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Teoria das Estruturas - Questões AVA Página 1 de 44 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Questão Aberta do AVA Calcule os pontos de máximos e mínimos para o cortante e o momento fletor no ponto 10 e trace também as linhas de influência, demonstrando como chegou nos resultados, considerando a carga permanente e o Trem–Tipo representados na figura abaixo: Figura 1 – Representação da estrutura com a carga permanente onde cada ponto esta numeração de 1 até 17. Figura 2 – Trem – Tipo RESOLUÇÃO Cálculo do grau de estabilidade. 𝒈 = 𝟑𝒎 − 𝑽𝒆 − 𝑽𝒊 { 𝒎 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔 = 𝟗 𝑽𝒆 = 𝒗í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐𝒔 = 𝟕 𝑽𝒊 = 𝒗í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐𝒔 = 𝟐𝟎 𝒈 = 𝟑 × 𝟗 − 𝟕 − 𝟐𝟎 = 𝟎 𝒈 = 𝟎 ⇒ 𝑬𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒊𝒔𝒐𝒔𝒕á𝒕𝒊𝒄𝒂 Página 2 de 44 Linhas de influência do esforço cortante a esquerda do ponto 10. Para a carga permanente (utiliza-se todo o gráfico de linhas de influência para o cálculo) Figura 3 Figura 4 Cálculo dos deslocamentos do diagrama de linhas de influência. 𝟏 𝟔 = −∆𝟏 𝟏 = ∆𝟐 𝟒 ⇒ { ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∆𝟐= 𝟒 𝟔 = 𝟐 𝟑 ∆𝟐 𝟒 = −∆𝟑 𝟑 ⇒ {∆𝟑= −𝟑𝒙( 𝟐 𝟑 ) 𝟒 = −𝟎, 𝟓 ∆𝟑 𝟓 = ∆𝟒 𝟐 ⇒ {∆𝟒= 𝟐(−𝟎, 𝟓) 𝟓 = −𝟎, 𝟐 Observação: Para o cálculo do cortante devido a carga permanente, multiplica-se as cargas permanentes pelo seu deslocamento na linha de influência; e as cargas distribuídas uniformes pela área de projeção do respectivo carregamento. Deve-se utilizar para o cálculo, tanto a parte negativa, quanto a positiva do gráfico de linhas de influência. Cálculo das áreas Área 1: (Trapézio) 𝑨𝟏 = (∆𝟒 + ∆𝟑) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 Área 2: (Triângulo) Página 3 de 44 𝑨𝟐 = ∆𝟑 × 𝟑 𝟐 = (−𝟎, 𝟓) × 𝟑 𝟐 = −𝟎, 𝟕𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = ∆𝟐 × 𝟖 𝟐 = (𝟐 𝟑⁄ ) × 𝟖 𝟐 = 𝟖 𝟑 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = ∆𝟏 × 𝟏 𝟐 = (− 𝟏 𝟔⁄ ) × 𝟏 𝟐 = −𝟏 𝟏𝟐 Área 5: (Trapézio) 𝑨𝟓 = (∆𝟏 − 𝟏) 𝟐 × 𝟓 = (− 𝟏 𝟔⁄ ) − 𝟏 𝟐 × 𝟓 = −𝟖, 𝟕𝟓 𝟑 Área 6: (Retângulo) 𝑨𝟔 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 O cortante do lado esquerdo da estrutura terá o seguinte valor: 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟓𝟎. 𝑨𝟑 + 𝟓𝟎. 𝑨𝟒 + 𝟑𝟎(𝑨𝟓 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟎𝟎. ∆𝟏 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎. 𝟖 𝟑 + 𝟓𝟎. −𝟏 𝟏𝟐 + 𝟑𝟎 ( −𝟖, 𝟕𝟓 𝟑 − 𝟑) + 𝟏𝟎𝟎. ( −𝟏 𝟔 ) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵 ⇒ 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒅𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 Para a carga móvel (ponto de mínimo) a) Situada no trecho 1 ao 4 (ponto de mínimo) Maior carga posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita para esquerda. Figura 5 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 ∆𝟑 𝟓 = 𝒚𝟏 𝟑, 𝟓 ⇒ −𝟎, 𝟓 𝟓 = 𝒚𝟏 𝟑, 𝟓 ⇒ 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 Página 4 de 44 ∆𝟑 𝟑 = 𝒚𝟐 𝟏, 𝟓 ⇒ −𝟎, 𝟓 𝟑 = 𝒚𝟐 𝟏, 𝟓 ⇒ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝒚𝟏 × 𝟑, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟑𝟓) × 𝟑, 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟔𝟏𝟐𝟓 Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (𝒚𝟏 + ∆𝟑) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟎, 𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟏𝟑𝟏𝟐𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = ∆𝟑 × 𝟑 𝟐 = (−𝟎, 𝟓) × 𝟑 𝟐 = −𝟎, 𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = (−𝟏) × 𝟔 𝟐 = −𝟑 Área 5: (Retângulo) 𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝑨𝟑 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟐 + 𝟑𝟓. 𝟎 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟔𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟎, 𝟏𝟑𝟏𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟐𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟎, 𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita para esquerda Figura 6 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 Página 5 de 44 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = ∆𝟒 × 𝟐 𝟐 = (−𝟎, 𝟐) × 𝟐 𝟐 = −𝟎, 𝟐 Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (∆𝟒 + ∆𝟑) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = ∆𝟑 × 𝟑 𝟐 = (−𝟎, 𝟓) × 𝟑 𝟐 = −𝟎, 𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = (−𝟏) × 𝟔 𝟐 = −𝟑 Área 5: (Retângulo) 𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟏 + 𝟐𝟓. ∆𝟑 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟐 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟐𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟐, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita para esquerda Figura 7 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 Cálculo do deslocamento y3 ∆𝟑 𝟓 = 𝒚𝟑 𝟎, 𝟓 ⇒ −𝟎, 𝟓 𝟓 = 𝒚𝟑 𝟎, 𝟓 ⇒ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 Página 6 de 44 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝒚𝟑 × 𝟎, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟎𝟓) × 𝟎, 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (𝒚𝟑 + ∆𝟑) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = (−𝟎, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (∆𝟑 + 𝒚𝟐) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = (−𝟏) × 𝟔 𝟐 = −𝟑 Área 5: (Retângulo) 𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 Área 6: (Triângulo) 𝑨𝟔 = 𝒚𝟐 × 𝟏, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟐𝟓) × 𝟏, 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. ∆𝟒 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟏 + 𝟑𝟓. ∆𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟐) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 Carga de 40kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita Figura 8 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 