Apostila Concreto Armado Fundamentos 3 revisado

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FUNDAÇÃO MUNICIPAL DE ENSINO DE PIRACICABA 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE PIRACICABA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concreto Armado 
Domínios de Deformações 
Flexão Simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Salvador Domingos Marth 
 
 
 
 
Piracicaba, junho de 2005. 
Revisão - 2015 
ii 
 
Lista de Figuras 
 
Figura 1: Trajetória das tensões principais de uma viga biapoiada no estádio I 
sob carregamento uniformemente distribuído 2 
Figura 2: Componentes de tensão segundo os estados de tensão relativos aos eixos 
principais e aos eixos nas direções x e y 2 
Figura 3: Domínios de Estado Limite Último de uma seção transversal 3 
Figura 4: Tração Uniforme na reta a 4 
Figura 5: Tração Não Uniforme no domínio 1 a 5 
Figura 6: Caso de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 2a 5 
Figura 7: Caso de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 3 6 
Figura 8: Caso de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 4 7 
Figura 9: Caso de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 4a 7 
Figura 10: Compressão Não Uniforme no Domínio 5 8 
Figura 11: Compressão Uniforme na Reta b 9 
Figura 12: Diagrama de deformações para a dedução de X2LIM 9 
Figura 13: Diagrama de deformações para a dedução de X3LIM 10 
Figura 14: Diagrama de deformações dos domínios 2, 3 e 4 11 
Figura 15: Zonas de dimensionamento em função da deformação no aço 12 
Figura 16: Diagramas σ x ε parábola-retângulo e retangular simplificado para 
distribuição de tensões de compressão no concreto 14 
Figura 17: Seções com tensão de compressão igual a 0,85 fcd 15 
Figura 18: Seções com tensão de compressão igual a 0,8 fcd 15 
Figura 19: Disposição da armadura de pele Asp em cada face e com espaçamento 
e ≤ 20 cm na seção transversal de vigas com h > 60 cm 17 
Figura 20: Armadura transversal à alma em seções transversais com mesa 18 
Figura 21: Espaçamentos livres mínimos entre as barras de aço 19 
Figura 22: Distribuição de tensões e deformações em viga de seção retangular com 
armadura simples 21 
Figura 23: Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas 
parábola-retângulo e retangular simplificado 21 
Figura 24: Seção retangular com armadura dupla 45 
Figura 25: Decomposição da seção com armadura dupla 46 
Figura 26: Seções pré-moldadas em forma de V, I e duplo T 62 
Figura 27: Notação da viga seção T 62 
Figura 28: Laje moldada no loção do tipo nervurada 63 
Figura 29: Seção celular de pontes rodoviárias 63 
Figura 30: Consideração de seção retangular ou T em viga contínua com lajes 
adjacentes nas bordas inferior ou superior 64 
Figura 31: Planta de fôrma da estrutura 65 
Figura 32: Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V100 66 
Figura 33: Analogia de seção L com seção T 66 
Figura 34: Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V101 67 
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Figura 35: Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V102 67 
Figura 36: Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V103 68 
Figura 37: Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V104 68 
Figura 38: Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V105 69 
Figura 39:Trajetórias das tensões principais na viga T 69 
Figura 40: Distribuição das tensões de compressão σx na alma e nas lajes da seção T 70 
Figura 41: Distribuição das tensões de compressão σx e trajetória da linha neutra na 
seção T 70 
Figura 42: Largura colaborante de vigas seção T 71 
Figura 43: Valores de a em função dos vínculos da viga nos apoios 71 
Figura 44: Planta de fôrma com indicação das dimensões para formar as seções L ou T 72 
Figura 45: Seção T com altura 0,8x ≤ hf calculada como seção retangular bf . h 73 
Figura 46: Decomposição da seção T com armadura simples 75 
Figura 47: Dimensões consideradas no cálculo do vão efetivo das vigas 92 
Figura 48: Valores práticos para estimativa da altura das vigas 93 
Figura 49: Momentos fletores máximos positivos nos vãos de vigas contínuas 95 
Figura 50: Condições de vinculação nos apoios internos de vigas contínuas 95 
Figura 51: Momento de engastamento perfeito e momento de ligação da viga no 
pilar extremo 96 
Figura 52: Distribuição dos momentos fletores no pilar extremo 96 
Figura 53: Aproximação em apoios extremos 97 
Figura 54: Arredondamento do diagrama de momentos fletores 99 
Figura 55: Plastificação do momento fletor negativo no apoio interno de vigas contínuas 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de Tabelas 
 
Tabela 1: Valores de εyd e βx3LIM em função da categoria do aço 10 
Tabela 2: Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas 16 
Tabela 3: Valores de βfl 94v 
 
Lista de Anexos 
 
Anexo A-1: Valores de Kc e Ks para o aço CA-50 110 
Anexo A-2: Valores de Kc e Ks para os aços CA-25, CA-50 e CA-60 111 
Anexo A-3: Área e massa linear de fios e barras de aço (NBR 7480/96) 112 
Anexo A-4: Área de aço e largura bw mínima 113 
Anexo A-5: Tensão e deformação na armadura para diferentes relações d’/d para a 
linha neutra em X3lim. relações d’/d para a linha neutra em X3lim 115 
Anexo A-6: Deformação e coeficiente K’s para diferentes 115 
Anexo A-7: Tensão e deformação na armadura para diferentes relações d’/d para a 
linha neutra em 0,4d 116 
Anexo A-8: Deformação e coeficiente K’s para diferentes relações d’/d para a linha 
neutra em 0,4d 116 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 1 
2. DOMÍNIO DE DEFORMAÇÕES .......................................................................................... 3 
3. HIPÓTESES DE CÁLCULO ................................................................................................ 14 
4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS ................................................... 16 
4.1 ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS ..................................... 16 
4.1.1 Armadura Mínima de Tração ................................................................................... 16 
4.1.2 Armadura Longitudinal Máxima .............................................................................. 17 
4.1.3 Armadura de Pele ..................................................................................................... 17 
4.1.4 Armaduras de Ligação Mesa-Alma .......................................................................... 18 
4.1.5 Espaçamento Livre entre as Barras .......................................................................... 18 
5. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES .................................................. 20 
5.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ...................................................................................... 20 
5.2) CÁLCULO MEDIANTE COEFICIENTES TIPO K .................................................... 24 
5.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS ........................................................................................... 25 
6. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA ..................................................... 44 
6.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ...................................................................................... 44 
6.2) CÁLCULO MEDIANTE COEFICIENTES TIPO K .................................................... 49 
6.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS ........................................................................................... 50 
7. SEÇÃO T ............................................................................................................................... 62 
7.1) LARGURA COLABORANTE ...................................................................................... 69 
7.2) SEÇÃO T COM ARMADURA SIMPLES ................................................................... 73 
7.2.1 Equações de Equilíbrio ............................................................................................. 73 
7.2.2 Cálculo mediante Coeficientes tipo K ...................................................................... 76 
7.2.3 Exemplos Numéricos ................................................................................................ 78 
8. CARGAS VERTICAIS NAS VIGAS ................................................................................... 90 
8.1 PESO PRÓPRIO ............................................................................................................. 90 
8.2 PAREDES ....................................................................................................................... 90 
8.3 LAJES .............................................................................................................................. 90 
8.4 OUTRAS VIGAS ............................................................................................................ 91 
9. PRESCRIÇÕES GERAIS PARA AS VIGAS ...................................................................... 92 
9.1 VÃO EFETIVO ............................................................................................................... 92 
9.2 DEFINIÇÃO DA ALTURA E DA LARGURA ............................................................. 92 
9.3 INSTABILIDADE LATERAL ....................................................................................... 93 
9.4 APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS CONTÍNUAS DE ESTRUTURAS 
USUAIS DE EDIFÍCIOS ...................................................................................................... 94 
9.5 ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES ................. 98 
9.6 LIMITES PARA REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS FLETORES ........................ 99 
10. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................ 101 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 107 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ................................................................................... 108 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 A flexão simples é definida como a flexão sem força normal. Quando a flexão ocorre 
acompanhada de força normal tem-se a flexão composta. 
 Solicitações normais são aquelas cujos esforços solicitantes produzem tensões normais 
(perpendiculares) às seções transversais dos elementos estruturais. Os esforços que provocam 
tensões normais são o momento fletor (M) e a força normal (N). 
 Nas estruturas de concreto armado são três os elementos estruturais mais importantes: 
as lajes, as vigas e os pilares. E dois desses elementos, as lajes e as vigas, são submetidas à 
flexão normal simples, embora possam também, eventualmente, estarem submetidas à flexão 
composta. Por isso, o dimensionamento de seções retangulares e seções T sob flexão normal 
simples é a atividade diária mais comum aos engenheiros projetistas de estruturas de concreto 
armado (SANTOS, 1983). De modo que o estudo da flexão simples é muito importante. 
 O estudo da flexão normal simples tem como objetivo proporcionar ao aluno o correto 
entendimento dos mecanismos resistentes proporcionados pelo concreto sob compressão e 
pelo aço sob tração, em seções retangulares e T, visando levá-lo a bem dimensionar ou 
verificar a resistência dessas seções. 
 O equacionamento para a resolução dos problemas da flexão simples é deduzido em 
função de duas equações de equilíbrio da estática, e que proporciona as chamadas “equações 
teóricas”, que podem ser facilmente implementadas para uso em programas computacionais. 
Também é apresentado o equacionamento com base em coeficientes tabelados tipo K, 
largamente utilizados no Brasil. 
 É importante esclarecer o aluno que no estudo desta apostila ele aprenderá a 
dimensionar as seções transversais das vigas aos momentos fletores máximos, e fazer o 
detalhamento das armaduras de flexão apenas na seção transversal correspondente. Nesta 
disciplina o estudo das vigasestá apenas iniciando. O estudo completo das vigas simples ou 
contínuas, com dimensionamentos aos esforços cortantes e momentos torçores, bem como o 
detalhamento completo e ancoragem das armaduras, só será alcançado ao término da 
disciplina - Estruturas de Concreto II. Além disso, outros tópicos relativos às vigas, como 
fissuração e flecha. 
No caso de uma viga biapoiada sob carregamento uniformemente distribuído, no 
estádio I, as tensões principais na altura da linha neutra (a meia altura da viga) apresentam 
inclinação de 45° (ou 135°) em relação ao eixo longitudinal da viga, como mostrado na Figura 
1. Observe que nas regiões próximas aos apoios as trajetórias das tensões principais inclinam-
se por influência das forças cortantes, mantendo, no entanto, a perpendicularidade entre as 
trajetórias. 
 
