porcentagem e juros simples

Prévia do material em texto

Porcentagem e juros simples 
 
 
 
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf 
 
 
Sumário Página 
Porcentagem.................................................................................................................... 1 
 Resolvendo problemas com porcentagem................................................................ 3 
Juros ................................................................................................................................ 5 
 Juros simples ............................................................................................................ 6 
Referências bibliográficas............................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 1 
PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES 
 
Porcentagem 
Praticamente todos os dias você vê na televisão ou lê nos jornais alguma coisa 
relacionada com a expressão por cento. 
A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer por um cento. 
Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como “Grande liquidação de 
verão na loja X: 40 por cento de desconto em todos os artigos”, significa que 
você tem um desconto de R$ 40,00 para cada R$ 100,00 do preço de um artigo. 
Isso nos leva, então, a estabelecer a razão 
100
40
. 
Toda razão 
b
a
, na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem. 
Assim, 40 por cento é o mesmo que 
100
40
. 
Em lugar da expressão por cento, podemos usar o símbolo %. 
Assim, 40 por cento ou 
100
40
 é igual a 40%. 
OBS: Uma razão 
b
a
, com b ≠ 100, também pode ser escrita na forma de %. 
 
Exemplos: 
a) Escrever 
2
1
 na forma de porcentagem. 
Resolução: 
Vamos escrever uma razão equivalente à razão dada e que tenha denominador 
100. 
%50
100
50
502
501
2
1
==
⋅
⋅
= 
 2 
b) Um desconto de 7 mil reais sobre um preço de 25 mil reais representa 
quantos por cento de desconto? 
Resolução: 
 ou ou 
Usando regra de três simples: 
Porcentagem 
(%) 
Preço 
(R$) 
100 25 
x 7 
%28
25
700
70025
100725
7
25100
=
=
=
⋅=
=
x
x
x
x
x
 
Usando razões 
equivalentes 
razão inicial: 
25
7
 
%28
100
28
425
47
25
7
==
⋅
⋅
= 
 
%28
74
7
4
725
100
=
⋅=
=
=⋅
x
x
x
x
 
 
 
 
 
 
Uma quantia expressa em porcentagem pode também ser escrita na forma 
decimal. Observe: 
• 51,001,051
100
51%51 =⋅== 
• 072,001,02,7
100
2,7%2,7 =⋅== 
• 1628,001,028,16
100
28,16%28,16 =⋅== 
 
 
 
 3 
Resolvendo problemas com porcentagem 
Consideremos as seguintes situações: 
1ª) Em um jogo de basquete, Oscar cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 
65%. Quantos lances livres ele acertou? 
Resolução: 
Este problema se resume em calcular 65% de 20. 
13
20
100
65
20 de %65
=
⋅=
=
x
x
x
 
Portanto, Oscar acertou 13 lances livres. 
 
2ª) Durante o ano de 2007, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais 
venceu 63. Qual é a taxa de porcentagem correspondente aos jogos que essa 
equipe venceu? 
Resolução: 
Vamos indicar por x o número que representa essa porcentagem. De acordo com 
o problema, podemos escrever: 
%84
3
252
2523
6343
63
4
3
63
25:100
25:75
6375
100
=
=
=
⋅=
=
=⋅
=⋅
x
x
x
x
x
x
x
 
Portanto, a equipe venceu 84% dos jogos. 
 
 4 
3ª) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$ 
76,50 por ele. Nessas condições, qual era o preço original desse objeto? 
Resolução: 
Como obtive um desconto de 15%, paguei o correspondente a 
%85%15%100 =− do objeto. Indicando por x o preço original do objeto, 
podemos escrever: 
90
17
1530
153017
5,762017
5,76
20
17
5,76
100
85
50,76
100
85
=
=
=
⋅=
=
=
=⋅
x
x
x
x
x
x
x
 ou 
90
17
1530
153017
5,762017
5,76
100
17
5,76
100
85
5,76
100
15100
50,76
100
15
=
=
=
⋅=
=
=
=
−
=⋅−
x
x
x
x
x
x
xx
xx
 
 
Portanto, o preço original do objeto era R$ 90,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
EXERCÍCIOS A 
(1) Calcule 41% de 54000 votos. 
(2) A quantia de R$ 1143,00 representa quantos por cento de R$ 2540,00? 
(3) Um aumento de R$ 486,00 sobre um preço de R$ 1350,00 representa quantos 
por cento de aumento? 
(4) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. 
Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? 
(5) O preço de um produto é de R$ 420,00. O vendedor propõe a um comprador 
as seguintes alternativas de pagamento: 
Alternativa 1: pagamento à vista com 30% de desconto sobre o preço da tabela. 
Alternativa 2: pagamento em 30 dias com acréscimo de 10% sobre o preço da 
tabela. 
Nessas condições, responda: 
a) Se o pagamento for à vista, quanto será pago pelo produto? 
b) Se o pagamento for em 30 dias, quanto se pagará pelo produto? 
c) Qual a diferença entre essas quantias? 
d) Ela representa quantos por cento do preço do produto? 
 