Página 7 de 44 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟒 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝒚𝟑 × 𝟎, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟎𝟓) × 𝟎, 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (𝒚𝟑 + ∆𝟑) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = (−𝟎, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (∆𝟑 + 𝒚𝟐) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = (−𝟏) × 𝟔 𝟐 = −𝟑 Área 5: (Retângulo) 𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 Área 6: (Triângulo) 𝑨𝟔 = 𝒚𝟐 × 𝟏, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟐𝟓) × 𝟏, 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. ∆𝟑 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟏 + 𝟑𝟓. ∆𝟒 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟓)+ 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟐) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟐, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita Figura 9 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 Página 8 de 44 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = ∆𝟒 × 𝟐 𝟐 = (−𝟎, 𝟐) × 𝟐 𝟐 = −𝟎, 𝟐 Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (∆𝟒 + ∆𝟑) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = ∆𝟑 × 𝟑 𝟐 = (−𝟎, 𝟓) × 𝟑 𝟐 = −𝟎, 𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = (−𝟏) × 𝟔 𝟐 = −𝟑 Área 5: (Retângulo) 𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟐 + 𝟐𝟓. ∆𝟑 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟏 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟏, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita Figura 10 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟓 Página 9 de 44 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝒚𝟏 × 𝟑, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟑𝟓) × 𝟑, 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟔𝟏𝟐𝟓 Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (𝒚𝟏 + ∆𝟑) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟎, 𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = ∆𝟑 × 𝟑 𝟐 = (−𝟎, 𝟓) × 𝟑 𝟐 = −𝟎, 𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = (−𝟏) × 𝟔 𝟐 = −𝟑 Área 5: (Retângulo) 𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝟎 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟐 + 𝟑𝟓. ∆𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟔𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟓, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 b) Situada no trecho do 7 ao 10(ponto de mínimo) Carga posicionada sobre o maior deslocamento Figura 11 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟓 Cálculo do deslocamento y4 Página 10 de 44 ∆𝟏 𝟏 = 𝒚𝟒 𝟒, 𝟓 ⇒ −𝟏 𝟔 = 𝒚𝟒 𝟒, 𝟓 ⇒ 𝒚𝟒 = −𝟎, 𝟕𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = ∆𝟑 × 𝟖 𝟐 = (−𝟎, 𝟓) × 𝟖 𝟐 = −𝟐 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝒚𝟒 × 𝟔 𝟐 = (−𝟎, 𝟕𝟓) × 𝟔 𝟐 = −𝟐, 𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟒 − 𝟏) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟎, 𝟕𝟓 − 𝟏) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟏, 𝟑𝟏𝟐𝟓 Área 4: (Retângulo) 𝑨𝟒 = −𝟏 × 𝟑 = −𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟓𝟎. 𝑨𝟐 + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. (−𝟏) + 𝟐𝟓. (−𝟏) + 𝟑𝟓. (−𝟏) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟐) + 𝟓𝟎(−𝟐, 𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟑𝟏𝟐𝟓 − 𝟑) − 𝟒𝟎 − 𝟐𝟓 − 𝟑𝟓 𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 c) Trem-Tipo fora da estrutura(ponto de mínimo) Figura 12 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = ∆𝟑 × 𝟖 𝟐 = (−𝟎, 𝟓) × 𝟖 𝟐 = −𝟐 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = (−𝟏) × 𝟔 𝟐 = −𝟑 Página 11 de 44 Área 3: (Retângulo) 𝑨𝟑 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟐 − 𝟑 − 𝟑) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵 ⇒ 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 Cortante mínimo à esquerda do ponto 10 𝑸𝟏𝟎 = −𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑵 − 𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵 𝑸𝟏𝟎 = −𝟓𝟏𝟗 𝒌𝑵 Para a carga móvel (ponto de máximo - trecho 5 ao 7) Carga de 40 kNsituada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita Figura 13 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 Cálculo dos deslocamentos ∆𝟐 𝟒 = 𝒚𝟔 𝟐, 𝟓 = 𝒚𝟕 𝟐, 𝟓 = 𝒚𝟖 𝟏 = 𝒚𝟓 𝟏 ⇒ { 𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 = 𝟏, 𝟐𝟓 𝟑 𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 = 𝟏 𝟔 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = ∆𝟐 × 𝟒 𝟐 = ( 𝟐 𝟑 ) × 𝟒 𝟐 = 𝟒 𝟑 Área 2: (Trapézio) Página 12 de 44 𝑨𝟐 = (∆𝟐 + 𝒚𝟕) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = ( 𝟐 𝟑 + 𝟏,𝟐𝟓 𝟑 ) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = 𝒚𝟕 × 𝟐, 𝟓 𝟐 = ( 𝟏,𝟐𝟓 𝟑 ) × 𝟐, 𝟓 𝟐 = 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟑 + 𝟏𝟓(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟒𝟎. ∆𝟐 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟔 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎 ( 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝟑 ) + 𝟏𝟓 ( 𝟒 𝟑 + 𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟒𝟎. 𝟐 𝟑 + 𝟐𝟓. 𝟏, 𝟐𝟓 𝟑 + 𝟑𝟓. 𝟏 𝟔 𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟏, 𝟏𝟒𝟓𝟖 𝒌𝑵 Carga de 25kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita Figura 14 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 = 𝟏, 𝟐𝟓 𝟑 ∴ 𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 = 𝟏 𝟔 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟏 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝒚𝟓 × 𝟏 𝟐 = ( 𝟏 𝟔 ) × 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟏𝟐 = 𝑨𝟒(á𝒓𝒆𝒂 𝟒) Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (∆𝟐 + 𝒚𝟓) 𝟐 × 𝟑 = ( 𝟐 𝟑 + 𝟏,𝟐𝟓 𝟑 ) 𝟐 × 𝟑 = 𝟏, 𝟔𝟐𝟓 = 𝑨𝟑(á𝒓𝒆𝒂 𝟑) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟒) + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟕 + 𝟐𝟓. ∆𝟐 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟔 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎 ( 𝟏 𝟏𝟐 + 𝟏 𝟏𝟐 ) + 𝟏𝟓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓 + 𝟏, 𝟔𝟐𝟓) + 𝟒𝟎. 