03 Modelagem de Linhas de Transmissão em regime permanente

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3 - Modelagem de Linhas de Transmissão 
Seja a linha de transmissão a parâmetros distribuídos: 
𝑧 = 𝑅 + 𝑠𝐿 𝑦 = 𝑠𝐶 e 
 Tem-se: 
∆𝑉𝑥 = 𝐼𝑥 + ∆𝐼𝑥 𝑧∆𝑥 
∆𝐼𝑥 = 𝑉𝑥𝑦∆𝑥 
ou 
∆𝑉𝑥
∆𝑥
= 𝐼𝑥 + ∆𝐼𝑥 𝑧 
∆𝐼𝑥
∆𝑥
= 𝑉𝑥𝑦 
 
IX 
V
X
 yΔ
X
 ΔI
X
 
zΔ
X
 IX+ΔIX 
VX+ΔVX V
R
 Vs 
Δx Δx 
2 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Fazendo ∆𝑥 → 0, tem-se: Derivando novamente em relação a 𝑥 
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑥
= 𝑧𝐼𝑥 
𝑑𝐼𝑥
𝑑𝑥
= 𝑦𝑉𝑥 
𝑑2𝑉𝑥
𝑑𝑥2
= 𝑧𝑦𝑉𝑥 
𝑑2𝐼𝑥
𝑑𝑥2
= 𝑧𝑦𝐼𝑥 
 
 
 As equações acima apresentam um comportamento de propagação de ondas ao longo de 𝑥. 
• A solução geral da 1ª equação diferencial no domínio da frequência é: 
𝑉𝑥 = 𝐴1𝑒
𝑧𝑦𝑥 + 𝐴2𝑒
− 𝑧𝑦𝑥 
• Considerando 
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑥
= 𝑧𝐼𝑥 tem-se: 
𝐼𝑥 =
𝐴1
𝑧 𝑦 
𝑒 𝑧𝑦𝑥 −
𝐴2
𝑧 𝑦 
𝑒− 𝑧𝑦𝑥 
3 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Utilizando as condições de contorno para uma linha infinita 𝑥 = 0 ; 𝑉𝑥 = 𝑉𝑅 e 𝐼𝑥 = 𝐼𝑅 
𝑉𝑅 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐼𝑅 =
𝐴1 − 𝐴2
𝑧 𝑦 
 
𝐴1 = 𝑉𝑅 + 𝑧 𝑦 𝐼𝑅 /2 
𝐴2 = 𝑉𝑅 − 𝑧 𝑦 𝐼𝑅 /2 
 
Definindo e tem-se: 𝑍𝑐 = 𝑧 𝑦 𝛾 = 𝑧𝑦 
𝑉𝑥 =
𝑉𝑅 + 𝑍𝑐𝐼𝑅
2
𝑒𝛾𝑥 +
𝑉𝑅 − 𝑍𝑐𝐼𝑅
2
𝑒−𝛾𝑥 
𝐼𝑥 =
𝑉𝑅 𝑍𝑐 + 𝐼𝑅
2
𝑒𝛾𝑥 −
𝑉𝑅 𝑍𝑐 − 𝐼𝑅
2
𝑒−𝛾𝑥 
4 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Interpretações das Equações Exatas da linha 
𝛾 e 𝑍𝑐 são grandezas complexas advindas de 𝑧 e 𝑦 
 
Seja 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 em que 𝛼  constante de atenuação 
 𝛽  constate de fase 
 
