Lista 01 Probabilidade Gabarito

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
 
Catiúscia A. B. Borges 1 
Lista 01 - Probabilidade 
 
Introdução 
 
1) Seja S um espaço amostral, e , e eventos 
associados a este espaço amostral. 
Classifique cada sentença em V ou F. 
( ) Se então . 
( ) Os eventos e são complementares. 
( ) Os eventos e são mutuamente exclusivos. 
( ) O Evento é um evento impossível. 
 
V F V V. 
 
Para as questões 2, 3, 4 e 5 . Explicite o espaço amostral e o evento E. 
2) No lançamento de uma moeda não viciada, qual a probabilidade de sair coroa 
na face superior? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Qual é a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um número maior 
que 4? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Um casal está à espera de um bebê, qual é a probabilidade de que este bebê 
seja uma menina? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcular a probabilidade de retirar uma bola vermelha de uma urna contendo 
três bolas brancas, duas vermelhas e cinco verdes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Ao lançarmos um dado qual é a probabilidade de: 
a) Obtermos um número maior ou igual à 5? 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Obtermos um número menor que 5? 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Obtermos um número primo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Obtermos um número ímpar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e) Obtermos um número par ou um número divisível por 3? 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Obtermos um número par ou um número ímpar? 
 
 
 
 
 
7) Em uma gaveta existe uma moeda de ouro. Qual é a probabilidade de abrirmos 
a gaveta e encontrarmos: 
a) uma moeda de prata? 
 
 
b) uma moeda de ouro? 
 
 
8) Qual a probabilidade de sortear em um baralho honesto uma carta do naipe de 
paus (evento A) ou uma carta de ouro (evento B)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
 
9) Numa urna existem dez bolas numeradas de 1 a 10. Uma bola é retirada ao 
acaso. Determinar a probabilidade de seu número ser par ou maior que 4. 
 
 
 
Solução 1: 
 
 
 
 
 
Solução 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10) Considere a situação do problema anterior, calcular a probabilidade de 
a bola retirada ter um número primo ou maior que 8. 
 
 
 
 
 
11) Numa pesquisa feita com 500 pessoas leitoras de pelo menos um 
dentre os dois jornais locais, verificou-se que 100 leem o jornal A e B, 300 leem o 
jornal A . Qual a probabilidade de, sorteando-se uma pessoa, ela ser leitora: 
a) Do jornal A? 
P(A) = 300/500 = 3/5 = 0,60 = 60% 
 
b) Do jornal B? 
P(B) = 300/500 = 3/5 = 0,60 = 60% 
 
c) Exclusivamente do jornal B? 
P(C) = 200/500 = 2/5 = 0,40 = 40% 
 
d) Exclusivamente do jornal A? 
P(D) = 200/500 = 2/5 = 0.40 = 40% 
 
e) Do jornal A e B simultaneamente? 
P(E) = 100/500 = 1/5 = 0.20 = 20% 
 
12) Num conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 
são gordas. Qual é a probabilidade de se escolher uma pessoa nesse conjunto e ela ser 
alta e magra? 
 Alta Baixa Total 
Gorda 5 8 13 
Magra 14 3 17 
Total 19 11 30 
 
P(A) = 14/30 0,47 = 47% 
 
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13) Pretendendo visitar um amigo, fui ao endereço dado e descobri que ele, 
distraído, havia esquecido de anotar o número do apartamento, que situava-se no 5º 
andar. Eram quatro apartamentos por andar. Qual a probabilidade de que eu possa 
encontrar o apartamento certo só depois da primeira tentativa? 
Probabilidade de acertar na primeira vez P(A) = 0,25 
Probabilidade de acertar só depois da primeira tentativa 
P(A’) = 1 -0,25 = 0,75 = 75% 
 
14) No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de: 
a) encontrarmos em cada face superior um número? Como podemos classificar 
este evento? 
P(A) = 100% Evento Certo 
 
b) encontrarmos em cada face superior um número inteiro e positivo? Como 
podemos classificar este evento? 
P(B) = 100% , Evento Certo 
 
c) encontrarmos a soma das faces superiores igual a 8? 
S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , 
 (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , 
 (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , 
 (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , 
 (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , 
 (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) , 
P(C) = 5/36 = 0,1389 = 13,89% 
 