𝟏, 𝟐𝟓 𝟑 + 𝟐𝟓. 𝟐 𝟑 + 𝟑𝟓. 𝟏, 𝟐𝟓 𝟑 Página 13 de 44 𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟓 𝒌𝑵 Carga de 35 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita Figura 15 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 = 𝟏, 𝟐𝟓 𝟑 ∴ 𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 = 𝟏 𝟔 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟏 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝒚𝟔 × 𝟐, 𝟓 𝟐 = ( 𝟏,𝟐𝟓 𝟑 ) × 𝟐, 𝟓 𝟐 = 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝟑 Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (∆𝟐 + 𝒚𝟔) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = ( 𝟐 𝟑 + 𝟏,𝟐𝟓 𝟑 ) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = ∆𝟐 × 𝟒 𝟐 = ( 𝟐 𝟑 ) × 𝟒 𝟐 = 𝟒 𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟖 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟕 + 𝟑𝟓. ∆𝟔 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝟑 + 𝟏𝟓 (𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓+ 𝟒 𝟑 ) + 𝟒𝟎. 𝟏 𝟔 + 𝟐𝟓. 𝟏, 𝟐𝟓 𝟑 + 𝟑𝟓. 𝟐 𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟕 𝒌𝑵 Observação: Não é necessário posicionar o Trem-Tipo vindo da direita para a esquerda, pois encontraremos os mesmos resultados. Página 14 de 44 Trem-Tipo situado fora da estrutura, com carga de multidão dentro da estrutura Figura 16 ∆𝟏= −𝟏 𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟐 𝟑 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = ∆𝟐 × 𝟖 𝟐 = ( 𝟐 𝟑 ) × 𝟖 𝟐 = 𝟖 𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝟖 𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵 ⇒ 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 Cortante máxima à esquerda do ponto 10 𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝑵 − 𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵 𝑸𝟏𝟎 = 𝟏𝟒, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝑵 Página 15 de 44 Linhas de influência do esforço cortante à direita do ponto 10. Para a carga permanente (utiliza-se todo o gráfico de linhas de influência para o cálculo) Figura 17 Cálculo dos deslocamentos do diagrama de linhas de influência. 𝟏 𝟏𝟎 = ∆𝟔 𝟑 = ∆𝟕 𝟐 = ∆𝟖 𝟓 = ∆𝟓 𝟑 ⇒ { ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∆𝟓 𝟔 = ∆𝟒 𝟏 = ∆𝟑 𝟒 ⇒ { ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∆𝟑 𝟒 = ∆𝟐 𝟑 ⇒ {∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∆𝟐 𝟓 = ∆𝟏 𝟐 ⇒ {∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∆𝟖 𝟖 = ∆𝟗 𝟓 ⇒ {∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Trapézio) 𝑨𝟏 = (∆𝟏 + ∆𝟐) 𝟐 × 𝟑 = (𝟎, 𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟏𝟓) 𝟐 × 𝟑 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟓 Área 1’: (Triângulo) 𝑨𝟏′ = 𝟑 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟑 × 𝟎, 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 Página 16 de 44 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟖 × ∆𝟑 𝟐 = 𝟖 × (−𝟎, 𝟐) 𝟐 = −𝟎, 𝟖 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = 𝟏 × ∆𝟒 𝟐 = 𝟏 × 𝟎, 𝟎𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (∆𝟓 + ∆𝟒) 𝟐 × 𝟓 = (𝟎, 𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟓) 𝟐 × 𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = 𝟑 × ∆𝟓 𝟐 = 𝟑 × 𝟎, 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟓 Área 6: (Trapézio) 𝑨𝟔 = (𝟏 + ∆𝟔) 𝟐 × 𝟕 = (𝟏 + 𝟎, 𝟑) 𝟐 × 𝟕 = 𝟒, 𝟓𝟓 Área 7: (Triângulo) 𝑨𝟕 = 𝟐 × ∆𝟕 𝟐 = 𝟐 × (−𝟎, 𝟐) 𝟐 = −𝟎, 𝟐 Área 8: (Trapézio) 𝑨𝟖 = (∆𝟕 + ∆𝟖) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 Área 9: (Trapézio) 𝑨𝟗 = (∆𝟖 + ∆𝟗) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) 𝟐 × 𝟑 = −𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 Área 10: (Triângulo) 𝑨𝟏𝟎 = 𝟓 × ∆𝟗 𝟐 = 𝟓 × (−𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) 𝟐 = −𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟏′) + 𝟓𝟎(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟑𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓 + 𝑨𝟔) + 𝟓𝟎(𝑨𝟖 + 𝑨𝟗) + 𝟑𝟎. 𝑨𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟔) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(𝟎, 𝟑𝟏𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟐𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟓) + 𝟑𝟎(𝟎, 𝟖𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟒, 𝟓𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟑𝟎. (−𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟎𝟎(𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟑) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟏, 𝟖𝟐𝟓 𝒌𝑵 ⇒ 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒅𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 Página 17 de 44 Para a carga móvel (ponto de mínimo) a) Situada no trecho do 13 ao 17 Maior carga posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita. Figura 18 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 Cálculo dos deslocamentos ∆𝟖 𝟓 = 𝒚𝟐 𝟑, 𝟓 = 𝒚𝟏 𝟑 ⇒ { 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∆𝟖 𝟖 = 𝒚𝟑 𝟔, 𝟓 ⇒ {𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟑 𝟐 = 𝟑 × (−𝟎, 𝟐) 𝟐 = −𝟎, 𝟖 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟎, 𝟓 × 𝒚𝟏 𝟐 = 𝟎, 𝟓 × (−𝟎, 𝟎𝟓) 𝟐 = −𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟏 + ∆𝟖) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = (−𝟎, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (∆𝟖 + 𝒚𝟑) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟔𝟕𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = 𝟔, 𝟓 × 𝒚𝟑 𝟐 = 𝟔, 𝟓 × (−𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) 𝟐 = −𝟏, 𝟑𝟐𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓 Página 18 de 44 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟓𝟎. 𝑨𝟐 + 𝟓𝟎. 