Cálculo III Séries de potências

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF 
 
 
SÉRIES DE POTÊNCIAS 
 
DEFINIÇÃO 1: Uma série de potências em ( )ax − é uma série da forma 
( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−+−+=−∑
∞
=
n
n
n
n
n axcaxcaxccaxc
2
210
0
 (1) 
onde KK ,,,,, 210 ncccc são os coeficientes da série. 
 Um caso especial de (1) é obtido quando 0=a , e a série transforma-se numa 
série de potência em x dada por: 
KK +++++=∑
∞
=
n
n
n
n
n xcxcxccxc
2
210
0
 (2) 
*OBS.: Lidando com uma série infinita de termos constantes estudamos a questão da 
convergência ou divergência dessas séries. Considerando uma série de potências, 
perguntamos, para quais valores de x, se existir algum, a série de potências converge? 
Para cada valor de x em relação ao qual a série de potências converge, esta representa o 
número que é a soma da série. Assim podemos considerar que a série de potências 
define uma função. A função f , cujos valores funcionais são: 
( ) ( )∑
∞
=
−=
0n
n
n axcxf (3) 
tem como seu domínio todos os valores de x, tais que a série de potências em (3) seja 
convergente. É evidente que toda série de potências (2) é convergente para ax = . 
Existem algumas séries que não convergem para nenhum outro valor de x, e existem 
também, séries que convergem para qualquer valor de x. 
 
 A seguir, utilizaremos o teste da razão para determinar os valores de x para os 
quais uma série de potências é convergente. 
 
 Exemplos: Encontre os valores de x para os quais as séries de potências a 
seguir são convergentes: 
 
1) ( )∑
∞
=
+
−
1
1
3
21
n
n
nn
n
n
x
 
 Solução: Para a série dada temos: 
( )
n
nn
n
n
n
x
a
3
21 1+−= e ( ) ( ) 1
11
2
1 31
21
+
++
+
+
+
−=
n
nn
n
n
n
x
a 
 Aplicando o teste da razão, obtemos: 
 
( ) xn
n
x
x
n
n
x
a
a
nnn
n
n
nn
n
n
n
n 3
2
13
2lim
2
3
31
2limlim 1
11
1
=
+
=⋅
+
=
+∞→+
++
+∞→
+
+∞→
 
 
 
Logo a série de potências é absolutamente convergente quando 1
3
2
<x , ou seja, quando 
2
3
<x . A série é divergente quando 1
3
2
>x , ou seja, quando, 
2
3
>x . Essa informação, 
contida no teste da razão e a convergência da série nas extremidades desses intervalos 
não pode ser prevista antecipadamente. Esse é o caso extremo 1lim 1 =+
+∞→
n
n
n a
a
, que será 
analisado a seguir, quando 
2
3
=x , ou seja, 
2
3±=x . Para 
2
3
=x a série de potências 
será: 
( ) ( )∑∑
∞
=
+
∞
=
+
−=





−
1
1
1
1 11
2
3
3
21
n
n
n
n
n
n
n
nn
 
que é convergente pelo teste de Leibniz. Para 
2
3
−=x a série de potências será: 
( ) ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
−=−=





−−
111
1 11
2
3
3
21
nn
n
n
n
n
n
nnn
 
que é divergente, pois ∑
∞
=1
1
n n
 é uma p-série com 1=p , que é divergente, logo ∑
∞
=
−
1
1
n n
 
também é divergente. 
 Concluímos então que a série de potências dada converge quando 
2
3
2
3 ≤<− x . A 
série é absolutamente convergente quando 
2
3
2
3
<<− x e é condicionalmente 
convergente quando 
2
3
=x . Se 
2
3
−≤x ou 
2
3
>x , a série é divergente. 
 
2) ∑
∞
=1 !n
n
n
x
 
Solução: Para a série dada, 
!n
x
a
n
n = e ( )!1
1
1 +
=
+
+
n
x
a
n
n , então aplicando o teste da 
razão temos: 
 
( ) 101
1lim!
!1
limlim
1
1 <=
+
=⋅
+
=
+∞→
+
+∞→
+
+∞→ n
x
x
n
n
x
a
a
nn
n
n
n
n
n
 
Portanto a série de potências dada é convergente para todos os valores de x. 
 