15) Lançando-se sucessivamente uma mesma moeda três vezes, qual a 
probabilidade de não ocorrer a mesma face nas três vezes? 
Faces sucessivas: (3 caras) P(K) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8 = 0,125 = 12,5% 
 (3 coroas) P(C) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8 = 0,125 = 12,5% 
P(K U C) = 12,5% + 12,5% = 25% 
 
Negação de P(K U C) = P(K U C)’ =100% - 25% =75% 
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16) Lançando-se simultaneamente dois dados, qual a probabilidade de: 
a) Ocorrerem números iguais. 
A ={(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6)} 
P(A) = 6/36 = 0,17 = 17% 
 
b) Obter um número divisível pelo outro? 
B = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2), (2,4) , (2,6) , (3,1) , 
(3,3) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,4) , (5,1) , (5,5) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,6) } 
 
 P(B) = 22/36 = 0,61 = 61% 
 
Eventos Sucessivos 
 
17) A família Silva deseja ter 2 filhos, qual a probabilidade de que o 
primeiro filho seja um menino e o segundo filho seja uma menina? 
P(S) 1/2 * 1/2 = 1/4 = 0,25 = 25% 
 
18) Se a família Silva tiver 1 filho e a família Oliveira tiver 2, qual a 
probabilidade de que todos os filhos dos Silva sejam meninas e todos os dos Oliveira 
sejam meninos? 
P(Si) = 1/2 = 0,50 = 50% 
 
P(O) = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 0,25 = 25% 
 
P(Si) * P(O) = 1/2 * 1/4 = 1/8 = 0,125 = 12,5% 
 
19) (UFES-ES) Um determinado indivíduo possui o genótipo Aa. Qual a 
chance de o gene A ser transmitido para um bisneto seu? 
P(I) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8 = 0,125 = 12,5% 
 
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20) A probabilidade de um homem estar vivo daqui a 25 anos é 3/5 e a de 
sua mulher também o estar na mesma ocasião é de 2/3. Qual a probabilidade de: 
Homem 
Vivo → P(Hv) = 3/5 
Morto → P(Hm) = 2/5 
 
Mulher 
Vivo → P(Mv) =2/3 
Morto → P(Mm) = 1/3 
a) ambos estarem vivos? 
P(A) = 3/5 * 2/3 = 6/15 = 2/5 = 0,40 = 40% 
 
b) Somenteo homem estar vivo? 
P(B) = 3/5 * 1/3 = 3/15 = 1/5 = 0,20 = 20% 
 
c) Somente a mulher estar viva? 
P(C) = 2/5 * 2/3 = 4/15 = 0,27 = 27% 
 
d) Pelo menos um estar vivo? 
P(D) = 2/5 * 1/3 = 2/15 = 0,135 
P(D’) = 1 - 0,135 = 0,865 = 86,5% 
 
21) Em uma caixa há 100 peças, onde apenas 30 delas são boas. Qual a 
probabilidade de que ao retirarmos duas peças (com reposição) ambas sejam boas? 
P(A) = 30/100 * 30/100 = 900/10000 = 0,09 = 9% 
 
22) Em uma caixa há 100 peças, onde apenas 30 delas são boas. Qual a 
probabilidade de que ao retirarmos duas peças (sem reposição) ambas sejam boas? 
P(A) = 30/100 * 29/99 = 870/9900 = 87/990 = 0,088 = 8,8% 
 
23) Em um saco há 4 bolas, duas vermelhas e duas azuis, qual é a 
probabilidade de ao retirarmos três bolas qual é a probabilidade de que duas delas 
sejam vermelhas e uma azul nesta ordem sem reposição? 
P(A) = 2/4 * 1/3 * 2/2 = 4/24 = 1/6 = 0,17 = 17% 
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24) Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 peças são retiradas uma 
após outra sem reposição. Qual é a probabilidade de que ambas sejam boas? 
P(A) = 8/12 * 7/11 = 56/132 = 0,42 = 42% 
 
25) Um lobisomem surge quando uma pessoa é mordida por um 
lobisomem ou quando o sétimo filho de um casal é menino após terem tido seis 
meninas. Se a lenda fosse verdadeira, qual seria a probabilidade do surgimento de 
um lobisomem, considerando apenas o nascimento das sete crianças? 
P(A) = 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = (½)7 = 1/128 = 0,0078 = 0,78% 
 
26) São dadas três caixas como segue: 
A caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas; 
A caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa; 
A caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas. 
 