𝑨𝟓 + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟖 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟐 + 𝟑𝟓. 𝑨𝟕 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 − 𝟏, 𝟑𝟐𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟔𝟕𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟐) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟕𝟏, 𝟏𝟒𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 Carga de 25 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita Figura 19 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟕 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟑 𝟐 = 𝟑 × (−𝟎, 𝟐) 𝟐 = −𝟎, 𝟖 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = ∆𝟕 × 𝟐 𝟐 = (−𝟎, 𝟐) × 𝟐 𝟐 = −𝟎, 𝟐 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (∆𝟕 + ∆𝟖) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (∆𝟖 + ∆𝟗) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) 𝟐 × 𝟑 = −𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = ∆𝟗 × 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) × 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟑 + 𝟐𝟓. ∆𝟖 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟐 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟓𝟖, 𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 Página 19 de 44 Carga de 35 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita Figura 20 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟕 Cálculo do deslocamento y4 ∆𝟖 𝟖 = 𝒚𝟒 𝟑, 𝟓 ⇒ 𝒚𝟒 = −𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟑 𝟐 = 𝟑 × (−𝟎, 𝟐) 𝟐 = −𝟎, 𝟖 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝒚𝟐 × 𝟑, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟑𝟓) × 𝟑, 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟐 + ∆𝟖) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟎, 𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (∆𝟖 + 𝒚𝟒) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = (−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟔𝟏𝟕𝟏𝟖𝟕𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = 𝒚𝟒 × 𝟑, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) × 𝟑, 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟗 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟑 + 𝟑𝟓. ∆𝟖 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 − 𝟏, 𝟔𝟏𝟕𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎,𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟒𝟔, 𝟐𝟒𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 Página 20 de 44 Carga de 40 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita para esquerda Figura 21 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟕 𝒚𝟒 = −𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟑 𝟐 = 𝟑 × (−𝟎, 𝟐) 𝟐 = −𝟎, 𝟖 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝒚𝟐 × 𝟑, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟑𝟓) × 𝟑, 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟐 + ∆𝟖) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟎, 𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (∆𝟖 + 𝒚𝟒) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = (−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟔𝟏𝟕𝟏𝟖𝟕𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = 𝒚𝟒 × 𝟑, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) × 𝟑, 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟖 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟑 + 𝟑𝟓. ∆𝟗 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓 − 𝟏, 𝟔𝟏𝟕𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟒𝟕, 𝟏𝟕𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 Página 21 de 44 Carga de 25 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita para esquerda Figura 22 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟕 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟑 𝟐 = 𝟑 × (−𝟎, 𝟐) 𝟐 = −𝟎, 𝟖 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = ∆𝟕 × 𝟐 𝟐 = (−𝟎, 𝟐) × 𝟐 𝟐 = −𝟎, 𝟐 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (∆𝟕 + ∆𝟖) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (∆𝟖 + ∆𝟗) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) 𝟐 × 𝟑 = −𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = ∆𝟗 × 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) × 𝟓 𝟐 = −𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟐 + 𝟐𝟓. ∆𝟖 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟑 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟏, 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟔𝟑, 𝟖𝟏𝟐𝟓 𝒌𝑵 Página 22 de 44 Carga de 35 kN situada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita para esquerda Figura 23 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟕 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟑 𝟐 = 𝟑 × (−𝟎, 𝟐) 𝟐 = −𝟎, 𝟖 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟎, 𝟓 × 𝒚𝟏 𝟐 = 𝟎, 𝟓 × (−𝟎, 𝟎𝟓) 𝟐 = −𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟏 + ∆𝟖) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = (−𝟎, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟓) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (∆𝟖 + 𝒚𝟑) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟔𝟕𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = 𝒚𝟑 × 𝟔, 𝟓 𝟐 = (−𝟎, 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓) × 𝟔, 𝟓 𝟐 = −𝟏, 𝟑𝟐𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟕 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟐 + 𝟑𝟓. ∆𝟖 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 − 𝟏, 𝟑𝟐𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟔𝟕𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟐) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟔𝟗, 𝟔𝟒𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 Página 23 de 44 b) Trem-Tipo situado fora da estrutura, com a carga de multidão dentro da estrutura Figura 24 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟑 𝟐 = 𝟖 × (−𝟎, 𝟐) 𝟐 = −𝟎, 𝟖 