Tem-se: 
𝑉𝑥 =
𝑉𝑅 + 𝑍𝑐𝐼𝑅
2
𝑒𝛼𝑥𝑒𝑗𝛽𝑥 +
𝑉𝑅 − 𝑍𝑐𝐼𝑅
2
𝑒−𝛼𝑥𝑒−𝑗𝛽𝑥 
𝐼𝑥 =
𝑉𝑅 𝑍𝑐 + 𝐼𝑅
2
𝑒𝛼𝑥𝑒𝑗𝛽𝑥 −
𝑉𝑅 𝑍𝑐 − 𝐼𝑅
2
𝑒−𝛼𝑥𝑒−𝑗𝛽𝑥 
(I) 
(II) 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Interpretações das Equações Exatas da linha 
a) A medida que 𝑥 varia 
𝑒𝛼𝑥 e 𝑒−𝛼𝑥 alteram o módulo de 𝑉𝑥 e 𝐼𝑥; 
𝑒𝑗𝛽𝑥 e 𝑒−𝑗𝛽𝑥 alteram o ângulo de fase de 𝑉𝑥 e 𝐼𝑥. 
b) Quando se aumenta a distância a partir da barra receptora (x=0), o primeiro termo 
da equação da tensão (I) cresce em amplitude e avança em fase. 
c) Quando se aumenta a distância a partir da barra emissora (x=máximo), o primeiro 
termo da equação da tensão (I) decresce em amplitude e atrasa em fase. 
 Esse comportamento é de uma onda viajante e o primeiro termo da equação da 
tensão é denominado de tensão incidente 
d) O segundo termo da equação de tensão (I) possui comportamento oposto e é 
chamado tensão refletida. 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Interpretações das Equações Exatas da linha 
e) O tratamento é válido para equação da corrente (II), sendo os termos chamados de 
corrente incidente e corrente refletida 
f) Se a linha estiver a vazio, a corrente na carga será zero (𝐼𝑅 = 0), porém haverá 
corrente circulando pela linha (𝐼𝑥 ≠ 0 para 𝑥 ≠ 0). 
g) Linha plana, ou Linha infinita, corresponde à uma linha cuja carga tem mesmo valor 
de sua impedância característica, 𝑍𝑐. 
 Então, 𝑉𝑅 = 𝑍𝑐𝐼𝑅 e não haverá ondas refletidas de tensão e corrente e possui 
fator de potência constante em todos os seus pontos. 
 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Interpretações das Equações Exatas da linha 
h) Nas linhas sem perdas, (R e G nulas) 
  é uma resistência pura chamada impedância de surto, a qual é 
muito empregada no estudo com altas frequências ou surtos devido a descargas atmosféricas, 
onde as perdas são quase sempre desprezadas. 
i) O termo SIL – “Surge Impedance Loading” (Pn – Potência natural ; Pc – Potência característica) 
representa a potência fornecida por uma linha a uma carga resistiva pura igual à sua 
impedância de surto, 𝑍𝑐 = 𝐿 𝐶 , ou seja: 
 𝑆𝐼𝐿 = 3 𝑉𝐿 𝐼𝐿 [W] e 𝐼𝐿 =
𝑉𝐿 3 
𝐿 𝐶 
 [A] 
 𝑆𝐼𝐿 = 3 𝑉𝐿
𝑉𝐿
3 𝐿 𝐶 
 ou 𝑆𝐼𝐿 =
𝑉𝐿
2
𝐿 𝐶 
 [W] (MW se 𝑉𝐿 for dada em kV) 
𝑍𝑐 = 𝑧 𝑦 = 𝐿 𝐶 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Tabela: Valores Típicos de Impedância de Surto e Potência Natural para 
linhas aéreas trifásicas em 60 Hz. 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Forma Hiperbólica 
𝑉𝑥 =
𝑉𝑅 + 𝑍𝑐𝐼𝑅
2
𝑒𝛾𝑥 +
𝑉𝑅 − 𝑍𝑐𝐼𝑅
2
𝑒−𝛾𝑥 
𝐼𝑥 =
𝑉𝑅 𝑍𝑐 + 𝐼𝑅
2
𝑒𝛾𝑥 −
𝑉𝑅 𝑍𝑐 − 𝐼𝑅
2
𝑒−𝛾𝑥 
• Equações Exatas da Linha: 
 Podem ser escritas como: 
𝑉𝑥 = 𝑉𝑅
𝑒𝛾𝑥 + 𝑒−𝛾𝑥
2
+ 𝑍𝑐𝐼𝑅
𝑒𝛾𝑥 − 𝑒−𝛾𝑥
2
 
𝐼𝑥 =
𝑉𝑅
𝑍𝑐
𝑒𝛾𝑥 − 𝑒−𝛾𝑥
2
− 𝐼𝑅
𝑒𝛾𝑥 + 𝑒−𝛾𝑥
2
 
 Resultando em : 
𝑉𝑥 = 𝑉𝑅𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾𝑥 + 𝑍𝑐𝐼𝑅𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾𝑥 
𝐼𝑥 = 𝑉𝑅 𝑍𝑐 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾𝑥 + 𝐼𝑅𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾𝑥 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Exemplo: Uma LT de 121 Km alimenta uma carga de 30 MVA a uma tensão de 115 kV com fator 
de potência FP=0,8 ind. a frequência de 60 Hz. 
 