3) n
n
xn∑
∞
=1
! 
Solução: Neste caso, nn xna != e ( ) 11 !1 ++ += nn xna , então aplicando o teste da 
razão temos: 
( ) ( )1lim
!!
!1limlim
1
1 +=
+
=
+∞→
+
+∞→
+
+∞→
nx
xn
xn
a
a
nn
n
n
n
n
n
 
 
 
Portanto, quando 0=x temos 0lim 1 =+
+∞→
n
n
n a
a
 e quando 0≠x temos 
+∞=+
+∞→
n
n
n a
a 1lim . Logo a série dada converge quando 0=x e diverge para todo valor de 
0≠x . 
4) ( )∑
∞
=
+
−
1
13
n
n
n
x
 
Solução: Neste caso temos: ( )
n
x
a
n
n
13 +−
= e 
( )
1
3 2
1
+
−
=
+
+
n
x
a
n
n , então aplicando 
o teste da razão temos: 
( )
( ) 31lim331
3limlim 1
2
1
−=
+
−=
−
⋅
+
−
=
+∞→+
+
+∞→
+
+∞→
x
n
n
x
x
n
n
x
a
a
nn
n
n
n
n
n
 
Portanto a série converge absolutamente quando 13 <−x , ou seja, quando 
42 << x e diverge quando 13 >−x , ou seja, quando 2<x ou 4>x . 
Quando 13 =−x , temos que ∑
∞
=1
1
n n
 ou 4=x , então levando esses valores na 
série original, obtemos a série divergente ∑
∞
=1
1
n n
, para 4=x , e a série condicionalmente 
convergente ( )∑
∞
=
−
1
1
n
n
n
, para 2=x . Portanto o conjunto dos valores de x que tornam a 
série convergente é o intervalo semi-aberto 42 <≤ x . 
 
 
INTERVALO DE CONVERGÊNCIA 
 
 Nos exemplos apresentados, verificamos que uma dada série de potências 
( )∑
∞
=
−
0n
n
n axc pode convergir apenas quando ax = , pode convergir absolutamente em 
qualquer valor de x ou pode ser absolutamente convergente no intervalo Rax <− e 
divergente quando Rax >− , podendo ser convergente ou não nos extremos desse 
intervalo. Esse número real R, que é o raio do intervalo, é denominado raio de 
convergência da série e o intervalo correspondente é o intervalo de convergência. O 
intervalo de convergência de uma série de potências pode ser qualquer um dos seguintes 
tipos: 
( ) [ ) ( ]RaRaRaRaRaRa +−+−+− ,,,,, ou [ ]RaRa +− , , 
Dependendo da convergência ou não da série nos extremos do intervalo. Para séries de 
potências do tipo ∑
∞
=0n
n
n xc , onde o centro é 0=a , o intervalo de convergência pode ser 
qualquer um dos tipos: 
( ) [ ) ( ]RRRRRR ,,,,, −−− ou [ ]RR,− 
 
 
 
TEOREMA 1: Se uma série de potências ( )∑
∞
=
−
0n
n
n axc convergir em algum valor 
ax ≠0 , então ela convergirá absolutamente em qualquer ponto x do intervalo 
axax −<− 0 . Se ela divergir em 1xx = , então ela é divergente quando 
axax −>− 1 . 
Demonstração: 
 Se a série ( )∑
∞
=
−
0
0
n
n
n axc é convergente, segue do Teste do n-ésimo termo que 
( ) 0lim 0 =−
+∞→
n
n
n
axc e pela definição de limite, fixado 1=ε , existe um índice 
INn ∈0 a partir do qual se tem: ( ) 10 <− nn axc . 
 Mas 
( ) ( )
n
n
n
n
n
ax
ax
axcaxc
−
−
−=−
0
0 (1) 
e como ( ) 00 ,1 nnaxc nn ≥∀<− , de (1) obtemos: 
( ) 0
0
, nn
ax
ax
axc
n
n
n ≥∀
−
−
<− (2) 
 Para axax −<− 0 a série geométrica ∑
∞
=
−
−
0 0n
n
ax
ax é convergente, e 
combinando (2) com o Teste de Comparação, concluímos que ( )∑
∞
=
−
0n
n
n axc converge 
absolutamente. Para provarmos a segunda parte do teorema, admitiremos que a série 
( )∑
∞
=
−
0
1
n
n
n axc é divergente e raciocinaremos por absurdo. Se a série ( )∑
∞
=
−
0
2
n
n
n axc 
fosse convergente em algum ponto 2x tal que axax −>− 12 , então pelo que ficou 
estabelecido na primeira parte da demonstração, esta série seria convergente em todo 
valor de x, com axax −<− 2 e emparticular seria convergente quando 1xx = , 
contrariando a hipótese. 
 