2 
 
+
-
+
σII
σI
 Direção de (tensões de tração)
 Direção de (tensões de compressão)
σI
σII
M
V
x
 
Figura 1 - Trajetória das tensões principais de uma viga biapoiada no estádio I sob 
carregamento uniformemente distribuído (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
O carregamento induz o surgimento de diferentes estados de tensão nos infinitos 
pontos que compõem a viga, e que podem ser representados por um conjunto de diferentes 
componentes, em função da orientação do sistema de eixos considerados. Como exemplo, a 
Figura 2 mostra a representação dos estados de tensão em dois pontos da viga, conforme os 
eixos coordenados x-y e os eixos principais. O estado de tensão segundo os eixos x-y define as 
tensões normais σx, as tensões σy e as tensões de cisalhamento τxy e τyx. O estado de tensão 
segundo os eixos principais definem as tensões principais de tração σI e de compressão σII . 
A tensão σy pode ser em geral desprezada, tendo importância apenas nos trechos próximos à 
introdução de cargas. O dimensionamento das estruturas de concreto armado toma como base 
normalmente as tensões σx e τxy . 
 
X
y
X
y y
= 0
x
X
y
( - )
( + )
II
I
( - )
( + )
+
xy
yx
 
 
Figura 2 – Componentes de tensão segundo os estados de tensão relativos aos eixos 
principais e aos eixos nas direções x e y (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
3 
 
2. DOMÍNIO DE DEFORMAÇÕES 
 
Os domínios são representações das deformações que ocorrem na seção transversal dos 
elementos estruturais. As deformações são de alongamento e de encurtamento, oriundas de 
tensões de tração e compressão, respectivamente. 
Segundo a NBR6118/2014 (item 17.2.2), o estado limite último (ELU) de elementos 
lineares sujeitos a solicitações normais é caracterizado quando a distribuição das deformações 
na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 3: 
 
 
Figura 3 – Domínios de Estado Limite Último de uma seção transversal (LEONHARDT & 
MÖNNIG, 1982). 
 
A ruptura convencional pode ocorrer por deformação plástica excessiva da armadura 
(reta a e domínios l e 2) ou por encurtamento excessivo do concreto (domínios 3, 4, 4a, 5 e 
reta b). 
O desenho mostrado na Figura 3 representa vários diagramas de deformação de casos 
de solicitações diferentes, com as deformações limites de 3,5 ‰ para o máximo encurtamento 
do concreto comprimido e 10 ‰ para o máximo alongamento na armadura tracionada. Os 
valores de 3,5 ‰ e 10 ‰ são valores últimos, de onde se diz que todos os diagramas de 
deformação correspondem ao estado limite último considerado. As linhas inclinadas dos 
diagramas de deformações são retas, pois se admite a hipótese básica das seções transversais 
permanecerem planas até a ruptura. 
A capacidade resistente da peça é admitida esgotada quando se atinge o alongamento 
máximo convencional de 10 ‰ na armadura tracionada ou mais tracionada, ou, de outro 
modo, correspondente a uma fissura com abertura de l mm para cada 10 cm de comprimento 
da peça. 
Os diagramas valem para todos os elementos estruturais que estiverem sob solicitações 
normais, como a tração e a compressão uniformes e as flexões simples e compostas. 
4 
 
Solicitação normal é definida como os esforços solicitantes que produzem tensões 
normais nas seções transversais das peças. Os esforços podem ser o momento fletor e a força 
normal. 
O desenho dos diagramas de domínios pode ser visto como uma peça sendo visualizada 
em vista ou elevação, constituída com duas armaduras longitudinais próximas às faces 
superior e inferior da peça. 
A posição da linha neutra é dada pelo valor de x, contado a partir da fibra mais 
comprimida ou menos tracionada da peça. No caso específico da Figura 3, x é contado a partir 
da face superior. Em função dos vários domínios possíveis, a linha neutra estará compreendida 
no intervalo entre -∞ (lado superior do diagrama no desenho da Figura 3) e +∞ (lado inferior 
do diagrama). Quando 0 < x < h, a linha neutra estará passando dentro da seção transversal. 
São descritas a seguir as características da cada um dos oito diferentes domínios de 
deformações: 
 
 
RETA A 
 
O caso de solicitação da reta a é a tração uniforme (também chamada tração simples 
ou tração axial), com a força normal de tração aplicada no centro de gravidade da seção 
transversal (Figura 4). A linha neutra encontra-se no -∞, e todos os pontos da seção 
transversal, inclusive as armaduras estão com deformação de alongamento igual à máxima de 
10 ‰. As duas armaduras, portanto, estão com a mesma tensão de tração, a de início de 
escoamento do aço. Como exemplo, existem os tirantes. 
 
 
Figura 4 – Tração Uniforme na reta a (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
DOMÍNO l 
 
O domínio l ocorre quando a força normal de tração não é aplicada no centro de 
gravidade da seção transversal, isto é, existe uma excentricidade da força normal em relação 
ao centro de gravidade. Neste caso, ocorre a tração não uniforme, e a seção ainda está 
5 
 
inteiramente tracionada, embora com deformações diferentes (Figura 5). Também se diz que a 
solicitação é de tração excêntrica com pequena excentricidade, ou flexo-tração. 
 
Figura 5 – Tração Não Uniforme no domínio 1 (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
A deformação de alongamento na armadura mais tracionada é fixa e vale 10 ‰. A 
linha neutra é externa à seção transversal, podendo estar no intervalo entre -∞ (reta a) e zero 
(limite entre os domínios l e 2), com x tendo um valor negativo. A capacidade resistente da 
seção é proporcionada apenas pelas armaduras tracionadas, pois o concreto encontra-se 
inteiramente fissurado. 
Como exemplo de elemento estruturais no domínio l há o tirante. 
 
DOMÍNIO 2 
 
No domínio 2 ocorrem os casos de solicitação de flexão simples, tração excêntrica 
com grande excentricidade e compressão excêntrica com grande excentricidade. A seção 
transversal tem parte tracionada e parte comprimida (Figura 6). O domínio 2 é caracterizado 
pela deformação de alongamento fixada em 10 ‰ na armadura tracionada. Em função da 
posição da linha neutra, que pode variar de zero a X2lim, (0 < x < X2lim), a deformação de 
encurtamento na borda mais comprimida varia de zero até 3,5 ‰. Quando a linha neutra 
passar por X2lim, ou seja, x=X2lim, as deformações na armadura tracionada e no concreto da 
borda comprimida serão os valores últimos, 10 ‰ e 3,5 ‰, respectivamente. 
 
Figura 6 – Caso de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 2 
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
6 
 
No domínio 2, diz-se que a armadura tracionada (As2) é aproveitada ao máximo, com 
εsd 10 ‰, mas o concreto comprimido não, com εcd < 3,5‰. 
O domínio 2 é subdividido em 2a e 2b em função da deformação máxima de 
encurtamento no concreto comprimido. No domínio 2a considera-se a deformação variando de 
zero a 2 ‰ e no domínio 2b de 2 ‰ a 3,5 ‰. 
 
 
DOMINIO 3 
 
Os casos de solicitação são os mesmos do domínio 2, ou seja,flexão simples, tração 
excêntrica com grande excentricidade e compressão excêntrica com grande excentricidade. A 
seção transversal tem parte tracionada e parte comprimida (Figura 37). O domínio 3 é 
caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada em 3,5 ‰ no concreto da 
borda comprimida. A deformação de alongamento na armadura tracionada varia da 
deformação de início de escoamento do aço (εyd) até o valor máximo de 10 ‰, o que implica 
que a tensão na armadura é a máxima permitida, fyd (ver Figura 7). 
 
Figura 7 – Caso de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 3 
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
A posição da linha neutra pode variar, desde o valor X2lim até X3lim (X2lim ≤ x ≤ X3lim), 
que delimita os domínios 3 e 4. A deformação de encurtamento na armadura comprimida é 
menor, mas próxima a 3,5 ‰, por estar próxima à borda comprimida, onde a deformação é 
3,5‰. 
Na situação última a ruptura do concreto comprimido ocorre simultaneamente com o 
escoamento da armadura tracionada. 
 
 
DOMÍNIO 4 
 
Os casos de solicitação do domínio 4 são a flexão simples e a flexão composta (flexo-
compressão ou compressão excêntrica com grande excentricidade). A seção transversal tem 
parte tracionada e parte comprimida (Figura 8). O domínio 4 é caracterizado pela deformação 
7 
 
de encurtamento máxima fixada em 3,5 ‰ no concreto da borda comprimida. A deformação 
de alongamento na armadura tracionada varia de zero até a deformação de início de 
escoamento do aço (εyd), o que implica que a tensão na armadura é menor que a máxima 
permitida, fyd (ver figura 3). A posição da linha neutra pode variar de X3lim até a altura útil d 
(X3lim ≤ x ≤ d). 
 