Sabe-se que 𝐿 = 2,1 𝑚𝐻/𝐾𝑚; 𝐶 = 0,014 𝜇𝐹/𝐾𝑚 ; 𝑅 = 0,3 Ω/𝐾𝑚 
Pede-se: 𝑉𝑠 ; 𝐼𝑠 ; 𝑆𝑠 ; 𝐹𝑃𝑠 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Exercícios: 
1) Repita o exemplo para uma carga de 40 MVA; 
2) Repita para as duas cargas (30 e 40 MVA), considerando FP=0,9 cap.; 
3) Repita para comprimento 𝑙 = 300 𝐾𝑚; 
4) Para cada um dos itens anteriores, calcule a tensão e a corrente nos pontos: 
1/3 𝑙; 1/2 𝑙; 2/3 𝑙 
5) Insira as equações exatas da linha no matlab® e plot tensão e corrente ao longo de toda a 
extensão da linha. 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Considerações sobre Comprimento de onda 
Considerando as equações exatas, pode-se obter o valor de 𝑣 e 𝑖 no domínio do tempo por: 
 
𝑣𝑥 = 2𝐴1𝑒
𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛽𝑥 + 2𝐴2𝑒
−𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛽𝑥 
𝑖𝑥 = 2
𝐴1
𝑍𝑐
𝑒𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛽𝑥 − 2
𝐴2
𝑍𝑐
𝑒−𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛽𝑥 
• Conceitualmente, o comprimento de onda é dado por: 
 𝜔𝑡 + 𝛽 𝑥 + 𝜆 = 𝜔𝑡 + 𝛽𝑥 + 2𝜋  𝜆 =
2𝜋
𝛽
 
• A partir do comprimento de onda é possível calcular a velocidade de propagação de onda: 
 𝜈 = 𝜆𝑓  𝜈 =
2𝜋𝑓
𝛽
 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Considerações sobre Comprimento de onda 
• Considerando a linha sem perdas: 𝜈 =
1
𝐿𝐶
 
Portanto, para uma linha sem perdas na frequência industrial 60 Hz, tem-se: 
𝜆 =
𝜈
𝑓
=
1
60 𝐿𝐶
 
Desprezando o fluxo interno 𝐿 = 2 × 10−4𝑙𝑛 𝐷 𝑅 [H/Km] 
 𝐶 = 2𝜋8,854 × 10−9/𝑙𝑛 𝐷 𝑅 [F/Km] 
Assim, 𝐿𝐶 = 2 × 10−4 × 2𝜋8,854 × 10−9  𝜆 ≈ 5000 Km 
Logo, a velocidade de propagação da onda de tensão ou corrente será: 𝜈 ≈ 3 × 105 [Km/s] 
 Para uma linha com perdas a velocidade de propagação diminui !!! 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelos de Linha de Transmissão 
• Até o momento, foram definidas as equações exatas da linha de transmissão. Essas equações 
permitem o cálculo dos valores de tensão e corrente em toda a extensão da linha. 
• Em geral, deseja-se controlar as grandezas elétricas nos extremos da linha. Portanto, podemos 
escrever as equações para o ponto 𝑥 = 𝑙. 
𝑉𝑠 = 𝑉𝑅𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾𝑙 + 𝑍𝑐𝐼𝑅𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾𝑙 
𝐼𝑠 = 𝑉𝑅 𝑍𝑐 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾𝑙 + 𝐼𝑅𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾𝑙 
 Matricialmente: 
𝑉𝑠
𝐼𝑠
=
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾𝑙 𝑍𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾𝑙
1 𝑍𝑐 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾𝑙 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾𝑙
𝑉𝑅
𝐼𝑅
 
𝑉𝑅
𝐼𝑅
=
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾𝑙 −𝑍𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾𝑙
−1 𝑍𝑐 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾𝑙 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾𝑙
𝑉𝑆
𝐼𝑆
 
ou 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Quadripolos de linha de transmissão 
• Os modelos de linha de transmissão podem ser escritos como uma rede de duas portas 
(quadripolo): 
 O quadripoloABCD é a representação mais comum de rede, descrita por quatro constantes: 
ABCD: 
𝑉𝑠
𝐼𝑠
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝑉𝑅
𝐼𝑅
 
 
IS IR 
A B 
C D 
V
R
 V
S
 
16 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Quadripolos de linha de transmissão 
• Para a linha a vazio, 𝐼𝑅 = 0 
𝑉𝑆 = 𝐴𝑉𝑅 𝐴 =
𝑉𝑆
𝑉𝑅
  
