Apostila_EDO_Seg_Ordem

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Ronaldo T Garcia - SERRAVIX Página 1 
 
Disciplina: Equações Diferenciais 
Professor: Ronaldo Trapiá Garcia 
 
 
APOSTILA 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
SEGUNDA ORDEM 
 
Definição: 
 
Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação da forma 
 
a(x).y’’ + b(x).y’ + c(x).y = d(x) 
 
Neste caso, teremos um problema do valor inicial com a seguinte estrutura: 
 
Nesse estudo, vamos trabalhar com as equações diferenciais ordinárias lineares de 
segunda ordem com coeficientes constantes homogêneas, pois essas equações têm 
aplicações importantes, especialmente no que diz respeito a vibrações mecânicas e 
deformações de materiais. Assim, temos: 
 
a.y" + b.y' + c.y = 0 
 
Para resolver a equação homogênea com coeficientes constantes, devemos obter a 
equação característica associada à mesma, dada por: 
 
a.r2 + b.r + c = 0 
 
Como a equação característica é uma equação do segundo grau, ela possui três 
possibilidades de solução: 
 
1) Raízes reais e diferentes: ( r1 ≠ r2 ) 
A solução geral da EDO é 
 ,onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. 
 
 
 
 
 
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2) Raízes reais e iguais: ( r1 = r2 ) 
A solução geral da EDO é 
,onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. 
 
3) Raízes complexas (r1= α+iβ , r2= α –iβ ) , β > 0 
 
A solução geral da EDO é 
,onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. 
 
Exemplos: 
 
1) Dada a EDO 
y’’ + 5y’ + 6y = 0, 
 
determine a equação característica e a solução geral da equação. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Utilizando a equação do exercício anterior, determine a solução para o problema 
do valor inicial (PVI) para y(0) = 0 y’(0) = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dada a EDO 
y’’ + 4y’ + 4y = 0 
determine a equação característica e a solução geral da EDO. 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Seja y’’ + y’ + y = 0 uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda 
ordem, determine a solução da EDO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determine a solução do PVI: 
 
 
 
 
 
 
 
6) Encontre uma solução geral para a EDO y’’ - 2y’ + 10y = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Encontre a solução geral para cada uma das EDOs: 
a) y= 0 
b) y+ 16y = 0 
c) y+ 6y+ 9y = 0 
d) y+ 16y= 0 
 
2) Determine a solução para cada PVI: 
a) y+ 16y = 0 , y(0) = 1, y(0) = – 4. 
b) y + 4y + 4y = 0 , y(0) = 1 , y(0) = 0. 
c) y+ 5y + 6y = 0 , y(0) = 1, y(0) = –1. 
d) y+ y= 0 , y(0) = 2, y(0) = –1. 
 
 
 
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Respostas dos exercícios: 
 
1. 
a) y = ax + b 
b) y = acos(4x) + bsen(4x) 
c) y = ae–3x + bxe–3x 
d) y = a + be–4x 
 
2. 
a) y = cos(4x) 
b) y = e–2x + 2xe–2x 
c) y = 2e–2x – e–3x 
d) y = 1 + e–x