Cálculo III Séries de potências
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Cálculo III Séries de potências


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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE \u2013 FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA \u2013 IMEF 
 
 
SÉRIES DE POTÊNCIAS 
 
DEFINIÇÃO 1: Uma série de potências em ( )ax \u2212 é uma série da forma 
( ) ( ) ( ) ( ) KK +\u2212++\u2212+\u2212+=\u2212\u2211
\u221e
=
n
n
n
n
n axcaxcaxccaxc
2
210
0
 (1) 
onde KK ,,,,, 210 ncccc são os coeficientes da série. 
 Um caso especial de (1) é obtido quando 0=a , e a série transforma-se numa 
série de potência em x dada por: 
KK +++++=\u2211
\u221e
=
n
n
n
n
n xcxcxccxc
2
210
0
 (2) 
*OBS.: Lidando com uma série infinita de termos constantes estudamos a questão da 
convergência ou divergência dessas séries. Considerando uma série de potências, 
perguntamos, para quais valores de x, se existir algum, a série de potências converge? 
Para cada valor de x em relação ao qual a série de potências converge, esta representa o 
número que é a soma da série. Assim podemos considerar que a série de potências 
define uma função. A função f , cujos valores funcionais são: 
( ) ( )\u2211
\u221e
=
\u2212=
0n
n
n axcxf (3) 
tem como seu domínio todos os valores de x, tais que a série de potências em (3) seja 
convergente. É evidente que toda série de potências (2) é convergente para ax = . 
Existem algumas séries que não convergem para nenhum outro valor de x, e existem 
também, séries que convergem para qualquer valor de x. 
 
 A seguir, utilizaremos o teste da razão para determinar os valores de x para os 
quais uma série de potências é convergente. 
 
 Exemplos: Encontre os valores de x para os quais as séries de potências a 
seguir são convergentes: 
 
1) ( )\u2211
\u221e
=
+
\u2212
1
1
3
21
n
n
nn
n
n
x
 
 Solução: Para a série dada temos: 
( )
n
nn
n
n
n
x
a
3
21 1+\u2212= e ( ) ( ) 1
11
2
1 31
21
+
++
+
+
+
\u2212=
n
nn
n
n
n
x
a 
 Aplicando o teste da razão, obtemos: 
 
( ) xn
n
x
x
n
n
x
a
a
nnn
n
n
nn
n
n
n
n 3
2
13
2lim
2
3
31
2limlim 1
11
1
=
+
=\u22c5
+
=
+\u221e\u2192+
++
+\u221e\u2192
+
+\u221e\u2192
 
 
 
Logo a série de potências é absolutamente convergente quando 1
3
2
<x , ou seja, quando 
2
3
<x . A série é divergente quando 1
3
2
>x , ou seja, quando, 
2
3
>x . Essa informação, 
contida no teste da razão e a convergência da série nas extremidades desses intervalos 
não pode ser prevista antecipadamente. Esse é o caso extremo 1lim 1 =+
+\u221e\u2192
n
n
n a
a
, que será 
analisado a seguir, quando 
2
3
=x , ou seja, 
2
3±=x . Para 
2
3
=x a série de potências 
será: 
( ) ( )\u2211\u2211
\u221e
=
+
\u221e
=
+
\u2212=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
1
1
1
1 11
2
3
3
21
n
n
n
n
n
n
n
nn
 
que é convergente pelo teste de Leibniz. Para 
2
3
\u2212=x a série de potências será: 
( ) \u2211\u2211\u2211
\u221e
=
\u221e
=
\u221e
=
+
\u2212=\u2212=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u2212
111
1 11
2
3
3
21
nn
n
n
n
n
n
nnn
 
que é divergente, pois \u2211
\u221e
=1
1
n n
 é uma p-série com 1=p , que é divergente, logo \u2211
\u221e
=
\u2212
1
1
n n
 
também é divergente. 
 Concluímos então que a série de potências dada converge quando 
2
3
2
3 \u2264<\u2212 x . A 
série é absolutamente convergente quando 
2
3
2
3
<<\u2212 x e é condicionalmente 
convergente quando 
2
3
=x . Se 
2
3
\u2212\u2264x ou 
2
3
>x , a série é divergente. 
 
2) \u2211
\u221e
=1 !n
n
n
x
 
Solução: Para a série dada, 
!n
x
a
n
n = e ( )!1
1
1 +
=
+
+
n
x
a
n
n , então aplicando o teste da 
razão temos: 
 
( ) 101
1lim!
!1
limlim
1
1 <=
+
=\u22c5
+
=
+\u221e\u2192
+
+\u221e\u2192
+
+\u221e\u2192 n
x
x
n
n
x
a
a
nn
n
n
n
n
n
 
Portanto a série de potências dada é convergente para todos os valores de x. 
 