 O termo A representa a relação de tensões no inicio e fim de uma linha , ou , o inverso do 
ganho de tensão a vazio (Efeito Ferranti). 
• Para a linha em curto-circuito, 𝑉𝑅 = 0 
𝑉𝑆 = 𝐵𝐼𝑅  𝐵 =
𝑉𝑆
𝐼𝑅
 
 O termo B relaciona a tensão na fonte com a corrente de curto. 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Quadripolos de linha de transmissão 
• O estudo de estruturas de rede no formato quadripolo permitiu a definição de modelos 
equivalentes para as linhas de transmissão. 
 
• Tais modelos são definidos de acordo com a relevância dos parâmetros associada ao 
comprimento e nível de tensão da linha. 
 
 Classificação de linhas de transmissão 
Comprimento [Km] Modelo 
𝑙 > 240 Linha longa 
80 < 𝑙 ≤ 240 Linha média 
𝑙 ≤ 80 Linha curta 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-exato ou 𝝅-equivalente – Linha Longa 
 
ze 
ye/2 VR Vs ye/2 
ze : impedância série exata 
y1 : admitância shunt do lado emissor ye/2 
y2 : admitância shunt do lado receptor ye/2 
𝑉𝑆 = 𝑉𝑅 + 𝑍𝑒 𝐼𝑅 + 𝑦2𝑉𝑅 
𝐼𝑆 = 𝑦1𝑉𝑆 + 𝐼𝑅 + 𝑦2𝑉𝑅 
𝑉𝑆 = 1 +
𝑧𝑒𝑦𝑒
2
𝑉𝑅 + 𝑍𝑒𝐼𝑅 
𝐼𝑆 = 𝑦𝑒 1 +
𝑧𝑒𝑦𝑒
4
𝑉𝑅 + 1 +
𝑧𝑒𝑦𝑒
2
𝐼𝑅 
 
19 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-exato ou 𝝅-equivalente – Linha Longa 
 
ze 
ye/2 VR Vs ye/2 
Quadripolo para o modelo 𝜋-equivalente 
𝑉𝑠
𝐼𝑠
=
1 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
𝑍𝑒
𝑌𝑒
2
2 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
1 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
𝑉𝑅
𝐼𝑅
 
20 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-exato ou 𝝅-equivalente – Linha Longa 
• Das equações exatas, temos: 𝑍𝑒 = 𝑍𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾𝑙 = 𝑧 𝑦 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝛾𝑙) 
multiplicando numerador e denominador por Z = 𝑧𝑙: 
1
𝑧𝑙
𝑧
𝑦 =
1
𝑙
𝑧
𝑧2𝑦 
=
1
𝑙
1
𝑧𝑦
=
1
𝛾𝑙
 Fazendo: 
𝑍𝑒 =
𝑧𝑙
𝑧𝑙
𝑧 𝑦 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝛾𝑙) 𝑍𝑒 = 𝑍
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝛾𝑙)
𝛾𝑙
  
21 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-exato ou 𝝅-equivalente – Linha Longa 
• Das equações exatas, temos: 1 + 𝑍𝑒
𝑌𝑒
2
= cosh(𝛾𝑙) 
𝑌𝑒
2
=
cosh 𝛾𝑙 − 1
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝛾𝑙)𝑍𝑐
 
𝑡𝑎𝑛ℎ
𝛾𝑙
2
=
cosh 𝛾𝑙 − 1
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝛾𝑙)
 Fazendo: 
𝑌𝑒
2
=
𝑡𝑎𝑛ℎ
𝛾𝑙
2
𝑧 𝑦 
 Tem-se: 
multiplicando numerador e denominador por 𝑦𝑙: 
𝑌𝑒
2
= 𝑦 𝑧 𝑡𝑎𝑛ℎ
𝛾𝑙
2
 
𝑦
𝑧
×
𝑦𝑙
𝑦𝑙
=
𝑦𝑙
𝛾𝑙
=
𝑌
𝛾𝑙
 
𝑌𝑒
2
=
𝑌
𝛾𝑙
𝑡𝑎𝑛ℎ 𝛾𝑙 2 
𝑌𝑒
2
=
𝑌
2
𝑡𝑎𝑛ℎ 𝛾𝑙 2 
𝛾𝑙 2 
 
 
, ou, 
22 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-exato ou 𝝅-equivalente – Linha Longa 
 
ze 
ye/2 VR Vs ye/2 
𝑍𝑒 = 𝑍
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝛾𝑙)
𝛾𝑙
 
