Sequências e Séries Numéricas-1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA-IMEF 
 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
 
1. Conceitos Preliminares 
 
Representamos por { }K,4,3,2,1=IN o conjunto dos números naturais. O subconjunto de 
IN constituído dos números pares será representado por { }INnnIN P ∈= ;2 e o subconjunto 
dos números ímpares será representado por { }INnnIN I ∈−= ;12 
 
Definição: Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função IRINf →: , que 
associa a cada número natural n um número real ( )nf . 
 
O n-ésimo termo ou termo geral da sequência f é representado genericamente por 
nnn xba ,, , etc. Para simplificar, denotaremos o termo geral na como a seqüência f tal que 
( ) nanf = 
 
Ex.:(1) 





K,
16
1
,
9
1
,
4
1
,1 representa a sequência cujo termo geral é 
2
1
n
an = . 
 
 (2) ( )K,1,1,1,1 −− representa a sequência cujo termo geral é ( )nna 1−= . 
 
 Definição: Dada uma sequência IRINf →: , as restrições de f a subconjuntos infinitos 
de IN serão denominadas subsequências de f . 
 
 Representamos a sequência f pelo seu termo geral ( )na , INn∈ , podemos afirmar que as 
subsequências de f , ou de ( )na , são as sequências ( )ka , com NIk ′∈ , sendo NI ′ um 
subconjunto não limitado (isto é, infinito) do conjunto IN dos números naturais. 
 
 Ex.: As sequências 





K,
7
1
,
5
1
,
3
1
,1 , 





K,
8
1
,
6
1
,
4
1
,
2
1
e 





K
7
1
,
5
1
,
3
1
,
2
1
 são subsequências da 
sequência 





n
1
, onde consideramos para domínio o subconjunto NI ′ dado, respectivamente, 
por { }INnnINNI I ∈−==′ ;12 , { }INnnINNI P ∈==′ ;2 e { }primoénINnNI ;∈=′ . 
 
 Definição: Uma sequência ( )na é dita limitada superiormente quando existir um número 
real M, chamado cota superior da sequência, tal que INnMan ∈∀≤ , . 
 
 Definição: Uma sequência ( )na é dita limitada inferiormente quando existir um número 
real m, chamado cota inferior da sequência, tal que INnam n ∈∀≤ , . 
 
 Definição: Uma sequência ( )na é dita limitada quando é limitada superiormente e 
inferiormente, isto é, quando existir uma constante positiva C tal que INnCan ∈∀≤ , . 
 
 Definição: Uma sequência ( )na é denominada monótona crescente ou não decrescente 
quando INnaa nn ∈∀≤ + ,1 . 
 
 Definição: Uma sequência ( )na é denominada monótona decrescente ou não crescente 
quando INnaa nn ∈∀≥ + ,1 . 
 
2. Sequências Convergentes 
 
 Definição: Dizemos que um número real l é limite de uma sequência ( )na , ou que a 
sequência ( )na converge para l, quando a seguinte condição for satisfeita: 
INn ∈∃>∀ 0,0ε tal que 0, nnlan ≥∀<− ε 
 
*OBS.: 
 1. O número natural 0n da definição de limite em geral depende do número ε dado. 
 2. A desigualdade ε<− lan , 0nn ≥∀ estabelece que fora do intervalo aberto ( )εε +− ll , 
existe no máximo um número finito de termos da seqüência ou, em outras palavras, que todos 
os termos da sequência a partir do termo de ordem 0n estão dentro do intervalo aberto 
( )εε +− ll , . 
 3. A convergência e o valor do limite da sequência não são alterados retira ou acrescenta 
um número finito de termos nesta sequência. 
 4. Uma sequência convergente tem um único limite. 
 
Ex: Considere a sequência cujo termo geral é 
1+
=
n
n
an . Neste caso 1lim =
+∞→
n
n
a . De fato, seja 
0>ε dado, e observe que: 
1
1
1
1
1
1
−>⇔<
+
⇔<−
+ ε
εε n
nn
n
 
A última desigualdade nos sugere escolher 0n como o primeiro natural maior do que 1
1
−
ε
. É 
claro que outro número natural maior do que este 0n estabelecido também atende a definição 
de convergência. 
 
 Teorema: Toda sequência convergente é limitada. 
 Demonstração: 
 Seja ( )na uma sequência convergente com limite l. De acordo com a definição de limite, 
seja 1=ε , existe um índice INn ∈0 a partir do qual se tem 1<− lan . Usando a desigualdade 
triangular, podemos assegurar que: 
0,1 nnlllallaa nnn ≥∀+<+−≤+−= .(I) 
Os únicos termos da seqüência ( )na , que possivelmente, não atendem à condição (I) são: 
121 0
,,, −naaa K . Considerando o número real C como o maior entre os números l+1 ,
121 0
,,, −naaa K , tem-se: INnCan ∈∀≤ , . 
 
*OBS: 1) Podemos verificar que uma dada seqüência não converge, mostrando que ela não é 
limitada. 
 2) A recíproca do Teorema não é verdadeira, isto é, existem seqüências que são 
limitadas e divergentes. Ex.: A sequência cujo termo geral é ( )nna 1−= é limitada, pois 
INnan ∈∀= ,1 , mas é divergente, pois não existe n
n
a
+∞→
lim . 
 
