11_Forças distribuidas - centros de massa e centroides

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Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
 Forças concentradas não existem no sentido
exato. Cada força externa mecanicamente
aplicada é distribuída sobre uma área de contato
mesmo que pequena.
 Caso a dimensão de contato seja desprezível em
comparação com as demais dimensões, pode-se
substituir a força distribuída pela sua resultante.
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
 Tipos de força distribuída:
a) Distribuição linear: Força por unidade de
comprimento (N/m);
b) Distribuição ao longo de uma área: Força por
unidade de área ou pressão (N/m² ou Pa);
c) Distribuição volumétrica: forças de corpo (ex.
força gravitacional)
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Centros de Massa e Centróides
Princípio dos momentos: o momento da força
gravitacional resultante W em relação a qualquer
eixo é igual a soma dos momentos , em relação ao
mesmo eixo, das forças gravitacionais dW atuando
em todas as
partículas do corpo,
tratadas como
elementos
infinitesimais.
 dWW
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Centros de Massa e Centróides
 Coordenadas do centro de gravidade e massa
 W
xdWx
 W
ydWy
 W
zdWz
 m
xdmx
 m
ydmy
 m
zdmz
 m
dmrr
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Centros de Massa e Centróides
 A densidade r de um corpo, é sua massa por
unidade de volume.
 A massa de um elemento diferencial dV é:
 Se r for constante por todo o corpo:
dVdm 
V
xdV
x 
V
ydV
y 
V
zdV
z 
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
 CENTRÓIDES DE LINHAS, ÁREAS E VOLUMES
 Quando o densidade de um corpo é uniforme
por todo o corpo, as expressões anteriores
definem uma propriedade puramente
geométrica do corpo.
 Se a densidade for uniforme em todo o corpo,
o centro de massa e o centróide coincidem.
 O cálculo dos centróides caem em três
categorias distintas: linhas, áreas ou
volumes.
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
 CENTRÓIDES DE LINHAS:
 Barra esbelta ou arame
 Comprimento L
 Área da seção transversal A
 Densidade r
L
xdL
x 
L
ydL
y 
L
zdL
z 
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
 CENTRÓIDES DE ÁREAS:
 Espessura pequena e
constante (t)
 Área de superfície A
 Densidade r
A
xdA
x  A
ydA
y 
A
zdA
z 
 xdA  ydA  zdA Momentos de primeira ordem ou momento estático de área.
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
 CENTRÓIDES DE VOLUME:
 Volume V
 Densidade r
x
yx
y
z
z
dy
dx
V
xdV
x 
V
ydV
y 
V
zdV
z 
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
 Escolha do elemento de integração
 Selecionar um elemento diferencial de primeira
ordem (de preferência)
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
 Escolha do elemento de integração
 Continuidade: elemento que pode ser
integrado em operação contínua.
- não recomendado- recomendado
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
Exemplo 1: Localize o centróide de um arco circular,
como mostrado na figura.
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
Exemplo 2: Determine a distância desde a base de
um triângulo de altura h até o centróide de sua área.
h
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
Exemplo 3: Determine o centróide da área sob a
curva x = k.y3 desde x = 0 até x = a.
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
Exemplo 3: Determine o centróide da área sob a
curva x = k.y3 desde x = 0 até x = a.
Forças Distribuídas –
Centros de Massa e Centróides
5.6 - Determine as coordenadas do centróide da área
sombreada.
Forças Distribuídas – Centros de Massa e 
Centróides
Exercícios de fixação
5.13 - Determine as coordenadas do centróide da área
sombreada.
Forças Distribuídas – Centros de Massa e 
Centróides
Exercícios de fixação
5.18 - Determine a coordenada x do centro de massa
da barra de aço de secção variável e comprimento
L, sendo que o diâmetro da extremidade mais larga
é duas
vezes o
diâmetro
da extre-
midade
menor.
Forças Distribuídas – Centros de Massa e 
Centróides
Exercícios de fixação
5.3
5.4
5.5
5.7
5.9
5.11
5.16
FONTE: MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. (Autor). Mecânica para engenharia. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009. 2 v.
Forças Distribuídas – Centros de Massa e 
Centróides
Exercícios de fixação