𝑌𝑒
2
=
𝑌
2
𝑡𝑎𝑛ℎ 𝛾𝑙 2 
𝛾𝑙 2 
 
 A impedância série equivalente (parâmetro concentrado) 
é dada pela impedância Z da linha multiplicada por um 
fator de correção. 
 A admitância shunt equivalente (parâmetro concentrado) 
é dada pela admitância Y/2 da linha multiplicada por um 
fator de correção. 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-exato ou 𝝅-equivalente – Linha Longa 
Exemplo: Uma LT de 121 Km alimenta uma carga de 30 MVA a uma tensão de 115 kV com fator 
de potência FP=0,8 ind. a frequência de 60 Hz. 
 
Sabe-se que 𝐿 = 2,1 𝑚𝐻/𝐾𝑚; 𝐶 = 0,014 𝜇𝐹/𝐾𝑚 ; 𝑅 = 0,3 Ω/𝐾𝑚 
Utilize o modelo 𝜋-equivalente para calcular: 𝑉𝑠 ; 𝐼𝑠 ; 𝑆𝑠 ; 𝐹𝑃𝑠 
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Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-exato ou 𝝅-equivalente – Linha Longa 
Exercícios: 
1) Repita o exemplo para uma carga de 40 MVA; 
2) Repita para as duas cargas (30 e 40 MVA), considerando FP=0,9 cap.; 
3) Repita para comprimento 𝑙 = 300 𝐾𝑚; 
4) Para cada um dos itens anteriores, calcule a tensão e a corrente no meio da linha. 
25 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-nominal – Linha Média 
• A partir do modelo 𝜋 − 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒, podemos estabelecer relações mais simples entre as 
variáveis, mantendo a precisão dos resultados. 
• Este modelo é normalmente utilizado para análise de fluxo de potência e curto-circuito. 
• Para frequência entre 50 e 60 Hz, considerando linhas médias (80 a 240 Km), podemos fazer: 
𝑡𝑎𝑛ℎ 𝛾𝑙 2 
𝛾𝑙 2 
≈ 1 
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝛾𝑙)
𝛾𝑙
≈ 1 
26 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-nominal – Linha Média 
𝑍𝑒 = 𝑍 = 𝑧𝑙 
𝑌𝑒
2
=
𝑌
2
=
𝑦𝑙
2
 
 
ze 
ye/2 VR Vs ye/2 
Quadripolo para o modelo 𝜋-nominal 
𝑉𝑠
𝐼𝑠
=
1 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
𝑍𝑒
𝑌𝑒
2
2 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
1 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
𝑉𝑅
𝐼𝑅
 
27 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-nominal – Linha Média 
Exemplo: Uma LT de 121 Km alimenta uma carga de 30 MVA a uma tensão de 115 kV com fator 
de potência FP=0,8 ind. a frequência de 60 Hz. 
 
Sabe-se que 𝐿 = 2,1 𝑚𝐻/𝐾𝑚; 𝐶 = 0,014 𝜇𝐹/𝐾𝑚 ; 𝑅 = 0,3 Ω/𝐾𝑚 
Utilize o modelo 𝜋-nominal para calcular: 𝑉𝑠 ; 𝐼𝑠 ; 𝑆𝑠 ; 𝐹𝑃𝑠 
28 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝝅-nominal – Linha Média 
Exercícios: 
1) Repita o exemplo para uma carga de 40 MVA; 
2) Repita para as duas cargas (30 e 40 MVA), considerando FP=0,9 cap.; 
3) Repita para comprimento 𝑙 = 300 𝐾𝑚; 
4) Para cada um dos itens anteriores, calcule a tensão e a corrente no meio da linha. 
29 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝑻-nominal – Linha Média 
 
Ze/2 
V
R
 Ye Vs 
Z
e
/2 
𝑉𝑆 = 𝑉𝑅 +
𝑍𝑒
2
𝐼𝑆 +
𝑍𝑒
2
𝐼𝑅 
𝐼𝑆 = 𝐼𝑅 + 𝑌𝑒 𝑉𝑅 +
𝑍𝑒
2
𝐼𝑅 
𝑉𝑆 = 1 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
𝑉𝑅 +
𝑍𝑒
2
2 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
𝐼𝑅 
𝐼𝑆 = 𝑌𝑒𝑉𝑅 + 1 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
𝐼𝑅 
 
Quadripolo para o modelo T-nominal 
𝑉𝑠
𝐼𝑠
=
1 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
𝑍𝑒
2
2 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
𝑌𝑒 1 +
𝑍𝑒𝑌𝑒
2
𝑉𝑅
𝐼𝑅
 
30 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo 𝑻-nominal – Linha Média 
Exercício: Uma LT de 121 Km alimenta uma carga de 30 MVA a uma tensão de 115 kV com fator 
de potência FP=0,8 ind. a frequência de 60 Hz. 
 