SÉRIES NUMÉRICAS 
 
Definição: Seja a seguinte sequência numérica ( ) ( )KK ,,,,, 321 nn aaaaa = . A partir desta 
sequência, formamos uma nova sequência numérica ( )nS , cujos elementos são as somas 
parciais da sequência inicial ( )na , ou seja: 
KKK ,,,,, 21321321211 nn aaaSaaaSaaSaS +++=++=+== 
Esta nova sequência ( )nS , obtida a partir das somas parciais da sequência inicial, chama-se 
SÉRIE NUMÉRICA associada à sequência ( )na . 
 
* OBS.: 1) Usamos o seguinte simbolismo para denotar uma série infinita: 
KK ++++=∑
+∞
=
n
n
n aaaa 21
1
, 
onde KK ,,,, 21 naaa são os termos desta série. 
 
 2)Como 1211 −− +++= nn aaaS K e nnn aaaaS ++++= −121 K , temos nnn ass += −1 . 
 
 3) O problema principal da teoria das séries é determinar o seu caráter, ou seja, 
determinar quais das séries são convergentes e quais não são. 
 
Definição: Dizemos que uma série ∑
+∞
=1n
na é convergente quando a sequência ( )nS de suas 
somas parciais for convergente. Nesse caso, a soma da série é o limite da sequência ( )nS , isto 
é: 
n
n
n
n Sa
+∞→
+∞
=
=∑ lim
1
. 
Quando uma série não converge, ela é denominada divergente. 
 
Exemplos: 
 
1) Consideremos a série: K++++=∑
+∞
= 16
1
8
1
4
1
2
1
2
1
1n
n
 . Então, a seqüência das 
somas parciais é dada por: 
 
2
1
1 =S , 4
3
4
1
2
1
2 =+=S , 8
7
8
1
4
3
3 =+=S , 16
15
16
1
8
7
4 =+=S , 32
31
32
1
16
15
5 =+=S , K 
 
Então obtemos: 
nn
n
nS
2
1
1
2
12
−=
−
= , portanto 1
2
1
1limlim =





−=
+∞→+∞→ nn
n
n
S , logo a série ∑
+∞
=1 2
1
n
n
 
converge e sua soma é 1=S . 
 
2) Consideremos a série harmônica K+++++=∑
+∞
= 5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
1n n
. A figura a seguir 
representa o gráfico da função ( )
x
xf
1
= , definida para 0>x . Observamos que sobre este 
gráfico estão os pontos 





n
n
1
, . 
 
Comparando as áreas dos retângulos com a área sob o gráfico de f , concluímos que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫≥+++++
n
dxxfnfffff
1
4321 K 
ou seja: 
INnn
n
∈∀≥+++++ ,ln
1
4
1
3
1
2
1
1 K (1) 
 
 Como +∞=
+∞→
n
n
lnlim , de (1) deduzimos que: 
+∞=





+++++=
+∞→+∞→ n
S
n
n
n
1
4
1
3
1
2
1
1limlim K 
 
Portanto a seqüência ( )nS é divergente. 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA 
 
Uma série do tipo ∑
∞
=
−
1
1
n
nrα é chamada de série geométrica, pois seus termos 
correspondem a uma progressão geométrica de razão 0≠r e 0≠α é o coeficiente desta 
série. A sequência de somas parciais ( )nS é dada por: 
132 −+++++= nn rrrrS ααααα K (1) 
e para 1=r , de (1) temos que nSn α= é divergente, nesse caso a se´rie geométrica diverge. 
Quando 1−=r , a sequência ( )nS é tal que 02 =nS e INnS n ∈∀=− ,12 α , o que mostra que 
( )nS é uma sequência divergentee, nesse caso, a série também diverge. 
 Considerando 1≠r e multiplicando (1) por r, obtemos: 
n
n rrrrrSr ααααα +++++= K
432 (2) 
Então de (1) e (2) resulta: 
r
r
SrSrS
n
n
n
nn −
−
=⇒−=−
1
1
ααα (3) 
 Se 1<r , então 0lim =
+∞→
n
n
r , logo de (3) temos: 
rr
r n
n −
=





−
−
+∞→ 11
1
lim
α
α e portanto a 
série converge e sua soma é 
r
S
−
=
1
α
. 
 Se 1>r , então usando novamente (3), verificamos que a sequência ( )nS diverge e, 
portanto, a série correspondente também diverge. 
 Resumindo: a série geométrica ∑
∞
=
−
1
1
n
nrα converge para 
r−1
α
 quando 1<r , e 
diverge quando 1≥r . 
 Exemplos de série geométrica: 
1) 
1
11 2
1
2
1
2
1
−∞
=
∞
=





=∑∑
n
nn
n
 é uma série geométrica com razão 
2
1
=r e coeficiente 
2
1
=α , 
logo esta série converge e sua soma é: 1
2
1
1
2
1
2
1
1
=
−
=∑
∞
=n
n
 
2) ( ) K+−+−=−∑
∞
=
− 33331.3
1
1
n
n , é uma série geométrica com razão 1−=r e e 
coeficiente 3=α , então temos: 02 =nS e INnS n ∈∀=− ,312 
3) K++++==∑∑
∞
=
−
∞
=
168422.22
1
1
1 n
n
n
n , é uma série geométrica com razão 2=r e 
coeficiente 2=α , neste caso temos: 
+∞=





−
−
=





−
−
=
+∞→+∞→+∞→ 21
21
2lim
1
1
limlim
n
n
n
n
n
n r
r
S α , logo a série diverge. 
 
