Centro de Gravidade e Centroide

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Prof. Esp. Pinheiro Filho
Mossoró/RN 
Universidade Federal Rural do Semi – Árido – UFERSA
Centro de Engenharias 
Curso de Bacharelado em Ciência e Tecnologia
➢ Centro de Gravidade
▪ Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de
tamanho diferenciado, e assim, se o corpo estiver localizado
dentro de um campo gravitacional, então cada uma das
partículas terá um peso dW.
➢ Centro de Gravidade
▪ Esses pesos formarão um sistema de forças aproximadamente
paralelas, e a resultante desse sistema é o peso total do corpo,
que passa por um único ponto chamado centro de gravidade, G.
➢ Centro de Gravidade
▪ O peso de um corpo é o somatório dos pesos das partículas que 
formam o mesmo, sendo assim:
➢ Centro de Gravidade
▪ A localização do Centro de Gravidade é determinada igualando-
se o momento da força resultante com o somatório dos 
momentos das partículas:
➢ Centro de Gravidade
▪ Sendo assim a localização do centro de gravidade em relação 
aos eixos x–y–z, são dada por:
➢ Centro de Gravidade
▪ Para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado de um
corpo, é importante localizar o centro de massa Cm do corpo.
Essa localização pode ser determinada substituindo-se dW =
g.dm nas equações. Como g é constante, ele é cancelado e,
portanto:
➢ Centroide de um volume
▪ Se o corpo na figura é feito de um material homogêneo, então
sua densidade ρ será constante. Portanto, um elemento
diferencial de volume dV tem uma massa dm=ρdV. Substituindo
essa massa nas equações e cancelando ρ, obtemos as fórmulas
que localizam o centroide C ou centro geométrico do corpo.
➢ Centroide de uma área
▪ Se uma área se encontra no plano x-y e estiver contornada pela
curva y=f(x), como mostra a figura, então seu centroide estará
nesse plano e pode ser determinado a partir de integrais como:
➢ Centroide de uma linha
▪ Se um segmento de linha (ou barra) estiver dentro do plano x-y 
e puder ser descrito por uma curva fina y=f(x).
➢ Centroide de uma linha
▪ O comprimento do elemento diferencial é dado pelo teorema de
Pitágoras:
Ex.1: Localize o centroide para a área de um quarto de 
círculo. 
Ex.2: Localize o centroide para a área mostrada. 
Ex.3: Localize o centroide em y para o paraboloide de 
revolução. 
Ex.4: Localize o centroide da barra curva na forma de um 
arco parabólico, como mostra a figura. 
➢ Corpos Compostos
▪ Um corpo composto consiste de uma série de corpos de formas
‘simples’ conectados, que podem apresentar formas
retangulares, triângulos, semicirculares, etc.
➢ Corpos Compostos
▪ Modo de Análise:
➢ Corpos Compostos
➢ Corpos Compostos
➢ Corpos Compostos
➢ Corpos Compostos
Ex. 5: Localize o centroide do fio abaixo. 
Ex.6: Localize o centroide em y da área da seção 
transversal da viga.
Ex.7: Localize o centro de massa da estrutura mostrada na
figura. O frustumcônico tem densidade de 8 Mg/m³, e o
hemisfério tem uma densidade de 4 Mg/m³. Existe um furo
cilíndrico com raio de 25 mm no centro do frustum.
➢ Teorema de Pappus e Guldinus
▪ Os dois teorema de Pappus e Guldinus são usados para
encontrar a área da superfície e o volume de qualquer corpo de
revolução.
➢ Teorema de Pappus e Guldinus
▪ Se girarmos uma curva plana em torno de um eixo que não
intercepta a curva, geraremos uma área da superfície de
revolução.
➢ Teorema de Pappus e Guldinus
▪ Para determinar essa área da superfície, primeiro vamos
considerar o elemento diferencial do comprimento dL. Se esse
elemento for girado 2π radianos em torno do eixo, um anel é
formado tendo uma área da superfície de dA=2πrdL. Assim, a
área da superfície do corpo inteiro é:
➢ Teorema de Pappus e Guldinus
▪ Um volume pode ser gerado pelo giro de uma área plana em
torno de um eixo que não intercepte a área.
➢ Teorema de Pappus e Guldinus
▪ Esse volume pode ser determinado primeiro pelo giro
do elemento diferencial de área dA 2π radianos em
torno do eixo, de modo que um anel tendo o volume
dV=2πrdA é gerado.
Ex.8: Determine a área da superfície e o volume do
sólido completo na figura.
Ex.9: Determine a área da superfície e o volume do
sólido completo na figura.
Ex.10: Determine o volume do sólido formado
girando-se a área sombreada em torno de x.
Ex.11: Determine o volume dentro do tanque de
parede fina de A até B.