 
Figura 8 – Caso de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 4 
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
DOMÍNIO 4A 
 
No domínio 4a a solicitação é de flexão composta (flexo-compressão). A seção 
transversal tem uma pequena parte tracionada e a maior parte comprimida (Figura 9). O 
domínio 4a também é caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada em 
3,5‰ no concreto da borda comprimida. A linha neutra ainda está dentro da seção transversal, 
na região de cobrimento da armadura menos comprimida, ou seja, d ≤ x ≤ h. Ambas as 
armaduras encontram-se comprimidas, embora a armadura próxima à linha neutra tenha 
tensões muito pequenas. 
 
Figura 9 – Caso de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 4a 
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
8 
 
DOMÍNIO 5 
 
No domínio 5, ocorre a compressão não uniforme ou flexo-compressão com pequena 
excentricidade (flexão composta). A linha neutra não corta a seção transversal, que esta 
completamente comprimida, embora com deformações diferentes. As duas armaduras também 
estão comprimidas. A posição da linha neutra varia de h até +∞ (Figura 10). 
O que caracteriza o domínio 5 é o ponto C a 3/7 h , como mostrado na Figura 4. A 
linha inclinada do diagrama de deformações passa sempre por este ponto no domínio 5. A 
deformação de encurtamento na borda mais comprimida varia de 2 ‰ a 3,5 ‰ e na borda 
menos comprimida varia de 0 a 2 ‰, em função da posição x da linha neutra. Com exceção do 
caso da linha neutra x = h, a forma do diagrama de deformações será a de um trapézio. 
 
 
Figura 10 – Compressão Não Uniforme no Domínio 5 (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
RETA B 
 
O caso de solicitação da reta b é a compressão uniforme (também chamada 
compressão simples ou compressão axial), com a força normal de compressão aplicada no 
centro de gravidade da seção transversal (Figura 11). A linha neutra encontra-se no + ∞, e 
todos os pontos da seção transversal estão com deformação de encurtamento igual a 2 ‰. As 
duas armaduras, portanto, estão sob a mesma deformação e a mesma tensão de compressão. 
 
9 
 
 
Figura 11 – Compressão Uniforme na Reta b (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
DETERMINAÇÃO DE X2LIM E X3LIM 
 
Tendo como base os diagramas de domínios mostrados na Figura 3, os valores limites 
de X2LIM e X3LIM podem ser deduzidos. Da Figura 12 deduz-se o valor de X2LIM: 
 
 
Figura 12 – Diagrama de deformações para a dedução de X2LIM (LEONHARDT & MÖNNIG, 
1982). 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Com o procedimento análogo pode-se deduzir o valor de X3LIM. Da figura 13, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Diagrama de deformações para a dedução de X3LIM (LEONHARDT & MÖNNIG, 
1982). 
 
Como se observa nas anteriores, os valores de X3LIM e βx3LIM dependem de εyd, isto é, 
dependem da categoria do aço da armadura passiva. A tabela 1 mostra os valores de X3LIM e 
βx3LIM em função da categoria do aço. 
 
 
 
Tabela 1 – Valores de εyd e βx3LIM em função da categoria do aço (LEONHARDT & 
MÖNNIG, 1982). 
 
 
 
 
 
11 
 
COMPARAÇÃO DOS DOMÍNIOS 2, 3 E 4 
 
 As deformações nos materiais componentes das vigas de concreto armado submetidas à 
flexão simples encontram-se nos domínios de deformações 2, 3 ou 4, conforme definidos na 
NBR 6118/14 (item 17.2.2). A análise das Figuras 5 e 6 permite fazer as seguintes 
considerações das vigas na flexão simples em relação aos domínios 2, 3 e 4: 
 
 
a) Domínio 2 
 
No domínio 2 a deformação de alongamento na armadura tracionada (εsd) é fixa e igual 
a 10 ‰, e a deformação de encurtamento na fibra mais comprimida de concreto (εcd) varia 
entre zero e 3,5 ‰ (0 ≤ εcd ≤ 3,5 ‰). Sob a deformação de 10 ‰ a tensão na armadura 
corresponde à máxima permitida no aço (fyd), como se pode verificar no diagrama σ x ε do aço 
mostrado na Figura 15. No domínio 2, portanto, a armadura tracionada é econômica, isto é, a 
máxima tensão possível no aço pode ser implementada nessa armadura. 
Na questão relativa à segurança, a ruptura, se vier a ocorrer, será chamada com “aviso 
prévio”, isto é, como a armadura continuará escoando além dos 10 ‰, a fissuração na viga 
será intensa e ocorrerá antes de uma possível ruptura por esmagamento do concreto na região 
comprimida. A intensa fissuração será visível e funcionará como um aviso aos usuários do 
comportamento inadequado da viga, alertando-os, de modo que sejam tomadas medidas 
visando a evacuação da construção, antes que uma possível ruptura possa vir a ocorrer. 
 As vigas dimensionadas no domínio 2 são, por vezes, chamadas subarmadas. Embora 
esse termo conste na NBR 6118/14 ele não será utilizado nesse texto, pois é inadequado, 
dando a falsa ideia de que a seção tem armadura insuficiente. Na verdade, a seção no domínio 
2 tem a área de armadura necessária, nem mais nem menos. 
 
Superarmada
Seção
B
3,5 ‰0
0ε 
A
10 ‰
2
3
4
Zona Útil yd
A s
 
Figura 14 – Diagrama de deformações dos domínios 2, 3 e 4. 
 
 
12 
 
Zona Útil
10 ‰
s
ydf
sσ
ydε ε
Seções
Superarmadas
 
Figura 15 - Zonas de dimensionamento em função da deformação no aço. 
 
 
b) Domínio 3 
 
No domínio 3 a deformação de encurtamento na fibra mais comprimida corresponde ao 
valor último ou máximo, de 3,5 ‰. A deformação de alongamento na armadura tracionada 
varia entre εyd (deformação de início de escoamento do aço) e 10 ‰, o que significa que a 
armadura escoa de um certo valor. Verifica-se na Figura 15 que a tensão na armadura é a 
máxima permitida, igual a fyd, pois qualquer que seja a deformação entre εyd e 10 ‰ (zona 
útil), a tensão será fyd. Isso implica que, assim como no domínio 2, a armadura também é 
econômica no domínio 3. 
 Neste domínio, portanto, tanto o concreto como o aço são aproveitados ao máximo, ao 
contrário do domínio 2, onde o concreto tem deformações menores que a máxima de 3,5 ‰. 
 A ruptura no domínio 3 é também chamada com “aviso prévio”, pois a armadura, ao 
escoar, acarretará fissuras visíveis naviga, antes que o concreto possa romper-se por 
esmagamento. 
Quando a viga tem as deformações últimas de 3,5 ‰ no concreto e 10 ‰ na armadura 
alcançada simultaneamente, costuma-se dizer que a seção é “normalmente armada”. A linha 
neutra coincide com o X3lim, e a seção está no limite entre os domínios 3 e 4. 
 
 
c) Domínio 4 
 
No domínio 4 a deformação de encurtamento na fibra mais comprimida está com o 
valor máximo de 3,5 ‰, e a armadura tracionada não está escoando, pois a sua deformação é 
menor que εyd. Neste caso, conforme se pode notar no diagrama σ x ε do aço mostrado na 
Figura 15, a tensão na armadura é menor que a máxima permitida. A armadura resulta, 
portanto, anti-econômica, pois não aproveita a máxima capacidade do aço. Diz-se então que a 
armadura está “folgada” e a seção é chamada superarmada, como mostrado nas Figuras 14 e 
15. 
13 
 
 O projeto das vigas no domínio 4 deve ser evitado, pois além da questão da economia a 
ruptura será do tipo “frágil”, ou “sem aviso prévio”, onde o concreto rompe por compressão 
(εcd > 3,5 ‰), causando o colapso da estrutura antes da intensa fissuração provocada pelo 
aumento do alongamento na armadura tracionada. 
 
 Como conclusão pode-se afirmar: “Não se deve projetar as vigas à flexão simples no 
domínio 4, e sim nos domínios 2 e 3, com preferência ao domínio 3 por ser mais 
econômico”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
3. HIPÓTESES DE CÁLCULO 
 
 Na determinação dos esforços resistentes de elementos fletidos, como vigas, lajes e 
pilares, são admitidas as seguintes hipóteses básicas (NBR 6118/14 item 17.2.2): 
 
a) As seções transversais permanecem planas até a ruptura, com distribuição linear das 
deformações na seção; 
b) A deformação em cada barra de aço é a mesma do concreto no seu entorno. Essa 
propriedade ocorre desde que haja aderência entre o concreto e a barra de aço; 
c) No estado limite último (ELU) despreza-se obrigatoriamente a resistência do concreto 
à tração; 
d) O encurtamento de ruptura convencional do concreto nas seções não inteiramente 
comprimidas é de 3,5 ‰ (domínios 3, 4 e 4a); 
e) O alongamento máximo permitido ao longo da armadura de tração é de 10 ‰, a fim de 
prevenir deformações plásticas excessivas; 
f) A distribuição das tensões de compressão no concreto ocorre segundo o diagrama 
tensão-deformação parábola-retângulo. Porém, é permitida a substituição desse 
diagrama pelo retangular simplificado, com altura y = 0,8x, e a mesma tensão de 
compressão σcd, como mostrado na Figura 16. 
 
h
3,5 ‰
2 ‰
x
y 
=
 
0,
8 
x
cσ σc
LN
 
Figura 16 – Diagramas σ x ε parábola-retângulo e retangular simplificado para distribuição 
de tensões de compressão no concreto. 
 