 Para as séries de potências do tipo ∑
∞
=0n
n
n xc o Teorema 1 assume a versão a 
seguir. 
 
TEOREMA 2: Se uma série de potências ∑
∞
=0n
n
n xc convergir em algum valor 00 ≠x , 
então ela convergirá absolutamente em qualquer ponto x do intervalo 0xx < . Se ela 
divergir em 1xx = , então ela é divergente quando 1xx > . 
 
 
 
TEOREMA 3: Para uma série de potências ( )∑
∞
=
−
0n
n
n axc , apenas uma das condições 
abaixo se verifica:n 
(a) a série converge apenas quando ax = ; 
(b) a série converge absolutamente em qualquer valor de x; 
(c) existe um número real 0>R , denominado raio de convergência, tal que a 
série converge absolutamente quando Rax <− e diverge quando 
Rax >− . 
Demonstração: 
 Se nós substituímos x por a na série de potências, obtemos: K+++ 000c , que, 
obviamente é convergente. Logo, toda série de potências ( )∑
∞
=
−
0n
n
n axc converge 
quando ax = . Se este é o único valor de x para o qual a série converge, então a 
condição (a) é válida. 
 Se a série convergir em algum outro valor de x, por exemplo em 1x , então pelo 
Teorema 1 ela será absolutamente convergente em qualquer valor de x do intervalo 
axax −<− 1 . Se ela for divergente em 2xx = , ela também será divergente em 
qualquer valor de x tal que axax −>− 2 ( se não existe um tal 2x , então a condição 
(b) é claramente satisfeita) e, portanto, o conjunto A constituído dos números ax − , 
sendo x um valor onde a série converge absolutamente, é limitado superiormente 
ax −2 e o número R procurado na condição (c) é precisamente o Asup . 
 
TEOREMA 4: Se o limite 
n
n
n c
c
L 1lim +
+∞→
= existe e é diferente de zero, então o raio de 
convergência R da série ( )∑
∞
=
−
0n
n
n axc é igual a L
1
. Se 0=L , então +∞=R e se 
+∞=L , então 0=R . 
Demonstração: 
 Representando por na o termo geral da série, então: 
( )
( ) Laxc
c
ax
axc
axc
a
a
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
⋅−=−=
−
−
=
+
+∞→
+
+
+∞→
+
+∞→
1
1
11 limlimlim (3) 
Então como consequência de (3) e do Teste da Razão, temos que: se 0=L , a série 
converge absolutamente em qualquer valor de x e, nesse caso +∞=R ; se +∞=L , 
então a única possibilidade de se ter 1lim 1 <+
+∞→
n
n
n a
a
 é quando ax = e, nesse caso, 0=R ; 
finalmente, se +∞<< L0 , então a série converge absolutamente quando 
L
ax
1
<− e 
diverge quando 
L
ax
1
>− e, nesse caso, 
L
R 1= . 
 
Exemplo: Para a série ( )( )∑
∞
=
−
−
−
0
12312
1
n
n
nn
n
x
, temos: 
 
 
 
( )
( ) 9
1
12
12lim
9
1
312
312limlim 12
12
1
=
+
−
=
+
−
==
+∞→+
−
+∞→
+
+∞→ n
n
n
n
c
c
L
nn
n
n
n
n
n
 
 Portanto 9=R . Assim, a série converge absolutamente quando 9<x e diverge 
quando 9>x . 
Para 9=x a série fica ( )( )
( )
( )
( )
( )∑∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
−
−
−
=
−
−
=
−
−
00
12
2
0
12 12
31
3312
31
312
91
n
n
n
n
nn
n
n
nn
nnn
, que é 
convergente como consequência do Teste de Leibniz. 
Para 9−=x a série fica ( ) ( )( ) ( ) ( )∑∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
−
−
=
−
=
−
−−
00
12
2
0
12 12
3
3312
3
312
91
nn
n
n
n
n
nn
nnn
, que 
é divergente. 
Concluímos que a série converge no intervalo ( ]9,9− , sendo a convergência 
absoluta em ( )9,9− e condicional em 9=x . 
 