4) K++++=∑
∞
=
22222
1n
, é uma série geométrica com razão 1=r e coeficiente 
2=α , neste caso temos: +∞===
+∞→+∞→+∞→
nnS
nn
n
n
2limlimlim α , logo a série diverge. 
 
TEOREMA 1: (Teste do n-ésimo termo) Uma condição necessária para que a série 
∑
∞
=1n
na seja convergente é que 0lim =+∞→ nn
a . 
Demonstração: 
 Seja ( )nS a sequência das somas parciais da série, temos que 1−−= nnn SSa . Suponha 
que a série ∑
∞
=1n
na é convergente, resulta que a sequência ( )nS converge para um número S, o 
mesmo ocorrendo com a subsequência ( )1−nS . Então: 
 
( ) 0limlimlimlim 11 =−=−=−= −+∞→+∞→−+∞→+∞→ SSSSSSa nnnnnnnnn . 
 
*OBS.: A condição 0lim =
+∞→ nn
a é necessária, mas não é suficiente para garantir a 
convergência da série ∑
∞
=1n
na .Por exemplo: já provamos (na aula anterior) que a série ∑
∞
=1
1
n n
 é 
divergente, embora 0
1
lim =
+∞→ nn
. Mas podemos garantir que quando a sequência ( )na for 
divergente ou 0lim ≠
+∞→
n
n
a , a série ∑
∞
=1n
na será divergente. 
 O Teorema 1 constitui-se no primeiro teste de convergência para séries. Ao 
investigarmos a convergência de uma série, em primeiro lugar observamos a 
convergência de seu termo geral, como mostra o esquema abaixo. 
 
 
 
*OBS.: Como no caso de sequências numéricas, o acréscimo ou a omissão de um número 
finito de termos não altera a convergência ou a divergência de uma série, podendo alterar o 
valor de sua soma. 
 
TEOREMA 2: Se as séries ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb diferem apenas em uma quantidade finita de 
termos, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes. 
Demonstração: 
 Por hipótese, existe um índice INn ∈0 a apartir do qual nn ba = e se ( )nS e ( )nR são 
as sequências das somas parciais de ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb , respectivamente, para 0nn > temos: 
nnn aaaaS +++++= KK 021 (4) 
nnn bbbbR +++++= KK 021 (5) 
E sendo nn ba = , a partir da ordem 0n , resulta de (4) e (5) que: 
 
( ) ( ) ( )[ ]
002211 nnnn
bababaRS −++−+−+= K (6) 
 Observando a relação (6) e levando em conta que a expressão entre colchete é 
constante, isto é, não depende de n, deduzimos que as sequências ( )nS e ( )nR são ambas 
convergentes ou ambas divergentes. 
 
TEOREMA 3: Sejam ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb duas séries numéricas e seja α um número real. 
(a) Se as séries ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são convergentes, então as séries ( )∑
∞
=
+
1n
nn ba e ∑
∞
=1n
naα 
também convergem, e valem as relações: 
( ) ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+=+
111 n
n
n
n
n
nn baba (7) 
 
∑∑
∞
=
∞
=
=
11 n
n
n
n aa αα (8) 
(b) Se ∑
∞
=1n
na é convergente e ∑
∞
=1n
nb é divergente, então a série ( )∑
∞
=
+
1n
nn ba é 
divergente. 
(c) Se ∑
∞
=1n
na é divergente e 0≠α , então a série ∑
∞
=1n
naα é também divergente. 
Demonstração: 
 Prova da parte (a): Denotando ( )nS , ( )nR , ( )nU e ( )nV as sequências das somas 
parciais das séries ∑
∞
=1n
na , ∑
∞
=1n
nb , ( )∑
∞
=
+
1n
nn ba e ∑
∞
=1n
naα , respectivamente, temos 
nnn RSU += e nn SV α= e, se as sequências ( )nS e ( )nR forem convergentes, então as 
sequências ( )nU e ( )nV também serão convergentes e, além disso: 
n
n
n
n
n
n
RSU
+∞→+∞→+∞→
+= limlimlim e n
n
n
n
SV
+∞→+∞→
= limlim α . 
 Prova da parte (b): Provaremos por absurdo. Se a série ( )∑
∞
=
+
1n
nn ba fosse 
convergente, então a sequência ( )nU seria convergente e, portanto a sequência ( )nR também 
seria, já que nnn SUR −= . Isso implicaria na convergência da série ∑
∞
=1n
nb , o que contradiz a 
hipótese. 
 Prova da parte (c): Provaremos por absurdo. Se a série ∑
∞
=1n
naα fosse convergente, 
então a sequência ( )nV seria convergente, o mesmo ocorrendo com a sequência ( )nS , porque 
nn VS α
1
= . Novamente chegamos a uma contradição, já que, neste caso, a série ∑
∞
=1n
na é 
suposta divergente. 
 