Seleciona-se uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada, 
também aleatoriamente. Qual é a probabilidade de a lâmpada ser defeituosa? 
1ª caixa → P(E1) = 1/3 * 4/10 = 4/30 = 2/15 
2ª caixa → P(E2) = 1/3 * 1/6 = 1/18 
3ª caixa → P(E3) = 1/3 * 3/8 = 3/24 = 1/8 
 
P(A) = 2/15 + 1/18 + 1/8 = (48+20+45)/360 = 113/360 = 0,3138 = 31,38% 
 
27) Lança-se uma moeda viciada de modo que P(CA) = 2/3 e P(CO) = 1/3. 
 Se aparecer cara (CA), então seleciona-se aleatoriamente um número 
dentre os de 1 a 9; se aparecer coroa (CO), seleciona-se aleatoriamente um número 
dentre os de 1 a 5 . Calcule a probabilidade de um número par ser selecionado. 
Cara = 4/9 * 2/3 = 8/27 
Coroa = 2/5 * 1/3 = 2/15 
 
P(A) = 8/27 + 2/15 = (120+54)/405 = 174/405 = 0,43 = 43% 
 
28) Suponha-se que um escritório possua 100 máquinas de calcular. 60 
delas são elétricas; enquanto as outras são manuais. 70 são novas enquanto o 
restante são usadas. Sabe-se ainda que 40 delas são elétricas e novas. Uma pessoa 
entra no escritório, pega uma máquina ao acaso, e descobre que é nova. Qual será a 
probabilidade de que a máquina escolhida seja elétrica? 
 
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 Nova Velha Total 
Manual 30 10 40 
Ele trica 40 20 60 
Total 70 30 100 
 
P(A) = 40/70 = 4/7 = 0.57 = 57% 
 
 
29) Consideremos um lote de 100 peças. Admitamos que 10 por cento 
dessas peças sejam defeituosas e 90 por cento perfeitas. Duas peças são extraídas. 
Qual é a probabilidade de que ambas sejam perfeitas, em cada caso seguinte : 
a) Com reposição 
P(A) = 90/100 * 90/100 = 8,100/10,000 = 81/100 = 0.81 = 81% 
 
b) Sem reposição 
P(B) = 90/100 * 89/99 = 8,010/9,900 = 0,809 = 80, 9% 
 
 
30) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas 
travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. 
Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos 
salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel? 
1ª travessa = 1/2 * 3/8 = 3/16 
2ª travessa = 1/2 * 4/6 = 4/12 = 1/3 
 
P(A) = 3/16 + 1/3 = (9+16)/48 = 25/48 = 0,521 = 52,1% 
 
 
 
Probabilidade Condicional e Teorema de Bayers 
31) Dados P(A) = ½ ; P(B)=1/3 ; P(A B)=1/4 . Calcule : 
a) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
P(AUB) = 1/2 + 1/3 – 1/4 = (6+4-3)/12 = 7/12 = 0,58 = 58% 
 
b) P(A / B ) = (1/4) / (1/3) = 0,75 = 75% 
 
c) P (B / A ) = P(A/B) = (1/4) / (1/2) = 0,5 = 50% 
 
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32) Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 
deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham 
com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito 
de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma 
pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam 
cartões de crédito da bandeira MasterCard? 
 P(MasterCard/Visa ) = 200/550 = 0,3636 = 36,36% 
 
33) Frequentemente assumimos, com alguma justificativa, que a 
paternidade leva a responsabilidade. Pessoas que passam anos atuando de maneira 
descuidadosa e irracional de alguma forma parecem se tornar em pessoas diferentes 
uma vez que elas se tornam pais, mudando muitos dos seus antigos padrões 
habituais. Suponha que uma estação de rádio tenha amostrado 100 pessoas, 20 das 
quais tinham crianças. Eles observaram que 30 dessas pessoas usavam cinto de 
segurança, e que 15 daquelas pessoas tinham crianças. Os resultados são mostrados 
na Tabela 
 
Relação entre paternidade e uso de cinto de segurança. 
 
