒 × 𝟐
𝟐
= 𝟒 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(∆𝟑 + 𝒚𝟕)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(𝟐 + 𝟏, 𝟐𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = 𝟐, 𝟒𝟑𝟕𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
𝒚𝟕 × 𝟐, 𝟓
𝟐
=
𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟐, 𝟓
𝟐
= 𝟏, 𝟖𝟕𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟑 + 𝟏𝟓(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟒𝟎. ∆𝟑 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟔 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎 × 𝟏, 𝟖𝟕𝟓 + 𝟏𝟓(𝟒 + 𝟐, 𝟒𝟑𝟕𝟓) + 𝟒𝟎 × 𝟐 + 𝟐𝟓 × 𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟑𝟓 × 𝟎, 𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟑𝟏𝟗, 𝟎𝟔𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 
 
 
 
Página 42 de 44 
 
 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita. 
 
 
 
Figura 41 
 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 = 𝟏, 𝟐 ∴ 𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟓𝟎 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟒𝟎 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟓 × 𝟏
𝟐
=
𝟎, 𝟓 × 𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟐𝟓 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(𝒚𝟓+∆𝟕)
𝟐
× 𝟑 =
(𝟎, 𝟓 + 𝟐)
𝟐
× 𝟑 = 𝟑, 𝟕𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(𝒚𝟓+∆𝟕)
𝟐
× 𝟑 =
(𝟎, 𝟓 + 𝟐)
𝟐
× 𝟑 = 𝟑, 𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
𝒚𝟓 × 𝟏
𝟐
=
𝟎, 𝟓 × 𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟐𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟒) + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟕 + 𝟐𝟓. ∆𝟑 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟔 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(𝟑, 𝟕𝟓 + 𝟑, 𝟕𝟓) + 𝟒𝟎 × 𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 × 𝟐 + 𝟑𝟓 × 𝟏, 𝟐𝟓 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟐𝟖𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 43 de 44 
 
 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita. 
 
 
 
Figura 42 
 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 = 𝟏, 𝟐 ∴ 𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟓𝟎 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟒𝟎 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟔 × 𝟐, 𝟓
𝟐
=
𝟏, 𝟐𝟓 × 𝟐, 𝟓
𝟐
= 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(𝒚𝟔+∆𝟑)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟐)
𝟐
× 𝟏, 𝟐𝟓 = 𝟏, 𝟔𝟖𝟕𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟑 × 𝟒
𝟐
=
𝟐 × 𝟒
𝟐
= 𝟒 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟖 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟕 + 𝟑𝟓. ∆𝟑 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎 × 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 + 𝟏𝟓(𝟏, 𝟔𝟖𝟕𝟓 + 𝟒) + 𝟒𝟎 × 𝟎, 𝟓 + 𝟐𝟓 × 𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟑𝟓 × 𝟐 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟐𝟖𝟒, 𝟔𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
Observação: Não é necessário calcular o Trem-Tipo da direita para a esquerda, pois o 
triângulo é simétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 44 de 44 
 
b) Trem-Tipo situado fora da estrutura, com a carga de multidão dentro da estrutura 
 
 
 
 
Figura 43 
 
 
∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐
∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑
} ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝟖 × ∆𝟑
𝟐
=
𝟖 × 𝟐
𝟐
= 𝟖 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎 × 𝟖 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟐𝟐𝟐 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒇𝒍𝒆𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒗𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 
 
Momento fletor mínimo no ponto 10 da estrutura 
 
𝑴𝟏𝟎 = −𝟐𝟐𝟐 𝒌𝑵 + 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑵 
 
𝑴𝟏𝟎 = 𝟏𝟕𝟖 𝒌𝑵 
 
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	Teoria das Estruturas - Questão AVA
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