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟏𝟑 × ∆𝟖 𝟐 = 𝟏𝟑 × (−𝟎, 𝟓) 𝟐 = −𝟑, 𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟖 − 𝟑, 𝟐𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = −𝟐𝟎𝟐, 𝟓 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟏, 𝟖𝟐𝟓 𝒌𝑵 ⇒ 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒅𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 Cortante mínimo à direita do ponto 10 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟏, 𝟖𝟐𝟓 𝒌𝑵 − 𝟐𝟎𝟐, 𝟓 𝒌𝑵 𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟓𝟎, 𝟔𝟕𝟓 𝒌𝑵 Página 24 de 44 Para a carga móvel (ponto de máximo) a) Situação no trecho do 10 ao 13 Carga de 40 kN situada no ponto de maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita Figura 25 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 Cálculo dos deslocamentos ∆𝟓 𝟔 = 𝒚𝟓 𝟒, 𝟓 ⇒ 𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∆𝟓 𝟑 = 𝒚𝟔 𝟏, 𝟓 ⇒ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 𝟏 𝟏𝟎 = 𝒚𝟕 𝟖, 𝟓 ⇒ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝒚𝟓 × 𝟒, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 × 𝟒, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟔𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟓 + ∆𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (𝟎, 𝟐𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟑) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟑𝟕𝟓 Página 25 de 44 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = ∆𝟓 × 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟑 × 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟓 Área 5: (Trapézio) 𝑨𝟓 = (𝟏 + 𝒚𝟕) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (𝟏 + 𝟎, 𝟖𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝟓 Área 6: (Triângulo) 𝑨𝟔 = 𝒚𝟕 × 𝟖, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟓 × 𝟖, 𝟓 𝟐 = 𝟑, 𝟔𝟏𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝟏 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟔 + 𝟑𝟓. ∆𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟓𝟎𝟔𝟐𝟓 + 𝟑, 𝟔𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟑𝟗𝟑𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎 + 𝟐𝟓(𝟎, 𝟏𝟓) + 𝟑𝟓(𝟎, 𝟑) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟐𝟑, 𝟔𝟓𝟔𝟐𝟓 𝒌𝑵 Carga de 25 kN situada no ponto de maior deslocamento Figura 26 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟒 Cálculo do deslocamento 𝟏 𝟏𝟎 = 𝒚𝟖 𝟕 ⇒ 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟕 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟔 Página 26 de 44 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟔 × ∆𝟓 𝟐 = 𝟔 × 𝟎, 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟗 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = 𝟑 × ∆𝟓 𝟐 = 𝟑 × 𝟎,𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟓 Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (𝟏 + 𝒚𝟖) 𝟐 × 𝟑 = (𝟏 + 𝟎, 𝟕) 𝟐 × 𝟑 = 𝟐, 𝟓𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = 𝒚𝟖 × 𝟕 𝟐 = 𝟎, 𝟕 × 𝟕 𝟐 = 𝟐, 𝟒𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟕 + 𝟐𝟓. 𝟏 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟔 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟗 + 𝟐, 𝟒𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟐, 𝟓𝟓) + 𝟒𝟎(𝟎, 𝟖𝟓) + 𝟐𝟓 + 𝟑𝟓(𝟎, 𝟏𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎𝟔, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 Página 27 de 44 Carga de 35 kN situada no ponto de maior deslocamento Figura 27 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟒 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟕 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟎 Cálculo do deslocamento 𝟏 𝟏𝟎 = 𝒚𝟗 𝟓, 𝟓 ⇒ 𝒚𝟗 = 𝟎, 𝟓𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟔 × ∆𝟓 𝟐 = 𝟔 × 𝟎, 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟗 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (∆𝟓+𝒚𝟔) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (𝟎, 𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = 𝒚𝟔 × 𝟏, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟓 × 𝟏, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟓 Área 5: (Trapézio) 𝑨𝟓 = (𝟏 + 𝒚𝟗) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = (𝟏 + 𝟎, 𝟓𝟓) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = 𝟑, 𝟒𝟖𝟕𝟓 Página 28 de 44 Área 6: (Triângulo) 𝑨𝟔 = 𝒚𝟗 × 𝟓, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟓 × 𝟓, 𝟓 𝟐 = 𝟏, 𝟓𝟏𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟖 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟕 + 𝟑𝟓. 𝟏 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟗 + 𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 + 𝟏, 𝟓𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟓 + 𝟑, 𝟒𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(𝟎, 𝟕) + 𝟐𝟓(𝟎, 𝟖𝟓) + 𝟑𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎𝟓, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 b) Situação no trecho do 10 ao 13 Carga de 40 kN situada no ponto de maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita para a esquerda Figura 28 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟒 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟕 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟎 𝒚𝟗 = 𝟎, 𝟓𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟏 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟔 × ∆𝟓 𝟐 = 𝟔 × 𝟎, 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟗 Página 29 de 44 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (∆𝟓+𝒚𝟔) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (𝟎, 𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = 𝒚𝟔 × 𝟏, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟓 × 𝟏, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟓 Área 5: (Trapézio) 𝑨𝟓 = (𝟏 + 𝒚𝟗) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = (𝟏 + 𝟎, 𝟓𝟓) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = 