Aula 6 (distância entre retas; equação geral do plano; ângulo de dois planos; paralelismo e perpendicularismo entre reta e plano; interseção de dois planos)

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Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Aula 5: Distância entre retas; Equação geral do plano; Ângulo de dois 
planos; Paralelismo e perpendicularismo entre reta e plano; Interseção 
de dois planos. 
Prof. Luciano Pedroso 
Sejam duas retas coplanares r1 e 
r2, tem-se três posições possíveis 
entre elas. 
a) r1 e r2 são concorrentes: 
Neste caso: d(r1, r2) = 0 
 
b) r1 e r2 são coincidentes: 
Neste caso: d(r1, r2) = 0 
 
c) r1 e r2 são paralelas: 
Neste caso: d(r1, r2) = d(P, r1) 
com P ∈ r2 ou d(P, r2) com P 
∈ r1. 
r1 
r1 = r2 
r1 
r2 
r2 
P 
⊡ 
d 
DISTÂNCIA ENTRE RETAS 
DISTÂNCIA ENTRE RETAS 
Sejam duas retas não-coplanares r1 e r2 (retas reversas). 
Quer-se calcular a distância entre elas. 
DISTÂNCIA ENTRE RETAS 
Seja r1 a reta determinada pelo ponto A1 e o vetor diretor 
𝑣 1 e r2, determinada pelo ponto A2 e o vetor diretor 𝑣 2. 
 
Os pontos A1 e A2 formam um terceiro vetor 𝐴1𝐴2. Esses 
três vetores não-coplanares 𝑣 1, 𝑣 2, 𝐴1𝐴2 determinam um 
paralelepípedo, cuja altura é a distância entre r1 e r2. 
O volume desse paralelepípedo pode ser 
calculado por : 
a) V = (área da base)(altura) = | 𝑣 1 x 𝑣 2|d 
b) V = |(𝑣 1, 𝑣 2, 𝐴1𝐴2)| 
 
Comparando a) e b), tem-se: 
 
d(r1, r2) = 
|(𝑣1,𝑣2,𝐴1𝐴2)|
|𝑣1x 𝑣2|
 
r1 
r2 
A1 
A2 
𝑣 1 
𝑣 2 
⊡ 
d 
DISTÂNCIA ENTRE RETAS 
DISTÂNCIA ENTRE RETAS 
Exemplo 
 
Calcular a distância entre as retas r1: e 
r2: 
z = −1 – t 
y = 3 – 2t 
x = −1 + t 
z = −x + 1 
y = x – 3 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Seja um plano 𝛼 contendo um ponto A(x1, y1, z1), ortogonal 
a um vetor 𝑛 = (a, b, c), 𝑛 ≠ 0, chamado de vetor normal 
ao plano. 
O ponto P(x, y, z) representa qualquer ponto pertencente ao 
plano, enquanto que A representa um ponto conhecido. 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
𝑛 
A 
P 
𝛼 
Com o ponto A e o ponto P, 
podemos montar um vetor 
ortogonal a 𝑛. O produto 
escalar entre eles é igual a 
zero, isto é, 
𝐴𝑃 • 𝑛 = 0 
ou 
(P – A) • 𝑛 = 0 
A equação se transforma em: 
 
ax + by + cz + d = 0 
 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exemplo 1 
 
Determine uma equação do plano que passa pelo ponto (2, 
4, –1) e tem como vetor normal 𝑛 = (2, 3, 4). Encontre 
também suas intersecções com os eixos coordenados e faça 
um esboço do plano. 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exemplo 2 
 
Determine a equação do plano que passa pelos pontos P(1, 
3, 2), Q(3, –1, 6) e R(5, 2, 0) 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
ÂNGULO DE DOIS PLANOS 
Sejam os planos 𝜋1 e 𝜋2 com vetores normais 𝑛1 e 𝑛2, 
respectivamente 
𝜃 
𝜃 
𝑛1 
𝑛2 
Chama-se ângulo de dois planos 𝜋1 e 𝜋2 o menor ângulo 
que um vetor normal a 𝜋1 forma com um vetor normal a 𝜋2. 
Sendo 𝜃 este ângulo, tem-se 
cos 𝜃 = 
𝑛1∙ 𝑛2
𝑛1 𝑛2
 com 0 ≤ 𝜃 ≤ 
𝜋
2
 
𝜋2 
𝜋1 
ÂNGULO DE DOIS PLANOS 
Exemplo 
 
Determinar o ângulo entre os planos 𝜋1: 2x + y – z + 3 = 0 e 
𝜋2: x + y – 4 = 0. 
𝜋 𝜋 
PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE 
RETA E PLANO 
Sejam uma reta r com a direção do vetor 𝑣 e um plano 𝜋, 
sendo 𝑛 um vetor normal a 𝜋. 
I) r // 𝜋 ⇔ 𝑣 ⊥ 𝑛 ⇔ 𝑣 ∙ 𝑛 = 0 
II) r ⊥ 𝜋 ⇔ 𝑣 // 𝑛 ⇔ 𝑣 = α𝑛 
𝑛 𝑛 
r 𝑣 r 
𝑣 
𝜋1 
𝜋2 
INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS 
A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas 
equações se deseja determinar. 
r 
∙ 
𝑛1 
𝑛2 
INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS 
Exemplo 
 
Sejam os planos não-paralelos 𝜋1: 5x – y + z – 5 = 0 e 𝜋2: x 
+ y + 2z – 7 = 0 
REFERÊNCIA 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2000.