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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF CÁLCULO III SÉRIES DE POTÊNCIAS DEFINIÇÃO 1: Uma série de potências centrada em 0=x é uma série da forma KK +++++=∑ ∞ = n n n n n xcxcxccxc 2 210 0 (1) Uma série de potências centrada em ax = é uma série da forma ( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−+−+=−∑ ∞ = n n n n n axcaxcaxccaxc 2 210 0 (2) onde KK ,,,,, 210 ncccc são os coeficientes constantes da série. *OBS.: Estudamos a questão da convergência ou divergência de uma série infinita de termos constantes. Considerando agora uma série de potências, nos interessa determinar para quais valores de x, se existir algum, a série de potências converge. Para cada valor de x em relação ao qual a série de potências converge, esta representa o número que é a soma da série. Assim podemos considerar que a série de potências define uma função ( )xf , cujos valores funcionais são: ( ) ∑ ∞ = = 0n n n xcxf ou ( ) ( )∑ ∞ = −= 0n n n axcxf (3) Sendo que domínio de ( )xf é o conjunto de todos os valores de x, tais que a série de potências em (3) é convergente. É evidente que toda série de potências (1) é convergente para 0=x e toda série de potências (2) é convergente para ax = , sendo nesses casos a soma da série igual a 0c . A seguir, utilizaremos o teste da razão para determinar os valores de x para os quais uma série de potências é convergente. Exemplos: Encontre os valores de x para os quais as séries de potências a seguir são convergentes: 1) ( )∑ ∞ = +− 1 1 3 2 1 n n nn n n x Solução: Para a série dada temos: ( ) n nn n n n x a 3 2 1 1+−= e ( ) ( ) 1 11 2 1 31 2 1 + ++ + + + −= n nn n n n x a Aplicando o teste da razão, obtemos: ( ) x n n x x n n x a a nnn n n nn n n n n 3 2 13 2 lim 2 3 31 2 limlim 1 11 1 = + =⋅ + = +∞→+ ++ +∞→ + +∞→ Logo a série de potências é absolutamente convergente quando 1 3 2 <x , ou seja, quando 2 3 <x e é divergente quando 1 3 2 >x , ou seja, quando, 2 3 >x . A convergência da série nas extremidades desses intervalos não pode ser prevista antecipadamente. Esse é o caso em que 1lim 1 =+ +∞→ n n n a a , que será analisado a seguir, quando 2 3 =x , ou seja, quando 2 3 ±=x . Para 2 3 =x temos a série numérica: ( ) ( )∑∑ ∞ = + ∞ = + −= − 1 1 1 1 11 2 3 3 2 1 n n n n n n n nn que é convergente pelo teste de Leibniz. Para 2 3 −=x temos a série numérica: ( ) ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = + −=−= −− 111 1 11 2 3 3 2 1 nn n n n n n nnn que é divergente, pois ∑ ∞ =1 1 n n é uma p-série com 1=p , que é divergente, logo ∑ ∞ = − 1 1 n n também é divergente. Concluímos então que a série de potências dada converge quando 2 3 2 3 ≤<− x . A série é absolutamente convergente quando 2 3 2 3 <<− x e é condicionalmente convergente quando 2 3 =x . Se 2 3 −≤x ou 2 3 >x , a série é divergente. 2) ∑ ∞ =1 !n n n x Solução: Para a série dada, !n x a n n = e ( )!1 1 1 + = + + n x a n n , então aplicando o teste da razão temos: ( ) 10 1 1 lim ! !1 limlim 1 1 <= + =⋅ + = +∞→ + +∞→ + +∞→ n x x n n x a a nn n n n n n Portanto a série de potências dada é convergente para todos os valores de x. 3) n n xn∑ ∞ =1 ! Solução: Neste caso, nn xna != e ( ) 11 !1 ++ += nn xna , então aplicando o teste da razão temos: ( ) ( )1lim !! !1 limlim 1 1 += + = +∞→ + +∞→ + +∞→ nx xn xn a a nn n n n n n Portanto, quando 0=x temos 0lim 1 =+ +∞→ n n n a a e quando 0≠x temos +∞=+ +∞→ n n n a a 1lim . Logo a série dada converge quando 0=x e diverge para todo valor de 0≠x . 