𝟑, 𝟒𝟖𝟕𝟓 Área 6: (Triângulo) 𝑨𝟔 = 𝒚𝟗 × 𝟓, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟓 × 𝟓, 𝟓 𝟐 = 𝟏, 𝟓𝟏𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝟏 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟕 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟖 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟗 + 𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 + 𝟏, 𝟓𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟓 + 𝟑, 𝟒𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎 + 𝟐𝟓(𝟎, 𝟖𝟓) + 𝟑𝟓(𝟎, 𝟕) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎𝟕, 𝟐𝟓𝟓 𝒌𝑵 Carga de 25 kN situada no ponto de maior deslocamento Figura 29 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟒 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟕 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟎 Página 30 de 44 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟔 × ∆𝟓 𝟐 = 𝟔 × 𝟎, 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟗 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = 𝟑 × ∆𝟓 𝟐 = 𝟑 × 𝟎, 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟓 Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (𝟏 + 𝒚𝟖) 𝟐 × 𝟑 = (𝟏 + 𝟎, 𝟕) 𝟐 × 𝟑 = 𝟐, 𝟓𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = 𝒚𝟖 × 𝟕 𝟐 = 𝟎, 𝟕 × 𝟕 𝟐 = 𝟐, 𝟒𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟔 + 𝟐𝟓. 𝟏 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟕 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟗 + 𝟐, 𝟒𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟐, 𝟓𝟓) + 𝟒𝟎(𝟎, 𝟏𝟓) + 𝟐𝟓 + 𝟑𝟓(𝟎, 𝟖𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎𝟑, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 Página 31 de 44 Carga de 35 kN situada no ponto de maior deslocamento Figura 30 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 𝒚𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟒 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟕 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐𝟎 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝒚𝟓 × 𝟒, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 × 𝟒, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟔𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟓 + ∆𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (𝟎, 𝟐𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟑) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟑𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = ∆𝟓 × 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟑 × 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟓 Área 5: (Trapézio) 𝑨𝟓 = (𝟏 + 𝒚𝟕) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (𝟏 + 𝟎, 𝟖𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝟓 Área 6: (Triângulo) 𝑨𝟔 = 𝒚𝟕 × 𝟖, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟓 × 𝟖, 𝟓 𝟐 = 𝟑, 𝟔𝟏𝟐𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. ∆𝟓 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟔 + 𝟑𝟓. 𝟏 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟓𝟎𝟔𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 + 𝟑, 𝟔𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(𝟎, 𝟑) + 𝟐𝟓(𝟎, 𝟏𝟓) + 𝟑𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟐𝟎, 𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓 𝒌𝑵 Página 32 de 44 c) Trem-Tipo situado fora da estrutura, com a carga de multidão dentro da estrutura Figura 31 ∆𝟏= 𝟎, 𝟎𝟔 ∴ ∆𝟐= 𝟎, 𝟏𝟓 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟒= 𝟎, 𝟎𝟓 ∴ ∆𝟓= 𝟎, 𝟑 ∆𝟔= 𝟎, 𝟑 ∴ ∆𝟕= −𝟎, 𝟐 ∴ ∆𝟖= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟗= −𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 } 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟏𝟓 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × 𝟎, 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟗 × ∆𝟓 𝟐 = 𝟗 × 𝟎, 𝟑 𝟐 = 𝟏, 𝟑𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = 𝟏 × 𝟏𝟎 𝟐 = 𝟓 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟔 + 𝟏, 𝟑𝟓 + 𝟓) 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟒𝟕, 𝟓 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟏, 𝟖𝟐𝟓 𝒌𝑵 ⇒ 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒅𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 Cortante mínimo à direita do ponto 10 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟒𝟕, 𝟓 𝒌𝑵 + 𝟓𝟏, 𝟖𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟗𝟗, 𝟑𝟐𝟓 𝒌𝑵 Página 33 de 44 Linhas de influência para o momento fletorno ponto 10. Para a carga permanente (utiliza-se todoo gráfico de linhas de influência para o cálculo) Figura 32 Cálculo dos deslocamentos do diagrama de linhas de influência. ∆𝟐 𝟓 = ∆𝟏 𝟐 ⇒ {∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∆𝟒 𝟒 = ∆𝟐 𝟑 ⇒ {∆𝟐= −𝟏, 𝟓𝟎 ∆𝟓 𝟔 = ∆𝟒 𝟏 = ∆𝟑 𝟒 ⇒ { ∆𝟑= 𝟐, 𝟎 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 𝐭𝐠 𝟒𝟓° = ∆𝟓 𝟑 ⇒ {∆𝟓= −𝟑 Cálculo das áreas Área 1: (Trapézio) 𝑨𝟏 = (∆𝟏 + ∆𝟐) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟎, 𝟔 − 𝟎, 𝟏𝟓) 𝟐 × 𝟑 = −𝟑, 𝟏𝟓 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = ∆𝟐 × 𝟑 𝟐 = −𝟏, 𝟓 × 𝟑 𝟐 = −𝟐, 𝟐𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = ∆𝟑 × 𝟖 𝟐 = 𝟐 × 𝟖 𝟐 = 𝟖 Área 4: (Triângulo) Página 34 de 44 𝑨𝟒 = ∆𝟒 × 𝟏 𝟐 = −𝟎, 𝟓 × 𝟏 𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 Área 5: (Trapézio) 𝑨𝟓 = (∆𝟒 + ∆𝟓) 𝟐 × 𝟓 = (−𝟎, 𝟓 − 𝟑) 𝟐 × 𝟓 = −𝟖, 𝟕𝟓 Área 6: (Triângulo) 𝑨𝟔 = ∆𝟓 × 𝟑 𝟐 = −𝟑 × 𝟑 𝟐 = −𝟒, 𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓 + 𝑨𝟔) + 𝟓𝟎(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟏𝟎𝟎. ∆𝟒 𝑴𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(−𝟑, 𝟏𝟓 − 𝟐, 𝟐𝟓 − 𝟖, 𝟕𝟓 − 𝟒, 𝟓) + 𝟓𝟎(𝟖 − 𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟏𝟎𝟎(−𝟎, 𝟓) 𝑴𝟏𝟎 = −𝟐𝟐𝟐 𝒌𝑵 Para a carga móvel (ponto de mínimo) a) Situada no trecho de 7 ao 10 Carga de 40 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita. Figura 33 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 