 
SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN 
 
 
Seja ( )xf uma função definida por: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−+−+=−=∑
∞
=
k
k
n
n
n axcaxcaxccaxcxf 2210
0
 
com raio de convergência 0>R , então ( )xf será infinitamente derivável no intervalo 
( )RaRa +− , . Derivando sucessivamente esta função, temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−+−+−+=′ −1342321 432 kk axkcaxcaxcaxccxf 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +−−++−+−+=′′ −22432 11262 kk axckkaxcaxccxf 
( ) ( ) ( )( ) ( ) KK +−−−++−+=′′′ −343 21246 kk axckkkaxccxf 
 Substituindo x por a na série de potências que representa ( )xf e nas suas 
derivadas, obtemos: 
( ) ( ) ( ) ( ) K,6,2,, 3210 aafcafcafcaf =′′′=′′=′= 
E portanto: 
( ) ( ) ( ) ( ) K,
6
,
2
,, 3210
af
a
af
cafcafc ′′′=′′=′== 
Substituindo os coeficientes encontrados na função ( )xf obtemos a série de Taylor 
gerada por ( )xf , conforme a definição a seguir.,0 
 
DEFINIÇÃO 2: Seja ( )xf uma função com derivadas de todas as ordens em um 
intervalo contendo a como um ponto interior. Então a série de Taylor gerada por f em 
ax = é dada por: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−′′+−′+=−∑
∞
=
k
k
n
n
n
ax
k
af
ax
af
axafafax
n
af
!!2!
2
0
 
 (4) 
 
 
 
 Quando 0=a obtemos de (4) a série de Maclaurin gerada por f dada por: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++′′+′+=∑
∞
=
k
k
n
n
n
x
k
f
x
f
xffx
n
f
!
0
!2
000
!
0 2
0
 (5) 
 
Exemplos: Desenvolver as funções abaixo em série de Taylor ou Maclaurin, 
determinar o raio e o intervalo de convergência: 
 
1) ( )
x
xf 1= em 2=a 
A série de Taylor gerada por ( )
x
xf 1= em 2=a é dada por: 
( ) ( ) ( )∑ +−−= 12
21
n
n
n x
xf 
E esta série converge absolutamente para 22 <−x , ou seja, 40 << x , com raio de 
convergência 2=R . 
 
 2) ( ) xxf cos= em 0=a 
 A série de Taylor gerada por ( ) xxf cos= é dada por: 
( ) ( ) ( )∑
∞
=
−=
0
2
!2
1
n
n
n
n
x
xf 
 Esta série converge para qualquer valor de x, logo o raio de convergência é 
+∞=R e o intervalo de convergência é ( )+∞∞− , . 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de 
potências: 
 
a) [ )1,1,1:
1
−==
+
∑
∞
=
IRR
nn
x
n
n
 
b) ( )+∞∞−=+∞=∑
∞
=
,,:
!0
2
IRR
n
xn
n
n
 
c) ( )( ) 0:!
!3
0
2 =∑
∞
=
RR
n
xn
n
n
, a série só converge para 0=x 
 
2) Desenvolver as funções abaixo em série de Maclaurin, determinar o raio e o 
intervalo de convergência: 
 
a) ( ) ( )xxf += 10ln R: ( ) ( ) ( ]10,10,10,
10
110ln
1
1
−==
−
+= ∑
∞
=
+
IR
n
x
xf
n
n
nn
 
 
 
b) ( )
x
xf
−
=
4
1
 R: ( ) ( )4,4,4,
40 1
−===∑
∞
=
+
IRxxf
n
n
n
 
3) Desenvolver as funções em série de Taylor, dar o raio e o intervalo de 
convergência: 
 
a) ( ) 2,1 == a
x
xf ,R: ( ) ( ) ( ) ( )4,0,2,
2
21
0
1 ==
−−
=∑
∞
=
+
IRxxf
n
n
nn
 
b) ( ) 4, == aexf x R: ( ) ( ) ( )+∞∞−=+∞=−=∑
∞
=
,,,
!
4
0
4
IR
n
xe
xf
n
n
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
MATOS, M. P. Séries e Equações Diferenciais. Prentice Hall, São Paulo, 2002. 
THOMAS, G. Cálculo. Volume 2. Pearson, São Paulo, 2008. 
ANTON, H. Cálculo um novo horizonte.Volume 2. Bookman, Porto Alegre, 2000 
LEITHOLD. O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2,Harbra, São Paulo,1981.