*OBS.: Quando as séries ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são ambas divergentes, o Teorema 3 não dá 
informação sobre a convergência da série ( )∑
∞
=
+
1n
nn ba , que pode convergir ou divergir. Por 
exemplo, as séries ∑
∞
=1
1
n n
 e ∑
∞
=
−
1
1
n n
 são ambas divergentes e a série obtida pela soma termo a 
termo é convergente, pois 0
11
1
=










−+∑
∞
=n nn
. 
 
 
SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS 
 
 Uma série ∑
∞
=1n
na onde cada termo na é maior do que zero é denominada série de 
termos positivos. 
 
Definição: Dizemos que a série ∑
∞
=1n
na é dominada pela série ∑
∞
=1n
nb quando 
INnba nn ∈∀≤ , . Nesse caso ∑
∞
=1n
na é a série dominada e ∑
∞
=1n
nb é a série dominante. 
 
TEOREMA 4: (Teste da Comparação) Sejam ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb duas séries de termos 
positivos. 
(a) Se a série ∑
∞
=1n
nb converge e INnba nn ∈∀≤ , , então a série ∑
∞
=1n
na também 
converge. 
(b) Se a série ∑
∞
=1n
na diverge e INnba nn ∈∀≤ , , então a série ∑
∞
=1n
nb também diverge. 
Demonstração: 
 Prova da parte (a): Sejam ( )nS e ( )nR as sequências das somas parciais das séries 
∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb , respectivamente. Pela hipótese temos que a série ∑
∞
=1n
nb converge e 
INnRS nn ∈∀≤≤ ,0 . (9) 
 Como ( )nR é uma sequência crescente, de limite R, temos que o número R é o menor 
limite superior (supremo) de ( )nR . 
 Por (9), R também é cota superior para a sequência crescente ( )nS , portanto existe 
n
n
S
+∞→
lim e este limite é menor ou igual a R. Logo a série ∑
∞
=1n
na converge. 
 Prova da parte (b): Se a sequência ( )nS das somas parciais da série ∑
∞
=1n
nadiverge, 
então, pela definição de limite de uma sequência, temos que: εε >∈∃>∀ nSINn /,0 0 , 
se 0nn > . 
 Como INn∈∀ e 0>∀ε temos ε≥≥ nn SR , então a sequência ( )nR também diverge. 
Logo a série ∑
∞
=1n
nb diverge. 
 
*OBS.: Embora os resultados que envolvem uma série dominada por outra sejam, em 
geral, enunciados e demonstrados, admitindo-se que esse domínio ocorra para todos os 
termos das séries, eles continuam válidos quando uma das séries é dominada pela outra a 
partir de uma certa ordem. 
 
Exemplos: 
1) Considere a série ∑
∞
=1
ln
n n
n
. A partir da relação ,3,1ln ≥∀≥ nn segue que ∑
∞
=1n
nb
3,
1ln
≥∀≥ n
nn
n
 e, como a série harmônica ∑
∞
=1
1
n n
 é divergente, logo pelo Teste da 
Comparação temos que a série ∑
∞
=1
ln
n n
n
 é também divergente. 
2) Seja a série ∑
∞
=1 !
1
n n
. Podemos mostrar por indução que INnnn ∈∀≤− ,!2 1 , logo 
INn
n n
∈∀≤ − ,2
1
!
1
1
 e, como a série geométrica ∑
∞
=
−
1
12
1
n
n
 converge, então a série ∑
∞
=1 !
1
n n
 
também converge. 
3) Se a série dominada for convergente, então a série dominante pode convergir ou 
divergir. Por exemplo, considerando a série ∑∑
∞
=
∞
=






+
−=
+ 11
2 1
111
nn nnnn
, cujo termo 
geral da sequência das somas parciais é: 
1
1
1
1
11
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
+
−=





+
−++




 −+




 −+




 −=
nnn
Sn K , 
é convergente, pois 1
1
1
1limlim =





+
−=
+∞→+∞→ n
S
n
n
n
. Entretanto temos que esta série é 
dominada pela série divergente ∑
∞
=1
1
n n
, pois INn
nnn
∈∀≤
+
,
11
2
. 
De modo análogo, se a série dominante for divergente, então a série dominada pode 
convergir ou divergir. 
 
TEOREMA 5: (Teste da Integral) Consideremos uma função [ ) IRf →+∞,1: contínua e 
suponhamos que f seja não negativa e monótona decrescente, isto é: 
(a) ( ) 1,0 ≥∀≥ xxf ; 
(b) ( ) ( )yfxf ≥ , sempre que yx ≤≤1 . 
Nessas condições, a série ( )∑
∞
=1n
nf é convergente se, e somente se, a integral imprópria 
( )∫
+∞
1
dxxf for convergente. 
Demonstração: Sendo ( )xf uma função monótona decrescente e não negativa, temos que: 
( ) ( ) ( ) 2,10
1
≥∀−≤≤≤ ∫ − nnfdxxfnf
n
n
 (10) 
E essas desigualdades podem ser facilmente deduzidas por observação das figuras abaixo. 
 