A tensão de compressão no concreto (σcd) é definida como: 
 
a) no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, quando a seção não 
diminui da linha neutra em direção à borda comprimida (Figura 17), a tensão é: 
 
c
ck
cdcd
f85,0f85,0
γ
==σ (Eq. 1) 
 
15 
 
LN
 
Figura 17 - Seções com tensão de compressão igual a 0,85 fcd . 
 
 
b) em caso contrário, isto é, quando a seção diminui (Figura 18), a tensão é: 
 
c
ck
cdcd
f8,0f8,0
γ
==σ (Eq. 2) 
 
LN
 
Figura 18 - Seções com tensão de compressão igual a 0,8 fcd . 
 
 
c) A tensão nas armaduras é a correspondente à deformação determinada de acordo com as 
hipóteses anteriores e obtida nos diagramas tensão-deformação do aço (ver Figura 15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS 
 
4.1 ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS 
 
 Nos itens 17.3.5 e 18, a NBR 6118/14 estabelece diversas prescrições relativas à 
armadura longitudinal mínima e máxima e armadura de pele. 
 
4.1.1 Armadura Mínima de Tração 
 
“A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos 
deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela 
expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta 0,15 %.” 
 
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup (Eq. 3) 
onde: W0 = módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais 
tracionada; 
fctk,sup = resistência característica superior do concreto à tração: 
 
fctk,sup = 1,3 fct,m (Eq. 4) 
 
3 2
ckm,ct f3,0f = (MPa) (Eq. 5) 
 
sup0min0
0
80,0 ctkfMdMMI
Mgi
ωσω
ω
σ =∴=∴== (Eq. 6) 
 
O dimensionamento para Md,mín deve ser considerado atendido se forem respeitadas as 
taxas mínimas de armadura da Tabela 2. 
 
Tabela 2 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas. 
 
Forma da seção 
Valores de ρmín (%) (As,mín/Ac) (1) 
 fck 
ωmín 
20 25 30 35 40 45 50 
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
T 
(mesa comprimida) 
0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197 
T 
(mesa tracionada) 
0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255 
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 
17 
 
(1) Os valores de ρmín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 
1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmín deve ser recalculado com base no valor de ωmín 
dado. 
NOTA: Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma 
acrescida da mesa colaborante. 
 
 
 
 
Em elementos estruturais superdimensionados pode ser utilizada armadura menor que a 
mínima, com valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de Md. Neste caso, a 
determinação dos esforços solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as 
combinações possíveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformações 
diferidas e recalques de apoio. Deve-se ter ainda especial cuidado com o diâmetro e 
espaçamento das armaduras de limitação de fissuração. 
 
4.1.2 Armadura Longitudinal Máxima 
 
“A soma das armaduras de tração e de compressão (As + As’) não deve ter valor 
maior que 4 % Ac , calculada na região fora da zona de emendas.” 
 
4.1.3 Armadura de Pele 
 
Nas vigas com h > 60 cm, deve ser colocada uma armadura lateral, chamada armadura 
de pele (Figura 19), em cada face da alma da viga, composta por barras de alta aderência (η1 ≥ 
2,25) e com espaçamento não maior que 20 cm, com área mínima igual a: 
Asp,face = 0,10 % Ac,alma = 0,0010 bw . h (Eq. 7) 
“Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização da 
armadura de pele.” 
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
b
dh > 60 cm
w
 
Figura 19 – Disposição da armadura de pele Asp em cada face e com espaçamento e ≤ 20 cm 
na seção transversal de vigas com h > 60 cm. 
<0,10h
18 
 
4.1.4 Armaduras de Ligação Mesa-Alma 
 
“Os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e almas de vigas devem ser 
verificados com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais 
ao longo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das 
armaduras necessárias para absorver as trações decorrentes desses efeitos. 
As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser 
consideradas como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre 
ambas, se necessário. A seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a 
largura útil e ancorada na alma, deve ser de 1,5 cm2 por metro” (Figura 20). 
 
b f
h f
wb
h
>1,5 cm /m2
 
Figura 20 – Armadura transversal à alma em seções transversais com mesa. 
 
 
4.1.5 Espaçamento Livre entre as BarrasA fim de se garantir que o concreto penetre com facilidade dentro da forma e envolva 
completamente as barras de aço das armaduras, a NBR 6118/14 estabelece os seguintes 
espaçamentos livres mínimos entre as barras (Figura 21): 
 
- numa mesma camada horizontal 





φ≥
agrmáx,
mín,h
d 2,1
cm 2
e
l
 (Eq. 8) 
 
- numa mesma fila vertical 





φ≥
agrmáx,
mín,v
d 5,0
cm 2
e
l
 (Eq. 9) 
19 
 
onde: eh,mín = espaçamento livre horizontal mínimo entre duas barras da mesma camada; 
 ev,mín = espaçamento livre vertical mínimo entre duas barras de camadas diferentes; 
dmáx,agr = diâmetro máximo do agregado graúdo utilizado no concreto. 
 
w
h
v
Øt
Øl
c
b
e
e
 
Figura 21 – Espaçamentos livres mínimos entre as barras de aço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
5. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
 
 Embora a seção transversal das vigas possa ter qualquer forma, na maioria dos casos da 
prática a seção adotada é a retangular ou aquela com forma de T. 
Em estruturas compostas por vigas e lajes maciças, a seção T ocorre quando se pode 
contar com a contribuição das lajes para a resistência às tensões de compressão da flexão, 
como se verá com detalhes mais adiante. Porém, no caso de lajes tipo nervurada ou pré-
fabricada, com altura da capa de 4 cm, a contribuição da capa é pequena e comumente 
desprezada, obrigando a se considerar no cálculo apenas a seção retangular. 
 Define-se por viga com armadura simples a seção que contém apenas a armadura 
tracionada, e considera-se que a área de concreto comprimido é suficiente para resistir às 
tensões de compressão, sem a necessidade de se acrescentar armadura na região comprimida. 
Depois será estudada a seção com armadura dupla, que é aquela que contém também uma 
armadura comprimida, além da armadura tracionada. 
 
 
5.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 
 A formulação dos esforços internos resistentes da seção é feita com base nas equações 
de equilíbrio das forças normais e dos momentos fletores: 
 
 
- 0N =∑ e 0M =∑ (Eq. 10) 
 
 
 A Figura 22 mostra a seção retangular de uma viga solicitada por momento fletor 
positivo, com largura bw e altura h, armadura As e área A’c de concreto comprimido delimitada 
pela linha neutra. A linha neutra é demarcada pela distância x, contada a partir da fibra mais 
comprimida da seção. 
O diagrama de deformações ao longo da altura da seção, com as deformações notáveis 
εcd (máximo encurtamento do concreto comprimido) e εsd (alongamento na armadura 
tracionada) e o diagrama retangular simplificado de distribuição de tensões de compressão, 
com altura y = 0,8x, e as respectivas resultantes de tensão (Rcc e Rst) também estão mostrados 
na Figura 22. 
 
 
21 
 
σcd
cd0,85 f
Rcc
ccZ
Rst
εcd
LN
x
Rcc
M
As
A'c
h d
d - x
y = 0,8x
bw
stR εsdsA
 
Figura 22 – Distribuição de tensões e deformações em viga de seção retangular com 
armadura simples. 
 
 Para ilustrar melhor a forma de distribuição das tensões de compressão na seção, a 
Figura 23 mostra a seção transversal em perspectiva, com os diagramas parábola-retângulo e 
retangular simplificado, como apresentados anteriormente. O equacionamento apresentado a 
seguir será feito segundo o diagrama retangular simplificado, que conduz a equações mais 
simples e com resultados muito próximos aqueles obtidos com o diagrama parábola-retângulo. 
 
z 
0,4x
0,8x
0,85
 fcd
bw
ccR 
As
x
cd
ccR 
Rst
As
wb
x
LN LN
stR
0,85
 f
 
Figura 23 – Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas parábola-retângulo e 
retangular simplificado. 
 
 
a) Equilíbrio de Forças Normais 
 
 Considerando que na flexão simples não ocorrem forças normais solicitantes, e que a 
força resultante das tensões de compressão no concreto deve estar em equilíbrio com a força 
resultante das tensões de tração na armadura As, como indicadas na Figura 22, pode-se 
escrever: 
 
stcc RR = (Eq. 11) 
22 
 
 Tomando da Resistência dos Materiais que 
A
R
=σ , a força resultante das tensões de 
compressão no concreto pode ser escrita como: 
 
cdwwcdccdcc fxb68,0bx8,0f85,0'AR ==σ= (Eq. 12) 
 
e a força resultante das tensões de tração na armadura tracionada: 
 
ssdst AR σ= (Eq. 13) 
 
 
b) Equilíbrio de Momentos Fletores 
 
 Considerando o equilíbrio de momentos fletores na seção, o momento fletor solicitante 
deve ser equilibrado por um momento fletor resistente, proporcionado pelo concreto 
comprimido e pela armadura tracionada. Assumindo valores de cálculo, por simplicidade de 
notação ambos os momentos fletores devem ser iguais ao momento fletor de cálculo Md, tal 
que: 
 
Msolic = Mresist = Md (Eq. 14) 
 
 As forças resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela 
armadura tracionada, formam um binário oposto ao momento fletor solicitante, podendo ser 
escrito: 
 
Md = Rcc . zcc (Eq. 15) 
 
Md = Rst . zcc (Eq. 16) 
 
onde: Rcc . zcc = momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido; 
 Rst . zcc = o momento interno resistente, proporcionado pela armadura tracionada. 
 