4) ( ) ∑ ∞ = +− 1 13 n n n x Solução: Neste caso temos: ( ) n x a n n 13 +− = e ( ) 1 3 2 1 + − = + + n x a n n , então aplicando o teste da razão temos: ( ) ( ) 3 1 lim3 31 3 limlim 1 2 1 −= + −= − ⋅ + − = +∞→+ + +∞→ + +∞→ x n n x x n n x a a nn n n n n n Portanto a série converge absolutamente quando 13 <−x , ou seja, quando 42 << x e diverge quando 13 >−x , ou seja, quando 2<x ou 4>x . Quando 13 =−x , temos que 2=x ou 4=x , então substituindo esses valores na série de potências dada, obtemos a série divergente ∑ ∞ =1 1 n n , para 4=x , e a série condicionalmente convergente ( ) ∑ ∞ = − 1 1 n n n , para 2=x . Portanto o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente é o intervalo 42 <≤ x . INTERVALO DE CONVERGÊNCIA Nos exemplos apresentados, verificamos que uma dada série de potências ( )∑ ∞ = − 0n n n axc pode convergir apenas quando ax = , pode convergir absolutamente em qualquer valor de x ou pode ser absolutamente convergente no intervalo Rax <− e divergente quando Rax >− , podendo ser convergente ou não nos extremos desse intervalo. Esse número real R, que é o raio do intervalo, é denominado raio de convergência da série e o intervalo correspondente é o intervalo de convergência. Dependendo da convergência ou não da série nos extremos do intervalo, para as séries de potências do tipo ( )∑ ∞ = − 0n n n axc , o intervalo de convergência pode ser qualquer um dos seguintes tipos: ( ) [ ) ( ]RaRaRaRaRaRa +−+−+− ,,,,, ou [ ]RaRa +− , , e para as séries de potências do tipo ∑ ∞ =0n n n xc , onde o centro é 0=a , o intervalo de convergência pode ser qualquer um dos tipos: ( ) [ ) ( ]RRRRRR ,,,,, −−− ou [ ]RR,− TEOREMA 1: Se uma série de potências ( )∑ ∞ = − 0n n n axc convergir em algum valor ax ≠0 , então ela convergirá absolutamente em qualquer ponto x do intervalo axax −<− 0 . Se ela divergir em 1xx = , então ela é divergente quando axax −>− 1 . Demonstração: Se a série ( )∑ ∞ = − 0 0 n n n axc é convergente, segue do Teste do n-ésimo termo que ( ) 0lim 0 =−+∞→ n n n axc e pela definição de limite, fixado 1=ε , existe um índice INn ∈0 a partir do qual se tem: ( ) 10 <− n n axc . Mas ( ) ( ) n n n n n ax ax axcaxc − − −=− 0 0 (1) e como ( ) 00 ,1 nnaxc n n ≥∀<− , de (1) obtemos: ( ) 0 0 , nn ax ax axc n n n ≥∀− − <− (2) Para axax −<− 0 a série geométrica ∑ ∞ = − − 0 0n n ax ax é convergente, e combinando (2) com o Teste de Comparação, concluímos que ( )∑ ∞ = − 0n n n axc converge absolutamente. Para provarmos a segunda parte do teorema, admitiremos que a série ( )∑ ∞ = − 0 1 n n n axc é divergente e raciocinaremos por absurdo. Se a série ( )∑ ∞ = − 0 2 n n n axc fosse convergente em algum ponto 2x tal que axax −>− 12 , então pelo que ficou estabelecido na primeira parte da demonstração, esta série seria convergente em todo valor de x, com axax−<− 2 e em particular seria convergente quando 1xx = , contrariando a hipótese. Para as séries de potências do tipo ∑ ∞ =0n n nxc o Teorema 1 assume a versão a seguir. TEOREMA 2: Se uma série de potências ∑ ∞ =0n n n xc convergir em algum valor 00 ≠x , então ela convergirá absolutamente em qualquer ponto x do intervalo 0xx < . Se ela divergir em 1xx = , então ela é divergente quando 1xx > . TEOREMA 3: Para uma série de potências ( )∑ ∞ = − 0n n n axc , apenas uma das condições abaixo se verifica: (a) a série converge apenas quando ax = ; (b) a série converge absolutamente em qualquer valor de x; (c) existe um número real 0>R , denominado raio de convergência, tal que a série converge absolutamente quando Rax <− e diverge quando Rax >− . Demonstração: Se nós substituímos x por a na série de potências, obtemos: K+++ 000c , que, obviamente é convergente. Logo, toda série de potências ( )∑ ∞ = − 0n n n axc converge quando ax = . Se este é o único valor de x para o qual a série converge, então a condição (a) é válida. Se a série convergir em algum outro valor de x, por exemplo em 1x , então pelo Teorema 1 ela será absolutamente convergente em qualquer valor de x do intervalo axax −<− 1 . Se ela for divergente em 2xx = , ela também será divergente em qualquer valor de x tal que axax −>− 2 ( se não existe um tal 2x , então a condição (b) é claramente satisfeita) e, portanto, o conjunto A constituído dos números ax − , sendo x um valor onde a série converge absolutamente, é limitado superiormente ax −2 e o número R procurado na condição (c) é precisamente o Asup . TEOREMA 4: Se o limite n n n c c L 1lim + +∞→ = existe e é diferente de zero, então o raio de convergência R da série ( )∑ ∞ = − 0n n n axc é igual a L 1 . Se 0=L , então +∞=R