Sabe-se que 𝐿 = 2,1 𝑚𝐻/𝐾𝑚; 𝐶 = 0,014 𝜇𝐹/𝐾𝑚 ; 𝑅 = 0,3 Ω/𝐾𝑚 
Utilize o modelo T-nominal para calcular: 𝑉𝑠 ; 𝐼𝑠 ; 𝑆𝑠 ; 𝐹𝑃𝑠 
31 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo de Linha Curta 
 
V
R
 V
s
 
Z 
• Para distâncias pequenas (abaixo de 80 Km) o efeito da capacitância da linha pode ser 
desprezado. 
• Neste caso o modelo utilizado para representar a linha é simplificado para considerar apenas 
a sua impedância série. 
Quadripolo para o modelo de linhas curtas 
𝑉𝑠
𝐼𝑠
=
1 𝑍
0 1
𝑉𝑅
𝐼𝑅
 
32 
Modelagem de Linhas de Transmissão 
Modelo de Linha Curta 
Exercício: Uma LT de 121 Km alimenta uma carga de 30 MVA a uma tensão de 115 kV com fator 
de potência FP=0,8 ind. a frequência de 60 Hz. 
 
Sabe-se que 𝐿 = 2,1 𝑚𝐻/𝐾𝑚; 𝐶 = 0,014 𝜇𝐹/𝐾𝑚 ; 𝑅 = 0,3 Ω/𝐾𝑚 
• Utilize o modelo de Linha Curta para calcular: 𝑉𝑠 ; 𝐼𝑠 ; 𝑆𝑠 ; 𝐹𝑃𝑠. Calcule o erro obtido em 
relação ao modelo de Linha Média. 
• Repita considerando comprimento de 300 Km. Calcule o erro obtido em relação ao modelo de 
Linha Média. 
33 
Regulação de Linhas de Transmissão 
A regulação de uma linha de transmissão é dada por: 
𝑅% =
𝑉𝑅
0 − 𝑉𝑅
𝑃𝐶
𝑉𝑅
𝑃𝐶∙ 100 
em que: 
 𝑉𝑅
0 - tensão a vazio 
 𝑉𝑅
𝑃𝐶 - tensão a plena carga 
 Dependendo das características da linha e do fator de potência da carga, a regulação será: 
• positiva : tensão a vazio maior que a de plena carga; 
• Nula: tensão a vazio igual à de plena carga; 
• Negativa: tensão a vazio menor que a de plena carga. 
34 
Efeito Ferranti 
• Dependendo do tamanho da linha e do nível de carga, a tensão no final da linha pode se 
tornar maior que na entrada da linha. 
• Essa elevação de tensão, denominada de efeito Ferranti, ocorre em função das capacitâncias 
shunt da linha. 
• Portanto, esse efeito só pode ser calculado ao utilizar os modelos de linha média ou longa. 
• Quanto maior a linha, maior o efeito Ferranti, podendo a tensão atingir níveis proibitivos. 
Exemplo: Seja a LT utilizada nos exemplos anteriores, de 121 Km, operando a vazio com tensão 
de 115 kV regulada do lado da fonte e frequência de 60 Hz. 
Sabe-se que 𝐿 = 2,1 𝑚𝐻/𝐾𝑚; 𝐶 = 0,014 𝜇𝐹/𝐾𝑚 ; 𝑅 = 0,3 Ω/𝐾𝑚 
Utilize o modelo exato da linha (parâmetro A do quadripolo) para calcular a tensão na barra 
receptora. 
35 
Transmissão de potência nas LT 
Seja o quadripolo ABCD 
 
