A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
48 pág.
Teoria das estruturas Questão AVA Aberta

Pré-visualização | Página 1 de 7

Teoria das Estruturas - Questões AVA
Página 1 de 44 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
Questão Aberta do AVA 
Calcule os pontos de máximos e mínimos para o cortante e o momento fletor no ponto 10 
e trace também as linhas de influência, demonstrando como chegou nos resultados, 
considerando a carga permanente e o Trem–Tipo representados na figura abaixo: 
Figura 1 – Representação da estrutura com a carga permanente onde cada ponto esta numeração de 1 até 17. 
Figura 2 – Trem – Tipo 
RESOLUÇÃO 
Cálculo do grau de estabilidade. 
𝒈 = 𝟑𝒎 − 𝑽𝒆 − 𝑽𝒊 {
𝒎 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔 = 𝟗 
𝑽𝒆 = 𝒗í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐𝒔 = 𝟕 
𝑽𝒊 = 𝒗í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐𝒔 = 𝟐𝟎
𝒈 = 𝟑 × 𝟗 − 𝟕 − 𝟐𝟎 = 𝟎 
𝒈 = 𝟎 ⇒ 𝑬𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒊𝒔𝒐𝒔𝒕á𝒕𝒊𝒄𝒂 
Página 2 de 44 
 Linhas de influência do esforço cortante a esquerda do ponto 10.
 Para a carga permanente (utiliza-se todo o gráfico de linhas de influência para o
cálculo) 

Figura 3
Figura 4
Cálculo dos deslocamentos do diagrama de linhas de influência. 
𝟏
𝟔
=
−∆𝟏
𝟏
=
∆𝟐
𝟒
⇒ {
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
∆𝟐=
𝟒
𝟔
=
𝟐
𝟑
∆𝟐
𝟒
=
−∆𝟑
𝟑
⇒ {∆𝟑=
−𝟑𝒙(
𝟐
𝟑
)
𝟒
= −𝟎, 𝟓 
∆𝟑
𝟓
=
∆𝟒
𝟐
⇒ {∆𝟒=
𝟐(−𝟎, 𝟓)
𝟓
= −𝟎, 𝟐 
Observação: Para o cálculo do cortante devido a carga permanente, multiplica-se as 
cargas permanentes pelo seu deslocamento na linha de influência; e as 
cargas distribuídas uniformes pela área de projeção do respectivo 
carregamento. 
Deve-se utilizar para o cálculo, tanto a parte negativa, quanto a positiva do 
gráfico de linhas de influência. 
Cálculo das áreas 
Área 1: (Trapézio) 
𝑨𝟏 =
(∆𝟒 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 
Área 2: (Triângulo) 
Página 3 de 44 
𝑨𝟐 =
∆𝟑 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟎, 𝟓) × 𝟑
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟓 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟐 × 𝟖
𝟐
=
(𝟐 𝟑⁄ ) × 𝟖
𝟐
=
𝟖
𝟑
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
∆𝟏 × 𝟏
𝟐
=
(− 𝟏 𝟔⁄ ) × 𝟏
𝟐
=
−𝟏
𝟏𝟐
Área 5: (Trapézio) 
𝑨𝟓 =
(∆𝟏 − 𝟏)
𝟐
× 𝟓 =
(− 𝟏 𝟔⁄ ) − 𝟏
𝟐
× 𝟓 =
−𝟖, 𝟕𝟓
𝟑
Área 6: (Retângulo) 
𝑨𝟔 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑
O cortante do lado esquerdo da estrutura terá o seguinte valor: 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝟓𝟎. 𝑨𝟑 + 𝟓𝟎. 𝑨𝟒 + 𝟑𝟎(𝑨𝟓 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟎𝟎. ∆𝟏
𝑸𝟏𝟎 = 𝟑𝟎(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎.
𝟖
𝟑
+ 𝟓𝟎.
−𝟏
𝟏𝟐
+ 𝟑𝟎 (
−𝟖, 𝟕𝟓
𝟑
− 𝟑) + 𝟏𝟎𝟎. (
−𝟏
𝟔
) 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟏𝟏𝟗 𝒌𝑵
⇒ 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒅𝒐 à 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂
 Para a carga móvel (ponto de mínimo)
a) Situada no trecho 1 ao 4 (ponto de mínimo)
 Maior carga posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da direita
para esquerda.
Figura 5
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
∆𝟑
𝟓
=
𝒚𝟏
𝟑, 𝟓
 ⇒ 
−𝟎, 𝟓
𝟓
=
𝒚𝟏
𝟑, 𝟓
⇒ 𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓
Página 4 de 44 
 