 Com zcc = d – 0,4x e aplicando a Eq. 12 na Eq. 15, fica: 
 
( )x4,0dbx8,0f85,0M wcdd −= ,então: 
( )xdfxbM cdwd 4,0.68,0 −= (Eq. 15) 
 
que é definido como o momento interno resistente proporcionado pelo concreto comprimido. 
O valor de Md deve ser considerado em valor absoluto. 
 
Substituindo a Eq. 13 na Eq. 16 define-se o momento interno resistente proporcionado 
pela armadura tracionada: 
 
23 
 
( )x4,0dAM ssdd −σ= (Eq. 17) 
 
 Isolando a área de armadura tracionada: 
 
( )x4,0d
MA
sd
d
s
−σ
=
 (Eq. 18) 
 
 As Eq. 15 e 18 proporcionam o dimensionamento das seções retangulares com 
armadura simples. Nota-se que são sete as variáveis contidas nas duas equações, o que leva, 
portanto, na necessidade de se adotarem valores para cinco das sete variáveis. Na prática, de 
modo geral, fixam-se os materiais (concreto e aço), a seção transversal, o momento fletor 
solicitante geralmente é conhecido, ficando como incógnitas a posição da linha neutra (x) e a 
área de armadura (As). 
Com a Eq. 15 determina-se a posição x para a linha neutra, o que permite definir qual o 
domínio em que a viga se encontra (2, 3 ou 4). Nos domínios 2 ou 3 a tensão na armadura 
tracionada (σsd) é igual à máxima tensão possível, isto é, fyd (ver diagramas mostrados nas 
figuras anteriores). Definidos x e σsd calcula-se a área de armadura tracionada (As) com a Eq. 
18. 
Se resultar o domínio 4, a seção deverá ser dimensionada com armadura dupla, como 
se verá mais adiante. 
A flexão simples ocorre nos domínios 2, 3 ou 4. Com o intuito de melhorar a 
ductilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos 
estruturais, a NBR 6118/14 (item 14.6.4.3) impõe que a posição da linha neutra obedeça aos 
seguintes limites: 
 
a) βx = x/d ≤ 0,50 para concretos C35 ou de menor resistência (fck ≤ 35 MPa); ou 
b) βx = x/d ≤ 0,40 para concretos superiores ao C35 (fck > 35 MPa). 
 
Com esses limites a norma quer aumentar a capacidade de rotação das vigas nas regiões de 
apoio ou de ligação com outros elementos, ou seja, quer aumentar a ductilidade, que é a 
capacidade do elemento ou material deformar-se mais até a ruptura. No entanto, nas seções ao 
longo dos vãos das vigas, não ocorrendo ligação com outros elementos, não será necessário 
limitar a posição da linha neutra. 
 
 
c) Permanência da Seção Plana 
 
Do diagrama de deformações mostrado na Figura 22 define-sea relação entre as deformações 
de cálculo na armadura (εsd) e no concreto correspondente à fibra mais comprimida: 
 
xd
x
sd
cd
−
=
ε
ε
 (Eq. 19) 
24 
 
 
Considerando-se a variável βx , que relaciona a posição da linha neutra com a altura útil d, 
tem-se: 
 
d
x
x =β (Eq. 20) 
 
Substituindo x por βx.d na Eq. 19 fica: 
 
sdcd
cd
x ε+ε
ε
=β
 (Eq. 21) 
 
 
5.2) CÁLCULO MEDIANTE COEFICIENTES TIPO K 
 
 Com o intuito de facilitar o cálculo manual, há muitos anos vem se ensinando no Brasil 
a utilização de tabelas com variáveis do tipo K. Para diferentes posições da linha neutra, 
expressa pela relação βx = x/d, são tabelados coeficientes Kc e Ks, relativos à resistência do 
concreto e à tensão na armadura tracionada. Os coeficientes Kc e Ks encontram-se 
apresentados nos Anexos A-1 e A-2, colocados no final desta apostila. O anexo A-1 é para 
apenas o aço CA-50 e o anexo A-2 é para todos os tipos de aço para concreto armado. 
 Considerando a Eq. 15, ( )x4,0dfxb68,0M cdwd −= , substituindo x por βx.d, 
encontram-se: 
( )d4,0dfdb68,0M xcdxwd β−β= (Eq. 21) 
( )xcd2xwd 4,01fdb68,0M β−β= (Eq. 22) 
 
Introduzindo o coeficiente Kc: 
 
c
2
w
d K
dbM = (Eq. 23) 
Onde: ( )xcdx
c
4,01f68,0
K
1 β−β= (Eq. 24) 
 
Isolando o coeficiente Kc tem-se: 
 
d
2
w
c M
dbK =
 (Eq. 25) 
 
O coeficiente Kc está apresentado no anexo A-1. Observe na Eq. 24 que Kc depende da 
resistência do concreto à compressão (fcd) e da posição da linha neutra, expressa pela variável 
βx. 
25 
 
O coeficiente tabelado Ks é definido substituindo-se x por βx . d na Eq. 18: 
( )x4,0d
MA
sd
d
s
−σ
= ⇒ ( ) d4,01
MA
xsd
d
s β−σ= (Eq. 26) 
 
Onde: ( )xsds 4,01
1K β−σ= (Eq. 27) 
 
A área de armadura tracionada As, em função do coeficiente Ks é: 
 
d
MKA dss = (Eq. 28) 
 
O coeficiente Ks está apresentado no anexo A-1. Observe que Ks depende da tensão na 
armadura tracionada (σsd) e da posição da linha neutra, expressa por βx. 
 
 
5.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS 
 
 As vigas têm basicamente dois tipos de problemas para serem resolvidos: de 
dimensionamento e de verificação. 
O dimensionamento consiste em se determinar qual a armadura necessária para uma 
viga, sendo previamente conhecidos: os materiais, a seção transversal e o momento fletor 
solicitante. Esse tipo de cálculo normalmente é feito durante a fase de projeto das estruturas, 
para a sua futura construção. 
Nos problemas de verificação a incógnita principal é o máximo momento fletor que a 
seção pode resistir. Problemas de verificação normalmente ocorrem quando a viga pertence a 
uma construção já executada e em utilização, e se deseja conhecer a capacidade de carga de 
uma viga. Para isso é necessário conhecer os materiais que compõem a viga, como a classe do 
concreto (fck), o tipo de aço, a quantidade de armadura e o seu posicionamento na seção 
transversal, as dimensões da seção transversal, etc. 
Na grande maioria dos casos da prática os problemas são de dimensionamento, e 
esporadicamente ocorrem os problemas de verificação. 
 
 
 
1º) Calcular a área de armadura necessária e as deformações nos materiais de uma viga, como 
mostrada na figura abaixo, para o momento fletor máximo, sendo conhecidos: 
 Mk,máx = 10.000 kN.cm d = 47 cm 
 γc = 1,4 ; γs = 1,15 concreto C20 (fck = 20 MPa) 
 aço CA-50 c = 2,0 cm 
 φt = 5 mm (diâmetro do estribo) concreto com brita 1 
 
26 
 
Mk,máx
A
A
lef
bw
20 cm
h = 50 cm
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 O problema é de dimensionamento, onde a incógnita principal é a área de armadura 
(As). A resolução será feita segundo as equações teóricas deduzidas do equilíbrio da seção (Eq. 
15 e 18), e também com aplicação das equações do tipo K. 
 
 O momento fletor de cálculo é: 
 kN.cm 000.1410000.4,1M.M kfd ==γ= 
 A posição da linha neutra que delimita os domínios 2 e 3 é dada por: 
 cm 2,1247.26,0d26,0x lim2 === 
 
 A delimitação entre os domínios 3 e 4 é dada por x3lim. Para o aço CA-50 é: 
 x3lim = 0,63 d = 0,63 . 47 = 29,6 cm 
 
 
a) Equações teóricas 
 
 Com a Eq. 15 determina-se a posição da linha neutra para a seção: 
 
( )x4,0dfxb68,0M cdwd −= 
( )x4,047
4,1
0,2
x20.68,014000 −= 
05,18015,1172 =+− xx → 



=
=
cm 1,18x
cm 4,99x
2
1
 
 
 A primeira raiz não interessa, pois 99,4 cm > h = 50 cm. Portanto, x = 18,1 cm, como 
mostrado na figura abaixo. Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, a posição da 
linha neutra deve ser medida a partir da borda superior, que está comprimida. 
27 
 
Como a seção que está sendo dimensionada não é de apoio da viga e nem há ligação 
com outros elementos estruturais, os limites fornecidos pela norma não necessitam ser 
obedecidos. 
 