Paternidade 
Usam cinto 
E1 
Não usam cinto 
E2 
Total 
Com crianças 
C1 
15 5 20 
Sem crianças 
C2 
15 65 80 
Total 30 70 100 
 
 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa usar cinto de segurança dado que 
tem criança? 
P(E1/C1) = 15/20 = 0,75 = 75% 
 
b) Qual a probabilidade de uma pessoa ter criança dado que usa cinto de 
segurança? 
P(C1/E1) = 15/30 = 0,50 = 50% 
 
 
 
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34) Um piloto de fórmula Um tem 50% de probabilidade de vencer 
determinada corrida, quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a 
corrida, sua probabilidade de vitória é de 25%. Se o serviço de Meteorologia estimar 
em 30% a probabilidade de que chova durante a corrida, qual é a probabilidade deste 
piloto ganhar a corrida? 
 
 Vencer 
Chuva 50% * 30% =15% 
Sem chuva 25% * 70% = 17,5% 
 
P(V) = 32,5% 
 
35) A experiência com testes psicotécnicos para habilitação de motoristas 
indica que 90% dos candidatos à habilitação aprovados no primeiro teste tornam-se 
excelentes motoristas. 70% dos candidatos reprovados no primeiro teste tornam-se 
péssimos motoristas. Admitindo-se a classificação dos motoristas apenas em 
excelentes ou péssimos, responda: 
a) Um candidato acaba de ser reprovado em seu primeiro teste 
psicotécnico. Qual é a probabilidade de que se torne um excelente motorista? 
P(A) = 30% 
 
b) Um candidato acaba de ser aprovado em seu primeiro teste psicotécico. 
Qual é a probabilidade de que se torne um péssimo motorista? 
P(B) = 10% 
 
c) Um indivíduo acaba de fazer um teste psicotécnico. Se 80% dos 
candidatos são aprovados neste teste, qual é a probabilidade de que se torne um 
excelente motorista? 
P(C) = 90% * 80% + 30% * 20%= 72% + 6% = 78% 
 
 
36) As máquinas A e B são responsáveis por 60% e 40%, respectivamente, 
da produção de uma empresa. Os índices de peças defeituosas na produção destas 
máquinas valem 3% e 7% respectivamente. Se uma peça defeituosa foi selecionada 
da produção desta empresa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela 
máquina B? 
Defeituosas de A 1,8% Defeituosas de B 2,8% 
 
P(B/D) = 2,8 / 4,6 = 0,61 = 61% 
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37) Um técnico em aparelhos elétricos faz consertos em domicílio e deve 
consertar um ferro elétrico na casa de um cliente. Ele avalia que o defeito deve estar 
na tomada da força da área de serviço, no cabo de força de alimentação ou na 
resistência do ferro. Por experiência, ele sabe que as probabilidades do defeito estar 
na tomada, no cabo ou na resistência são de 20%, 50% e 30%, respectivamente. 
Pensando em termos de ferramentas e peças de reposição do estoque que ele 
carrega, ele imagina que se o defeito for na tomada a probabilidade de conserto é de 
95%. Se for no cabo de força é de 70% e se for na resistência é de 20%. 
Consertar a Tomada P(E1) = 20% * 95% = 19% 
Consertar o Cabo P(E2) = 50% * 70% = 35% 
Consertar a Resistência P(E3) = 30% * 20% = 6% 
 
a) Qual a probabilidade de o técnico consertar o ferro no local com os seus 
recursos? 
P(C) = 60% 
 
b) Qual a probabilidade do defeito ter sido no cabo de força, se o técnico 
conseguiu realizar o conserto? 
P(E2/C) = 35/60 058,33 = 58,33% 
 
38) Em uma população de trabalhadores, 40% tenham curso primário 
(classe C1), 50% tenham curso média (classe C2), e 10% tenham curso superior 
(classe C3). Entre os de curso primário, 10% estão desempregados (E); entre os de 
curso ginasial, 5% estão desempregados, e entre os de curso universitário, 2% estão 
desempregados. Escolhendo um deles ao acaso, e constatarmos estar desempregado 
(E), qual a probabilidade de ele ter curso superior (C3). 
 
 Curso prima rio Curso me dio Curso superior 
Desempregado 10% de 40% = 4% 5% de 50% = 2,5% 2% de 10% =0,2% 
Empregado 90% de 40% = 36% 95% de 50% = 47,5% 98% de 10% = 0,98% 
Total 40% 50% 10% 
 
P(C3/ E) = 0,2 / ( 4+2,5+0,2) = 0,2 / 6,7 0,0298 = 2,98%