 
∆𝟑
𝟑
=
𝒚𝟐
𝟏, 𝟓
 ⇒ 
−𝟎, 𝟓
𝟑
=
𝒚𝟐
𝟏, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟏 × 𝟑, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟑𝟓) × 𝟑, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟔𝟏𝟐𝟓 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(𝒚𝟏 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟏𝟑𝟏𝟐𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟑 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟎, 𝟓) × 𝟑
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Área 5: (Retângulo) 
𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝑨𝟑 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟐 + 𝟑𝟓. 𝟎 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟔𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟎, 𝟏𝟑𝟏𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟐𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟐𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟎, 𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 
 Carga de 25 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
direita para esquerda 
 
 
Figura 6 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
 
 
Página 5 de 44 
 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
∆𝟒 × 𝟐
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐) × 𝟐
𝟐
= −𝟎, 𝟐 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(∆𝟒 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟑 =
(−𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟑 = −𝟏, 𝟎𝟓 
 
Área 3: (Triângulo) 
𝑨𝟑 =
∆𝟑 × 𝟑
𝟐
=
(−𝟎, 𝟓) × 𝟑
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Área 5: (Retângulo) 
𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. 𝑨𝟏 + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. 𝒚𝟏 + 𝟐𝟓. ∆𝟑 + 𝟑𝟓. 𝒚𝟐 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(−𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟓)
+ 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟐𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟐, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 Carga de 35 kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
direita para esquerda 
 
 
Figura 7 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 
 
Cálculo do deslocamento y3 
 
∆𝟑
𝟓
=
𝒚𝟑
𝟎, 𝟓
 ⇒ 
−𝟎, 𝟓
𝟓
=
𝒚𝟑
𝟎, 𝟓
 ⇒ 𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 
Página 6 de 44 
 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟑 × 𝟎, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟎𝟓) × 𝟎, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(𝒚𝟑 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(∆𝟑 + 𝒚𝟐)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Área 5: (Retângulo) 
𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
Área 6: (Triângulo) 
𝑨𝟔 =
𝒚𝟐 × 𝟏, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐𝟓) × 𝟏, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. ∆𝟒 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟏 + 𝟑𝟓. ∆𝟑 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟐)
+ 𝟐𝟓(−𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟑𝟓(−𝟎, 𝟓) 
 
𝑸𝟏𝟎 = −𝟑𝟕𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
 Carga de 40kN posicionada sobre o maior deslocamento – Trem-Tipo vindo da 
esquerda para direita 
 
 
Figura 8 
 
∆𝟏=
−𝟏
𝟔
 ∴ ∆𝟐=
𝟐
𝟑
 ∴ ∆𝟑= −𝟎, 𝟓 ∴ ∆𝟒= −𝟎, 𝟐 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟐 
 
𝒚𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∴ 𝒚𝟐 = −𝟎, 𝟐𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟑 
 
Página 7 de 44 
 
𝒚𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓 ⇒ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝟒 
 
Cálculo das áreas 
 
Área 1: (Triângulo) 
𝑨𝟏 =
𝒚𝟑 × 𝟎, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟎𝟓) × 𝟎, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 
 
Área 2: (Trapézio) 
𝑨𝟐 =
(𝒚𝟑 + ∆𝟑)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟓)
𝟐
× 𝟒, 𝟓 = −𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 
 
Área 3: (Trapézio) 
𝑨𝟑 =
(∆𝟑 + 𝒚𝟐)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 =
(−𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟓)
𝟐
× 𝟏, 𝟓 = −𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 
 
Área 4: (Triângulo) 
𝑨𝟒 =
(−𝟏) × 𝟔
𝟐
= −𝟑 
 
Área 5: (Retângulo) 
𝑨𝟓 = (−𝟏) × 𝟑 = −𝟑 
 
Área 6: (Triângulo) 
𝑨𝟔 =
𝒚𝟐 × 𝟏, 𝟓
𝟐
=
(−𝟎, 𝟐𝟓) × 𝟏, 𝟓
𝟐
= −𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎(𝑨𝟏 + 𝑨𝟔) + 𝟏𝟓(𝑨𝟐 + 𝑨𝟑) + 𝟓𝟎(𝑨𝟒 + 𝑨𝟓) + 𝟒𝟎. ∆𝟑 + 𝟐𝟓. 𝒚𝟏 + 𝟑𝟓. ∆𝟒 
 
𝑸𝟏𝟎 = 𝟓𝟎. (−𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓) + 𝟏𝟓(−𝟏, 𝟐𝟑𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓) + 𝟓𝟎(−𝟑 − 𝟑) + 𝟒𝟎(−𝟎, 𝟓)