 
 Fazendo ( ) ( )∫==
n
nn dxxfRnfa 1
, e denotando por ( )nS as somas parciais da série 
( )∑
∞
=1n
nf , temos: 
( )∑
=
=++++=
n
k
nn kfaaaaS
1
321 K 
e usando (10) obtemos: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )10
,340
,230
,120
1
4
3
3
2
2
1
−≤≤≤
≤≤≤
≤≤≤
≤≤≤
∫
∫
∫
∫
−
nfdxxfnf
fdxxff
fdxxff
fdxxff
n
n
M
 (11) 
 Então de (11) temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1120
1
2
1
−++≤++≤++≤ ∫∫ − nffdxxfdxxfnff
n
n
KKK (12) 
ou seja: 
.2,0 11 ≥∀≤≤−≤ − nSRaS nnn (13) 
 Sendo monótonas as sequências ( )nS e ( )nR , segue das relações (13) que a limitação 
e, portanto, a convergência, de uma delas implica a limitação e, portanto, a convergência da 
outra. Isso prova que as sequências ( )nS e ( )nR são ambas convergentes ou ambas 
divergentes. 
 
Exemplos: 1) A função ( )
2
1
x
xf = é contínua, não negativa e como ( )
3
2
x
xf −=′ é negativa, 
1≥∀x , então ( )xf é decrescente. A integral imprópria 11
1 2
=∫
∞+
dx
x
, logo a série 
correspondente ∑
∞
=1
2
1
n n
 converge. 
2) Podemos verificar que função ( )
xx
xf
ln
1
= também atende às condições do Teorema 5 
para 2≥x e a integral imprópria ( )[ ] +∞==
+∞→
∞+
∫
t
t
xdx
xx
22
lnlnlim
ln
1
, sendo divergente, o que 
implica na divergência da série ∑
∞
=2 ln
1
n nn
. 
 
*OBS.: 1) Quando utilizamos o Teste da Integral, o valor da integral imprópria não é 
necessariamente igual ao valor da soma da série, no caso desta convergir. O teste dá 
informação sobre a convergência sem indicar o valor da soma da série. 
 2) O Teste da integral é utilizado também para investigar a convergência das séries do 
tipo ∑
∞
=1
1
n
pn
, que são chamadas p-séries. 
 Quando 0≤p a p-série é divergente, pois neste caso o termo geral converge para 1, 
se 0=p e terá limite infinito se 0<p . 
 Para 0>p , a função ( )
px
xf
1
= definida para 1≥x atende as condições do Teorema 
5 e, nesse caso, teremos: 
+∞=∫
∞+
dx
x1
1
 e ( ),1
1
1
lim
1 1
1
−
−
= −
+∞→
∞+
∫ ptp tpdxx para 1≠p 
 Mas ,lim 1 +∞=−
+∞→
p
t
t se 1<p e ,0lim 1 =−
+∞→
p
t
t se 1>p , de modo que a integral 
imprópria dx
x p∫
∞+
1
1
 converge quando 1>p e diverge quando 1≤p . Portanto a p-série 
∑
∞
=1
1
n
pn
 converge quando 1>p e diverge quando 1≤p . 
 
TEOREMA 6: (Teste da Comparação no Limite) Sejam ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb duas séries de 
termos positivos e seja 
n
n
n b
a
l
+∞→
= lim . 
(a) Se 0>l , então as séries ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são ambas convergentes ou ambas 
divergentes. 
(b) Se 0=l e ∑
∞
=1n
nb converge, então ∑
∞
=1n
na também converge. 
(c) Se ∞=l e ∑
∞
=1n
nb diverge, então ∑
∞
=1n
na também diverge. 
Demonstração: A demonstração é conseqüência imediata do Teste da Comparação. 
Na parte (a), fixando 0
2
>=
l
ε , na definição de limite de sequência, encontramos um índice 
INn ∈0 tal que 0,2
nn
l
l
b
a
n
n ≥∀<− e, portanto 0,2
3
2
nnb
l
ab
l
nnn ≥∀≤≤ . 
Então se ∑
∞
=1n
nb converge, então ∑
∞
=1 2
3
n
nb
l
 converge e ∑
∞
=1n
na converge pelo teste da 
comparação. Se ∑
∞
=1n
nb diverge, então ∑
∞
=1 2n
nb
l
 diverge e ∑
∞
=1n
na diverge pelo teste da 
comparação. 
Na parte (b), fixando 0>ε , na definição de limite de sequência, encontramos um índice 
INn ∈0 tal que 0, nn
b
a
n
n ≥∀< ε e como ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são duas séries de termos positivos 
tem-se 00 ,,0 nnbann
b
a
nn
n
n ≥∀<⇔≥∀<< εε , logo se ∑
∞
=1n
nb converge, então ∑
∞
=1n
nbε 
também converge e ∑
∞
=1n
na converge pelo teste da comparação. 
Na parte (c), dado 0>M , encontramos um índice INn ∈0 tal que 0, nnM
b
a
n
n ≥∀> e 
portanto 0, nnbMa nn ≥∀> , então se ∑
∞
=1n
nb diverge, ∑
∞
=1n
nMb também diverge e ∑
∞
=1n
na 
diverge pelo teste da comparação. 
 