4750
2limx = 12,2
x = 29,6
sA
LN
20
3lim
x = 18,1
 
 
 
 Comparando a posição da linha neutra (x) com os limites X2lim e X3lim determina-se 
qual o domínio em que a viga se encontra: 
 
cm 6,291,182,12 lim3lim2 =≤=≤= XcmxcmX 
 
 Como a linha neutra está no intervalo entre X2lim e X3lim, conforme a Figura 16, 
verifica-se que a viga está no domínio 3. Nesse domínio a deformação na armadura varia de 
εyd (início de escoamento do aço) a 10 ‰ (ver Figura 3). Conforme o diagrama σ x ε do aço 
(Figura 15), a tensão nesta faixa de deformação é σsd = fyd = fyk/γs (para o aço CA-50, fyk = 50 
kN/cm2 = 500 MPa). A área de armadura é calculada pela Eq. 18: 
 
( )x4,0d
MA
sd
d
s
−σ
= 
( )
210,8
1,18.4,047
15,1
50
14000
cmAs =
−
=
 
 
b) Equações tipo K 
 
 Primeiramente deve-se determinar o coeficiente Kc (Eq. 25): 
 
d
2
w
c M
dbK = = 2,3
14000
4720 2
=
⋅
 
28 
 
Com Kc = 3,2, concreto C20 e aço CA-50, no Anexo A-1 (ver tabelas anexas) 
determinam-se os coeficientes βx = 0,38, Ks = 0,027 e domínio 3. 
 A área de armadura (Eq. 28) resulta: 
 
204,8
47
1400
.027,0 cm
d
M
KA dss === 
 
 A posição da linha neutra fica determinada pela equação: 
d
x
x =β 
x = βx . d = 0,38 . 47 = 17,9 cm 
 
 Comparando os resultados obtidos segundo as duas formulações verifica-se que os 
valores são muito próximos. 
 
 
c) Detalhamento da armadura na seção transversal 
 
 A escolha do diâmetro ou dos diâmetros e do número de barras para atender à área de 
armadura calculada admite diversas possibilidades. Um ou mais diâmetros podem ser 
escolhidos, preferencialmente diâmetros próximos entre si. A área de aço escolhida deve 
atender à área de armadura calculada, preferencialmente com uma pequena folga, mas 
segundo sugestão do autor admite-se uma área até 5 % inferior à calculada. 
 O número de barras deve ser aquele que não resulte numa fissuração significativa na 
viga e nem dificuldades adicionais durante a confecção da armadura. A fissuração é diminuída 
quanto mais barras finas são utilizadas. Porém, deve-se cuidar para não ocorrer exageros. 
 Para a área de armadura calculada neste exemplo, de 8,10 cm2, com auxílio das Tabelas 
em anexo A-3 e A-4, podem ser enumeradas as seguintes combinações: 
 
16 φ 8 mm = 8,00 cm2; 
10 φ 10 mm = 8,00 cm2; 
7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2; 
4 φ 16 mm = 8,00 cm2; 
3 φ 16 mm + 2 φ 12,5 mm = 8,50 cm2; 
3 φ 20 mm = 9,45 cm2; 
2 φ 20 mm + 1 φ 16 mm = 8,30 cm2; 
2 φ 20 mm + 2 φ 12,5 mm = 8,80 cm2. 
 
Outras combinações de número de barras e de diâmetros podem ser enumeradas. A 
escolha de uma das combinações listadas deve levar em conta os fatores: fissuração, facilidade 
de execução, porte da obra, número de camadas de barras, exeqüibilidade (largura da viga 
principalmente), entre outros. 
29 
 
Detalhamentos com uma única camada resultamseções mais resistentes que seções 
com duas ou mais camadas de barras, pois quanto mais próximo estiver o centro de gravidade 
da armadura à borda tracionada, maior será a resistência da seção. Definem-se como camada 
as barras que estão numa mesma linha paralela à linha de borda da seção. O menor número 
possível de camadas deve ser um dos objetivos do detalhamento. 
Das combinações listadas, 16 φ 8 e 10 φ 10 devem ser descartadas porque o número de 
barras é excessivo, o que aumentaria o trabalho do armador (operário responsável pela 
confecção das armaduras nas construções). Por outro lado, as três últimas combinações, com o 
diâmetro de 20 mm, têm um número pequeno de barras, não sendo o ideal para a fissuração, 
além do fato da barra de 20 mm representar maior dificuldade no seu manuseio, confecção de 
ganchos, etc. Entre todas as combinações, as melhores alternativas são 7 φ 12,5 e 4 φ 16 mm, 
sendo esta última pior para a fissuração, mas que certamente ficará dentro de valores máximos 
recomendados pela NBR 6118/14. O estudo da fissuração nas vigas será apresentado na 
disciplina - Concreto I. 
Na escolha entre 7 φ 12,5 e 4 φ 16 mm deve-se também atentar para o porte da obra. 
Construções de pequeno porte devem ter especificados diâmetros preferencialmente até 
12,5mm, pois a maioria delas não têm máquinas elétricas de corte de barras, onde são cortadas 
com serras ou guilhotinas manuais, com capacidade de corte de barras até 12,5 mm. 
Guilhotinas maiores são praticamente inexistentes nas obras de pequeno porte. Além 
disso, as armaduras são feitas por pedreiros e ajudantes e não armadores profissionais. Não há 
também bancadas de trabalho adequadas para o dobramento das barras. De modo que 
recomendamos diâmetros de até 12,5 mm para as obras de pequeno porte, e acima de 12,5 mm 
apenas para as obras de maior porte, com trabalho de armadores profissionais. 
Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, é extremamente importante que 
a armadura As calculada seja disposta na posição correta da viga, isto é, nas proximidades da 
borda sob tensões de tração, que no caso em questão é a borda inferior. Um erro de 
posicionamento da armadura, como, as barras serem colocadas na borda superior, pode 
resultar no sério comprometimento da viga em serviço, podendo-a levar inclusive ao colapso 
imediatamente à retirada dos escoramentos. 
A disposição das barras entre os ramos verticais do estribo deve proporcionar uma 
distância livre entre as barras suficiente para a passagem do concreto, a fim de evitar o 
surgimento de nichos de concretagem, chamados na prática de “bicheira”. Para isso, conforme 
apresentado no item 4.3 (Eq. 8 e 9), o espaçamento livre horizontal mínimo entre as barras é 
dado por: 





φ≥
agrmáx,
mín,h
d 2,1
cm 2
e
l
 
 
Quando as barras de uma mesma camada têm diâmetros diferentes, a verificação do 
espaçamento livre mínimo (eh,mín) entre as barras deve ser feita aplicando-se a Eq. 8 acima. Por 
outro lado, quando as barras da camada têm o mesmo diâmetro, a verificação pode ser feita 
com auxílio do anexo A-4, que mostra a “largura bw mínima” para um dado cobrimento 
nominal (c). Determina-se a largura mínima na intersecção entre a coluna e a linha da tabela, 
30 
 
correspondente ao número de barras da camada e o diâmetro das barras, respectivamente. O 
valor para a largura de bw mínimo depende do diâmetro máximo da brita de maior dimensão 
utilizada no concreto. 
A figura abaixo mostra o detalhamento da armadura na seção transversal da viga, onde 
foi adotada a combinação 4 φ 16 mm (a combinação 7 φ 12,5 mm deve ser feita como 
atividade do aluno). Para 4 φ 16 mm, no anexo A-4 encontra-se a largura mínima de 19 cm 
para concreto com brita 1 e cobrimento de 2,0 cm. Como a largura da viga é 20 cm, maior que 
a largura mínima, é possível alojar as quatro barras numa única camada, atendendo ao 
espaçamento livre mínimo. 
Além da armadura tracionada As devem ser dispostas também no mínimo duas barras 
na borda superior da seção, barras construtivas chamadas “porta-estribos”, que servem para a 
amarração dos estribos da viga. Armaduras construtivas são muito comuns nos elementos 
estruturais de concreto armado, auxiliam na confecção e montagem das armaduras e 
colaboram com a resistência da peça, embora não sejam levadas em conta nos cálculos. 
 
50 d
a
20
 4Ø16 
(8,00 cm²)
 
 
A distância a, medida entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a fibra 
mais tracionada da seção transversal, neste caso é dada pela soma do cobrimento, do diâmetro 
do estribo e metade do diâmetro da armadura: 
a = 2,0 + 0,5 + 1,6/2 = 3,3 cm 
 
A altura útil d, definida como a distância entre o centro de gravidade da armadura 
tracionada à fibra mais comprimida da seção transversal, conforme o detalhamento é: 
 
d = h – a = 50 – 3,3 = 46,7 cm 
O valor inicialmente adotado para a altura útil d foi 47 cm. Existe, portanto, uma 
pequena diferença de 0,3 cm entre o valor inicialmente adotado e o valor real calculado em 
função do detalhamento escolhido. Pequenas diferenças, de até 1 cm ou 2 cm podem, de modo 
geral, serem desconsideradas em vigas de dimensões correntes, não havendo a necessidade de 
se recalcular a armadura, pois a diferença de armadura geralmente é pequena. 
31 
 
d) Deformações no concreto e na armadura 
 
No domínio 3 a deformação de encurtamento no concreto é fixa e igual a 3,5 ‰. A 
deformação na armadura As varia de εyd (2,07 ‰ para o aço CA-50) a 10 ‰, podendo ser 
calculada pela Eq. 19: 
 
xd
x
sd
cd
−
=
ε
ε
 
1,1847
1,185,3
sd −
=
ε
 
‰6,5=sdε 
 
A figura abaixo ilustra as deformações nos materiais e os domínios 2 e 3 de deformação. 
 