IS IR 
A B 
C D 
V
R
 V
S
 
 
 0 
 
𝑉𝑆 = 𝐴𝑉𝑅 + 𝐵𝐼𝑅 𝐼𝑅 =
𝑉𝑆 − 𝐴𝑉𝑅
𝐵
  
Na forma polar: 
𝐼𝑅 =
𝑉𝑆 𝛿 − 𝐴 𝑎 ∙ 𝑉𝑅 0
𝐵 𝑏
 , ou, 𝐼𝑅 =
𝑉𝑆
𝐵
 𝛿 − 𝑏 −
𝐴 ∙ 𝑉𝑅
𝐵
 (𝑎 − 𝑏) 
Seja a potência aparente na carga: 𝑆𝑅 = 𝑉𝑅𝐼𝑅
∗ 
𝑆𝑅 =
𝑉𝑅 ∙ 𝑉𝑆
𝐵
 𝑏 − 𝛿 −
𝐴 ∙ 𝑉𝑅
2
𝐵
 (𝑏 − 𝑎) 
36 
Transmissão de potência nas LT 
𝑃𝑅 =
𝑉𝑅 ∙ 𝑉𝑆
𝐵
𝑐𝑜𝑠 𝑏 − 𝛿 −
𝐴 ∙ 𝑉𝑅
2
𝐵
𝑐𝑜𝑠(𝑏 − 𝑎) 
𝑄𝑅 =
𝑉𝑅 ∙ 𝑉𝑆
𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝑏 − 𝛿 −
𝐴 ∙ 𝑉𝑅
2
𝐵
𝑠𝑒𝑛(𝑏 − 𝑎) 
Como 𝑎 e 𝑏 são constantes, a máxima transferência de potência ativa ocorre quando 
cos 𝑏 − 𝛿 = 1, ou, 𝛿 = 𝑏. Portanto: 
𝑃𝑅𝑚𝑎𝑥 =
𝑉𝑅 ∙ 𝑉𝑆
𝐵
−
𝐴 ∙ 𝑉𝑅
2
𝐵
𝑐𝑜𝑠(𝑏 − 𝑎) 
Se as perdas forem desprezadas (R=0): 𝛾 = 𝑧𝑦 = 𝑗 𝑥𝐿𝑦, logo: 
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾𝑙 =
𝑒𝑗 𝑥𝑦𝑙 + 𝑒−𝑗 𝑥𝑦𝑙
2
= 𝐴 0 
𝐵 = 𝑍𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾𝑙 =
𝑒𝑗 𝑥𝑦𝑙 − 𝑒−𝑗 𝑥𝑦𝑙
2
= 𝑗𝑍𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦𝑙 = 𝐵 90 
37 
Transmissão de potência nas LT 
Desta forma podemos escrever: 
𝑃𝑅𝑚𝑎𝑥 =
𝑉𝑅 ∙ 𝑉𝑆
𝐵
𝑐𝑜𝑠 90 − 𝛿 , ou, 𝑃𝑅𝑚𝑎𝑥 =
𝑉𝑅 ∙ 𝑉𝑆
𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝛿 
Considerando o modelo de linhas curtas (sem perdas): 
𝑃𝑅𝑚𝑎𝑥 =
𝑉𝑅 ∙ 𝑉𝑆
𝑋𝐿
𝑠𝑒𝑛 𝛿 
38 
Compensação de reativos nas LT 
Compensação Shunt de Linhas a vazio 
 
• Conforme apresentado, a característica capacitiva da linha pode elevar a tensão a níveis 
proibitivos (efeito Ferranti). 
• Para contornar esse problema é comum o emprego de banco de reatores shunt para 
compensar o efeito capacitivo, principalmente no momento de energização da linha. 
• A inserção de um reator shunt na linha pode ser representado pelo seguinte quadripolo: 
𝑉𝑠
𝐼𝑠
=
1 0
𝑌𝑟 1
𝑉𝑅
𝐼𝑅
 
 
V
R
 YL Vs 𝑌𝑟 
39 
Compensação de reativos nas LT 
Compensação Shunt de Linhas a vazio 
 
Considerando o quadripolo de um dos modelos da linha de transmissão, tem-se: 
𝑉𝑠
𝐼𝑠
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
1 0
𝑌𝑟 1
𝑉𝑅
𝐼𝑅
 
𝐴𝑒𝑞 𝐵𝑒𝑞
𝐶𝑒𝑞 𝐷𝑒𝑞
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
1 0
𝑌𝑟 1
=
𝐴 + 𝐵𝑌𝑟 𝐵
𝐶 + 𝐷𝑌𝑟 𝐷
 