Exemplos: 1) Considere a série ∑
∞
= +1 53
2
n n
n
, vamos compará-la com a série ∑
∞
=1
1
n n
, que é uma 
p-série com 1<p , logo é divergente. Através do teste da comparação pelo limite temos: 
01
53
2
lim
1
53
2
lim >=
+
=+
+∞→+∞→ n
n
n
n
n
nn
 
portanto a série ∑
∞
= +1 53
2
n n
n
 também diverge. 
 
2) Considere a série ∑
∞
=
−
1
2
n
ne , vamos compará-la com a série ∑
∞
=1
2
1
n n
, que é uma p-série com 
1>p , logo é convergente. Através do teste da comparação pelo limite temos: 
0
1
lim
2
2
limlim
1
lim
222
2 20
0
2
====
+∞→+∞→+∞→
−
+∞→ nnnnnn
n
n ene
n
e
n
n
e
 
Portanto a série ∑
∞
=
−
1
2
n
ne também converge. 
 
3) Considere a série ∑
∞
=2 ln
1
n n
, vamos compará-la com a série divergente ∑
∞
=1
1
n n. Através do teste 
da comparação pelo limite temos: 
 
+∞====
+∞→+∞→
∞
∞
+∞→+∞→
n
n
n
n
n
n
nnnn
lim
1
1
lim
ln
lim
1
ln
1
lim
0
0
 
Portanto a série ∑
∞
=2 ln
1
n n
 também diverge. 
 
TEOREMA 7: (Teste da razão) Seja ∑
∞
=1n
na uma série de termos positivos e suponha que 
l
a
a
n
n
n
=+
+∞→
1lim 
Então: 
(a) a série ∑
∞
=1n
na converge se 1<l , 
(b) a série ∑
∞
=1n
na diverge se 1>l ou se ∞=l , 
(c) o teste é inconcludente se 1=l . 
 
Demonstração: 
 Parte (a) Suponha que 1lim 1 <=+
+∞→
l
a
a
n
n
n
. Pela propriedade do conjunto dos números 
reais 0>∃k tal que 1<< kl . Além disso, se kl
a
a
n
n
n
<=+
+∞→
1lim , então 
k
a
a
NnINN
n
n <⇒≥∈∃ +1/ , ou seja: 
N
m
mNmN
NNN
NNN
NN
akkaa
akkaa
akkaa
kaa
<<
<<
<<
<
−++
++
++
+
1
3
23
2
12
1
M
 
 
Essas desigualdades mostram que os termos da nossa série, depois do n-ésimo termo, se 
aproximam de zero mais rapidamente do que os termos em uma série geométrica com razão 
1<k . Mais precisamente, considere a série∑
∞
=1n
nc , onde nn ac = para Nn ,,2,1 K= e 
KK ,,,, 221 N
m
mNNNNN akcakckac === +++ Agora INnca nn ∈∀≤ , . 
 
( )KK
KK
++++++++=
=++++++++=
−
−
∞
=
∑
32
121
32
121
1
1 kkkaaaa
akakkaaaaac
NN
NNNNN
n
n
 
 
A série geométrica K++++=∑
∞
=
− 32
1
1 1 kkkk
n
n converge porque 1<k , então ∑
∞
=1n
nc 
converge. Como INnca nn ∈∀≤ , , ∑
∞
=1n
na também converge. 
Parte (b) Suponha que l
a
a
n
n
n
=+
+∞→
1lim , onde ∞≤< l1 . A partir de algum índice M, 
11 >+
n
n
a
a
 e K<<< ++ 21 MMM aaa 
O termos da série ∑
∞
=1n
na não se aproximam de zero quando +∞→n , portanto a série diverge 
pelo teste do n-ésimo termo. 
 
Parte (c) Suponha que 1lim 1 ==+
+∞→
l
a
a
n
n
n
, neste caso, as séries ∑
∞
=1
1
n n
 e ∑
∞
=1
2
1
n n
 mostram 
que algum outro teste para a convergência deve ser usado. 
Para ∑
∞
=1
1
n n
, temos 1
1
lim
1
1
1
limlim 1 =
+
=+=
+∞→+∞→
+
+∞→ n
n
n
n
a
a
nn
n
n
n
 
Para ∑
∞
=1
2
1
n n
, temos 
( )
( )
1
1
lim
1
1
1
limlim
2
2
2
2
1 =
+
=
+
=
+∞→+∞→
+
+∞→ n
n
n
n
a
a
nn
n
n
n
 
Em ambos os casos 1=l , mas a primeira série diverge, enquanto a segunda converge. 
 
*OBS.: O teste da razão frequentemente é eficaz quando os termos de uma série contém 
fatoriais de expressões que envolvem n ou expressões elevadas a uma potência que envolva n. 
 