ε =10 ‰ yd 0
3,5 ‰0
5,6 ‰
x 2lim
3limx 
2,07 ‰
2
3
4
x = 18,1 cm
LN 
ε sd
cdε 
 
 
 
2º) Calcular a altura útil d e a armadura As da seção retangular da viga mostrada na figura 
abaixo. Dados: 
 concreto C20 φt = 5 mm (diâmetro do estribo) 
 aço CA-50 c = 2,5 cm 
 bw = 20 cm concreto com brita 1 
 Mk,máx = 10.000 kN.cm 
 
 
32 
 
M = 10.000 kN.cmk,máx
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 Como a altura da viga não está fixada, dado que a altura útil d é uma incógnita, o 
problema admite infinitas soluções, tanto no domínio 2 como no domínio 3. No domínio 4 não 
se admite o dimensionamento, como já explicado. 
Como a seção em estudo não é de apoio da viga nem se está admitindo ligação com 
outros elementos estruturais, os limites para x/d apresentados na norma não necessitam ser 
obedecidos, o que significa que a posição da linha neutra pode se estender até o limite entre os 
domínios 3 e 4. Isto é, a posição da linha neutra (x) pode variar de zero a X3lim. Para cada valor 
de x corresponderá um par d e As. 
Com o objetivo de mostrar essas relações existentes, o exemplo será resolvido com a 
posição da linha neutra fixada em duas diferentes posições, no limite entre os domínios 2 e 3 
(x = X2lim) e 3 e 4 (x = X3lim). 
A resolução do exercício será feita segundo as equações do tipo k, ficando a resolução 
pelas equações teóricas como tarefa do aluno. 
 O cálculo pelas equações teóricas (Eq. 15 e 18) faz-se arbitrando valores para x (X2lim e 
X3lim, por exemplo) na Eq. 15, donde obtém-se um valor correspondente para d. A área de 
armadura é calculada então com a Eq. 18, tendo todas as suas variáveis conhecidas. 
O momento fletor de cálculo é: 
 
kN.cm 000.1410000.4,1MM kfd ==γ= 
 
a) 1a solução: linha neutra passando por X2lim 
 
 Com a linha neutra em X2lim implica que βx = βx2lim = 0,26 (ver item 9.9 da apostila de 
“Fundamentos do Concreto Armado” (BASTOS, 2004). Com βx = 0,26, no anexo A-1 para: 
 
concreto C20 e aço CA-50 encontram-se: 



=
=
026,0K4,4K
s
c
 
 
Com a Eq. 25 calcula-se a altura útil d: 
33 
 
d
2
w
c M
dbK = 
cm 5,55
20
14000.4,4
b
MKd
w
dc
=== 
 
 A área de armadura As (Eq. 28) resulta: 
 
2d
ss cm 56,65,55
14000026,0
d
MKA === 
 
Para a área calculada uma combinação de barras é: 
 
2 φ 16 mm + 2 φ 12,5 mm = 6,50 cm2. 
 
Há várias outras combinações possíveis. 
 A posição da linha neutra (x) pode ser obtida pela equação: 
 
cm 4,145,55.26,0dx x 
d
x
lim2xlim2x ==β==→=β 
 
 A figura abaixo mostra a posição da linha neutra, os domínios e o diagrama de 
deformações para a seção em análise. Observe que, com a linha neutra passando por X2lim, a 
deformação de encurtamento no concreto comprimido (εcd) é igual a 3,5 ‰, e a deformação 
de alongamento na armadura (εsd) é igual a 10,0 ‰, ambos iguais aos máximos valores 
permitidos pela NBR6118/14. 
 
10 ‰ ε yd
2limx 
0 3,5 ‰
x = 14,42lim
ε = 3,5 ‰cd
sdε 
As
LN
As
20
55,5
2
3
cA'
h
 
 
A figura mostra o detalhamento da armadura na seção transversal. Como já observado 
no exercício anterior, é extremamente importante posicionar corretamente a armadura As, 
dispondo-a próxima à face tracionada da seção, que neste caso é a face inferior, pois a viga 
está solicitada por momento fletor positivo. 
34 
 
Não há a necessidade de determinar a posição exata do centro de gravidade da 
armadura As, a posição aproximada é suficiente, não conduzindo a erro significativo. No 
exemplo, o centro de gravidade pode ser tomado no centro das duas barras φ 16 mm. 
A distância (a) entre o centro de gravidade (CG) da armadura longitudinal tracionada 
(As) à fibra mais tracionada da seção neste caso é: 
 
a = c + φt + φl/2 = 2,5 + 0,5 + 1,6/2 = 3,8 cm 
 
 A altura da viga é a soma da altura útil d com a distância a: 
 
h = d + a = 55,5 + 3,8 = 59,3 cm 
 
 A altura para a viga resultou 59,3 cm, medida essa não usual na prática. Recomenda-se 
adotar a altura das vigas com valores múltiplos de 5 cm ou 10 cm. A altura de 60 cm pode ser 
adotada para a viga em questão. 
 A armadura mínima de flexão: 
 
hb%15,0A wmín,s = 
2
mín,s cm 80,160200015,0A =⋅⋅= 
As = 6,56 cm2 > As,mín = 1,80 cm2 
∴dispor a armadura calculada. 
 
 Como foram escolhidos dois diâmetros diferentes para a armadura não é possível 
utilizar a tabela do anexo A-4 para verificar a possibilidade de alojar as quatro barras numa 
única camada. Neste caso, a verificação deve ser feita comparando o espaçamento livre 
existente entre as barras com o espaçamento mínimo preconizado pela NBR 6118/14. 
 Considerando a barra de maior diâmetro e concreto com brita 1 (dmáx,agr = 19 mm), o 
espaçamento mínimo entre as barras, é: 
 





=⋅=
=φ≥
cm3,29,12,1d2,1
cm6,1
cm2
e
agr,máx
mín,h l ∴ eh,mín = 2,3 cm 
 
 O espaçamento livre existente entre as barras, considerando as quatro barras numa 
única camada é: 
( ) 8,2
3
25,16,15,05,2220
eh =
+++−
= cm 
 
 Como eh = 2,8 > eh,mín = 2,3 cm, as quatro barras podem ser alojadas numa única 
camada. Caso resultasse eh < eh,mín, as quatro barras não poderiam ser alojadas numa única 
camada. Neste caso, uma alternativa seria dispor uma barra φ 12,5 numa segunda camada, 
amarrada nos ramos verticais dos estribos, ou tentar um novo detalhamento com diâmetro e 
número de barras diferentes. 
35 
 
x = x = 14,4
55,5
59,3
20
2 Ø 16
a
2 Ø 12,5
e = 2,8h
c
LN
2lim
1ª cam.
 
 
 
b) 2a Solução: linha neutra passando por x3lim 
 
 Para o cálculo da viga com armadura simples e dentro do domínio 3, a posição da linha 
neutra pode ser assumida igual ao valor máximo, X3lim, correspondente ao limite entre os 
domínios 3 e 4. 
Portanto, assumindo x = X3lim = 0,63 d (ver Tabela 12 da apostila de “Fundamentos do 
Concreto Armado”, de BASTOS, 2004), implica que βx = βx3lim = 0,63. Com βx = 0,63, na 
tabela do anexo A-1 para concreto C20 e aço CA-50, encontram-se: 



=
=
031,0K
2,2K
s
c
 
 Com a Eq. 25 calcula-se a altura útil d: 
 
d
2
w
c M
dbK = 
cm 2,39
20
14000.2,2
b
MKd
w
dc
=== 
 
 A área de armadura As (Eq. 28) resulta: 
 
2d
ss cm 06,112,39
14000031,0
d
MKA ===
 
 
Um arranjo de barras é composto por 6 φ 16 mm = 12,00 cm2. Outros arranjos podem 
ser utilizados. 
 A posição da linha neutra (x) pode ser obtida: 
 
cm7,242,39.63,0dx x 
d
x
lim3xlim3x ==β==→=β 
 
36 
 
 A figura abaixo mostra a posição da linha neutra, os domínios e o diagrama de 
deformações para a seção em análise. Observe que, com a linha neutra passando por X3lim, a 
deformação de encurtamento no concreto comprimido (εcd) é igual a 3,5 ‰, e a deformação 
de alongamento na armadura (εsd) é igual a εyd, igual a 2,07 ‰ para o aço CA-50. 
 
10 ‰ ε yd
sA
x 3lim
sdε 
3,5 ‰
LN
0
B
24,7
3limx 
ε = 3,5 ‰cd
20
sA
39,2
A'c
h
2
3
 
 Na distribuição das seis barras φ 16 mm na seção transversal pode-se fazer uso da 
tabela do anexo A-4, para se determinar quantas camadas de barras são necessárias. O intuito é 
de alojar o maior número de barras numa primeira camada. Verifica-se que a largura bw 
mínima necessária para alojar 6 φ 16 mm é de 27 cm, maior que a largura existente, de 20 cm, 
não sendo possível, portanto, alojar as seis barras. Cinco barras também não podem, já que 
bw,mín = 23 cm supera a largura existente. Mas quatro barras podem ser alojadas numa única 
camada, a largura bw,mín de 20 cm é igual à largura da viga. 
As duas outras barras restantes devem ser dispostas numa segunda camada, 
posicionadas com o espaçamento livre mínimo (ev,mín) relativo à face superior das barras da 
primeira camada. As duas barras são posicionadas e amarradas nos ramos verticais dos 
estribos.. 
 O espaçamento livre mínimo vertical entre as barras: 
 





=⋅=
=φ≥
cm0,19,15,0d5,0
cm6,1
cm2
e
agr,máx
mín,v l ∴ ev,mín = 2,0 cm 
 
De modo geral, o espaçamento livre entre camadas resulta igual a 2,0 cm. 
Adotando-se a posição do centro de gravidade da armadura de forma aproximada, 
numa linha passando a 0,5 cm acima da superfície superior das barras φ 16 mm da primeira 
camada, a distância a (distância do centro de gravidade – CG - da armadura longitudinal 
tracionada (As) à fibra mais tracionada da seção) é: 
 
a = 2,5 + 0,5 + 1,6 + 0,5 = 5,1 cm 
 
 Para a altura da viga resulta: 
 
h = d + a = 39,2 + 5,1 = 44,3 cm 
 
37 
 
 A altura calculada para a viga, de 44,3 cm não é uma medida padrão de execução na 
prática das construções. É comum adotarem alturas múltiplas de 5 cm ou 10 cm para as vigas, 
o que levaria à altura de 45 cm. 
 
2 Ø 16
 4 Ø 16
e v
tØ
c
C.G.
20
39,2
44,3
3 limx = x = 24,7A'c
a
0,
5
 
c) Comparação dos resultados 
 
 Os cálculos efetuados com a linha neutra fixada em X2lim e X3lim forneceram as 
soluções: 
 
a) X2lim: h = 60 cm , As = 6,56 cm2; 
b) X3lim: h = 45 cm , As = 11,06 cm2. 
 