 
Juros 
 
Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a uma outra pessoa ou a um 
banco, ela paga uma compensação em dinherio pelo tempo que fica com o 
dinheiro emprestado. 
Quando uma pessoa compra uma mercadoria a prestação, ela paga um acréscimo 
pelo tempo correspondente ao número de prestações. 
Quando uma pessoa aplica dinheiro em um banco, ela recebe uma compensação 
pelo tempo em que está emprestando o dinheiro ao banco. 
 6 
Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo chama-se 
juros e corresponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da 
compra. 
Assim, podemos dizer que: 
Toda compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe pela quantia em 
dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamada juros. 
 
Juros simples 
O regime de juros simples, é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o 
capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, 
mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é muito 
importante. 
Quando falamos em juro simples, devemos considerar: 
Capital (C): o dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado. 
Taxa de juros (i): a taxa de porcentagem que se paga pelo aluguel do dinheiro. 
Tempo (t): o tempo que transcorre durante o empréstimo. 
Juros (J): juros produzidos depois de t períodos, do capital C aplicado a uma 
taxa de juros, por período, igual a i. 
Montante (M): o total que se paga no final do empréstimo (capital + juros) 
 
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, 
podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: 
tiCJ ⋅⋅=
 
No final de t períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial C 
adicionado aos juros J produzidos no período. O capital inicial adicionado aos 
juros do período é denominado MONTANTE (M). 
 
 
 
 7 
Exemplos: 
 
a) Um aparelho eletrônico custa R$ 620,00 à vista. Em 5 prestações mensais, o 
preço passa a ser de R$ 868,00. Sabendo-se que a diferença entre os preços é 
devida ao juro, qual é a taxa de juros cobrada ao mês por essa loja? 
Resolução: 
Devemos marcar os nossos dados: 
 
C = R$ 620,00 
t = 5 meses 
M = R$ 868,00 
J = R$ 868,00 − R$ 620,00 = R$ 248,00 
i = ? 
 
Então, aplicando a fórmula, temos: 
%8
100
8
 i
0,08 i
3100
248i
248i3100
i3100248
5i620248
tiCJ
==
=
=
=
=
⋅⋅=
⋅⋅=
 
Portanto, a taxa é de 8% ao mês. 
 
 
 
 8 
b) Uma aplicação feitadurante 2 anos, a uma taxa de 18% ao ano, rendeu 
R$ 1800,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada? 
Resolução: 
Devemos marcar os nossos dados: 
 
t = 2 anos 
i = 18% = 18,0
100
18
= 
J = R$ 1800,00 
C = ? 
 
Então, aplicando a fórmula, temos: 
5000 C
36,0
1800C
8001C36,0
C36,01800
218,0C1800
tiCJ
=
=
=
=
⋅⋅=
⋅⋅=
 
Portanto, a quantia aplicada foi de R$ 5000,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
EXERCÍCIOS B 
(1) Um agricultor fez um empréstimo de R$ 5200,00 e vai pagá-lo em 5 meses, a 
uma taxa de 1,5% ao mês. 
a) Qual a quantia de juros que o agricultor vai pagar por mês? 
b) Após os 5 meses qual o total pago pelo agricultor? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Uma loja colocou o anúncio de um liquidificador em um jornal. O anúncio 
indicava o pagamento à vista de R$ 60,00 ou, após um prazo de 30 dias, de 
R$ 69,00. Qual a taxa mensal de juros que essa loja está cobrando para 
pagamento a prazo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
Referências bibliográficas 
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando 
matemática. São Paulo: Brasil, 2002. 
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: 
FTD, 2006. 
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. 
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: 
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. 
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e 
descobrir. São Paulo: FTD, 2005. 
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José 
Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. 
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. 
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: 
Ática, 1998. 
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São 
Paulo: Scipione, 2006. 
KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: 
<http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 7 de outubro de 2008. 
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.