Exemplos: Investigue a convergência das séries a seguir: 
 
1) ∑
∞
=
+
1 3
52
n
n
n
 
Solução: Através do teste da razão temos: 
1
3
2
2.51
2.52
lim
3
1
52
52
lim
3
1
3
52
3
52
limlim
11
1
1 <=
+
+
=
+
+
=
+
+
= −
−
+∞→
+
+∞→
+
+
+∞→
+
+∞→ n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n a
a
 
Logo a série ∑
∞
=
+
1 3
52
n
n
n
 converge. Isto não significa que a soma da série seja igual a 
3
2
. Na 
verdade temos: 
2
21
3
1
1
5
3
2
1
1
3
1
.5
3
2
3
52
111
=
−
+
−
=




+




=
+ ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
= n
n
n
n
n
n
n
 
2) 
( )
( )∑
∞
=1
2!
!2
n n
n
 
Solução: Através do teste da razão temos: 
( )
( )[ ]
( )
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )
14
1
122
lim
!2!1!1
!21222!!
lim
!
!2
!1
!22
limlim
2
2
1 >=
+
+
=
++
++
=
+
+
=
+∞→+∞→+∞→
+
+∞→ n
n
nnnnn
nnnnn
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
n
 
Logo a série 
( )
( )∑
∞
=1
2!
!2
n n
n
 diverge. 
 
TEOREMA 8: (Teste da raiz) Seja ∑
∞
=1n
na uma série com 0≥na para Nn ≥ e suponha que 
lan n
n
=
+∞→
lim 
Então: 
(a) a série ∑
∞
=1n
na converge se 1<l , 
(b) a série ∑
∞
=1n
na diverge se 1>l ou se ∞=l , 
(c) o teste é inconcludente se 1=l . 
 
Demonstração: 
 Parte (a) Suponha que 1lim <=
+∞→
lan n
n
. Escolha um 0>ε pequeno o suficiente para 
que 1<+ εl . Como lan n → , os termos n na acabam se aproximando de l a menos de ε . 
Em outras palavras, existe um índice INM ∈ tal que 
 
ε+< lan n , quando Mn ≥ 
Portanto também é verdade que ( )nn la ε+< para Mn ≥ . Mas ( )∑
∞
=
+
Mn
n
l ε é uma 
série geométrica com razão 1<+εl , logo converge. Por comparação, a série ∑
∞
=Mn
na converge 
o que nos leva a concluir que ∑∑
∞
=
−
∞
=
+++=
Mn
nM
n
n aaaa 11
1
K converge. 
Parte (b) Suponha que lan n
n
=
+∞→
lim , onde ∞≤< l1 . Para todos os índices além de 
algum inteiro M, temos 1>n na , de modo que 1>na para Mn > . Os termos da série ∑
∞
=1n
na 
não convergem para zero, logo a série ∑
∞
=1n
na diverge pelo teste do n-ésimo termo. 
Parte (c) Suponha que 1lim ==
+∞→
lan n
n
. As séries ∑
∞
=1
1
n n
 e ∑
∞
=1
2
1
n n
 mostram que o teste 
não é conclusivo quando 1=l . A primeira série diverge e a segunda converge, mas em ambos 
os casos 1lim =
+∞→
n
n
n
a . 
 
Exemplos: Investigue a convergência das séries a seguir: 
 
1) ∑
∞
=1
2
2n
n
n
 
Solução: Aplicando o teste da raiz temos: 
1
2
1
2
lim
2
limlim
22
<===
+∞→+∞→+∞→
n
n
n
nn
n
n
n
nn
a , logo a série ∑
∞
=1
2
2n
n
n
 converge 
 
2) 
( )∑
∞
=1 lnn
n
n
n
n
 
Solução: Aplicando o teste da raiz temos: 
( )
+∞=====
+∞→+∞→
∞
∞
+∞→+∞→+∞→
n
n
n
n
n
n
a
nnn
n
n
n
n
n
n
n
lim
1
1
lim
ln
lim
ln
limlim , 
logo a série 
( )∑
∞
=1 lnn
n
n
n
n
 é divergente. 
SÉRIES ALTERNADAS 
 
Uma série na qual os termos são alternadamente positivos e negativos é uma série 
alternada. 
Exemplos: 
1) 
( )
K+−+−+−=
−
∑
∞
=
+
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
1
1
n
n
n
 
2) 
( )
K+−+−+−=
+
−
∑
∞
= 6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
1n
n
n
n
 
 
TEOREMA 9: (Teste da série alternada – Teorema de Leibniz) 
 A série 
( )∑
∞
=
+ +−+−=−
1
4321
11
n
n
n
aaaaa K 
é convergente se todas as três condições a seguir forem satisfeitas: 
(a) os na forem todos positivos, 
(b) 1+≥ nn aa para todo Nn ≥ , para algum N inteiro, 
(c) 0lim =
+∞→
n
n
a . 
Demonstração: 
 Se n é um inteiro par, digamos mn 2= , então a soma dos n primeiros termos é: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) mmm
mmm
aaaaaaaa
aaaaaaS
2122254321
21243212
−−−−−−−−=
=−++−+−=
−−
−
K
K
 
A primeira igualdade mostra que mS2 é a soma de m termos não negativos, uma vez 
que cada termos entre parênteses é positivo ou zero. Consequentemente, mm SS 222 ≥+ e a 
sequência ( )mS2 é crescente. A segunda igualdade mostra que 12 aS m ≤ . Como ( )mS2 é 
crescente e limitada superiormente, tem um limite: 
LS m
m
=
+∞→
2lim (14) 
Se n é um inteiro ímpar, digamos 12 += mn , então a soma dos n primeiros termos é 
12212 ++ += mmm aSS . Como 0lim =
+∞→
n
n
a , então 
0lim 12 =+
+∞→
m
m
a 
e, como +∞→m 
( ) LLaSS mm
m
m
m
=+=+= +
+∞→
+
+∞→
0limlim 12212 (15) 
A partir dos resultados(14) e (15), temos que as sequências das somas parciais ( )mS2 
e ( )12 +mS tem um limite único, então LSn
n
=
+∞→
lim e a série ( )∑
∞
=
+−
1
11
n
n
n
a converge. 
 