Conforme visto anteriormente, o inverso da constante A determina o efeito Ferranti. Portanto, 
para compensar a linha a vazio e manter na barra receptora a mesma tensão da fonte, deve-se 
fazer A=1. Assim: 
𝐴 + 𝐵𝑌𝑟 = 1  𝑌𝑟 =
1 − 𝐴
𝐵
 
40 
Compensação de reativos nas LT 
Compensação Shunt de Linhas a vazio 
 
Considerando o modelo 𝜋 
𝑌𝑒
2
=
𝐴 − 1
𝐵
  𝐵 =
𝐴 − 1
𝑌𝑒
2
 
Neste caso: 
𝑌𝑟 = 1 − 𝐴
𝑌𝑒 2 
𝐴 − 1
= −
𝑌𝑒
2
 
41 
Compensação de reativos nas LT 
Compensação Shunt de Linhas a vazio 
Exemplo: Compensar a linha utilizada como exemplo (121 km) para obter a regulação da tensão 
do lado da carga igual à da fonte (utilize o modelo 𝜋-nominal). 
 
Exercício: Calcule a tensão no meio da linha. 
42 
Compensação de reativos nas LT 
Compensação Série de Linhas carregadas 
 
• Dependendo do comprimento da linha, os parâmetros série (resistência e reatância indutiva) 
podem provocar grandes quedas de tensões na linha. Neste caso, o transporte de níveis mais 
elevados de potência exigiria elevada tensão no início da linha. 
• Durante a fase de projeto da geometria da torre e disposição dos cabos, busca-se garantir 
condições favoráveis para o transporte de energia. Contudo, para linhas longas apenas o 
projeto das torres não é suficiente. 
• Para contornar esse problema é comum o emprego de banco de capacitores em série com a 
linha, podendo ser instalado no início, no meio, ou no fim da linha. 
• A inserção de um capacitor série na linha pode ser representado pelo seguinte quadripolo: 
 
𝑉𝑠
𝐼𝑠
=
1 𝑋𝐶
0 1
𝑉𝑅
𝐼𝑅
 
 
V
R
 Vs 
X
C
 
43 
Compensação de reativos nas LT 
Compensação Série de Linhas carregadas 
 
Considerando o quadripolo de um dos modelos da linha de transmissão e inserindo o capacitor 
série no fim da linha, tem-se: 
𝑉𝑠
𝐼𝑠
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
1 𝑋𝐶
0 1
𝑉𝑅
𝐼𝑅
 
𝐴𝑒𝑞 𝐵𝑒𝑞
𝐶𝑒𝑞 𝐷𝑒𝑞
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
1 𝑋𝐶
0 1
=
𝐴 𝐴𝑋𝐶 + 𝐵
𝐶 𝐶𝑋𝐶 + 𝐷
 
Obs.: A compensação pode ser feita no início, no meio ou no fim da linha 
44 
Compensação de reativos nas LT 
Compensação Série de Linhas carregadas 
 
A adição de capacitores série reduz a reatância série da linha e, consequentemente, aumenta a 
potência ativa transmitida. 
 
Pativa 
P12 
 ’12 12 90º 
Com capacitor 
série 
Sem capacitor 
série 
 1 ∗ 2
 12
 
 
 1 ∗ 2
 12 − 
 
 
45 
Compensação de reativos nas LT 
Compensação Série de Linhas carregadas 
 
• Vantagens: 
 Aumento da capacidade de transmissão; 
 Aumento da estabilidade do sistema; 
 Fornecimento de reativo para o sistema; 
 Melhora a regulação de tensão. 
 
• Desvantagens: 
 Aumenta a corrente de curto-circuito na LT; 
 Dificulta a proteção de LT; 
 Gera harmônicos de sub e sobre frequência. 
 
 Para fins práticos a compensação pode ser realizada até cerca de 70% da reatância da linha. 
46 
Compensação de reativos nas LT 
Compensação Série de Linhas carregadas 
 
• Exemplo: Para a linha de 121 km, carga de 30 MVA e FP=0,8 indutivo, dos exemplos 
anteriores, a tensão obtida na fonte foi de até 77920 V, cerca de 17% acima da tensão 
nominal. 
 Aplique uma compensação série no final da linha de 60% do valor de xL e verifique 
novamente a tensão VS . 
 
 
 
 
 
 Estudar os exemplos 1, 2, 3 do Zanetta (p. 158-164)