e se +∞=L , então 0=R . Demonstração: Representando por na o termo geral da série, então: ( ) ( ) Lax c c ax axc axc a a n n nn n n n n n n n ⋅−=−= − − = + +∞→ + + +∞→ + +∞→ 1 1 11 limlimlim (3) Então como consequência de (3) e do Teste da Razão, temos que: se 0=L , a série converge absolutamente em qualquer valor de x e, nesse caso +∞=R ; se +∞=L , então a única possibilidade de se ter 1lim 1 <+ +∞→ n n n a a é quando ax = e, nesse caso, 0=R ; finalmente, se +∞<< L0 , então a série converge absolutamente quando L ax 1 <− e diverge quando L ax 1 >− e, nesse caso, L R 1 = . Exemplo: Para a série ( ) ( )∑ ∞ = −− − 0 12312 1 n n nn n x , temos: ( ) ( ) 9 1 12 12 lim 9 1 312 312 limlim 12 12 1 = + − = + − == +∞→+ − +∞→ + +∞→ n n n n c c L nn n n n n n Portanto 9=R . Assim, a série converge absolutamente quando 9<x e diverge quando 9>x . Para 9=x a série fica ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ ∞ = ∞ = − ∞ = − − − = − − = − − 00 12 2 0 12 12 31 3312 31 312 91 n n n n nn n n nn nnn , que é convergente como consequência do Teste de Leibniz. Para 9−=x a série fica ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ ∞ = ∞ = − ∞ = − − = − = − −− 00 12 2 0 12 12 3 3312 3 312 91 nn n n n n nn nnn , que é divergente. Concluímos que a série converge no intervalo ( ]9,9− , sendo a convergência absoluta em ( )9,9− e condicional em 9=x . SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN Seja ( )xf uma função definida por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−+−+=−=∑ ∞ = k k n n n axcaxcaxccaxcxf 2 210 0 com raio de convergência 0>R , então ( )xf será infinitamente derivável no intervalo ( )RaRa +− , . Derivando sucessivamente esta função, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−+−+−+=′ −134 2 321 432 k k axkcaxcaxcaxccxf ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +−−++−+−+=′′ −22432 11262 k k axckkaxcaxccxf ( ) ( ) ( )( ) ( ) KK +−−−++−+=′′′ −343 21246 k k axckkkaxccxf Substituindo x por a na série de potências que representa ( )xf e nas suas derivadas, obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) K,6,2,, 3210 cafcafcafcaf =′′′=′′=′= E portanto: ( ) ( ) ( ) ( ) K, 6 , 2 ,, 3210 af c af cafcafc ′′′ = ′′ =′== Substituindo os coeficientes encontrados na função ( )xf obtemos a série de Taylor gerada por ( )xf , conforme a definição que se encontra a seguir. DEFINIÇÃO 2: Seja ( )xf uma função com derivadas de todas as ordens em um intervalo contendo a como um ponto interior. Então a série de Taylor gerada por f em ax = é dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−′′+−′+=−∑ ∞ = k k n n n ax k af ax af axafafax n af !!2! 2 0 (4) Jéssica Highlight Quando 0=a obtemos de (4) a série de Maclaurin gerada por f dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++ ′′ +′+=∑ ∞ = k k n n n x k f x f xffx n f ! 0 !2 0 00 ! 0 2 0 (5) Exemplos: Desenvolver as funções abaixo em série de Taylor ou Maclaurin, determinar o raio e o intervalo de convergência: 1) ( ) x xf 1 = , em 2=a A série de Taylor gerada por ( ) x xf 1 = em 2=a é dada por: ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + − −== 0 12 2 1 1 n n n n x x xf E esta série converge absolutamente para 22 <−x , ou seja, 40 << x , com raio de convergência 2=R . 2) ( ) xxf cos= , em 0=a A série de Maclaurin gerada por ( ) xxf cos= é dada por: ( ) ( ) ( )∑ ∞ = −== 0 2 !2 1cos n n n n x xxf Esta série converge para qualquer valor de x, logo o raio de convergência é +∞=R e o intervalo de convergência é ( )+∞∞− , . 3) ( ) xexf = , em 3=a A série de Taylor para ( ) xexf = , em 3=a é dada por: ( ) ( )∑ ∞ = − == 0 3 ! 3 n n x n x eexf Esta série converge para qualquer valor de x, logo o raio de convergência é +∞=R e o intervalo de convergência é ( )+∞∞− , . 4) ( ) xxf ln= , em 2=a A série de Taylor para ( ) xxf ln= , em 2=a é dada por: ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + ⋅ −− +== 0 1 2 21 2lnln n n nn n x xxf Esta série converge para 40 ≤< x , com raio de convergência 2=R .
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