3) n
n
xn\u2211
\u221e
=1
! 
Solução: Neste caso, nn xna != e ( ) 11 !1 ++ += nn xna , então aplicando o teste da 
razão temos: 
( ) ( )1lim
!!
!1limlim
1
1 +=
+
=
+\u221e\u2192
+
+\u221e\u2192
+
+\u221e\u2192
nx
xn
xn
a
a
nn
n
n
n
n
n
 
 
 
Portanto, quando 0=x temos 0lim 1 =+
+\u221e\u2192
n
n
n a
a
 e quando 0\u2260x temos 
+\u221e=+
+\u221e\u2192
n
n
n a
a 1lim . Logo a série dada converge quando 0=x e diverge para todo valor de 
0\u2260x . 
4) ( )\u2211
\u221e
=
+
\u2212
1
13
n
n
n
x
 
Solução: Neste caso temos: ( )
n
x
a
n
n
13 +\u2212
= e 
( )
1
3 2
1
+
\u2212
=
+
+
n
x
a
n
n , então aplicando 
o teste da razão temos: 
( )
( ) 31lim331
3limlim 1
2
1
\u2212=
+
\u2212=
\u2212
\u22c5
+
\u2212
=
+\u221e\u2192+
+
+\u221e\u2192
+
+\u221e\u2192
x
n
n
x
x
n
n
x
a
a
nn
n
n
n
n
n
 
Portanto a série converge absolutamente quando 13 <\u2212x , ou seja, quando 
42 << x e diverge quando 13 >\u2212x , ou seja, quando 2<x ou 4>x . 
Quando 13 =\u2212x , temos que \u2211
\u221e
=1
1
n n
 ou 4=x , então levando esses valores na 
série original, obtemos a série divergente \u2211
\u221e
=1
1
n n
, para 4=x , e a série condicionalmente 
convergente ( )\u2211
\u221e
=
\u2212
1
1
n
n
n
, para 2=x . Portanto o conjunto dos valores de x que tornam a 
série convergente é o intervalo semi-aberto 42 <\u2264 x . 
 
 
INTERVALO DE CONVERGÊNCIA 
 
 Nos exemplos apresentados, verificamos que uma dada série de potências 
( )\u2211
\u221e
=
\u2212
0n
n
n axc pode convergir apenas quando ax = , pode convergir absolutamente em 
qualquer valor de x ou pode ser absolutamente convergente no intervalo Rax <\u2212 e 
divergente quando Rax >\u2212 , podendo ser convergente ou não nos extremos desse 
intervalo. Esse número real R, que é o raio do intervalo, é denominado raio de 
convergência da série e o intervalo correspondente é o intervalo de convergência. O 
intervalo de convergência de uma série de potências pode ser qualquer um dos seguintes 
tipos: 
( ) [ ) ( ]RaRaRaRaRaRa +\u2212+\u2212+\u2212 ,,,,, ou [ ]RaRa +\u2212 , , 
Dependendo da convergência ou não da série nos extremos do intervalo. Para séries de 
potências do tipo \u2211
\u221e
=0n
n
n xc , onde o centro é 0=a , o intervalo de convergência pode ser 
qualquer um dos tipos: 
( ) [ ) ( ]RRRRRR ,,,,, \u2212\u2212\u2212 ou [ ]RR,\u2212 
 
 
 
TEOREMA 1: Se uma série de potências ( )\u2211
\u221e
=
\u2212
0n
n
n axc convergir em algum valor 
ax \u22600 , então ela convergirá absolutamente em qualquer ponto x do intervalo 
axax \u2212<\u2212 0 . Se ela divergir em 1xx = , então ela é divergente quando 
axax \u2212>\u2212 1 . 
Demonstração: 
 Se a série ( )\u2211
\u221e
=
\u2212
0
0
n
n
n axc é convergente, segue do Teste do n-ésimo termo que 
( ) 0lim 0 =\u2212
+\u221e\u2192
n
n
n
axc e pela definição de limite, fixado 1=\u3b5 , existe um índice 
INn \u22080 a partir do qual se tem: ( ) 10 <\u2212 nn axc . 
 Mas 
( ) ( )
n
n
n
n
n
ax
ax
axcaxc
\u2212
\u2212
\u2212=\u2212
0
0 (1) 
e como ( ) 00 ,1 nnaxc nn \u2265\u2200<\u2212 , de (1) obtemos: 
( ) 0
0
, nn
ax
ax
axc
n
n
n \u2265\u2200
\u2212
\u2212
<\u2212 (2) 
 Para axax \u2212<\u2212 0 a série geométrica \u2211
\u221e
=
\u2212
\u2212
0 0n
n
ax
ax é convergente, e 
combinando (2) com o Teste de Comparação, concluímos que ( )\u2211
\u221e
=
\u2212
0n
n
n axc converge 
absolutamente. Para provarmos a segunda parte do teorema, admitiremos que a série 
( )\u2211
\u221e
=
\u2212
0
1
n
n
n axc é divergente e raciocinaremos por absurdo. Se a série ( )\u2211
\u221e
=
\u2212
0
2
n
n
n axc 
fosse convergente em algum ponto 2x tal que axax \u2212>\u2212 12 , então pelo que ficou 
estabelecido na primeira parte da demonstração, esta série seria convergente em todo 
valor de x, com axax \u2212<\u2212 2 e em