Aula 3 (produto vetorial de dois vetores; interpretação geométrica do módulo do produto vetorial; produto misto

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Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Aula 3: produto vetorial de dois vetores; interpretação geométrica do 
módulo do produto vetorial; produto misto. 
Prof. Luciano Pedroso 
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES 
Definição 
 
É um produto definido apenas para vetores do ℝ³ que 
resulta em um vetor do próprio ℝ³. 
 
O produto vetorial dos vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, 
z2) do ℝ³, denotado por 𝑢 x 𝑣 (lê-se 𝑢 vetorial 𝑣 ), é definido 
como: 
 
𝑢 x 𝑣 = 
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
 
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES 
Características do vetor 𝒖 x 𝒗 
 
Consideremos os vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z2). 
a) Direção de 𝑢 x 𝑣 
 
O vetor 𝑢 x 𝑣 é simultaneamente ortogonal a 𝑢 e 𝑣 
𝜋 
𝑢 x 𝑣 
𝑣 x 𝑢 
𝑣 
𝑢 
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES 
Características do vetor 𝒖 x 𝒗 
 
Consideremos os vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z2). 
b) Sentido de 𝑢 x 𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 x 𝑣 
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES 
Características do vetor 𝒖 x 𝒗 
 
Consideremos os vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z2). 
c) Comprimento de 𝑢 x 𝑣 
 
Se 𝜃 é o ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣 não-nulos, então 
 
 
|𝑢 x 𝑣 | = |𝑢||𝑣 |sen𝜃 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO 
DO PRODUTO VETORIAL 
𝜃 
𝑣 
𝑢 
𝑣 sen𝜃 
No paralelogramo ao lado, 
determinado pelos vetores 
não-nulos 𝑢 e 𝑣 , a medida da 
base é 𝑢 e da altura é 
𝑣 sen 𝜃 , a área A deste 
paralelogramo é 
 
A = (base)(altura) = 
𝑢 𝑣 sen𝜃 ou seja, 
 
A = |𝑢 x 𝑣 | 
∙ 
PRODUTO MISTO 
Definição 
 
Chama-se produto misto dos vetores 𝑢 = x1𝑖 + y1𝑗 + z1𝑘, 𝑣 = 
x2𝑖 + y2𝑗 + z2𝑘 e 𝑤 = x3𝑖 + y3𝑗 + z3𝑘, tomados nesta ordem, 
ao número real 𝑢 ∙ (𝑣 x 𝑤). 
 
O produto misto de 𝑢, 𝑣 e 𝑤 também por (𝑢, 𝑣 , 𝑤). 
 
𝑢 ∙ (𝑣 x 𝑤) = 
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
 
PRODUTO MISTO 
Propriedade do produto misto 
 
(𝑢, 𝑣 , 𝑤) = 0 se, e somente se, os três vetores forem 
coplanares. 
𝜋 
𝑣 x 𝑤 
𝑢 
𝑣 
𝑤 
PRODUTO MISTO 
Interpretação geométrica do módulo do produto misto 
 
Geometricamente, o produto 
misto 𝑢 ∙ (𝑣 x 𝑤) é igual, em 
módulo, ao volume do 
paralelepípedo de arestas 
determinadas pelos vetores 
não-coplanares 𝑢, 𝑣 e 𝑤. 
 
V = | (𝑢, 𝑣 , 𝑤) | 
𝑢 
𝑣 
𝑤 
𝑣 x 𝑤 
REFERÊNCIAS 
LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria 
analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009. 
 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2000. 
 
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. 
SP: Bookman, 2009. 
 
CORRÊA, P. S. Q, Álgebra linear e geometria analítica. 
Rio de Janeiro: Interciência, 2006. 
 
CENGAGE LEARNING 2010.