Cálculo dos deslocamentos. ∆𝟓 𝟔 = 𝒚𝟏 𝟏, 𝟓 = 𝒚𝟐 𝟑 = 𝒚𝟑 𝟒, 𝟓 ⇒ { 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓 𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∆𝟓 𝟑 = 𝒚𝟒 𝟏, 𝟓 ⇒ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓 Página 35 de 44 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × (−𝟏, 𝟓) 𝟐 = −𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟏, 𝟓 × 𝒚𝟏 𝟐 = 𝟏, 𝟓 × (−𝟎, 𝟕𝟓) 𝟐 = −𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟏 + ∆𝟓) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = (−𝟎, 𝟕𝟓 − 𝟑) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = −𝟖, 𝟒𝟑𝟕𝟓 Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (∆𝟓 + 𝒚𝟒) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟑 − 𝟏, 𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟑, 𝟑𝟕𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = 𝒚𝟒 × 𝟏, 𝟓 𝟐 = (−𝟏, 𝟓) × 𝟏, 𝟓 𝟐 = −𝟏, 𝟏𝟐𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟓 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟑 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟐 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 − 𝟏, 𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟖, 𝟒𝟑𝟕𝟓 − 𝟑, 𝟑𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟑) + 𝟐𝟓(−𝟐, 𝟐𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟏, 𝟓) 𝑴𝟏𝟎 = −𝟑𝟖𝟒, 𝟑𝟕𝟓 − 𝟏𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓 − 𝟏𝟐𝟎 − 𝟓𝟔, 𝟐𝟓 − 𝟓𝟐, 𝟓 = −𝟕𝟗𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 𝒌𝑵. 𝒎 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita. Figura 34 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓 𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 Página 36 de 44 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × (−𝟏, 𝟓) 𝟐 = −𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝒚𝟐 × 𝟑 𝟐 = (−𝟏, 𝟓) × 𝟑 𝟐 = −𝟐, 𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟐 + ∆𝟓) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟏, 𝟓 − 𝟑) 𝟐 × 𝟑 = −𝟔, 𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = ∆𝟓 × 𝟑 𝟐 = (−𝟑) × 𝟑 𝟐 = −𝟒, 𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟒 + 𝟐𝟓. ∆𝟓 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟑 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟐, 𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟔, 𝟕𝟓 − 𝟒, 𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟏, 𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟑) + 𝟑𝟓(−𝟐, 𝟐𝟓) 𝑴𝟏𝟎 = −𝟕𝟗𝟓 𝒌𝑵 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita. Figura 35 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓 𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = ∆𝟐 × 𝟖 𝟐 = (−𝟏, 𝟓) × 𝟖 𝟐 = −𝟔 Área 2: (Triângulo) Página 37 de 44 𝑨𝟐 = 𝒚𝟑 × 𝟒, 𝟓 𝟐 = (−𝟐, 𝟐𝟓) × 𝟒, 𝟓 𝟐 = −𝟓, 𝟎𝟔𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟑 + ∆𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟐, 𝟐𝟓 − 𝟑) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟑, 𝟗𝟑𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = ∆𝟓 × 𝟑 𝟐 = (−𝟑) × 𝟑 𝟐 = −𝟒, 𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝟎 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟒 + 𝟑𝟓. ∆𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟓, 𝟎𝟔𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟑, 𝟗𝟑𝟕𝟓 − 𝟒, 𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟏, 𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟑) 𝑴𝟏𝟎 = −𝟖𝟐𝟐, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 b) Situada no trecho do 7 ao 10 Carga de 40 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita paraesquerda. Figura 36 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓 𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = ∆𝟐 × 𝟖 𝟐 = (−𝟏, 𝟓) × 𝟖 𝟐 = −𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝒚𝟑 × 𝟒, 𝟓 𝟐 = (−𝟐, 𝟐𝟓) × 𝟒, 𝟓 𝟐 = −𝟓, 𝟎𝟔𝟐𝟓 Página 38 de 44 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟑 + ∆𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟐, 𝟐𝟓 − 𝟑) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟑, 𝟗𝟑𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = ∆𝟓 × 𝟑 𝟐 = (−𝟑) × 𝟑 𝟐 = −𝟒, 𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. ∆𝟓 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟒 + 𝟑𝟓. 𝟎 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟓, 𝟎𝟔𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟑, 𝟗𝟑𝟐𝟓 − 𝟒, 𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟑) + 𝟐𝟓(−𝟏, 𝟓) 𝑴𝟏𝟎 = −𝟖𝟑𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita para esquerda. Figura 37 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓 𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × (−𝟏, 𝟓) 𝟐 = −𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝒚𝟐 × 𝟑 𝟐 = (−𝟏, 𝟓) × 𝟑 𝟐 = −𝟐, 𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟐 + ∆𝟓) 𝟐 × 𝟑 = (−𝟏, 𝟓 − 𝟑) 𝟐 × 𝟑 = −𝟔, 𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = ∆𝟓 × 𝟑 𝟐 = (−𝟑) × 𝟑 𝟐 = −𝟒, 𝟓 Página 39 de 44 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟑 + 𝟐𝟓. ∆𝟓 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟒 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟐, 𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟔, 𝟕𝟓 − 𝟒, 𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟐, 𝟐𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟑) + 𝟑𝟓(−𝟏, 𝟓) 𝑴𝟏𝟎 = −𝟕𝟗𝟖, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita para esquerda. Figura 38 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓 𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × (−𝟏, 𝟓) 𝟐 = −𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟏, 𝟓 × 𝒚𝟏 𝟐 = 𝟏, 𝟓 × (−𝟎, 𝟕𝟓) 𝟐 = −𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟏 + ∆𝟓) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = (−𝟎, 𝟕𝟓 − 𝟑) 𝟐 × 𝟒, 𝟓 = −𝟖, 𝟒𝟑𝟕𝟓Área 4: (Trapézio) 𝑨𝟒 = (∆𝟓+𝒚𝟒) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (−𝟑 − 