 Os resultados permitem tecer as seguintes considerações: 
 
- quanto menor for o valor de x ou a profundidade da linha neutra dentro da seção 
transversal, maior será a altura resultante para a viga e menor será a área de armadura 
tracionada. Com a maior altura da seção o braço de alavanca z entre as forças resultantes 
internas também é maior, o que leva a menor necessidade de armadura; 
- as vigas dimensionadas no domínio 2 resultam vigas com maior altura e menor 
armadura que as vigas dimensionadas no domínio 3; 
- a consideração anterior implica que as vigas dimensionadas no domínio 2 consomem 
maiores volumes de concreto e maiores quantidades de fôrma, escoramento,mão-de-obra, etc. 
Embora não tenhamos feito um estudo de custos, o dimensionamento nesse domínio deve 
conduzir a um maior custo que o dimensionamento no domínio 3, apesar do menor consumo 
de aço proporcionado pelo domínio 2; 
- outro aspecto importante é que o dimensionamento no domínio 3, com vigas de 
menor altura, resultam vigas mais flexíveis, sujeitas a flechas de maior magnitude. 
 
 
 
 
 
 
38 
 
3º) Calcular a armadura As de uma viga submetida à flexão simples, sendo dados: 
 concreto C25 c = 2,5 cm 
 aço CA-50 φt = 6,3 mm (diâmetro do estribo) 
 h = 60 cm concreto com brita 1 
 bw = 22 cm 
Mk = - 15.000 kN.cm (momento fletor negativo no apoio da viga) 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Neste caso, como todas as variáveis estão fixadas, com exceção da posição da linha 
neutra (x) e da área de armadura As, existe apenas uma solução, dada pelo par x - As. A 
resolução é iniciada pela determinação de x e em seguida pelo cálculo de As. 
A altura útil d não é conhecida porque não se conhece o arranjo da armadura na seção 
transversal. É necessário estimar d, que é a altura da viga menos a distância entre o centro de 
gravidade da armadura tracionada e a fibra mais tracionada (chamada distância a). A distância 
a depende da armadura As, da largura da viga, do diâmetro do estribo e principalmente da 
espessura do cobrimento de concreto, que, quanto maior, maior será a distância a. De modo 
geral, para as vigas correntes, o valor de a varia de 3 cm a 6 cm. A solução é adotar um valor 
para a e depois verificar o valor exato no detalhamento da armadura na seção transversal. 
Normalmente não é necessário recalcular a armadura para o valor de a determinado no 
detalhamento, dado que a variação de armadura geralmente é pequena. 
O cálculo será feito com as equações do tipo K. O momento fletor de cálculo é: 
kN.cm 000.2115000.4,1MM kfd ==γ= 
 
 Para a distância a será adotado o valor de 5 cm, e consequentemente d é: 
d = h – 5 cm = 60 – 5 = 55 cm 
 
 A posição da linha neutra é determinada com o cálculo de Kc (Eq. 25): 
 
d
2
w
c M
dbK = 
2,3
21000
55.22K
2
c == 
 
 Observe que o momento fletor de cálculo (Md) é considerado com o seu valor absoluto 
no cálculo de Kc. 
Com Kc = 3,2, para concreto C25 e aço CA-50 na tabela do anexo A-1 encontram-se: 
Ks = 0,026, βx = 0,29 e domínio 3. Para momento fletor negativo no apoio da viga, a norma 
limita a relação βx = x/d em 0,50 para o concreto C25. A viga atende, portanto, a esta 
limitação, pois βx = 0,29 < 0,50. 
A área de armadura (Eq. 25) resulta: 
 
39 
 
2d
ss cm 93,955
21000026,0
d
MKA === (5 φ 16 mm = 10,00 cm2) 
 
 A armadura mínima para a viga: 
 
hb%15,0A wmín,s = 
2
mín,s cm 98,160.22.0015,0A == 
As > As,mín = 1,98 cm2 
 
 O detalhamento da armadura na seção transversal está mostrado na figura abaixo. 
Como o momento fletor é negativo, a armadura deve obrigatoriamente ser disposta próxima à 
face superior tracionada da seção. Seria um erro gravíssimo fazer o contrário, com a armadura 
As no lado inferior da viga. Tanto no projeto quanto na execução das vigas, especial atenção 
deve ser dada a este detalhe. 
 A posição do centro de gravidade da armadura foi adotada de forma aproximada, a 
5mm da face inferior das barras da primeira camada. Para vigas de pequeno porte não há a 
necessidade de se determinar com rigor a posição exata do centro de gravidade da armadura. 
 Na distribuição das barras da armadura longitudinal negativa nas seções transversais 
das vigas é importante deixar espaço suficiente entre as barras para a passagem da agulha do 
vibrador. Deve-se ter em mente qual o diâmetro da agulha do vibrador que será utilizado. Os 
diâmetros de agulha mais comuns utilizados na prática são de 25 mm e 49 mm. De preferência 
o espaçamento entre as barras deve ser um pouco superior ao diâmetro da agulha, para 
permitir a penetração da agulha com facilidade, sem que se tenha que forçar a sua passagem. 
 Para quatro e três barras na primeira camada os espaçamentos livres horizontais entre 
as barras são: 
 
 
( )[ ] 1,3
3
6,1463,05,2222
e 4,h =
⋅++−
= cm 
 
( )[ ] 5,5
2
6,1363,05,2222
e 3,h =
⋅++−
= cm 
 
 Considerando o diâmetro da agulha do vibrador igual a 49 mm, verifica-se que devem 
ser dispostas apenas três barras na primeira camada, e as duas outras na segunda camada. 
 O espaçamento livre mínimo horizontal entre as barras é: 





⋅=
=φ≥
cm 2,3 = 1,9 1,2 d 1,2
cm 1,6
cm 2
e
agrmáx,
mín,h l ∴ eh,mín = 2,3 cm 
O espaçamento livre mínimo vertical entre as barras das camadas é: 





=
=φ≥
cm 1,0 = 1,9 . 0,5d0,5
cm 1,6
cm 2
e
agrmáx,
mín,v l ∴ ev,mín = 2,0 cm 
40 
 
A distância entre o centro de gravidade da armadura e a face tracionada da viga, 
adotada inicialmente como 5 cm, é: 
 
a = 2,5 + 0,63 + 1,6 + 0,5 = 5,2 cm 
C.G.
a
e = 2 cmv0.5
1ª cam.
2ª cam.
5 Ø 16
10,00 cm²
60
c Øt
C.G.
a
d
22
 
 
 
 
4º) Dada a seção retangular de uma viga, como mostrada na figura abaixo, calcular qual é o 
momento fletor admissível (de serviço). São conhecidos: 
 
bw = 20 cm 
γf = γc = 1,4 
h = 50 cm 
γs = 1,15 
d = 46 cm 
As = 8,00 cm2 
concreto C20 
aço CA-50 
46
20
50 A = 8,00 cm²s
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 O problema agora não é de dimensionamento, e sim de verificação. As variáveis a 
serem determinadas são a posição da linha neutra (x) e o momento fletor de serviço ou 
admissível (Mk). 
 A resolução deve ser feita por meio das equações teóricas. A primeira equação a 
considerar é a de equilíbrio das forças resultantes na seção transversal (Eq. 11). 
Rcc = Rst 
41 
 
 
 As resultantes de compressão no concreto comprimido e de tração na armadura são 
(Eq. 12 e 13): 
wcdcc bx8,0f85,0R = 
ssdst AR σ= 
 
Inicialmente deve-se supor que a seção foi dimensionada nos domínios 2 ou 3, onde 
tem-se: 
15,1
50ff
s
yk
ydsd =γ
==σ 
Aplicando a Eq. 10 determina-se a posição da linha neutra (x): 
 
ssdwcd Abx8,0f85,0 σ= 
 
cm 9,17x 00,8
15,1
5020.x8,0
4,1
0,285,0 =⇒= 
 
 É necessário verificar se a hipótese inicialmente considerada da viga estar nos 
domínios 2 ou 3 é verdadeira, o que se faz comparando x com os valores limites X2lim e X3lim: 
 x2lim = 0,26 d = 0,26 . 46 = 12,0 cm 
 x3lim = 0,63 d = 0,63 . 46 = 29,0 cm 
 
 x2lim = 12,0 < x = 17,9 < x3lim = 29,0 cm 
 
Verifica-se que a seção encontra-se no domínio 3, e realmente σsd é igual a fyd. O 
momento fletor de serviço pode ser calculado pelas Eq. 15 ou 18: 
 
( )x4,0dfxb68,0M cdwd −= ou ( )x4,0dAM sdsd −σ= 
( ) kN.cm650.9=M 9,17.4,046
15,1
5000,8M4,1 kk ⇒−= 
 
 Portanto, o momento fletor característico a que a seção pode resistir é 9.650 kN.cm 
(momento positivo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
5º) Determinar o máximo momento fletor que pode suportar uma viga com a seção mostrada 
na Figura 26. Dados: 
 
 concreto C25 
 aço CA-50 
 As = 9,45 cm2 
 γc = γf = 1,4 
γs = 1,15 
d = 36 cm 
40
20
3
 3 Ø 20
9,45 cm²
 
. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 Como no exercício anterior, o problema é de verificação e a incógnita principal do 
problema é o momento fletor característico (Mk) a que a seção transversal pode resistir. 
Da equação de equilíbrio de forças normais (Eq. 11), tem-se o equilíbrio das forças 
resultantes: 
Rcc = Rst 
 As resultantes de compressão no concreto comprimido e de tração na armadura são 
(Eq. 12 e 13): 
wcdcc bx8,0f85,0R = 
ssdst AR σ= 
 
 Supondo-se inicialmente que a seção foi dimensionada nos