Exemplo: A série 
( )
K+−+−+−=
−
∑
∞
=
+
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
1
1
n
n
n
 satisfaz as três condições do 
Teorema de Leibniz e, portanto converge. 
 
Definição: (Convergência absoluta) Uma série ∑
∞
=1n
na converge absolutamente (ou é 
absolutamente convergente) se a série de valores absolutos correspondente, ∑
∞
=1n
na converge. 
 
Definição: (Convergência condicional) Uma série que converge, mas não converge 
absolutamente, converge condicionalmente (ou é condicionalmente convergente). 
 
TEOREMA 10: (Teste da convergência absoluta) 
 Se ∑
∞
=1n
na converge, então ∑
∞
=1n
na converge. 
Demonstração: 
 Para cada n temos: 
nnn aaa ≤≤− , assim nnn aaa 20 ≤+≤ 
 Se ∑
∞
=1n
na converge, então ∑
∞
=1
2
n
na converge, e pelo teste de comparação, a série não 
negativa ( )∑
∞
=
+
1n
nn aa converge. A igualdade ( ) nnnn aaaa −+= nos permite expressar 
∑
∞
=1n
na como a diferença de duas séries convergentes: 
( ) ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−+=
111 n
n
n
nn
n
n aaaa 
Portanto ∑
∞
=1n
na converge. 
 
*OBS.: Podemos dizer que toda série absolutamente convergente é convergente, entretanto, a 
afirmação contrária não é verdadeira, pois existem muitas séries convergentes que não são 
absolutamente convergentes, como por exemplo: a série alternada 
( )
∑
∞
=
+−
1
11
n
n
n
 é convergente, 
mas a série de valores absolutos correspondente ∑
∞
=1
1
n n
 é divergente. 
 
Exemplos: 
1) Para a série 
( )
∑
∞
=
+−
1
2
11
n
n
n
, a série de valores absolutos correspondente é a série 
convergente ∑
∞
=1
2
1
n n
, portanto a 
( )
∑
∞
=
+−
1
2
11
n
n
n
 é absolutamente convergente. 
2) Para a série ∑
∞
=1
2
n n
senn
, a série de valores absolutos correspondente é ∑
∞
=1
2
n n
senn
, que 
converge por comparação com a série ∑
∞
=1
2
1
n n
 porque INnsenn ∈∀≤ ,1 . A série 
∑
∞
=1
2
n n
senn
 converge absolutamente, logo é convergente. 
3) A série ( )
12
1
1
1
1
+
+
−∑
∞
=
+
n
n
n
n é divergente pois 0
2
1
12
1
lim ≠=
+
+
+∞→ n
n
n
. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
I) Estudar a convergência das seguintes séries: 
 
1) ∑
∞
= +1
2 1n n
n
, R: Converge 
2) ∑
∞
= +1 23
3
n
n
n
, R: Diverge 
3) ∑
∞
=2
4 ln
1
n nn
, R: Diverge 
4) 
( )∑
∞
= +1
2
!1n n
n
 , R: Converge 
5) ∑
∞
= +1
2 35n n
n
, R: Diverge 
6) ∑
∞
= +1
2 1n n
arctgn
, R: Converge 
7) 
( )
∑
∞
= −1 12
5
n
n
n
, R: Diverge 
8) 
( )∑
∞
= +1 125.3
!
n n
n
K
, R: Converge 
9) 
( )∑
∞
= +1 1
1
n
n
n
, R: Converge 
 
II) Classifique as séries como absolutamente convergente, condicionalmente 
convergente ou divergente: 
1) ( )∑
∞
=
−
1 !
2
1
n
n
n
n
, R: Absolutamente convergente 
2) ( ) ( )∑
∞
=
−
−
1 3
!12
1
n
n
n n , R: Divergente 
3) 
( )∑
∞
=
−
2 ln
1
n
n
n
, R: Condicionalmente convergente 
4) ( )
( )∑
∞
=
+
+
+
−
1
1
3
2
1
n
n
nn
n
 R: Condicionalmente convergente 
5) ( )
( )∑
∞
=
+
−
−
1
1
!12
!
1
n
n
n
n
, R: Absolutamente convergente 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
MATOS, M. P. Séries e Equações Diferenciais. Prentice Hall, São Paulo, 2002. 
THOMAS, G. Cálculo. Volume 2. Pearson, São Paulo, 2008. 
ANTON, H. Cálculo um novo horizonte.Volume 2. Bookman, Porto Alegre, 2000