𝟏, 𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = −𝟑, 𝟑𝟕𝟓 Área 5: (Triângulo) 𝑨𝟓 = 𝒚𝟒 × 𝟏, 𝟓 𝟐 = (−𝟏, 𝟓) × 𝟏, 𝟓 𝟐 = −𝟏, 𝟏𝟐𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟓) + 𝟏𝟓(𝑨𝟑 + 𝑨𝟒) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟐 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟑 + 𝟑𝟓. ∆𝟓 Página 40 de 44 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 − 𝟏, 𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟖, 𝟒𝟑𝟕𝟓 − 𝟑, 𝟑𝟕𝟓) + 𝟒𝟎(−𝟏, 𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟐, 𝟐𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟑) 𝑴𝟏𝟎 = −𝟑𝟖𝟒, 𝟑𝟕𝟓 − 𝟏𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓 − 𝟔𝟎 − 𝟓𝟔, 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟓 = −𝟕𝟖𝟐, 𝟖𝟏𝟐𝟓 𝒌𝑵 c) Trem-Tipo situado fora da estrutura, com a carga de multidão dentro da estrutura Figura 39 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟏, 𝟓 𝒚𝟑 = −𝟐, 𝟐𝟓 ∴ 𝒚𝟒 = −𝟏, 𝟓 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟒 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟐 𝟐 = 𝟖 × (−𝟏, 𝟓) 𝟐 = −𝟔 Área 2: (Triângulo) 𝑨𝟐 = 𝟗 × ∆𝟓 𝟐 = 𝟗 × (−𝟑) 𝟐 = −𝟏𝟑, 𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) 𝑴 = 𝟓𝟎(−𝟔 − 𝟏𝟑, 𝟓) 𝑴𝟏𝟎 = −𝟗𝟕𝟓 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 𝑴𝟏𝟎 = −𝟐𝟐𝟐 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒇𝒍𝒆𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒗𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 Momento fletor mínimo no ponto 10 da estrutura 𝑴𝟏𝟎 = −𝟐𝟐𝟐 𝒌𝑵 − 𝟗𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑴𝟏𝟎 = −𝟏𝟏𝟗𝟕 𝒌𝑵 Página 41 de 44 Para a carga móvel (ponto de máximo) a) Situada no trecho de 4 ao 7 Carga de 40 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita. Figura 40 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 Cálculo dos deslocamentos. ∆𝟑 𝟒 = 𝒚𝟔 𝟐, 𝟓 = 𝒚𝟓 𝟏 = 𝒚𝟕 𝟐, 𝟓 = 𝒚𝟖 𝟏 ⇒ { 𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 = 𝟏, 𝟐𝟓 𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟓𝟎 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟒 × ∆𝟑 𝟐 = 𝟒 × 𝟐 𝟐 = 𝟒 Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (∆𝟑 + 𝒚𝟕) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (𝟐 + 𝟏, 𝟐𝟓) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟐, 𝟒𝟑𝟕𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = 𝒚𝟕 × 𝟐, 𝟓 𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟐, 𝟓 𝟐 = 𝟏, 𝟖𝟕𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟑 + 𝟏𝟓(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟒𝟎. ∆𝟑 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟔 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎 × 𝟏, 𝟖𝟕𝟓 + 𝟏𝟓(𝟒 + 𝟐, 𝟒𝟑𝟕𝟓) + 𝟒𝟎 × 𝟐 + 𝟐𝟓 × 𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟑𝟓 × 𝟎, 𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟑𝟏𝟗, 𝟎𝟔𝟐𝟓 𝒌𝑵 Página 42 de 44 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita. Figura 41 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 = 𝟏, 𝟐 ∴ 𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟓𝟎 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟒𝟎 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝒚𝟓 × 𝟏 𝟐 = 𝟎, 𝟓 × 𝟏 𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟓 Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (𝒚𝟓+∆𝟕) 𝟐 × 𝟑 = (𝟎, 𝟓 + 𝟐) 𝟐 × 𝟑 = 𝟑, 𝟕𝟓 Área 3: (Trapézio) 𝑨𝟑 = (𝒚𝟓+∆𝟕) 𝟐 × 𝟑 = (𝟎, 𝟓 + 𝟐) 𝟐 × 𝟑 = 𝟑, 𝟕𝟓 Área 4: (Triângulo) 𝑨𝟒 = 𝒚𝟓 × 𝟏 𝟐 = 𝟎, 𝟓 × 𝟏 𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟒) + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟕 + 𝟐𝟓. ∆𝟑 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟔 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝟎, 𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(𝟑, 𝟕𝟓 + 𝟑, 𝟕𝟓) + 𝟒𝟎 × 𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 × 𝟐 + 𝟑𝟓 × 𝟏, 𝟐𝟓 𝑴𝟏𝟎 = 𝟐𝟖𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 Página 43 de 44 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da esquerda para direita. Figura 42 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 𝒚𝟔 = 𝒚𝟕 = 𝟏, 𝟐 ∴ 𝒚𝟓 = 𝒚𝟖 = 𝟎, 𝟓𝟎 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟒𝟎 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝒚𝟔 × 𝟐, 𝟓 𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟓 × 𝟐, 𝟓 𝟐 = 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 Área 2: (Trapézio) 𝑨𝟐 = (𝒚𝟔+∆𝟑) 𝟐 × 𝟏, 𝟓 = (𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟐) 𝟐 × 𝟏, 𝟐𝟓 = 𝟏, 𝟔𝟖𝟕𝟓 Área 3: (Triângulo) 𝑨𝟑 = ∆𝟑 × 𝟒 𝟐 = 𝟐 × 𝟒 𝟐 = 𝟒 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟖 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟕 + 𝟑𝟓. ∆𝟑 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎 × 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 + 𝟏𝟓(𝟏, 𝟔𝟖𝟕𝟓 + 𝟒) + 𝟒𝟎 × 𝟎, 𝟓 + 𝟐𝟓 × 𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟑𝟓 × 𝟐 𝑴𝟏𝟎 = 𝟐𝟖𝟒, 𝟔𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 Observação: Não é necessário calcular o Trem-Tipo da direita para a esquerda, pois o triângulo é simétrico. Página 44 de 44 b) Trem-Tipo situado fora da estrutura, com a carga de multidão dentro da estrutura Figura 43 ∆𝟏= −𝟎, 𝟔 ∴ ∆𝟐= −𝟏, 𝟓 ∴ ∆𝟑= 𝟐 ∆𝟒= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟓= −𝟑 } ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑𝟐 Cálculo das áreas Área 1: (Triângulo) 𝑨𝟏 = 𝟖 × ∆𝟑 𝟐 = 𝟖 × 𝟐 𝟐 = 𝟖 𝑴𝟏𝟎 = 𝟓𝟎 × 𝟖 𝑴𝟏𝟎 = 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎ó𝒗𝒆𝒍 𝑴𝟏𝟎 = −𝟐𝟐𝟐 𝒌𝑵 ⇒ 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒇𝒍𝒆𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒗𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 Momento fletor mínimo no ponto 10 da estrutura 𝑴𝟏𝟎 = −𝟐𝟐𝟐 𝒌𝑵 + 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝑴𝟏𝟎 = 𝟏𝟕𝟖 𝒌𝑵 capa-disciplina Teoria das Estruturas - Questão AVA contra-capa Página em branco Página em branco
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